第二单元 因数和倍数 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学五年级下册

第二单元 因数和倍数 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 因数与倍数的本质深化 课本核心：在非0自然数的整数除法中，商是整数且无余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；因数与倍数相互依存，不能单独存在。 奥数拓展： ① 研究范围仅限非0自然数，小数、分数不涉及因数与倍数。 ② 找因数用成对有序法（避免遗漏），找倍数用翻倍法（无限个）。 ③ 核心规律：一个数的最大因数=最小倍数=它本身；1是所有非0自然数的因数。 2. 2、3、5、9的倍数特征（奥数重点） 课本核心：2的倍数个位为0/2/4/6/8；5的倍数个位为0/5；3的倍数各位数字和是3的倍数。 奥数拓展： ① 2和5的公倍数个位必为0；2、3、5的公倍数个位为0且各位和是3的倍数。 ② 9的倍数特征：各位数字之和是9的倍数（奥数高频考点）。 ③ 最小公倍数：同时是2、3、5倍数的最小数是30，最小三位数是120。 3. 质数、合数与分解质因数（奥数核心） 课本核心：质数只有1和它本身两个因数；合数有3个及以上因数；1既不是质数也不是合数。 奥数拓展： ① 唯一偶质数是2（解奇偶性、质数求和题的关键突破口）。 ② 100以内质数表（奥数必记）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29…… ③ 分解质因数：用短除法把合数写成质数相乘的形式，是求最大公因数、最小公倍数的基础。 二、奥数易错点提醒 依存关系混淆：不能单独说“某数是因数/倍数”，必须表述为“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。 范围忽略：因数与倍数只针对非0自然数，小数、分数不适用。 特殊数误判：1既非质数也非合数；2是质数而非合数（唯一偶质数）。 特征混淆：判断3、9的倍数不看个位，需计算各位数字之和。 分解不彻底：质因数分解需全为质数，如12=2×2×3，而非2×6。 三、奥数解题口诀 因数倍数相依存，非零自然数范围清； 成对找因不遗漏，翻倍找倍有序行。 二五倍数看个位，三和九倍看和明； 质数合数辨清楚，唯一偶质是二星。 短除分解质因数，公因公倍巧算清； 整除问题抓特征，奇偶分析破难题。 考点讲解 考点1：因数与倍数概念辨析（最基础） 核心思路：紧扣“非0自然数、整数除法无余数、相互依存”三大规则判断正误。 典型例题：判断“因为2.4÷0.6=4，所以2.4是0.6的倍数”（答案：错误，小数不在研究范围内）。 奥数变式：已知a÷b=6（a、b为非0自然数），则a是b的倍数，b是a的因数。 考点2：2、3、5、9的倍数特征（高频考） 核心思路：先看2、5的个位特征，再验证3、9的数字和特征，多条件同时满足。 典型例题：用0、2、7组成同时是2、3、5倍数的三位数（答案：270、720）。 奥数变式：四位数3□1□，同时是2、3、5的倍数，这个数最小是3210。 考点3：质数与合数的应用（奥数难点） 核心思路：牢记“2是唯一偶质数”，结合奇偶性分析质数求和、求积问题。 典型例题：两个质数的和是15，积是26，这两个数是2和13。 奥数变式：三个不同质数的和是20，这三个质数的积最大是154（2、7、11）。 考点4：分解质因数+最大公因数/最小公倍数（奥数提升） 核心思路：短除法分解质因数，最大公因数取公共质因数，最小公倍数取全部质因数。 典型例题：求18和24的最大公因数、最小公倍数（答案：最大公因数6，最小公倍数72）。 奥数变式：120分解质因数为2³×3×5，其因数个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16个。 考点5：实际应用（综合考） 核心思路：分组、分配、裁剪问题→求最大公因数；日期、循环问题→求最小公倍数。 典型例题：把长30cm、宽24cm的长方形剪成最大正方形且无剩余，边长为6cm（最大公因数）。 真题训练 1．李叔叔买了3套同样的手工工具，每套工具的价格都是整数，且没有任何折扣，李叔叔可能花了（    ）元。 A．460 B．365 C．268 D．264 【答案】D 【分析】根据题意，李叔叔买了3套同样的手工工具，每套工具的价格都是整数，根据“单价×数量＝总价”可知，李叔叔花的钱数是3的倍数；从四个选项中找出哪个数是3的倍数，即可得解。3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．4＋6＋0＝10，10不是3的倍数，则460不是3的倍数； B．3＋6＋5＝14，14不是3的倍数，则365不是3的倍数； C．2＋6＋8＝16，16不是3的倍数，则268不是3的倍数； D．2＋6＋4＝12，12是3的倍数，则264是3的倍数。 2．下面各种说法，正确的是（    ）。 ①一个数的最小倍数是它本身。             ②一个数有无数个倍数。 ③一个数的倍数大于它的因数。             ④一个数至少有两个因数。 A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数。 1既不是质数也不是合数。 【详解】①一个数的最小倍数是它本身，原题干说法正确。 ②一个数有无数个倍数，原题干说法正确。 ③一个数的最小倍数等于它的最大因数，即它本身，原题干说法错误。 ④1只有1个因数，原题干说法错误。 3．下面自然数中，“△”代表任意非零自然数，且所有的△都是同一个数，那么一定同时是2、3、5的倍数的是（    ）。 A．△0△0 B．△△0△ C．△△00△ D．△0△△0 【答案】D 【分析】同时是2和5的倍数的特征：个位数字必须是0；是3的倍数的特征：各位数字之和必须是3的倍数。 【详解】A．△0△0，数字和：△＋0＋△＋0＝2△，2△不一定是3的倍数； B．△△0△，个位数字不是0，不是2和5的倍数； C．△△00△，个位数字不是0，不是2和5的倍数； D．△0△△0，个位数字是0，并且数字和△＋0＋△＋△＋0＝3△，3△一定是3的倍数，符合要求。 即一定同时是2、3、5的倍数的是△0△△0。 4．M＝2×3×7，M的因数一共有（    ）个。 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先求出M的值，再通过列除法算式找因数：用这个数除以1到它本身，能整除的除数和商都是它的因数。 【详解】M＝2×3×7 ＝6×7 ＝42 42÷1＝42 42÷2＝21 42÷3＝14 42÷6＝7 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42，共8个。 5．两个相邻偶数的和是98，这两个数分别是（    ）。 A．48；46 B．54；52 C．48；50 D．46；52 【答案】C 【分析】是2的倍数的数是偶数。已知两个相邻偶数的和是98，且相邻两个偶数差为2。据此逐一分析。 【详解】A．48＋46＝94，这两个偶数的和不是98，不符合； B．54＋52＝106，这两个偶数的和不是98，不符合； C．48＋50＝98，且50－48＝2，符合； D．52－46＝6，这两个偶数的差不是2，即不是相邻的偶数，不符合。 所以这两个偶数分别是48和50。 故答案为：C 6．3个连续奇数的和是57，其中最大的一个奇数是（    ）。 A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】C 【分析】由题意，可以根据以下进行分析： （1）奇数是不能被2整除的整数，相邻两个奇数之间的差为2； （2）n为奇数时，n个连续数奇数的和＝中间数×个数，则中间数＝n个连续数奇数的和÷个数；据此解决。 【详解】这3个连续奇数的中间数为：57÷3＝19 则其中最大的一个奇数为：19＋2＝21 故答案为：C 7．运动会上每个班的所有学生都要参加入场仪式和团体操，五（1）班入场队列如右图所示。表演团体操的几个队列如下，（    ）可能是五（1）班。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图示可知，五（1）班的学生数是奇数，据此选择即可。 【详解】A．（人），五（1）班的学生数是奇数，不符合题意。 B． （人），五（1）班的学生数是奇数，不符合题意。 C． （人），五（1）班的学生数是奇数，不符合题意。 D． （人），五（1）班的学生数是奇数，符合题意。 故答案为：D 8．水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 【答案】B 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。先列举出36的所有因数，再看三个选项中的3个数是否都是36的因数，据此解答。 【详解】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 A．1、13、18中，13不是36的因数，所以1、13、18不可能是获奖作品编码。 B．2、6、12都是36的因数，所以2、6、12可能是获奖作品的编码。 C．4、9、16中，16不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 D．3、15、18中，15不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 故答案为：B 9．李阿姨收到一条带有取件码的短信息，根据描述（取件码ABCD中，A是一位数中最大的奇数：B比最小的质数大1；C是最小的合数；D同时是2和3的倍数（非零））请你想一想，李阿姨的取件码是( )。 【答案】 9346 【分析】根据取件码的描述，分别确定A、B、C、D的值：A是一位数中最大的奇数，即9；B比最小的质数大1，最小的质数是2，所以B是3；C是最小的合数，即4；D同时是2和3的倍数，在一位数中符合条件的是6（因为倍数通常指非零自然数，0虽也是倍数但一般不考虑），据此填空即可。 【详解】李阿姨的取件码是9346。 10．在12，30，35，51，57，72，90这些数中，偶数有( )，含有因数3的数有( )。既含有因数2，又能被3和5整除的数有( )。 【答案】 12、30、72、90 12、30、51、57、72、90 30、90 【分析】自然数中是2的倍数的数，叫做偶数，由此进行判断即可； 3的倍数的特征，各个数位的数字之和能够被3整除，由此进行判断即可； 同时含有因数2、3和5的数，说明这个数同时是2、3、5的倍数，个位上只能是0，再根据3的倍数的特征进一步判断即可。 【详解】由分析可得：在12，30，35，51，57，72，90这些数中，偶数有12、30、72、90，含有因数3的数有12、30、51、57、72、90。既含有因数2，又能被3和5整除的数有30、90。 11．由4，5，6三个数字可以组成( )个不重复的两位数。这些数中是2的倍数的是( )，同时是3和5的倍数的是( )。 【答案】 6 46、54、56、64 45 【分析】先有序列举出用4、5、6组成的所有没有重复数字的两位数；判断2的倍数时，看个位数字是否为0、2、4、6、8；判断同时是3和5的倍数时，既要满足个位是5，又要满足各位上数字之和是3的倍数。 【详解】由4，5，6三个数字组成的两位数有45、46、54、56、64、65，共6个； 45个位数字是5（不是2的倍数），46个位数字是6（是2的倍数），54个位数字是4（是2的倍数），56个位数字是6（是2的倍数），64个位数字是4（是2的倍数），65个位数字是5（不是2的倍数），所以是2的倍数的是46、54、56、64； 个位数字是5的数有45和65，但65的各位数字之和是6＋5＝11，不是3的倍数，不符合；45的各位数字之和是4＋5＝9，是3的倍数，所以同时是3和5的倍数的是45。 12．有一座钟，每走8分钟亮一次灯，每到整时响一次铃。下午1时整，既响铃又亮灯。下一次既响铃又亮灯是下午( )时。 【答案】3 【分析】根据题意可知，从下午1时整钟既响铃又亮灯开始后，每8分钟亮一次灯，每60分钟响一次铃，所以下一次既响铃又亮灯的时刻是经过8和60的最小公倍数的分钟后。 【详解】 8和60的最小公倍数是120，即在120分钟后会既响铃又亮灯。 120分钟＝2小时 1时＋2小时＝3时 则下一次既响铃又亮灯是下午3时。 13．在献爱心活动中，503班向希望小学捐款62□□，这个数既是2、3、5的倍数，又是最大的一个，503班捐款( )元。 【答案】6270 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】既是2的倍数，又是5的倍数，所以个位数字一定是 0。6＋2＝8、十位数最小是9－8＝1，十位数是1、4、7都是3的倍数，最大是7，503班捐款6270元。 14．一个偶数，既是5的倍数，又含有因数3，这个数最小是( )。 【答案】30 【分析】先明确所求数需同时满足是偶数、5的倍数、含有因数3的条件，根据偶数和5的倍数的特征，确定这个数的个位必须为0，再结合含有因数3（即该数是3的倍数，各位数字之和需是3的倍数）的要求，找出个位为0且各位数字之和是3的倍数的最小数，最终确定这个数为30。 【详解】根据分析：一个偶数，既是5的倍数，又含有因数3，这个数最小是30。 15．一个运算程序的运算规则如下图所示。如果输入48，那么结果是( )；如果输入了一个数，结果是53，那么这个数是( )。 【答案】 100 7 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。先判断输入的数M是质数还是合数，如果M是质数，代入进行计算；如果M是合数，代入进行计算即可。已知结果是53，不知道输入的数是质数还是合数，则分、两种情况分别计算出两种情况下M的值，判断是否符合题意。据此解答。 【详解】如果输入48，48是合数，那么结果是 当结果是53时，，则，那么，7是质数，符合题意； 当结果是53时，，则，那么，24.5不是自然数，也不是合数，不符合题意； 所以这个数是7。 16．三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 【答案】 7 9 11 8 10 12 【分析】可用连续三个奇数的和除以3，得到的是这三个连续奇数的平均数即连续三个奇数的中间一个数，然后再用中间的数分别减去2、加上2即可得到答案；三个连续偶数的积是960，把960分解质因数，然后化成三个连续偶数的积，由此求解。 【详解】，， 这三个奇数分别是7，9，11。 这三个偶数分别是8，10，12。 【点睛】此题主要利用计算平均数的方法求得三个连续奇数的中间一个数，然后再分别计算出另外两个数，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键。 17．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和32         15和25         30和40 【答案】（1）8；96；（2）5；75；（3）10；120 【分析】两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个公因数就叫做这几个整数的最大公因数。两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。用枚举法分别写出每组数中每个数的因数与倍数，从而找到每组数的最大公因数和最小公倍数。 【详解】（1）24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24。 32的因数有1，2，4，8，16，32。 24和32的最大公因数是8。 24的倍数有24，48，72，96，120…。 32的倍数有32，64，96，128，160…。 24和32的最小公倍数是96。 （2）15的因数有1，3，5，15。 25的因数有1，5，25。 15和25的最大公因数是5。 15的倍数有15，30，45，60，75…。 25的倍数有25，50，75，100，125…。 15和25的最小公倍数是75。 （3）30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。 40的因数有1，2，4，5，8，10，20，40。 30和40的最大公因数是10。 30的倍数有30，60，90，120，150…。 40的倍数有40，80，120，160，200…。 30和40的最小公倍数是120。 18．求下列各组数的最大公因数。 15和16                   28和36                  7和63 【答案】1；4；7 【分析】对于不同的数，可根据数的特点选择合适方法。一般可以通过列举法、分解质因数法等找出两个数公有的因数中最大的那个，就是它们的最大公因数。如果两个数是互质数（公因数只有1的两个非零自然数），那么它们的最大公因数就是1；如果两个数存在倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数。 【详解】（1）15的因数有1、3、5、15。 16的因数有1、2、4、8、16。 15和16的最大公因数是1； （2）28的因数有1、2、4、7、14、28。 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 28和36的最大公因数是4； （3）63÷7＝9 7和63的最大公因数是7。 19．有36名同学参加研学，中午自由活动时分成人数相同的小组，要求每组人数必须多于3人，少于18人，一共有几种不同的分组方法？ 【答案】4种 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先找出36的因数，其中大于3小于18的是每组人数，与之相乘等于36的另一个因数是组数。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 大于3小于18的有：4、6、9、12，共4个。 答：一共有4种不同的分组方法。 20．张阿姨在商场买了3双价格相同的鞋子，售货员说应该付353元，张阿姨认为不对。请解释张阿姨认为不对的原因。 【答案】不对；原因见详解 【分析】已知买了3双价格相同的鞋子，根据“单价×数量＝总价”可知，无论鞋子的单价是多少元，应付的总钱数应是3的倍数；根据3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；判断353是否是3的倍数，即可得解。 【详解】3＋5＋3＝11，不是3的倍数。 答：张阿姨买了3双价格相同的鞋子，应付的总钱数应是3的倍数，而353不是3的倍数，所以张阿姨认为售货员说的不对。 21．妈妈买了15个脐橙，奶奶要把这些脐橙每2个装入一个保鲜袋，能正好装完吗？为什么？请说明理由。 【答案】不能正好装完。因为15的个位是5，15不是2的倍数 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，如果脐橙的个数是2的倍数，那么把这些脐橙每2个装入一个保鲜袋，能正好装完，反之则不能。 【详解】答：不能正好装完。因为15的个位是5，15不是2的倍数。 22．学校举行课间操比赛，要求同学们排成每行人数相同的队伍，五（2）班有51名同学，如果你是老师，怎么排列？（排成多少行，每行多少人） 【答案】排成3行，每行17人或排成17行，每行3人 【分析】行数×每行的人数＝班级总人数，所以行数和每行的人数都是班级总人数的因数。利用等式先找出51的因数，再对队伍进行排列。 【详解】51＝1×51＝3×17 所以，51的因数有1、3、17和51。 答：可以排成3行，每行17人或排成17行，每行3人。 23．秦始皇陵兵马俑二号坑的内部精心构筑了战车方阵，骑兵阵，弩兵阵和车、步、骑混合方阵。弩兵阵位于整个军阵的东部前沿，这个方阵内四面环廊，站立着172件立射俑，中心部位是160件跪射俑。这些兵马俑3个3个地数能正好数完吗？5个5个地数呢？（写出思考过程） 【答案】 3个3个地数不能正好数完；5个5个地数也不能正好数完；思考过程见详解 【分析】3的倍数特征：一个数的各个数位上的数相加之和是3的倍数，则这个数是3的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0或5的数是5的倍数。先计算出兵马俑总数量，再运用3的倍数、5的倍数特征，进而得出答案。 【详解】兵马俑总数为：172＋160＝332（个）； 332的各个数位上的数之和：3＋3＋2＝8，8不能被3整除，则332不能被3整除，不能3个3个地数完；332的个位上的数是2，则不是5的倍数，也不能5个5个地数出来。 答：3个3个数不能正好数完；5个5个数也不能正好数完。因为兵马俑的总数量都不是3或5的倍数。 24．采摘的鲜香菇装在规格相同的周转筐中，一共装了64筐。可以选择用小推车一次运3筐，或者4筐，或者5筐，若每次运的筐数相同，那么采用哪种方法可以正好运完？ 【答案】每次运4筐 【分析】要求每次运的筐数相同且能正好运完，那么64必须能被运输的筐数整除；判断64能否被3、4、5整除，若能整除，则该运输方法可以正好运完。 【详解】64÷3＝21（次）……1（筐），不能整除，不能正好运完； 64÷4＝16（次），能整除，可以正好运完； 64÷5＝12（次）……4（筐），不能整除，不能正好运完。 答：采用每次运4筐的方法可以正好运完。 25．菇农种植秋栽香菇，为避免高温“烧菌”，往往要等天气转凉后才点菌接种。某农业科技有限公司采用新技术，仅用24天即完成秋栽香菇制棒的任务。这些天中有m天是给小石村生产的，余下的天数是给大房村生产。 （1）如果m是一个奇数，那么给大房村生产的天数是偶数吗？ （2）如果给两个村生产的天数都是质数，且相差的天数最小，请你推算一下为两村生产分别用了多少天？ 【答案】（1）不是 （2）小石村11天，大房村13天或小石村13天，大房村11天 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 （2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 根据质数的定义，把24分成两个质数相加的形式，再用减法求出这两个质数的差，找到相差天数最小的两个质数即可得解。 【详解】（1）和24是偶数，m是奇数，根据奇数＋奇数＝偶数可知，大房村生产的天数是奇数。 答：如果m是一个奇数，那么给大房村生产的天数不是偶数。 （2）24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 两个质数的差：19－5＝14，17－7＝10，13－11＝2； 2＜10＜14，11和13差值最小。 答：小石村生产用了11天，大房村生产用了13天。 26．著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6＝3＋3，12＝5＋7等。那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（两个加数交换位置算作同一种形式）。 【答案】6种，分别为：100＝3＋97＝11＋89＝17＋83＝29＋71＝41＋59＝47＋53 【分析】100以内的质数有25个，分别为：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；题目要求将自然数100写成两个不同质数的和的形式，因此可以从最小的质数开始尝试搭配组合即可。 【详解】一一列举为：100＝3＋97；100＝11＋89；100＝17＋83；100＝29＋71；100＝41＋59；100＝47＋53；即一共有这6种情况。 答：自然数100可以写成6种两个不同质数的和的形式，分别为：100＝3＋97＝11＋89＝17＋83＝29＋71＝41＋59＝47＋53。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 因数和倍数 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 因数与倍数的本质深化 课本核心：在非0自然数的整数除法中，商是整数且无余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；因数与倍数相互依存，不能单独存在。 奥数拓展： ① 研究范围仅限非0自然数，小数、分数不涉及因数与倍数。 ② 找因数用成对有序法（避免遗漏），找倍数用翻倍法（无限个）。 ③ 核心规律：一个数的最大因数=最小倍数=它本身；1是所有非0自然数的因数。 2. 2、3、5、9的倍数特征（奥数重点） 课本核心：2的倍数个位为0/2/4/6/8；5的倍数个位为0/5；3的倍数各位数字和是3的倍数。 奥数拓展： ① 2和5的公倍数个位必为0；2、3、5的公倍数个位为0且各位和是3的倍数。 ② 9的倍数特征：各位数字之和是9的倍数（奥数高频考点）。 ③ 最小公倍数：同时是2、3、5倍数的最小数是30，最小三位数是120。 3. 质数、合数与分解质因数（奥数核心） 课本核心：质数只有1和它本身两个因数；合数有3个及以上因数；1既不是质数也不是合数。 奥数拓展： ① 唯一偶质数是2（解奇偶性、质数求和题的关键突破口）。 ② 100以内质数表（奥数必记）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29…… ③ 分解质因数：用短除法把合数写成质数相乘的形式，是求最大公因数、最小公倍数的基础。 二、奥数易错点提醒 依存关系混淆：不能单独说“某数是因数/倍数”，必须表述为“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。 范围忽略：因数与倍数只针对非0自然数，小数、分数不适用。 特殊数误判：1既非质数也非合数；2是质数而非合数（唯一偶质数）。 特征混淆：判断3、9的倍数不看个位，需计算各位数字之和。 分解不彻底：质因数分解需全为质数，如12=2×2×3，而非2×6。 三、奥数解题口诀 因数倍数相依存，非零自然数范围清； 成对找因不遗漏，翻倍找倍有序行。 二五倍数看个位，三和九倍看和明； 质数合数辨清楚，唯一偶质是二星。 短除分解质因数，公因公倍巧算清； 整除问题抓特征，奇偶分析破难题。 考点讲解 考点1：因数与倍数概念辨析（最基础） 核心思路：紧扣“非0自然数、整数除法无余数、相互依存”三大规则判断正误。 典型例题：判断“因为2.4÷0.6=4，所以2.4是0.6的倍数”（答案：错误，小数不在研究范围内）。 奥数变式：已知a÷b=6（a、b为非0自然数），则a是b的倍数，b是a的因数。 考点2：2、3、5、9的倍数特征（高频考） 核心思路：先看2、5的个位特征，再验证3、9的数字和特征，多条件同时满足。 典型例题：用0、2、7组成同时是2、3、5倍数的三位数（答案：270、720）。 奥数变式：四位数3□1□，同时是2、3、5的倍数，这个数最小是3210。 考点3：质数与合数的应用（奥数难点） 核心思路：牢记“2是唯一偶质数”，结合奇偶性分析质数求和、求积问题。 典型例题：两个质数的和是15，积是26，这两个数是2和13。 奥数变式：三个不同质数的和是20，这三个质数的积最大是154（2、7、11）。 考点4：分解质因数+最大公因数/最小公倍数（奥数提升） 核心思路：短除法分解质因数，最大公因数取公共质因数，最小公倍数取全部质因数。 典型例题：求18和24的最大公因数、最小公倍数（答案：最大公因数6，最小公倍数72）。 奥数变式：120分解质因数为2³×3×5，其因数个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16个。 考点5：实际应用（综合考） 核心思路：分组、分配、裁剪问题→求最大公因数；日期、循环问题→求最小公倍数。 典型例题：把长30cm、宽24cm的长方形剪成最大正方形且无剩余，边长为6cm（最大公因数）。 真题训练 1．李叔叔买了3套同样的手工工具，每套工具的价格都是整数，且没有任何折扣，李叔叔可能花了（    ）元。 A．460 B．365 C．268 D．264 2．下面各种说法，正确的是（    ）。 ①一个数的最小倍数是它本身。             ②一个数有无数个倍数。 ③一个数的倍数大于它的因数。             ④一个数至少有两个因数。 A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④ 3．下面自然数中，“△”代表任意非零自然数，且所有的△都是同一个数，那么一定同时是2、3、5的倍数的是（    ）。 A．△0△0 B．△△0△ C．△△00△ D．△0△△0 4．M＝2×3×7，M的因数一共有（    ）个。 A．3 B．4 C．6 D．8 5．两个相邻偶数的和是98，这两个数分别是（    ）。 A．48；46 B．54；52 C．48；50 D．46；52 6．3个连续奇数的和是57，其中最大的一个奇数是（    ）。 A．17 B．19 C．21 D．23 7．运动会上每个班的所有学生都要参加入场仪式和团体操，五（1）班入场队列如右图所示。表演团体操的几个队列如下，（    ）可能是五（1）班。 A． B． C． D． 8．水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 9．李阿姨收到一条带有取件码的短信息，根据描述（取件码ABCD中，A是一位数中最大的奇数：B比最小的质数大1；C是最小的合数；D同时是2和3的倍数（非零））请你想一想，李阿姨的取件码是( )。 10．在12，30，35，51，57，72，90这些数中，偶数有( )，含有因数3的数有( )。既含有因数2，又能被3和5整除的数有( )。 11．由4，5，6三个数字可以组成( )个不重复的两位数。这些数中是2的倍数的是( )，同时是3和5的倍数的是( )。 12．有一座钟，每走8分钟亮一次灯，每到整时响一次铃。下午1时整，既响铃又亮灯。下一次既响铃又亮灯是下午( )时。 13．在献爱心活动中，503班向希望小学捐款62□□，这个数既是2、3、5的倍数，又是最大的一个，503班捐款( )元。 14．一个偶数，既是5的倍数，又含有因数3，这个数最小是( )。 15．一个运算程序的运算规则如下图所示。如果输入48，那么结果是( )；如果输入了一个数，结果是53，那么这个数是( )。 16．三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 17．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和32         15和25         30和40 18．求下列各组数的最大公因数。 15和16                   28和36                  7和63 19．有36名同学参加研学，中午自由活动时分成人数相同的小组，要求每组人数必须多于3人，少于18人，一共有几种不同的分组方法？ 20．张阿姨在商场买了3双价格相同的鞋子，售货员说应该付353元，张阿姨认为不对。请解释张阿姨认为不对的原因。 21．妈妈买了15个脐橙，奶奶要把这些脐橙每2个装入一个保鲜袋，能正好装完吗？为什么？请说明理由。 22．学校举行课间操比赛，要求同学们排成每行人数相同的队伍，五（2）班有51名同学，如果你是老师，怎么排列？（排成多少行，每行多少人） 23．秦始皇陵兵马俑二号坑的内部精心构筑了战车方阵，骑兵阵，弩兵阵和车、步、骑混合方阵。弩兵阵位于整个军阵的东部前沿，这个方阵内四面环廊，站立着172件立射俑，中心部位是160件跪射俑。这些兵马俑3个3个地数能正好数完吗？5个5个地数呢？（写出思考过程） 24．采摘的鲜香菇装在规格相同的周转筐中，一共装了64筐。可以选择用小推车一次运3筐，或者4筐，或者5筐，若每次运的筐数相同，那么采用哪种方法可以正好运完？ 25．菇农种植秋栽香菇，为避免高温“烧菌”，往往要等天气转凉后才点菌接种。某农业科技有限公司采用新技术，仅用24天即完成秋栽香菇制棒的任务。这些天中有m天是给小石村生产的，余下的天数是给大房村生产。 （1）如果m是一个奇数，那么给大房村生产的天数是偶数吗？ （2）如果给两个村生产的天数都是质数，且相差的天数最小，请你推算一下为两村生产分别用了多少天？ 26．著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6＝3＋3，12＝5＋7等。那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（两个加数交换位置算作同一种形式）。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $