专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（“5”字模型）（几何模型讲义）数学新教材沪科版七年级下册

专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（“5”字模型） 在初中几何中，平行线的角度关系是核心考点，而“拐点模型”是其中最具代表性的一类工具型模型。它源于两条平行线被折线所截的图形，因拐点处的折线形态不同，衍生出M型、铅笔头、牛角、羊角（骨折）等多种具体模型。这类模型不仅是期中、期末几何压轴题的高频考点，更能帮我们建立“复杂图形拆解为基本模型”的几何思维。本专题将系统梳理拐点模型的核心规律、证明方法与应用技巧，带你从“会算”到“会思”，彻底掌握这一解题利器。本专题就平行线中的拐点模型——蛇形模型（“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便精准掌握。 拐点（平行线）模型：在两条平行线被一条折线所截的图形中，折线的转折点即为“拐点”，由此构成的角度关系模型统称为平行线拐点模型。 通用解法：过拐点作已知平行线的平行线（辅助线用虚线绘制，标注清晰），构造“三线八角”基本图形（同位角、内错角、同旁内角）； 基本思路：通过作平行线，将复杂的折线角拆分为多个内错角，利用“两直线平行，内错角相等”的性质，实现角度的“差量拆分”与“等角转化”，尤其适配羊角模型的同侧弯折特征，快速推导角度差关系。 模型解读 2 模型证明 2 模型运用 3 习题练模型 5 在前面的学习中，我们已系统掌握了M 型（猪蹄型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型四类基础拐点模型，它们均以单拐点或双拐点为核心，角度关系相对简洁。而当平行线外侧或之间出现多个拐点，且折线连续交替弯折，形成 “蛇形” 走势时，便构成了蛇形模型（“5”字模型）。 蛇形模型并非独立的新模型，而是前四类模型的综合应用，核心逻辑是 “多拐点依次递推、化繁为简”—— 通过过每个拐点作平行线，将复杂的蛇形折线拆解为多个基础拐点模型（M 型、羊角型等），再结合平行线性质实现角度递推。本讲将从模型来源、严谨证明到分层应用，系统拆解蛇形模型，帮助你打通多拐点几何题的解题思路，完善拐点模型知识体系，轻松应对压轴难题。 图1： 条件：如图1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝， 结论：. 证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠BCF＝∠B， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠FCD+∠D＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°， ∴∠BCD+∠D＝∠B+180°， ∴. 图2： 条件：如图2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝， 结论：. 证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠B+∠BCF＝180°， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠FCD＝∠D，（两直线平行，内错角相等） ∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°， ∴∠BCD+∠D＝∠B+180°， ∴. 例1如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 例2如图，已知直线AB∥DE，则∠B，∠C，∠D之间的关系是（　　） A．∠C﹣∠B＝∠D B．∠C+∠B+∠D＝360° C．∠C+∠B﹣∠D＝180° D．∠C+∠D﹣∠B＝180° 例3如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 ． 例4如图，已知AB∥CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M＝3∠N，若∠B＝45°，∠C＝20°，则∠M的度数为 ． 例5综合探究 （1）【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC，则∠B＝ ，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．∴∠B+∠BAC+∠C＝ ； （2）【方法运用】如图②所示，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数． （3）【拓展探究】如图③所示，已知AB∥CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH∥AB，若∠BFC＝36°，求∠BEC的度数． 1．如图，AB∥CD，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝180° C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝360° 2．如图，已知AB∥CD，∠B＝100°，∠E＝30°，则∠C度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 3．如图，已知AB∥CD，则（　　） A．∠α+∠β+∠γ＝360° B．∠α﹣∠β+∠γ＝360° C．∠α+∠β﹣∠γ＝180° D．∠α+∠β+∠y＝180° 4．如图，在△BCD中，过点B作AB∥CD，点P是△BCD内一点，连接PC，过点P作PN∥CD，交BD于点N，已知∠ABC＝55°，∠CPN＝150°，则∠BCP的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 5．悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座AO⊥OM于点O，CD∥OM，则∠A，∠B，∠C的数量关系是（　　） A．∠A+∠B+∠C＝360° B．∠A+∠C﹣∠B＝270° C．∠C﹣（∠A+∠B）＝30° D．∠C﹣∠A﹣∠B＝90° 6．如图，AB∥CD，∠BOC＝110°，BE、CF分别平分∠ABO、∠OCD，则∠2﹣∠1＝ ． 7．如图，运河堤公路沿高邮湖边修建时，需要拐弯绕道而过，经过三次拐弯，这时的公路DE恰好与第一次拐弯前的公路AB平行，若∠3﹣∠1＝30°，则∠2的度数为 °． 8．书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 ． 9．如图所示，AB∥CD，∠A＝128°，∠D＝32°．则∠AED的度数为 ． 10．如图，直线AB，CD相交于点O，OM是∠AOD内部的一条射线，E，G是OM上的点，且ED⊥CD于点D，EH∥AB，GF∥DE交EH于点F．若∠BOC＝100°，则∠GFH的度数是 ． 11．某次几何课上，黄老师借助字母M，命制了如下几何题目： （1）如图1，已知AB∥OC，∠A＝∠C，证明：AO∥CD．请你将推理过程补充完整； （2）如图2，若AE∥CF，AB∥CD，证明：∠A＝∠C． （1）证明：∵AB∥OC（已知）， ∴① （两直线平行，内错角相等） ∵∠A＝∠C（已知）， ∴② （③ ） ∴AO∥CD（④ ）． （2）模仿（1）题，写出推理过程． 12．材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，AB∥CD，EF⊥AB，交AB于点Q，FG交CD于点P．请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点F处作MN∥CD，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作QN∥FG，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，AB∥CD，反向延长∠ABP的平分线BE，交直线CD于点F，点H在直线CD上，连接PH，若∠EFC＝50°，∠PHC＝70°，求∠P的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，AB∥CD，DN平分∠CDP，且AP⊥PD，∠PAB+2∠PAN＝180°，请直接写出∠DNA的度数． 13．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：如图①∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）如图②，求∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系，并说明理由． （3）如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，求∠BAE的度数． 14．已知∠ABE＝α，AB∥CD，BE⊥CE． （1）如图1，求∠ECD的度数；（用含α的代数式表示） （2）如图2，∠ECD的角平分线与∠ABE的角平分线BF的反向延长线交于点G，求∠BGC的度数； （3）在（2）的条件下，点H为射线CD上一动点，HK∥CE交直线FG于点K，若α＝50°，∠GHK＝30°，直接写出∠CGH的度数． 15．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：如图①∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）如图②，求∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系，并说明理由． （3）如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，求∠BAE的度数． 16．已知如图1，线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC， （1）请探索∠APC与∠A、∠C之间的关系，并说明理由． （2）若点P在图2的位置时，请探索∠APC与∠A、∠C之间的关系，并说明理由． （3）若点P的位置如图3和图4，请分别写出图3和图4中∠APC与∠A、∠C之间的关系． 17．【感知探究】如图①，已知，AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上．求证：∠MEN＝∠BME+∠DNE． 【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知AB∥DE，∠BAC＝120°，∠D＝80°，则∠ACD＝ °． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（“5”字模型） 在初中几何中，平行线的角度关系是核心考点，而“拐点模型”是其中最具代表性的一类工具型模型。它源于两条平行线被折线所截的图形，因拐点处的折线形态不同，衍生出M型、铅笔头、牛角、羊角（骨折）等多种具体模型。这类模型不仅是期中、期末几何压轴题的高频考点，更能帮我们建立“复杂图形拆解为基本模型”的几何思维。本专题将系统梳理拐点模型的核心规律、证明方法与应用技巧，带你从“会算”到“会思”，彻底掌握这一解题利器。本专题就平行线中的拐点模型——蛇形模型（“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便精准掌握。 拐点（平行线）模型：在两条平行线被一条折线所截的图形中，折线的转折点即为“拐点”，由此构成的角度关系模型统称为平行线拐点模型。 通用解法：过拐点作已知平行线的平行线（辅助线用虚线绘制，标注清晰），构造“三线八角”基本图形（同位角、内错角、同旁内角）； 基本思路：通过作平行线，将复杂的折线角拆分为多个内错角，利用“两直线平行，内错角相等”的性质，实现角度的“差量拆分”与“等角转化”，尤其适配羊角模型的同侧弯折特征，快速推导角度差关系。 模型解读 2 模型证明 2 模型运用 3 习题练模型 9 在前面的学习中，我们已系统掌握了M 型（猪蹄型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型四类基础拐点模型，它们均以单拐点或双拐点为核心，角度关系相对简洁。而当平行线外侧或之间出现多个拐点，且折线连续交替弯折，形成 “蛇形” 走势时，便构成了蛇形模型（“5”字模型）。 蛇形模型并非独立的新模型，而是前四类模型的综合应用，核心逻辑是 “多拐点依次递推、化繁为简”—— 通过过每个拐点作平行线，将复杂的蛇形折线拆解为多个基础拐点模型（M 型、羊角型等），再结合平行线性质实现角度递推。本讲将从模型来源、严谨证明到分层应用，系统拆解蛇形模型，帮助你打通多拐点几何题的解题思路，完善拐点模型知识体系，轻松应对压轴难题。 图1： 条件：如图1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝， 结论：. 证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠BCF＝∠B， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠FCD+∠D＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°， ∴∠BCD+∠D＝∠B+180°， ∴. 图2： 条件：如图2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝， 结论：. 证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠B+∠BCF＝180°， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠FCD＝∠D，（两直线平行，内错角相等） ∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°， ∴∠BCD+∠D＝∠B+180°， ∴. 例1如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 【答案】C 【分析】作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：作EF∥AB． ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴CD∥EF， ∴∠BAE+∠FEA＝180°，∠C＝∠FEC＝γ， ∴α+（β﹣γ）＝180°， 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 例2如图，已知直线AB∥DE，则∠B，∠C，∠D之间的关系是（　　） A．∠C﹣∠B＝∠D B．∠C+∠B+∠D＝360° C．∠C+∠B﹣∠D＝180° D．∠C+∠D﹣∠B＝180° 【答案】D 【分析】过C作CF∥AB，得到CF∥DF，推出∠BCF＝∠B，∠D+∠DCF＝180°，得到∠DCF＝180°﹣∠D，于是∠BCD+∠D﹣∠B＝180°． 【解答】解：过C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DF， ∴∠BCF＝∠B，∠D+∠DCF＝180°， ∴∠DCF＝180°﹣∠D， ∵∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝∠B+∠180°﹣∠D， ∴∠BCD+∠D﹣∠B＝180°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BCF＝∠B，∠D+∠DCF＝180°． 例3如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 ． 【答案】210°． 【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解． 【解答】解：过∠2顶点作直线l∥支撑平台， ∴l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°， ∴∠4+∠5+∠3＝30°+180°＝210°， ∵∠4+∠5＝∠2， ∴∠2+∠3＝210°． 故答案为：210°． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 例4如图，已知AB∥CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M＝3∠N，若∠B＝45°，∠C＝20°，则∠M的度数为 ． 【答案】75． 【分析】过点M作ME∥AB，过点N作NF∥CD，根据猪脚模型进行计算，即可解答． 【解答】解：过点M作ME∥AB，过点N作NF∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥ME∥FN∥CD， 设∠EMN＝x， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BME＝45°， ∵ME∥FN， ∴∠EMN＝∠MNF＝x， ∵FN∥CD， ∴∠DCN＝∠FNC＝20°， ∵2∠BMN＝3∠MNC， ∴2（45°+x）＝3（x+20°）， 解得：x＝30， ∴∠EMN＝30°， ∴∠BMN＝∠BME+∠EMN＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 例5综合探究 （1）【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC，则∠B＝ ，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．∴∠B+∠BAC+∠C＝ ； （2）【方法运用】如图②所示，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数． （3）【拓展探究】如图③所示，已知AB∥CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH∥AB，若∠BFC＝36°，求∠BEC的度数． 【答案】（1）∠EAB，180°； （2）100°； （3）108°． 【分析】（1）过点A作ED∥BC，如图①，根据平行线的性质得到∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，然后利用平角的定义得到∠B+∠BAC+∠C＝180°； （2）过点E作ME∥AB，如图②，利用平行线的性质得到ME∥AB，则∠B+∠BEM＝180°，∠MEC＝∠C，然后把两式相加可得∠B﹣∠C＝100°； （3）过E点作EM∥AB，根据平行线的性质得到AB∥ME∥CD∥FH，根据角平分线的定义得到∠ABF＝∠EBF，∠ECG＝∠DCG，设∠ABF＝∠EBF＝α，∠ECG＝∠DCG＝β，结合平行线的性质得到α﹣β＝36°，利用∠BEC＝∠BEM+∠MEC代入求解即可． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°； 故答案为：∠EAB，180°； （2）过点E作ME∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴ME∥CD， ∴∠B+∠BEM＝180°，∠MEC＝∠C， ∴∠B+∠BEM+∠MEC＝180°+∠C ∴∠B﹣∠C＝180°﹣∠BEC＝180°﹣80°＝100°； （3）过E点作EM∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴AB∥ME∥CD∥FH， ∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD， ∴∠ABF＝∠EBF，∠ECG＝∠DCG， 设∠ECG＝∠DCG＝β，∠ABF＝∠EBF＝α， ∵AB∥FH，CD∥FH， ∴∠CFH＝∠GCD＝β，∠BFH＝∠ABF＝α， ∵∠BFH﹣∠CFH＝∠BFC， ∴α﹣β＝36°， ∵AB∥ME∥CD， ∴∠MEC＝∠ECD＝2β，∠BEM＝180°﹣∠ABE＝180°﹣2α， ∵∠BEC＝∠BEM+∠MEC ＝180°﹣2α+2β＝180°﹣2（α﹣β）＝180°﹣2×36°＝108°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． 1．如图，AB∥CD，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝180° C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝360° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：过点E作EF∥AB，如图： ∵EF∥AB， ∴α+∠AEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED＝γ， ∵β＝∠AEF+∠FED＝180°﹣α+γ， ∴α+β﹣γ＝180°， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质． 2．如图，已知AB∥CD，∠B＝100°，∠E＝30°，则∠C度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】A 【分析】过E作EF∥CD，得到EF∥AB，推出∠C＝∠CEF，∠B+∠BEF＝180°，求出∠BEF＝80°，得到∠CEF＝∠BEF+∠BEC＝110°，即可得到∠C的度数． 【解答】解：过E作EF∥CD， ∴∠C＝∠CEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∵∠B＝100°， ∴∠BEF＝80°， ∴∠CEF＝∠BEF+∠BEC＝80°+30°＝110°， ∴∠C＝110°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 3．如图，已知AB∥CD，则（　　） A．∠α+∠β+∠γ＝360° B．∠α﹣∠β+∠γ＝360° C．∠α+∠β﹣∠γ＝180° D．∠α+∠β+∠y＝180° 【答案】C 【分析】过E作EF∥AB，得到EF∥CD，推出∠α+∠AEF＝180°，∠γ＝∠DEF，于是得到∠α+∠β﹣∠γ＝180°． 【解答】解：过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠α+∠AEF＝180°，∠γ＝∠DEF， ∴β＝180°﹣α+γ， ∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠α+∠AEF＝180°，∠γ＝∠DEF． 4．如图，在△BCD中，过点B作AB∥CD，点P是△BCD内一点，连接PC，过点P作PN∥CD，交BD于点N，已知∠ABC＝55°，∠CPN＝150°，则∠BCP的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】根据内错角相等可得∠BCD＝∠ABC＝55°，同旁内角互补可得∠PCD＝180°﹣∠CPN＝180°﹣150°＝30°，再根据角的和差可得∠BCP＝∠BCD﹣∠PCD＝55°﹣30°＝25°． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝55°， ∴∠BCD＝∠ABC＝55°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠CPN＝150°，PN∥CD， ∴∠PCD＝180°﹣∠CPN＝180°﹣150°＝30°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠BCP＝∠BCD﹣∠PCD＝55°﹣30°＝25°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座AO⊥OM于点O，CD∥OM，则∠A，∠B，∠C的数量关系是（　　） A．∠A+∠B+∠C＝360° B．∠A+∠C﹣∠B＝270° C．∠C﹣（∠A+∠B）＝30° D．∠C﹣∠A﹣∠B＝90° 【答案】B 【分析】延长OA交BC于点E，延长DC交OE于点F，根据平行线的性质可得∠EFC＝∠EOM＝90°，再根据三角形的外角性质可得∠BAO＝∠B+∠BEA，∠BCD＝∠FEC+∠EFC，由此等量代换即可求得答案． 【解答】解：如图，延长OA交BC于点E，延长DC交OE于点F， ∵AO⊥OM， ∴∠EOM＝90°， ∵CD∥OM， ∴∠EFC＝∠EOM＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠BAO＝∠B+∠BEA， ∴∠BEA＝∠BAO﹣∠B， ∴∠FEC＝180°﹣∠BEA＝180°﹣（∠BAO﹣∠B）， 又∵∠BCD＝∠FEC+∠EFC， ∴∠BCD＝180°﹣（∠BAO﹣∠B）+90°， ∴∠BCD+∠BAO﹣∠B＝180°+90°＝270°， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握相关图形的性质并作出正确的辅助线是解决本题的关键． 6．如图，AB∥CD，∠BOC＝110°，BE、CF分别平分∠ABO、∠OCD，则∠2﹣∠1＝ ． 【答案】35°． 【分析】过点O作OG∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义得到∠3＝110°﹣2∠1，2∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣（110°﹣2∠1）＝70°+2∠1，即可求解． 【解答】解：过点O作OG∥AB， ∴∠5＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD， ∴AB∥OG∥CD， ∵BE平分∠ABO， ∴∠4＝∠ABO＝2∠1（角平分线的定义）， ∵∠BOC＝110°，即∠4+∠5＝2∠1+∠3＝110°， ∴∠3＝110°﹣2∠1， ∵CF平分∠OCD， ∴2∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣（110°﹣2∠1）＝70°+2∠1（角平分线的定义）， ∴2∠2﹣2∠1＝70°， ∴∠2﹣∠1＝35°． 故答案为：35°． 【点评】本题考查了平行线的性质，能熟练的运用平行线的性质是解此题的关键． 7．如图，运河堤公路沿高邮湖边修建时，需要拐弯绕道而过，经过三次拐弯，这时的公路DE恰好与第一次拐弯前的公路AB平行，若∠3﹣∠1＝30°，则∠2的度数为 °． 【答案】150． 【分析】过点C作CF∥AB，可得∠BCF＝∠1，CF∥DE，得到∠DCF+∠3＝180°，即得∠2﹣∠1+∠3＝180°，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解答】解：如图，过点C作CF∥AB， ∴∠BCF＝∠1（两直线平行，内错角相等）， ∵CF∥AB，AB∥DE， ∴CF∥DE（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠DCF+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 即∠2﹣∠1+∠3＝180°， ∵∠3﹣∠1＝30°， ∴∠2+30°＝180°， ∴∠2＝150°， 故答案为：150． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 8．书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 ． 【答案】112°． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：分别过点D和点E作AB的平行线， ∵DH∥AB，EK∥AB，AB∥MN， ∴EK∥MN，DH∥EK， ∴∠KEF＝∠EFM，∠HDE＝∠DEK． ∵EF⊥MN， ∴∠KEF＝∠EFM＝90°． ∵∠DEF＝126°， ∴∠HDE＝∠DEK＝126°﹣90°＝36°． ∵DH∥AB， ∴∠BCD+∠CDH＝180°． ∵∠BCD＝104°， ∴∠CDH＝180°﹣104°＝76°， ∴∠CDE＝∠CDH+∠HDE＝76°+36°＝112°． 故答案为：112°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 9．如图所示，AB∥CD，∠A＝128°，∠D＝32°．则∠AED的度数为 ． 【答案】84°． 【分析】过点E作EF∥AB，可得EF∥CD∥AB，从而得到∠AEF＝180°﹣128°＝52°，∠FED＝32°，即可求解． 【解答】解：过点E作EF∥AB，如图： ∵AB∥CD， ∴EF∥CD∥AB， ∴∠A+∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∠FED＝∠D（两直线平行，内错角相等）， ∵∠A＝128°，∠D＝32°， ∴∠AEF＝180°﹣128°＝52°，∠FED＝32°， ∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝52°+32°＝84°． 故答案为：84°． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 10．如图，直线AB，CD相交于点O，OM是∠AOD内部的一条射线，E，G是OM上的点，且ED⊥CD于点D，EH∥AB，GF∥DE交EH于点F．若∠BOC＝100°，则∠GFH的度数是 ． 【答案】170°． 【分析】过点D作DJ∥AB，可得求得∠JDE＝∠DEH＝10°，从而推出∠EFG＝10°，即可解答． 【解答】解：如图，过点D作DJ∥AB， ∵∠BOC＝100°， ∠∠AOD＝∠BOC＝100°， ∵EH∥AB， ∴EH∥DJ∥AB， ∴∠ODJ＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°， ∵ED⊥CD， ∴∠JDE＝10°， ∴∠DEH＝∠JDE＝10°， ∵GF∥DE， ∴∠EFG＝∠DEF＝10°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠GFH＝180°﹣∠EFG＝180°﹣10°＝170°， 故答案为：170°． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，垂线，关键是相关性质的熟练掌握． 11．某次几何课上，黄老师借助字母M，命制了如下几何题目： （1）如图1，已知AB∥OC，∠A＝∠C，证明：AO∥CD．请你将推理过程补充完整； （2）如图2，若AE∥CF，AB∥CD，证明：∠A＝∠C． （1）证明：∵AB∥OC（已知）， ∴① （两直线平行，内错角相等） ∵∠A＝∠C（已知）， ∴② （③ ） ∴AO∥CD（④ ）． （2）模仿（1）题，写出推理过程． 【答案】（1）∠A＝∠O；∠O＝∠C；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）延长AB，CF相交于点M， ∵AE∥CF，AB∥CD， ∴∠A＝∠M，∠C＝∠M， ∴∠A＝∠C． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质，将所给证明过程补充完整即可； （2）根据平行线的判定与性质进行证明即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥OC（已知）， ∴∠A＝∠O（两直线平行，内错角相等）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠O＝∠C（等量代换）， ∴AO∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∠A＝∠O；∠O＝∠C；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）延长AB，CF相交于点M， ∵AE∥CF，AB∥CD， ∴∠A＝∠M，∠C＝∠M， ∴∠A＝∠C． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 12．材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，AB∥CD，EF⊥AB，交AB于点Q，FG交CD于点P．请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点F处作MN∥CD，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作QN∥FG，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，AB∥CD，反向延长∠ABP的平分线BE，交直线CD于点F，点H在直线CD上，连接PH，若∠EFC＝50°，∠PHC＝70°，求∠P的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，AB∥CD，DN平分∠CDP，且AP⊥PD，∠PAB+2∠PAN＝180°，请直接写出∠DNA的度数． 【答案】（1）∠EFG＝90°+∠DPG， 选择明明同学，过程如下： 在点F处作MN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠DPG＝∠NFG， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥MN， ∴∠EFN＝90°， ∴∠EFG＝∠EFN+∠NFG＝90°+∠DPG， 即∠EFG＝90°+∠DPG； 选择欣欣同学，过程如下： 过点Q作QN∥FG，交CD于点M， ∴∠EFG＝∠EQN，∠DPG＝∠DMN， ∵AB∥CD， ∴∠DMN＝∠BQN， ∵EF⊥AB， ∴∠EQB＝90°， ∴∠EFG＝∠EQN＝90°+∠BQN＝90°+∠DPG， 即∠EFG＝90°+∠DPG； （2）∠P 的度数为30°； （3）45°． 【分析】（1）根据题意，结合图形，作平行线，利用平行线的性质，得到∠EFG＝90°+∠DPG； （2）根据题意，结合图形，过点P作 PM∥CD，结合角平分线，得到结果； （3）根据题意，过P点作PM∥AB，利用三角形内角和定理，得到∠DNA+∠NDP＝∠DPA+∠PAN，结合平行线性质和角平分线，得到结果． 【解答】解：（1）∠EFG＝90°+∠DPG， 选择明明同学，过程如下： 在点F处作MN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠DPG＝∠NFG， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥MN， ∴∠EFN＝90°， ∴∠EFG＝∠EFN+∠NFG＝90°+∠DPG， 即∠EFG＝90°+∠DPG； 选择欣欣同学，过程如下： 过点Q作QN∥FG，交CD于点M， ∴∠EFG＝∠EQN，∠DPG＝∠DMN， ∵AB∥CD， ∴∠DMN＝∠BQN， ∵EF⊥AB， ∴∠EQB＝90°， ∴∠EFG＝∠EQN＝90°+∠BQN＝90°+∠DPG， 即∠EFG＝90°+∠DPG； （2）如图，过点P作 PM∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥PM∥CD， ∴∠MPH＝180°﹣∠PHC＝180°﹣70°＝110°，∠ABE＝∠EFC＝50°， ∵BE平分∠ABP， ∴∠ABP＝2∠ABE＝2×50°＝100°， ∴∠MPB＝180°﹣∠ABP＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BPH＝∠MPH﹣∠MPB＝110°﹣80°＝30°， 即∠P 的度数为30°； （3）如图⑤，过P点作PM∥AB，则PM∥AB∥CD， ∵∠NOD＝∠POA， ∴∠DNA+∠NDP＝∠DPA+∠PAN， ∵DN平分∠CDP， ∴∠NDP∠CDP， ∵CD∥PM， ∴∠CDP＝∠DPM， ∴∠NDP∠DPM， ∵AP⊥PD， ∴∠DPA＝90°， ∴∠DNA∠DPM＝90°+∠PAN， ∴∠DNA（∠DPA+∠APM）＝90°+∠PAN， ∴∠DNA（90°+∠APM）＝90°+∠PAN， ∴∠DNA+45°∠APM＝90°+∠PAN， ∵PM∥AB， ∴∠APM＝180°﹣∠PAB， ∴∠DNA+45°（180°﹣∠PAB）＝90°+∠PAN， 即∠DNA∠PAB+∠PAN﹣45°， ∵∠PAB+2∠PAN＝180°， ∴∠PAB+∠PAN＝90°， ∴∠DNA＝90°﹣45°＝45°， 即∠DNA＝45°． 【点评】本题考查了平行线的性质应用，角度的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 13．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：如图①∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）如图②，求∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系，并说明理由． （3）如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，求∠BAE的度数． 【答案】（1）∠BPD＝∠ABP+∠CDP， ∵AB∥MN∥CD， ∴∠DPN＝∠CDP，∠BPN＝∠ABP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （2）∠AMP＝∠P+∠CNP， ∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP； （3）145°． 【分析】（1）由平行线的性质推出∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，得到∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP，即可解决问题； （2）由平行线的性质推出∠MKP＝∠CNP，由三角形外角的性质即可得到∠AMP＝∠P+∠CNP； （3）延长EA交BC于点L，由平行线的性质推出∠ALC＝∠C＝60°，求出∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，由三角形外角的性质得到∠BAE＝∠B+∠ALB＝145°． 【解答】解：（1）∵AB∥MN∥CD， ∴∠DPN＝∠CDP，∠BPN＝∠ABP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （2）∠AMP＝∠P+∠CNP，AB与NP相交于点K， 理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP； （3）如图③，延长EA交BC于点L， ∵AE∥CD， ∴∠ALC＝∠C＝60°， ∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°， ∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°． 【点评】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，熟知平行线的性质与三角形外角的性质是解题的关键． 14．已知∠ABE＝α，AB∥CD，BE⊥CE． （1）如图1，求∠ECD的度数；（用含α的代数式表示） （2）如图2，∠ECD的角平分线与∠ABE的角平分线BF的反向延长线交于点G，求∠BGC的度数； （3）在（2）的条件下，点H为射线CD上一动点，HK∥CE交直线FG于点K，若α＝50°，∠GHK＝30°，直接写出∠CGH的度数． 【答案】（1）90°+α； （2）45°； （3）40°或100°． 【分析】（1）过点E作EH∥AB，点H在点E的右侧，则AB∥EH∥CD，由此得∠BEH＝∠ABE＝α，∠CEH+∠ECD＝180°，进而得∠CEH＝90°﹣α，∠ECD＝180°﹣∠CEH＝90°+α； （2）过点G作GP∥AB，点P在点G的左侧，则∠ABF∠ABE，由（1）的结论得∠ECD＝90°+α，则∠GCD∠ECD，证明GP∥AB∥CD得∠PGB＝∠ABF，∠PGC＝∠GCD，再根据“∠BGC＝∠PGC﹣∠PGB”可得，∠BGC的度数； （3）根据在（2）的条件下，α＝50°得∠GCD＝70°，再分两种情况讨论如下：①当点K在线段CG上时，过点G作GM∥CD，点M在点G的右侧，先求出∠CHK＝40°，则∠CHG＝70°，根据GM∥CD得∠MGH＝∠CHG＝70°，∠MGC＝180°﹣∠GCD＝110°，由此得∠CGH＝∠MGC﹣∠MGH＝40°；②当点K在CG的延长线上时，过点G作GN∥CD，点N在点G的右侧，先求出∠CHK＝40°，则∠CHG＝10°，根据GN∥CD得∠KGN＝∠GCD＝70°，∠NGH＝∠CHG＝10°，由此得∠KGH＝∠KGN+∠NGH＝80°，进而得∠CGH＝100°，综上所述可得∠CGH的度数． 【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，点H在点E的右侧，如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EH∥CD， ∵∠ABE＝α， ∴∠BEH＝∠ABE＝α，∠CEH+∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°﹣∠CEH， ∵BE⊥CE， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CEH＝∠BEC﹣∠BEH＝90°﹣α， ∴∠ECD＝180°﹣∠CEH＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α， 即∠ECD的度数为90°+α； （2）过点G作GP∥AB，点P在点G的左侧，如图2所示： ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABF∠ABE， 由（1）的结论得：∠ECD＝90°+α， ∵CG平分∠ECD， ∴∠GCD∠ECD， ∵AB∥CD，GP∥AB， ∴GP∥AB∥CD， ∴∠PGB＝∠ABF，∠PGC＝∠GCD， ∴∠BGC＝∠PGC﹣∠PGB45°， 即∠BGC的度数为45°； （3）∵在（2）的条件下，α＝50°， ∴∠GCD70°， ∴∠ECD＝2∠GCD＝140°， 依题意有以下两种情况： ①当点K在线段FG上时，过点G作GM∥CD，点M在点G的右侧，如图3①所示： ∵HK∥CE， ∴∠CHK＝180°﹣∠ECD＝40°， 又∵∠GHK＝30°， ∴∠CHG＝∠CHK+∠GHK＝70°， ∵GM∥CD， ∴∠MGH＝∠CHG＝70°，∠MGC＝180°﹣∠GCD＝180°﹣70°＝110°， ∴∠CGH＝∠MGC﹣∠MGH＝110°﹣70°＝40°； ②当点K在FG的延长线上时，过点G作GN∥CD，点N在点G的右侧，如图3②所示： ∵HK∥CE， ∴∠CHK＝180°﹣∠ECD＝180°﹣140°＝40°， 又∵∠GHK＝30°， ∴∠CHG＝∠CHK﹣∠GHK＝40°﹣30°＝10°， ∵GN∥CD， ∴∠HGN＝∠CHG＝10°，∠CGN＝180°﹣∠GCD＝180°﹣70°＝110°， ∴∠CGH＝180°﹣∠HGN＝110°﹣10°＝100°， 综上所述：∠CGH的度数为40°或100°． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 15．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：如图①∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）如图②，求∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系，并说明理由． （3）如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，求∠BAE的度数． 【答案】（1）∠BPD＝∠ABP+∠CDP， ∵AB∥MN∥CD， ∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （2）∠AMP＝∠P+∠CNP， 理由：∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP； （3）145°． 【分析】（1）由平行线的性质推出∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，得到∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP，即可解决问题； （2）由平行线的性质推出∠MKP＝∠CNP，由三角形外角的性质即可得到∠AMP＝∠P+∠CNP； （3）延长EA交BC于点L，由平行线的性质推出∠ALC＝∠C＝60°，求出∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，由三角形外角的性质得到∠BAE＝∠B+∠ALB＝145°． 【解答】解：（1）∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下： ∵AB∥MN∥CD， ∴∠DPN＝∠CDP，∠BPN＝∠ABP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （2）∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP； （3）如图③，延长EA交BC于点L， ∵AE∥CD， ∴∠ALC＝∠C＝60°， ∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°， ∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°． 【点评】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，熟知平行线的性质与三角形外角的性质是解题的关键． 16．已知如图1，线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC， （1）请探索∠APC与∠A、∠C之间的关系，并说明理由． （2）若点P在图2的位置时，请探索∠APC与∠A、∠C之间的关系，并说明理由． （3）若点P的位置如图3和图4，请分别写出图3和图4中∠APC与∠A、∠C之间的关系． 【答案】（1）∠APC＝∠A+∠C； （2）∠APC+（∠A+∠C）＝360°； （3）图3中：∠APC+∠A﹣∠C＝180°，图4中：∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°． 【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，即可求解； （2）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，即可求解； （3）图3中，过点P作PE∥CD，图4中，过点P作作PE∥AB，分别利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可求解． 【解答】解：（1）如图：过点P作PE∥AB， ∴∠A＝∠APE， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠C＝∠EPC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠APC＝∠APE+∠EPC， ∴∠APC＝∠A+∠C， （2）如图：过点P作PE∥AB， ∴∠A+∠APE＝180°， ∵AB∥CD ∴PE∥CD， ∴∠C+∠EPC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°， ∴∠APC+∠A+∠C＝360°， ∴∠APC+（∠A+∠C）＝360°； （3）图3中：∠APC+∠A﹣∠C＝180°，图4中：∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°， 理由如下：过点P作PE∥CD， ∴∠C＝∠EPC， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB， ∴∠A+∠APE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°， ∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°， ∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°； 如图：过点P作PE∥AB， ∴∠A＝∠APE， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠C+∠EPC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°， ∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°， ∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°． 【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握过拐点作平行线． 17．【感知探究】如图①，已知，AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上．求证：∠MEN＝∠BME+∠DNE． 【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知AB∥DE，∠BAC＝120°，∠D＝80°，则∠ACD＝ °． 【答案】【感知探究】见解析； 【类比迁移】∠F＝∠BMF﹣∠DNF．证明见解析； 【结论应用】20． 【分析】【感知探究】过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可求解； 【类比迁移】如图②，过F作FH∥AB，根据平行线的性质即可得到结论； 【结论应用】如图③，过C作CG∥AB，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】【感知探究】证明：如图①，过点E作EF∥AB， 则∠MEF＝∠BME， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠NEF＝∠DNE， ∴∠MEN＝∠MEF+∠NEF， 即∠MEN＝∠BME+∠DNE； 【类比迁移】∠BMF＝∠MFN+∠FND． 证明：如图②，过F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN+∠FND． 故答案为：∠BMF＝∠MFN+∠FND； 【结论应用】如图③，过C作CG∥AB， ∴∠GCA＝180°﹣∠BAC＝60°， ∵AB∥DE， ∴CG∥DE， ∴∠GCD＝∠CDE＝80°， ∴∠ACD＝20°， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查平行线的性质，作辅助线是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $