第三单元 长方体和正方体 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学五年级下册

第三单元 长方体和正方体 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 棱长总和的本质深化 课本核心：长方体棱长和 = 4×(长+宽+高)；正方体棱长和 = 12×棱长。 奥数拓展： ① 棱长和固定时，正方体的体积与表面积最大（长方体越接近正方体，体积越大）。 ② 切割/拼接立体图形，棱长总和会增加/减少对应棱的长度。 ③ 已知棱长和，求长、宽、高的整数组合，优先凑最接近正方体的数值。 2. 表面积的奥数应用（重点） 课本核心：长方体表面积 = 2×(长×宽+长×高+宽×高)；正方体表面积 = 6×棱长²。 奥数拓展： ① 切割：切1次增加2个相同面，切n刀增加2n个面。 ② 拼接：2个立体拼合减少2个重合面，多个拼合减少2×(个数-1)个面。 ③ 特殊场景：无盖容器少1个底面；通风管/烟囱少2个底面。 ④ 挖洞：在面上挖小正方体，表面积增加4个侧面；穿透挖洞需算增减差。 3. 体积与容积的奥数拓展 课本核心：长方体体积=长×宽×高；正方体体积=棱长³；容积=内部体积。 奥数拓展： ① 等积变形：形状改变，体积/水的体积保持不变。 ② 浸没问题：完全浸没物体体积 = 容器底面积×水面上升高度。 ③ 空心立体：体积 = 外体积 - 内空心体积。 ④ 堆积体积：数清层数，逐层累加计算。 4. 正方体涂色问题（奥数核心） 将大正方体棱长n等分切成小正方体： ① 三面涂色：8个（顶点位置）。 ② 两面涂色：12×(n-2)个（棱中间）。 ③ 一面涂色：6×(n-2)²个（面中心）。 ④ 无色：(n-2)³个（内部）。 二、奥数易错点提醒 单位混淆：棱长(cm/dm/m)、面积(cm²/dm²/m²)、体积(cm³/dm³/m³)单位混用。 切割/拼接触面数错：切1次只算加1个面，拼合漏算减少的面。 特殊表面积漏算：无盖、通风管忘记减去对应面。 涂色公式记错：把棱长长度当作分段数n，公式代入错误。 浸没问题误判：未判断是否完全浸没，直接用上升高度计算。 挖洞表面积算错：只算增加不算减少，或反之。 三、奥数解题口诀 棱长总和四组和，正方十二乘棱长； 和定最正体积大，切割拼接棱变样。 表面积算六个面，无盖通风少一面； 切一次加两个面，拼合重合减两面。 体积长乘宽乘高，棱长立方正方妙； 等积变形体积定，浸没排水算大小。 三面涂色八个顶，两面十二棱中停； 一面六面中心行，无色藏在最中心。 考点讲解 考点1：棱长总和与最值问题（最常考） 核心思路：棱长和固定→长+宽+高固定→越接近正方体，体积/表面积越大。 典型例题：一个长方体棱长总和是72cm，长、宽、高都是整数，求最大体积。 解题步骤：长+宽+高=72÷4=18cm；18÷3=6cm（正方体）；体积=6×6×6=216cm³。 考点2：表面积切割/拼接/挖洞（核心考点） 核心思路：切割数刀→算增加面；拼合个数→算减少面；挖洞→算净增面。 典型例题：把棱长4cm正方体切3刀（长、宽、高各1刀），表面积增加多少？ 解题步骤：切3刀加6个面；4×4×6=96cm²。 考点3：正方体涂色问题（奥数难点） 核心思路：先确定棱长分段数n，直接代入涂色公式计算。 典型例题：棱长6cm正方体切成1cm小正方体，两面涂色有多少个？ 解题步骤：n=6；12×(6-2)=48个。 考点4：体积等积变形与浸没问题（奥数提升） 核心思路：水体积不变；物体体积=底面积×水面变化高度。 典型例题：棱长8cm正方体铁块放入长20cm、宽16cm长方体水箱，水面上升多少？ 解题步骤：铁块体积=8×8×8=512cm³；上升高度=512÷(20×16)=1.6cm。 考点5：展开图与折叠计算（易错考点） 核心思路：11种正方体展开图，相对面不相邻；用展开图求棱长、表面积。 典型例题：正方体展开图相邻边和为10cm，求表面积。 解题步骤：棱长=10÷2=5cm；表面积=6×5×5=150cm²。 真题训练 1．把一个长方体面团捏成一个正方体，体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【详解】把一个长方体面团捏成一个正方体，形状变了，体积不变。 2．在烘焙创意大赛中，李华用掉了一盒牛奶，大约（    ）。 A．10毫升 B．250毫升 C．250升 D．30升 【答案】B 【分析】根据生活常识，一小瓶口服液大约是10毫升，一瓶矿泉水大约是500毫升，一盒牛奶大约250毫升。 【详解】根据分析，一盒牛奶大约250毫升。 3．一个棱长12厘米的正方体，表面全部涂上红色，把它切割成棱长3厘米的小正方体。其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．12 B．24 C．27 D．64 【答案】B 【分析】 如图：，棱长12厘米的正方体，切割成棱长3厘米的小正方体，则每条棱上有12÷3＝4（个）小正方体，每条棱上有2个两面涂色的小正方体，最上方和最下方的是三面涂色的，然后再用2×12即可。 【详解】（12÷3－2）×12 ＝（4－2）×12 ＝2×12 ＝24（个） 一个棱长12厘米的正方体，表面全部涂上红色，把它切割成棱长3厘米的小正方体。其中两面涂色的小正方体有24个。 故答案为：B 4．下面四个图形中，（    ）是下图正方体的展开图。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察上图可知，涂有1个点的上面和涂有2个点前面是相邻的两个面，而正方体的展开图，相对面要隔一列或一行，左右隔 1列，上下隔1行，据此规律可知。 【详解】A．图中显示涂有1个点的上面和涂有2个点前面是紧连着的，是相邻的两个面，符合。 B．图中显示涂有1个点的上面和涂有2个点前面上下隔1行，是相对面，不符合。 C．图中显示涂有1个点的上面和涂有2个点前面左右隔 1列，是相对面，不符合。 D．图中显示涂有1个点的上面和涂有2个点前面左右隔 1列，是相对面，不符合。 故答案为：A 5．现有四个长8cm、宽7cm、高2cm的礼盒，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】包装物体时，重叠的面越大，表面积减少得越多，就越省包装纸。 已知礼盒长8cm、宽7cm、高2cm，8×7＞8×2＞7×2，所以最大的面的面积是8×7＝56cm2。分别分析每个选项中重叠面的大小，进而确定符合题意答案。 【详解】A．将礼盒沿高堆叠，减少了6个长8cm、宽7cm的面，即减少的面积为8×7×6＝336（cm2）。 B．重叠的面是4个长8cm、宽7cm的面和4个长8cm、高2cm的面，减少的面积为8×7×4＋8×2×4＝224＋64＝288（cm2）。 C．重叠的面是4个宽7cm、高2cm的面和4个长8cm、高2cm的面，减少的面积为7×2×4＋8×2×4＝56＋64＝120（cm2）。 D．重叠的面是6个长8cm、高2cm的面，减少的面积为8×2×6＝96（cm2）。 336＞288＞120＞96 所以选项A中的最省包装纸。 故答案为：A 6．笑笑在学习长方体体积时联想到了长度和面积的测量，便和小组的同学讨论了起来。你认为在测量长度、面积和体积时，相同的是（    ）。 A．都是用长×宽×高 B．都是用长＋宽＋高 C．都是用边长×边长 D．都是数出相应测量单位的个数。 【答案】D 【分析】第一幅图是用1cm作单位进行测量，第二幅图是用1cm2作单位进行测量，第三幅图是用1cm3作单位进行测量，据此解答。 【详解】三幅图都是用1个单位进行测量，数出相应测量单位的个数，即是所测物体的长度、面积、体积。 故答案为：D 7．如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的体积就扩大到原来的（    ）倍，它的表面积扩大到原来的（    ）倍。 A．8，4 B．4，3 C．2，4 D．3，8 【答案】A 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，以及积的变化规律可知，一个正方体的棱长扩大到原来的若干倍，体积扩大到原来的倍数×倍数×倍数，表面积扩大到原来的倍数×倍数。 【详解】2×2×2＝8 2×2＝4 这个正方体的体积就扩大到原来的8倍，它的表面积扩大到原来的4倍。 故答案为：A 8．有两个长方体泡沫快递盒，从外面量长宽高都相等，甲泡沫快递盒厚，乙泡沫快递盒厚。（    ）泡沫快递盒的容积大。 A．甲 B．乙 C．一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】由题意可知，甲乙长方体泡沫快递盒，从外面量长宽高都相等，说明它们的体积相等，则厚度大的容积就小，厚度小的容积就大，据此解答。 【详解】根据分析： 所以甲泡沫快递盒的容积小，乙泡沫快递盒的容积大。 故答案为：B 9．将一个正方体的棱长从3cm增加到6cm，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 2 4 8 【分析】分别计算原正方体和新正方体的棱长总和、表面积、体积，再用新的量除以原来的量得到扩大的倍数。正方体棱长总和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】（1）原正方体棱长总和：3×12＝36（cm） 新正方体棱长总和：6×12＝72（cm） 扩大倍数：72÷36＝2 （2）原正方体表面积：3×3×6＝9×6＝54（cm2） 新正方体表面积：6×6×6＝36×6＝216（cm2）。 扩大倍数：216÷54＝4 （3）原正方体体积：3×3×3＝27（cm3） 新正方体体积：6×6×6＝216（cm3） 扩大倍数216÷27＝8 10．把一个棱长为4厘米的正方体平均分成两个长方体，这时的表面积( )了（选填“增加”或“减少”）( )平方厘米。 【答案】 增加 32 【分析】平均分成两个长方体，也就相当于切一刀，会增加两个切面的面积；切面是正方形；根据“”求出一个切面的面积，最后乘2求出一共增加的面积。 【详解】表面积增加了。 增加了：4×4×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 11．填上合适的计量单位。 一块橡皮的体积约是8( )        矿泉水瓶容积约是550( ) 一个西瓜的体积约是4( )        天安门广场的面积约是44( ) 【答案】 立方厘米/cm3 毫升/mL 立方分米/dm3 公顷/hm2 【分析】一颗骰子的体积约1立方厘米，故一块橡皮的体积约是8立方厘米； 1毫升大约是20滴水，故矿泉水瓶容积约是550毫升； 1立方分米大约是一个粉笔盒的体积，故一个西瓜的体积约是4立方分米； 1公顷大约是一个标准足球场，故天安门广场的面积约是44公顷； 【详解】一块橡皮的体积约是8立方厘米； 矿泉水瓶容积约是550毫升； 一个西瓜的体积约是4立方分米； 天安门广场的面积约是44公顷； 12．一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升到2.5dm，这个石块的体积是( )。 【答案】45 【分析】石块放入水中且完全浸没，石块的体积等于水上升的体积，水在长方体容器中，所以水上升的体积可以用长方体容器的长乘宽再乘水位上升的高度即可求出石块的体积。 【详解】    （dm³） 一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升到2.5dm，这个石块的体积是（45）。 13．下图是由棱长1厘米的小正方体堆成的立体图形，这个图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，如果表面涂上红色，三个面涂上红色的小正方体有( )个。 【答案】 54 24 7 【分析】（1）该模型的表面积等于棱长是3厘米（3个1厘米的小正方体）的正方体的表面积，根据正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入棱长3厘米，计算即可。 （2）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出一个小正方体的体积，再数出围成这个立体图形的小正方体的数量。用数量乘每个小正方体的体积，即可算出这个立体图形的体积。此模型比棱长是3厘米的正方体少了3个小正方体，所以此模型的小正方体数量为3×3×3－3＝24（个）。 （3）完整的棱长是3厘米的正方体模型中，三个面涂上红色的小正方体是8个角上的8个小正方体，但在此模型中，正面左上角和右下角的两个小正方体都是四个面涂了红色，中间一个小正方体的三个面涂上了红色，所以用8减去这两个四面涂红的小正方体，再加上中间这个三面涂红的小正方体，就可得到三个面是红色的小正方体的个数。 【详解】（1）3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） （2）（3×3×3－3）×（1×1×1） ＝（27－3）×1 ＝24×1 ＝24（立方厘米） （3）8－2＋1 ＝6＋1 ＝7（个） 所以，三个面涂上红色的小正方体有7个。 因此，由棱长1厘米的小正方体堆成的立体图形，这个图形的表面积是54平方厘米，体积是24立方厘米，如果表面涂上红色，三个面涂上红色的小正方体有7个。 14．如图，在一个长5dm、宽3dm、高4dm的容器中装有水和一个被水完全浸没的铁块，水深3dm。将铁块取出后，水面下降了2cm，这个铁块的体积是( )。 【答案】3 【分析】由题意得：不规则铁块的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于长5dm、宽3dm、高为2cm的长方体的体积，根据长方体的体积=长×宽×高计算即可，注意单位的换算。 【详解】 （立方分米） 所以这个铁块的体积是3立方分米。 15．如图，用小棒和橡皮泥小球搭一个棱长总和是84cm的正方体框架。每根小棒的长度是( )cm，正方体的表面积是( )，正方体的体积是( )。（接头处忽略不计）。 【答案】 7 294 343 【分析】根据棱长＝正方体的棱长总和÷12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答即可。 【详解】（厘米） （平方厘米） （立方厘米） 每根小棒的长度是7cm，正方体的表面积是294，正方体的体积是343。 16．如图，把一张正方形硬纸板沿虚线折叠，围成一个底面是正方形的长方体纸箱的侧面，再给纸箱配1个下底面。纸箱的底面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 16 256 【分析】围成的这个长方体纸箱的底面是一个正方形，用16除以4，求出长方体纸箱的底面边长，根据正方形面积＝边长×边长，求出纸箱的底面积，再根据长方体体积＝底面积×高，即可解答。 【详解】16÷4＝4（分米） 4×4＝16（平方分米） 16×16＝256（立方分米） 如图，把一张正方形硬纸板沿虚线折叠，围成一个底面是正方形的长方体纸箱的侧面，再给纸箱配1个下底面。纸箱的底面积是16平方分米，体积是256立方分米。 17．计算下图正方体的表面积和体积。 【答案】表面积54cm2，体积27cm3 【分析】正方体的每条棱长度都相等，长方体的长、宽、高一般不相等，长、宽、高至多有两种棱长度相等，比如宽和高相等。所以题中左边的图是正方体，右边的是长方体。题目中只要求计算正方体的表面积和体积，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”和“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出即可。 【详解】正方体表面积：3×3×6＝54（cm2） 正方体体积：3×3×3＝27（cm3） 18．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）。 【答案】表面积292cm2；体积280cm3 【分析】观察图形可知，立体图形的表面积＝大长方体的表面积＋小长方体的表面积－重合部分的面积，其中重合部分是2个5×4的面；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解； 立体图形的体积＝大长方体的体积＋小长方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 【详解】（10×5＋10×4＋5×4）×2＋（4×5＋4×4＋5×4）×2－5×4×2 ＝（50＋40＋20）×2＋（20＋16＋20）×2－5×4×2 ＝110×2＋56×2－5×4×2 ＝220＋112－40 ＝292（cm2） 10×5×4＋4×5×4 ＝200＋80 ＝280（cm3） 图形的表面积是300cm2，体积是280cm3。 19．计算下图的表面积和体积。 【答案】左图表面积：342dm2，体积：324dm3；右图表面积：216dm2，体积：204dm3 【分析】左图（长方体），长方体的长12dm，宽9dm，高3dm。长方体表面积公式为：S＝2×（ab＋ah＋bh）（a为长，b为宽，h为高），体积公式为：V＝abh。把数据分别代入公式计算即可。 观察右图可知，大正方体的棱长是6dm，大正方体被挖去了一个长3dm，宽2dm，高2dm的小长方体。被挖去之后表面积减少了3个面的面积，但同时又增加了3个面的面积，所以表面积没有变化。体积是用大正方体的体积减小长方体的体积。正方体表面积公式为：S＝6a2（a为棱长），体积公式为：V＝a3。长方体体积公式为：V＝abh（a为长，b为宽，h为高）。把数据分别代入公式计算即可。再用大正方体的体积减去小长方体体积。 【详解】左图，表面积： 2×（12×9＋12×3＋9×3） ＝2×（108＋36＋27） ＝2×171 ＝342（dm2） 体积：12×9×3＝324（dm3） 右图，表面积： 6×62 ＝6×36 ＝216（dm2） 体积： 63－3×2×2 ＝216－3×2×2 ＝216－12 ＝204（dm3） 左图表面积是342dm2，体积是324dm3；右图表面积是216dm2，体积是204dm3。 20．做一个底面为正方形且边长是5dm、高是4dm的长方体玻璃鱼缸，至少需要玻璃多少平方分米？（不计损耗） 【答案】105平方分米 【分析】求至少需要玻璃多少平方分米，就是计算这个长方体鱼缸的表面积（无盖），因为底面是正方形，所以这个鱼缸的前面、后面、左面和右面都相等，求出一个面的面积乘4即可，再根据公式正方形面积＝边长×边长即可求出底面面积，把这几个面的面积相加即为所求。 【详解】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：至少需要玻璃105平方分米。 21．在一个长160cm、宽80cm的长方体水箱里，浸没一块铁块后，水面上升了4cm，水未溢出。铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】 51.2立方分米 【分析】水面上升部分水的体积就等于铁块的体积。长方体体积＝长×宽×高，由此求出水面上升部分的体积，即铁块的体积。 【详解】（立方厘米） 51200立方厘米＝51.2立方分米 答：铁块的体积是51.2立方分米。 22．写出表中的物体是正方体还是长方体，再计算表面积和体积。 名称 长 宽 高 表面积 体积 5dm 4dm 4dm 【答案】长方体；112平方分米（或112dm2）；80立方分米（或80dm3） 【分析】根据表格中的信息，长为5分米，宽为4分米，高为4分米，因此，这个物体是一个长方体，则根据长方体的表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积公式：长方体体积＝长×宽×高计算即可。 【详解】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 ＝（5×4＋5×4＋4×4）×2 ＝（20＋20＋16）×2 ＝56×2 ＝112（平方分米） 长方体体积＝长×宽×高 ＝5×4×4 ＝80（立方分米） 因此，表中的物体是长方体，表面积为112平方分米，体积为80立方分米。 23．文体中心要新建一个长方体游泳池，长50米，宽25米，池深3米，水深2米。 （1）挖这个泳池，大约要挖土多少立方米？ （2）池中被水淹没的面积是多少平方米？ 【答案】（1）3750立方米 （2）1550平方米 【分析】（1）挖土的体积等于长方体游泳池的容积，根据长方体体积公式“体积＝长×宽×高”，这里的高是池深3米，因此用长50米×宽25米×池深3米即可求出挖土体积。 （2）池中被水淹没的面积是水接触到的泳池内表面面积，包括底面和四周的侧面。底面面积为长×宽；四周侧面包括两个长侧面（长×水深×2）和两个宽侧面（宽×水深×2），将这些面积相加即可得到被水淹没的总面积。 【详解】（1）（立方米） 答：大约要挖土3750立方米。 （2） （平方米） 答：池中被水淹没的面积是1550平方米。 24．小军明天要过生日，爸爸为小军订了一个蛋糕，包装如图，打结处长3分米，一共要用彩带多少分米？ 【答案】31分米 【分析】由图可知，把蛋糕盒看作是一个长方体，彩带长度包含2条长方体的长，4条长方体的宽，6条长方体的高和打结的长度。所以彩带长度＝长×2＋宽×4＋高×6＋打结长度，已知长方体的长是4分米，宽是2分米，高是2分米，打结处长3分米，把数据代入计算即可。 【详解】4×2＋2×4＋2×6＋3 ＝8＋8＋12＋3 ＝16＋12＋3 ＝28＋3 ＝31（分米） 答：一共要用彩带31分米。 25．钢城区为支持全民健身活动新建了一个游泳馆，馆中的长方体游泳池长50米，宽21米，深2米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池内壁距池口0.2米处用防水白漆画一周水位线，水位线全长多少米？ （3）如果每次放水都刚好与水位线相平，一次放水需多少立方米？ 【答案】（1）1050平方米 （2）142米 （3）1890立方米 【分析】（1）占地面积是指长方体底面的面积，公式为“长×宽”。已知游泳池长50米，宽21米，因此占地面积为：50×21＝1050（平方米）。 （2）水位线画在“内壁距池口0.2米处”，其长度等同于游泳池上口的周长，即长方体底面的周长，公式为“2×（长＋宽）”，游泳池长50米，宽21米，所以水位线全长为：2×（50＋21）＝142（米）。 （3）因为水位线距池口0.2米，游泳池深2米，那么放水的高度为2－0.2＝1.8米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，因此放水体积为：50×21×1.8＝1890（立方米）。 【详解】（1）50×21＝1050（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是1050平方米。 （2）2×（50＋21） ＝2×71 ＝142（米） 答：水位线全长142米。 （3）2－0.2＝1.8（米） 50×21×1.8＝1890（立方米） 答：一次放水需1890立方米。 26．青玉交龙钮（如图）是清朝乾隆皇帝时期的玉玺，现收藏于故宫博物院。如果要将它装入一个长方体盒子里，这个盒子的容积是多少？（用“四舍五入”法取整数进行列算式和计算） 【答案】1210立方厘米 【分析】先对玉玺的尺寸10.7厘米、10.7厘米、9.5厘米用“四舍五入”法取整数，确定长方体盒子的长为11厘米、宽为11厘米、高为10厘米，再根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个盒子的容积即可。 【详解】10.7≈11，9.5≈10 11×11×10 ＝121×10 ＝1210（立方厘米） 答：这个盒子的容积是1210立方厘米。 27．如图是一个长方体玻璃缸，从里面量长2分米，宽1.6分米，高1.5分米。在这个玻璃缸中注入深1分米的水。 （1）这个长方体玻璃缸最多能装多少升水？ （2）将一个石块完全浸没在水中，水面上升到1.3分米。石块的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）4.8升 （2）0.96立方分米 【分析】（1）求长方体容积用长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据求出这个玻璃缸最多能装多少立方分米的水，1立方分米＝1升，再根据进率转换单位； （2）水面上升部分的体积就是石块的体积，用“底面积×水面上升的高度”求出石块的体积。 【详解】（1）2×1.6×1.5 ＝3.2×1.5 ＝4.8（立方分米） 4.8立方分米＝4.8升 答：这个长方体玻璃缸最多能装4.8升水。 （2）2×1.6×（1.3－1） ＝3.2×0.3 ＝0.96（立方分米） 答：石块的体积是0.96立方分米。 28．学校为种植角制作长方体花盆（无盖），这个花盆的长是10以内最大的合数，宽是最小的合数，高是质数，且体积为180立方分米。给花盆四周的外部（不含底面）刷防水漆，每平方分米用漆0.3千克，一共需要多少千克的防水漆？ 【答案】39千克 【分析】除了1和自身外还有其他因数的数是合数，10以内最大的合数是9，即长为9分米；最小的合数是4，即宽为4分米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，体积为180立方分米，所以高为：180÷9÷4＝5分米，5是质数，符合条件。 刷防水漆的面积为四周外部，不含底面，花盆为“无盖长方体”，刷漆部分是4个侧面的面积（前、后、左、右），公式为：侧面积＝2×（长×高＋宽×高），把长9分米，宽4分米，高5分米代入计算后，再与0.3千克相乘即可。 【详解】10以内最大的合数是9，最小的合数是4。 180÷9÷4＝5分米 2×（9×5＋4×5） ＝2×（45＋20） ＝2×65 ＝130（平方分米） 0.3×130＝39（千克） 答：一共需要39千克的防水漆。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 长方体和正方体 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 棱长总和的本质深化 课本核心：长方体棱长和 = 4×(长+宽+高)；正方体棱长和 = 12×棱长。 奥数拓展： ① 棱长和固定时，正方体的体积与表面积最大（长方体越接近正方体，体积越大）。 ② 切割/拼接立体图形，棱长总和会增加/减少对应棱的长度。 ③ 已知棱长和，求长、宽、高的整数组合，优先凑最接近正方体的数值。 2. 表面积的奥数应用（重点） 课本核心：长方体表面积 = 2×(长×宽+长×高+宽×高)；正方体表面积 = 6×棱长²。 奥数拓展： ① 切割：切1次增加2个相同面，切n刀增加2n个面。 ② 拼接：2个立体拼合减少2个重合面，多个拼合减少2×(个数-1)个面。 ③ 特殊场景：无盖容器少1个底面；通风管/烟囱少2个底面。 ④ 挖洞：在面上挖小正方体，表面积增加4个侧面；穿透挖洞需算增减差。 3. 体积与容积的奥数拓展 课本核心：长方体体积=长×宽×高；正方体体积=棱长³；容积=内部体积。 奥数拓展： ① 等积变形：形状改变，体积/水的体积保持不变。 ② 浸没问题：完全浸没物体体积 = 容器底面积×水面上升高度。 ③ 空心立体：体积 = 外体积 - 内空心体积。 ④ 堆积体积：数清层数，逐层累加计算。 4. 正方体涂色问题（奥数核心） 将大正方体棱长n等分切成小正方体： ① 三面涂色：8个（顶点位置）。 ② 两面涂色：12×(n-2)个（棱中间）。 ③ 一面涂色：6×(n-2)²个（面中心）。 ④ 无色：(n-2)³个（内部）。 二、奥数易错点提醒 单位混淆：棱长(cm/dm/m)、面积(cm²/dm²/m²)、体积(cm³/dm³/m³)单位混用。 切割/拼接触面数错：切1次只算加1个面，拼合漏算减少的面。 特殊表面积漏算：无盖、通风管忘记减去对应面。 涂色公式记错：把棱长长度当作分段数n，公式代入错误。 浸没问题误判：未判断是否完全浸没，直接用上升高度计算。 挖洞表面积算错：只算增加不算减少，或反之。 三、奥数解题口诀 棱长总和四组和，正方十二乘棱长； 和定最正体积大，切割拼接棱变样。 表面积算六个面，无盖通风少一面； 切一次加两个面，拼合重合减两面。 体积长乘宽乘高，棱长立方正方妙； 等积变形体积定，浸没排水算大小。 三面涂色八个顶，两面十二棱中停； 一面六面中心行，无色藏在最中心。 考点讲解 考点1：棱长总和与最值问题（最常考） 核心思路：棱长和固定→长+宽+高固定→越接近正方体，体积/表面积越大。 典型例题：一个长方体棱长总和是72cm，长、宽、高都是整数，求最大体积。 解题步骤：长+宽+高=72÷4=18cm；18÷3=6cm（正方体）；体积=6×6×6=216cm³。 考点2：表面积切割/拼接/挖洞（核心考点） 核心思路：切割数刀→算增加面；拼合个数→算减少面；挖洞→算净增面。 典型例题：把棱长4cm正方体切3刀（长、宽、高各1刀），表面积增加多少？ 解题步骤：切3刀加6个面；4×4×6=96cm²。 考点3：正方体涂色问题（奥数难点） 核心思路：先确定棱长分段数n，直接代入涂色公式计算。 典型例题：棱长6cm正方体切成1cm小正方体，两面涂色有多少个？ 解题步骤：n=6；12×(6-2)=48个。 考点4：体积等积变形与浸没问题（奥数提升） 核心思路：水体积不变；物体体积=底面积×水面变化高度。 典型例题：棱长8cm正方体铁块放入长20cm、宽16cm长方体水箱，水面上升多少？ 解题步骤：铁块体积=8×8×8=512cm³；上升高度=512÷(20×16)=1.6cm。 考点5：展开图与折叠计算（易错考点） 核心思路：11种正方体展开图，相对面不相邻；用展开图求棱长、表面积。 典型例题：正方体展开图相邻边和为10cm，求表面积。 解题步骤：棱长=10÷2=5cm；表面积=6×5×5=150cm²。 真题训练 1．把一个长方体面团捏成一个正方体，体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 2．在烘焙创意大赛中，李华用掉了一盒牛奶，大约（    ）。 A．10毫升 B．250毫升 C．250升 D．30升 3．一个棱长12厘米的正方体，表面全部涂上红色，把它切割成棱长3厘米的小正方体。其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．12 B．24 C．27 D．64 4．下面四个图形中，（    ）是下图正方体的展开图。 A． B． C． D． 5．现有四个长8cm、宽7cm、高2cm的礼盒，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 6．笑笑在学习长方体体积时联想到了长度和面积的测量，便和小组的同学讨论了起来。你认为在测量长度、面积和体积时，相同的是（    ）。 A．都是用长×宽×高 B．都是用长＋宽＋高 C．都是用边长×边长 D．都是数出相应测量单位的个数。 7．如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的体积就扩大到原来的（    ）倍，它的表面积扩大到原来的（    ）倍。 A．8，4 B．4，3 C．2，4 D．3，8 8．有两个长方体泡沫快递盒，从外面量长宽高都相等，甲泡沫快递盒厚，乙泡沫快递盒厚。（    ）泡沫快递盒的容积大。 A．甲 B．乙 C．一样大 D．无法确定 9．将一个正方体的棱长从3cm增加到6cm，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 10．把一个棱长为4厘米的正方体平均分成两个长方体，这时的表面积( )了（选填“增加”或“减少”）( )平方厘米。 11．填上合适的计量单位。 一块橡皮的体积约是8( )        矿泉水瓶容积约是550( ) 一个西瓜的体积约是4( )        天安门广场的面积约是44( ) 12．一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升到2.5dm，这个石块的体积是( )。 13．下图是由棱长1厘米的小正方体堆成的立体图形，这个图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，如果表面涂上红色，三个面涂上红色的小正方体有( )个。 14．如图，在一个长5dm、宽3dm、高4dm的容器中装有水和一个被水完全浸没的铁块，水深3dm。将铁块取出后，水面下降了2cm，这个铁块的体积是( )。 15．如图，用小棒和橡皮泥小球搭一个棱长总和是84cm的正方体框架。每根小棒的长度是( )cm，正方体的表面积是( )，正方体的体积是( )。（接头处忽略不计）。 16．如图，把一张正方形硬纸板沿虚线折叠，围成一个底面是正方形的长方体纸箱的侧面，再给纸箱配1个下底面。纸箱的底面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 17．计算下图正方体的表面积和体积。 18．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）。 19．计算下图的表面积和体积。 20．做一个底面为正方形且边长是5dm、高是4dm的长方体玻璃鱼缸，至少需要玻璃多少平方分米？（不计损耗） 21．在一个长160cm、宽80cm的长方体水箱里，浸没一块铁块后，水面上升了4cm，水未溢出。铁块的体积是多少立方分米？ 22．写出表中的物体是正方体还是长方体，再计算表面积和体积。 名称 长 宽 高 表面积 体积 5dm 4dm 4dm 23．文体中心要新建一个长方体游泳池，长50米，宽25米，池深3米，水深2米。 （1）挖这个泳池，大约要挖土多少立方米？ （2）池中被水淹没的面积是多少平方米？ 24．小军明天要过生日，爸爸为小军订了一个蛋糕，包装如图，打结处长3分米，一共要用彩带多少分米？ 25．钢城区为支持全民健身活动新建了一个游泳馆，馆中的长方体游泳池长50米，宽21米，深2米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池内壁距池口0.2米处用防水白漆画一周水位线，水位线全长多少米？ （3）如果每次放水都刚好与水位线相平，一次放水需多少立方米？ 26．青玉交龙钮（如图）是清朝乾隆皇帝时期的玉玺，现收藏于故宫博物院。如果要将它装入一个长方体盒子里，这个盒子的容积是多少？（用“四舍五入”法取整数进行列算式和计算） 27．如图是一个长方体玻璃缸，从里面量长2分米，宽1.6分米，高1.5分米。在这个玻璃缸中注入深1分米的水。 （1）这个长方体玻璃缸最多能装多少升水？ （2）将一个石块完全浸没在水中，水面上升到1.3分米。石块的体积是多少立方分米？ 28．学校为种植角制作长方体花盆（无盖），这个花盆的长是10以内最大的合数，宽是最小的合数，高是质数，且体积为180立方分米。给花盆四周的外部（不含底面）刷防水漆，每平方分米用漆0.3千克，一共需要多少千克的防水漆？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $