专题02 平行线中的拐点模型之铅笔模型（子弹模型）（几何模型讲义）数学新教材沪科版七年级下册

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（子弹模型） 在初中几何中，平行线的角度关系是核心考点，而“拐点模型”是其中最具代表性的一类工具型模型。它源于两条平行线被折线所截的图形，因拐点处的折线形态类似铅笔头（或子弹）而得名。这类模型不仅是高频考点，更能帮我们建立“复杂图形拆解为基本模型”的几何思维。本专题将系统梳理拐点模型的核心规律、证明方法与应用技巧，带你从“会算”到“会思”，彻底掌握这一解题利器。本专题就平行线中的拐点模型铅笔头模型（子弹模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型：在两条平行线被一条折线所截的图形中，折线的转折点即为“拐点”，由此构成的角度关系模型统称为平行线拐点模型。 通用解法：过拐点作已知平行线的平行线（辅助线用虚线绘制，标注清晰），构造“三线八角”基本图形（同位角、内错角、同旁内角）； 基本思路：通过作平行线，将复杂的折线角拆分为多个内错角或同旁内角，利用“两直线平行，内错角相等/同旁内角互补”的性质，实现角度的“和差拆分”与“等角转化”。 1 模型来源 1 模型证明 2 模型运用 3 4 铅笔头模型并非孤立存在，它源于对M型模型的位置拓展： 当拐点从平行线之间移动到外侧时，角度关系从“和”变为“和为360°的倍数”，图形也从“M形”变为“铅笔头/子弹形”。因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。这一模型广泛出现在教材拓展题、期末压轴题中，是检验学生对平行线性质灵活应用能力的典型载体。 ①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分. 模型 1：单拐点铅笔头模型（子弹模型） 图1： 条件：如图1，已知：AM∥BN， 结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果仍然成立）。 证明：在图2中，过P作AM的平行线PF， ∵AB∥CD，∴PF∥CD，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠1+∠2+∠3＝360°； 模型 2：多拐点铅笔头模型（子弹模型） 图2： 条件：如图2，已知：AM∥BN， 结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 证明：在图2中，过P1作AM的平行线P1E，过点P2作AM的平行线P2F， ∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F， ∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 图3： 条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 证明：在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1如图所示，BA∥DE，∠B＝130°，∠D＝140°，则∠C的度数是（　　） A．60° B．80° C．90° D．75° 例2如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（　　） A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360° C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180° 例3某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（　　）度 A．360 B．180 C．250 D．270 例4已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°； ②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°； ③如图（2）中，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°； ④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM∠CDF，则∠M＝（）°． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 1．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　） A．120° B．110° C．140° D．90° 2．已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 3．如图，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 4．如图所示，直线l1∥l2，BA垂直于l1于A，则∠α+∠β的大小是（　　） A．150° B．180° C．270° D．360° 5．如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到各内角都相等的五边形ABCDE上，若∠ABG＝50°，则∠FAE的度数是 　22　 °． 6．如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是 　155°　 ． 7．如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝　78　 度，∠3+∠4+∠5＝　360　 度． 8．如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使∠1＝150°，AB⊥BC，则∠2＝　120　 度． 9．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　540°　 ． 10．观察图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 　∠1+∠2＝180°　 ，则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝　180（n+1）　 度． 11．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射．如图，∠1＝55°，∠ABC＝165°，则∠2的度数是 　70°．　 ． 12．图1是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板DE∥AF，∠BAF＝∠BCE，∠B＝86°，则∠BCD＝　43°　 ；现将支撑杆AB调整至图3所示位置，调整过程中∠B，∠BCE大小不变，∠BAF＝148°，再顺时针调整平板DE至D′E′，使得D′E′∥AF，则∠DCD'＝　75°　 ． 13．已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则： ①∠ABF+∠CDF＝∠BFD； ②∠ABE+∠CDE+∠E＝360°； ③若∠E＝65°，则∠BFD＝115°； ④若，则5∠BMD+∠E＝360°； 以上说法正确的是 　①②④　 ． 14．图1是一款电脑显示器伸缩架，图2是其截面示意图，固定支架AB⊥桌面MN，CD⊥屏幕PQ，支撑杆BC两端可调节∠ABC和∠BCD的大小．当屏幕PQ⊥MN时，测得∠ABC＝120°，∠BCD＝　150　 度；若将屏幕PQ绕点D顺时针方向旋转α度如图3，现只调整∠ABC的角度，使屏幕PQ仍垂直地面，则∠ABC的度数为　（120﹣α）°　 （用α的代数式表示）． 15．（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？ （2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由． 16．课堂上老师呈现一个问题： 已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB与点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数． 下面提供三种思路： 思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））； 思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N； 思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N． 解答下列问题： （1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 　120°　 ； （2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线； （3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程． 17．（1）【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点P为AB，CD之间一点，求证：∠EPF＝∠AEP+∠PFC． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点P作PQ∥AB． ∵AB∥CD，PQ∥AB（已知）， ∴CD∥PQ（ 　平行于同一条直线的两条直线平行　 ）， ∴∠1＝∠AEP，∠2＝∠PFC（ 　两直线平行，内错角相等　 ）， ∴∠1+∠2＝∠AEP+∠PFC（等式的基本性质）， ∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC． （2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线a∥b，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，且交于点E．猜想并证明∠CEB与∠AFD（小于平角）的数量关系． 18．已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点E（点E在直线MN的左侧）． （1）如图1，请写出∠E，∠AME和∠CNE之间的等量关系，并说明理由； （2）如图2，∠BME与∠DNE的角平分线相交于点F，请直接写出∠E与∠F之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，∠AME和∠CNE的角平分线相交于点E1，∠BMF和∠DNF的角平分线相交于点F1，∠AME1和∠CNE1的角平分线相交于点E2，∠BMF1和∠DNF1的角平分线相交于点F2，…，以此类推，则∠En+2∠Fn＝　　 （用含n的代数式表示）． 19．问题情境： （1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数． （提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移： （2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°） 20．（1）发现问题：如图1，AB∥CD，试写出∠ABE，∠E，∠CDE之间的数量关系． （2）解决问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F． ①如图2，若∠E＝80°，求∠BFD的度数． ②如图3，若，试写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论． ③若，请直接用含有n，m°的代数式表示出∠M. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（子弹模型） 在初中几何中，平行线的角度关系是核心考点，而“拐点模型”是其中最具代表性的一类工具型模型。它源于两条平行线被折线所截的图形，因拐点处的折线形态类似铅笔头（或子弹）而得名。这类模型不仅是高频考点，更能帮我们建立“复杂图形拆解为基本模型”的几何思维。本专题将系统梳理拐点模型的核心规律、证明方法与应用技巧，带你从“会算”到“会思”，彻底掌握这一解题利器。本专题就平行线中的拐点模型铅笔头模型（子弹模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型：在两条平行线被一条折线所截的图形中，折线的转折点即为“拐点”，由此构成的角度关系模型统称为平行线拐点模型。 通用解法：过拐点作已知平行线的平行线（辅助线用虚线绘制，标注清晰），构造“三线八角”基本图形（同位角、内错角、同旁内角）； 基本思路：通过作平行线，将复杂的折线角拆分为多个内错角或同旁内角，利用“两直线平行，内错角相等/同旁内角互补”的性质，实现角度的“和差拆分”与“等角转化”。 1 模型来源 1 模型证明 2 模型运用 3 7 铅笔头模型并非孤立存在，它源于对M型模型的位置拓展： 当拐点从平行线之间移动到外侧时，角度关系从“和”变为“和为360°的倍数”，图形也从“M形”变为“铅笔头/子弹形”。因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。这一模型广泛出现在教材拓展题、期末压轴题中，是检验学生对平行线性质灵活应用能力的典型载体。 ①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分. 模型 1：单拐点铅笔头模型（子弹模型） 图1： 条件：如图1，已知：AM∥BN， 结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果仍然成立）。 证明：在图2中，过P作AM的平行线PF， ∵AB∥CD，∴PF∥CD，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠1+∠2+∠3＝360°； 模型 2：多拐点铅笔头模型（子弹模型） 图2： 条件：如图2，已知：AM∥BN， 结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 证明：在图2中，过P1作AM的平行线P1E，过点P2作AM的平行线P2F， ∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F， ∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 图3： 条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 证明：在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1如图所示，BA∥DE，∠B＝130°，∠D＝140°，则∠C的度数是（　　） A．60° B．80° C．90° D．75° 【答案】C 【分析】过点C作CF∥AB∥DE，则可分别求出∠BCF、∠DCF的度数，继而可得出∠C． 【解答】解：过点C作CF∥AB∥DE， ∵CF∥AB∥DE， ∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝40°． ∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝90°． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键． 例2如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（　　） A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360° C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，找图中的内错角，同旁内角即可判断，所以想到延长DC到G，然后结合图形去分析即可解答． 【解答】解：延长DC到G， ∵EF∥CD， ∴∠GCE＝∠CEF， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCG＝180°， ∴∠ABC+∠BCE﹣∠GCE＝180°， ∴∠ABG+∠BCE﹣∠CEF＝180°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行公理与推论，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键． 例3某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（　　）度 A．360 B．180 C．250 D．270 【答案】D 【分析】过点B作BG∥AE，利用平行线的性质可得∠BAE+∠ABG＝180°，∠C+∠CBG＝180°，从而可得∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，然后根据垂直定义可得∠BAE＝90°，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点B作BG∥AE， ∴∠BAE+∠ABG＝180°， ∵AE∥CD， ∴BG∥CD， ∴∠C+∠CBG＝180°， ∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°， ∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握铅笔模型是解题的关键． 例4已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°； ②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°； ③如图（2）中，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°； ④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM∠CDF，则∠M＝（）°． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】分别过E、F作GE∥AB，FH∥CD，再根据平行线的性质可以得到解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°， ∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确， ∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°， ∴∠ABE+∠CDE＝280°， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确， 与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM（∠ABF+∠CDF）， ∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE， ∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确， 由题意，④不一定正确， ∴①②③正确， 故选：C． 【点评】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键． 1．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　） A．120° B．110° C．140° D．90° 【答案】B 【分析】过点C作CF∥AB，由平行线性质可得∠B，∠D，∠BCF，∠DCF的关系，进而求得∠C． 【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB． ∵AB∥DE， ∴DE∥CF； ∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°； ∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝110°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，解题时需要作辅助线求解． 2．已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【答案】D 【分析】过点B作BF∥l1，交AC于点F，利用三角形的外角的性质，平行线的性质定理和对顶角相等的性质解答即可． 【解答】解：过含30°角的直角三角板的直角顶点B作BF∥l1，交AC于点F， ∵∠C＝30°， ∴∠A＝90°﹣∠C＝60°． ∵∠1＝∠A+∠ADE， ∴∠ADE＝60°． ∵BF∥l1， ∴∠ABF＝∠ADE＝60°， ∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°． ∵BF∥l1，l1∥l2， ∴BF∥l2， ∴∠BGH+∠FBG＝180°， ∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°， ∴∠2＝∠BGH＝150°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质定理，三角形的外角的性质，对顶角相等，过点B作BF∥l1，交AC于点F是解题的关键． 3．如图，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 【答案】D 【分析】过点E作EF∥AB，根据铅笔模型进行计算，即可解答． 【解答】解：过点E作EF∥AB， ∴∠A+∠AEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC+∠C＝180°， ∴∠A+∠AEF+∠FEC+∠C＝360°， 即∠A+∠AEC+∠C＝360°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握铅笔模型是解题的关键． 4．如图所示，直线l1∥l2，BA垂直于l1于A，则∠α+∠β的大小是（　　） A．150° B．180° C．270° D．360° 【答案】C 【分析】过点B作BD∥l2，根据铅笔模型进行计算即可解答． 【解答】解：过点B作BD∥l2， ∴∠α+∠CBD＝180°， ∵l1∥l2， ∴BD∥l1， ∴∠1+∠ABD＝180°， ∴∠α+∠CBD+∠ABD+∠1＝360°， ∴∠α+∠β+∠1＝360°， ∵BA⊥l1， ∴∠1＝90°， ∴∠α+∠β＝360°﹣∠1＝270°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到各内角都相等的五边形ABCDE上，若∠ABG＝50°，则∠FAE的度数是 　22　 °． 【答案】22． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠EAB，再根据平行线的性质证明∠ABG+∠EAB+∠FAE＝180°，进行计算即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE的内角和为180°×（5﹣2）＝540°，每个内角都相等， ∴每个内角为540°÷5＝108°，即∠EAB＝108°， ∵AF∥GB， ∴∠ABG+∠EAB+∠FAE＝180°， ∴∠FAE＝180°﹣∠ABG﹣∠EAB＝180°﹣108°﹣50°＝22°， 故答案为：22． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式和平行线的性质． 6．如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是 　155°　 ． 【答案】155°． 【分析】过点B作长方形边的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠ABE+∠CBE+∠2＝360°，再解答即可． 【解答】解：过点B作BE∥AD， ∵AD∥CF ∴AD∥BE∥CF， ∴∠1+∠ABE＝180°，∠2+∠CBE＝180°； ∴∠1+∠2+∠ABC＝360°， ∵∠1＝115°，∠ABC＝90°， ∴∠2的度数为155°． 故答案为：155°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，此题的关键是加辅助线，然后利用平行线的性质求解即可． 7．如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝　78　 度，∠3+∠4+∠5＝　360　 度． 【答案】78；360 【分析】过∠3的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：∠3＝∠1+∠2，∠3+∠4+∠5＝360° 【解答】解：如图所示：过∠3的顶点作c∥a， ∵a∥b， ∴a∥b∥c， ∴∠1＝∠6，∠7＝∠2， 又∠3＝∠6+∠7， ∴∠3＝∠1+∠2＝78°； 又∠4+∠6＝∠7+∠5＝180° ∴∠3+∠4+∠5＝360°． 【点评】注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线．根据平行线的性质发现并证明：∠3＝∠1+∠2；∠3+∠4+∠5＝360°． 8．如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使∠1＝150°，AB⊥BC，则∠2＝　120　 度． 【答案】120 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和可得． 【解答】解：∠2＝90°+180°﹣∠1＝120°． 故答案为：120． 【点评】注意三角形的外角性质的运用． 9．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　540°　 ． 【答案】540° 【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB＝180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，于是得到结论． 【解答】解：连接BD，如图， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB＝180°， ∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°， ∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB＝540°， 即∠1+∠2+∠3+∠4＝540°． 故答案为：540°． 【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 10．观察图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 　∠1+∠2＝180°　 ，则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝　180（n+1）　 度． 【答案】180（n+1）． 【分析】在第一个图中，利用平行线的性质，即可解答；在第二个图中，利用铅笔模型，即可解答；在第三个图中，仿照第二个图的思路，即可解答，然后从数字找规律，即可解答． 【解答】解：如图1： ∵a∥b， ∴∠1+∠2＝180°， 如图2：过点P1作PC∥a， ∴∠1+∠3＝180°， ∵a∥b， ∴PC∥b， ∴∠4+∠2＝180°， ∴∠1+∠3+∠4+∠2＝2×180°＝360°， ∴∠1+∠AP1B+∠B＝360°＝2×180； 如图3：过点P1作P1C∥a，过点P2作P2D∥b， ∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠DP2B＝180°， ∵a∥b， ∴P1C∥P2D， ∴∠4+∠5＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠DP2B＝540°， ∴∠1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠2＝540°＝3×180°； ..． 则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝180°（n+1）， 故答案为：180（n+1）． 【点评】本题考查了平行线的性质，规律型：图形的变化类，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键． 11．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射．如图，∠1＝55°，∠ABC＝165°，则∠2的度数是 　70°．　 ． 【答案】70°． 【分析】根据“两直线平行，同位角线段”求出∠ABD＝∠1＝55°，根据角的和差求出∠CBD＝110°，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可． 【解答】解：如图， ∵两条直线平行，∠1＝55°， ∴∠ABD＝∠1＝55°， ∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝165°， ∴∠CBD＝110°， ∵两条直线平行， ∴∠CBD+∠2＝180°， ∴∠2＝70°． 故答案为：70°. 【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 12．图1是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板DE∥AF，∠BAF＝∠BCE，∠B＝86°，则∠BCD＝　43°　 ；现将支撑杆AB调整至图3所示位置，调整过程中∠B，∠BCE大小不变，∠BAF＝148°，再顺时针调整平板DE至D′E′，使得D′E′∥AF，则∠DCD'＝　75°　 ． 【答案】43°；75°． 【分析】如图2：过点B作BG∥AF，利用铅笔模型可得∠A+∠ABC+∠BCE＝360°，然后进行计算即可解答；如图3：延长FA交BC于点H，先利用三角形的外角性质可得∠AHB＝62°，然后利用平行线的性质可得∠AHB＝∠BCE′＝62°，从而利用角的和差关系可得∠ECE′＝75°，最后利用对顶角相等即可解答． 【解答】解：如图2：过点B作BG∥AF， ∴∠A+∠ABG＝180°， ∵AF∥DE， ∴DE∥BG， ∴∠CBG+∠BCE＝180°， ∴∠A+∠ABG+∠CBG+∠BCE＝360°， ∴∠A+∠ABC+∠BCE＝360°， ∵∠BAF＝∠BCE，∠B＝86°， ∴∠BAF＝∠BCE＝137°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝43°； 如图3：延长FA交BC于点H， ∵∠BAF是△ABH的一个外角， ∴∠AHB＝∠BAF﹣∠B＝148°﹣86°＝62°， ∵AF∥D′E′， ∴∠AHB＝∠BCE′＝62°， ∵∠BCE＝137°， ∴∠ECE′＝∠BCE﹣∠BCE′＝137°﹣62°＝75°， ∴∠ECE′＝∠DCD′＝75°， 故答案为：43°；75°． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则： ①∠ABF+∠CDF＝∠BFD； ②∠ABE+∠CDE+∠E＝360°； ③若∠E＝65°，则∠BFD＝115°； ④若，则5∠BMD+∠E＝360°； 以上说法正确的是 　①②④　 ． 【答案】①②④． 【分析】由平行线的性质可判断①正确，同样根据平行线的性质可判断②正确，根据平行的性质已知可求出∠BFD的度数不等于115°，故③不正确，根据∠ABM和∠CDM的关系及∠ABE+∠CDE+∠E＝360°，可判断④正确． 【解答】解：如图，作FP∥AB， ∵AB∥CD， ∴FP∥CD， ∴∠ABF＝∠BFP，∠PFD＝∠CDF， ∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD，即∠ABF+∠CDF＝∠BFD，故①正确； 如图，作EQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴EQ∥CD， ∴∠ABE+∠BEQ＝180°，∠CDE+∠DEQ＝180°， ∴∠ABE+∠BEQ+∠CDE+∠DEQ＝360°， 即∠ABE+∠CDE+∠E＝360°，故②正确； 若∠E＝65°，则∠ABE+∠CDE＝360°﹣65°＝295°， ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABF+∠CDF295°＝147.5°， ∴∠BFD＝147.5°，故③不正确； 同理可证：∠M＝∠ABM+∠CDM， 若， 则∠ABM+∠CDM（∠ABF+∠CDF）， ∵∠ABF＝∠FBE，∠CDF＝∠FDE， ∴∠ABM+∠CDM（∠ABF+∠CDF）， ∴∠M（∠ABE+∠CDE）， ∵∠ABE+∠CDE+∠E＝360°， ∴5∠M+∠E＝360°，故④正确； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了平行线的性质，辅助线的应用是解题关键． 14．图1是一款电脑显示器伸缩架，图2是其截面示意图，固定支架AB⊥桌面MN，CD⊥屏幕PQ，支撑杆BC两端可调节∠ABC和∠BCD的大小．当屏幕PQ⊥MN时，测得∠ABC＝120°，∠BCD＝　150　 度；若将屏幕PQ绕点D顺时针方向旋转α度如图3，现只调整∠ABC的角度，使屏幕PQ仍垂直地面，则∠ABC的度数为　（120﹣α）°　 （用α的代数式表示）． 【答案】150，（120﹣α）°． 【分析】过点C作EF∥AB，推出∠CDQ+∠BCD+∠ABC＝360°，然后求解即可． 【解答】解：过点C作EF∥AB， ∵PQ⊥MN，AB⊥桌面MN， ∴PQ∥AB∥EF， ∴∠CDQ+∠DCF＝180°，∠BCF+∠ABC＝180°， ∴∠CDQ+∠DCF+∠BCF+∠ABC＝180°+180°＝360°， 即∠CDQ+∠BCD+∠ABC＝360°， ∵CD⊥屏幕PQ，∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝360°﹣∠CDQ﹣∠ABC＝360°﹣90°﹣120°＝150°； 若将屏幕PQ绕点D顺时针方向旋转α度，屏幕PQ仍垂直地面，且只调整∠ABC的角度， ∴∠CDQ＝（90+α）°，∠BCD＝150°， ∴360°＝∠CDQ+∠BCD+∠ABC＝（90+α）°+150°+∠ABC， ∴∠ABC＝（120﹣α）°． 故答案为：150，（120﹣α）°． 【点评】本题考查平行线的性质，通过作辅助线构造平行线是解题的关键． 15．（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？ （2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由． 【答案】（1）80°； （2）∠B+∠BCD+∠D＝360°． 【分析】（1）作CF∥AB，则CF∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补可以分别求出∠BCF和∠DCF的度数，即可求出∠BCD的度数； （2）∠B+∠BCD+∠D＝360°，由两直线平行，同旁内角互补可得：∠B+∠BCF＝180°，∠D+∠DCF＝180°，所以∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°． 【解答】解：（1）如图，作CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°， ∵∠B＝135°，∠D＝145°， ∴∠BCF＝45°，∠DCF＝35°， ∴∠BCD＝80°； （2）∠B+∠BCD+∠D＝360°， 如图，∵CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°， ∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°， 即∠B+∠BCD+∠D＝360°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，构造平行线，结合平行线的性质是解题的关键． 16．课堂上老师呈现一个问题： 已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB与点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数． 下面提供三种思路： 思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））； 思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N； 思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N． 解答下列问题： （1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 　120°　 ； （2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线； （3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程． 【答案】（1）120°； （2）如图； （3）证明见解析． 【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数； （2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG； （3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数． 【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD， ∵MN∥CD，∠1＝30°， ∴∠2＝∠1＝30°， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN， ∵AB⊥EF， ∴∠3＝∠4＝90°， ∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°． 故答案为：120°； （2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG； （3）若选择思路二，理由如下： 如图（2），过P作PN∥EF， ∵PN∥EF，EF⊥AB， ∴∠ONP＝∠EOB＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠NPD＝∠ONP＝90°， 又∵∠1＝30°， ∴∠NPG＝90°+30°＝120°， ∵PN∥EF， ∴∠EFG＝∠NPG＝120°； 若选择思路三，理由如下： 如图（3），过O作ON∥FG， ∵ON∥FG，∠1＝30°， ∴∠PNO＝∠1＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠BON＝∠PNO＝30°， 又∵EF⊥AB， ∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°， ∵ON∥FG， ∴∠EFG＝∠EON＝120°． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键． 17．（1）【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点P为AB，CD之间一点，求证：∠EPF＝∠AEP+∠PFC． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点P作PQ∥AB． ∵AB∥CD，PQ∥AB（已知）， ∴CD∥PQ（ 　平行于同一条直线的两条直线平行　 ）， ∴∠1＝∠AEP，∠2＝∠PFC（ 　两直线平行，内错角相等　 ）， ∴∠1+∠2＝∠AEP+∠PFC（等式的基本性质）， ∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC． （2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线a∥b，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，且交于点E．猜想并证明∠CEB与∠AFD（小于平角）的数量关系． 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等； （2）结论：∠AFD＝2∠CEB，理由见解析． 【分析】（1）利用平行线的判定和性质证明即可； （2）结论：∠AFD＝2∠CEB，利用上面结论以及角平分线的定义证明即可． 【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB（已知）， ∴CD∥PQ（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠1＝∠AEP、∠2＝∠PFC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠1+∠2＝∠AEP+∠PFC（等式性质）， ∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等； （2）结论：∠AFD＝2∠CEB， 理由：由（1）得∠CEB＝∠ACE+∠DBE，∠AFD＝∠CFB＝∠ACD+∠DBA， ∵EC平分∠ACD，EB平分∠ABD， ∴∠ACD＝2∠ACE，∠DBA＝2∠DBE， ∴∠AFD＝2∠CEB． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点E（点E在直线MN的左侧）． （1）如图1，请写出∠E，∠AME和∠CNE之间的等量关系，并说明理由； （2）如图2，∠BME与∠DNE的角平分线相交于点F，请直接写出∠E与∠F之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，∠AME和∠CNE的角平分线相交于点E1，∠BMF和∠DNF的角平分线相交于点F1，∠AME1和∠CNE1的角平分线相交于点E2，∠BMF1和∠DNF1的角平分线相交于点F2，…，以此类推，则∠En+2∠Fn＝　　 （用含n的代数式表示）． 【答案】（1）∠MEN＝∠AME+∠CNE； （2）∠MEN+2∠MFN＝360°； （3）． 【分析】（1）过点E作直线l∥AB，则l∥AB∥CD，利用平行线的性质得到∠AME＝∠1，∠CNE＝∠2，以此即可得到结论； （2）过点F作直线∥AB，同理可得∠MFN＝∠BMF+∠DNF，由角平分线的定义得∠BMF＝∠EMF，∠DNF＝∠ENF，再根据四边形的内角和定理即可得到结论； （3）利用（1）（2）所得结论和方法可推出∠E1，∠F1，以此得到∠E1+2∠F2＝180°，同理可得∠E3+2∠F3＝90°，⋯，再按此规律利用数学归纳法即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点E作直线l∥AB， ∵AB∥CD，l∥AB， ∴l∥AB∥CD， ∴∠AME＝∠1，∠CNE＝∠2， ∴∠MEN＝∠1+∠2＝∠AME+∠CNE，即∠MEN＝∠AME+∠CNE； （2）如图，过点F作直线∥AB， 同理可得：∠MFN＝∠BMF+∠DNF， ∵MF平分∠BME，NF平分∠DNE， ∴∠BMF＝∠EMF，∠DNF＝∠ENF， 由（1）知，∠MEN＝∠AME+∠CNE， 在四边形MENF中，∠MEN+∠ENF+∠MFN+∠EMF＝∠MEN+2∠MFN＝360°； （3）同理可得：∠F1＝∠BMF1+∠DNF1，∠E1＝AME1+∠CNE1， ∵MF1为∠BMF的平分线，ME1为∠AME的平分线， ∴∠BMF1＝∠FMF1，∠AME1＝∠EME1， ∵NF1为∠DNF的平分线，NE1为∠CNE的平分线， ∴∠DNF1＝∠FNF1，∠CNE1＝∠ENE1， ∴∠E1， ∠F1， 由（2）知，∠E+2∠F＝360°， ∴∠E1+2∠F1360°， 同理可得：∠E2+2∠F2360°，⋯，∠En+2∠Fn． 故答案为：． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、角平分线的定义、四边形内角和定理，解题关键是熟记平行线的性质，善于利用图形变化的规律，利用数学归纳法解决问题． 19．问题情境： （1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数． （提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移： （2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°） 【答案】（1）110°； （2）见解析； （3）∠CPD＝∠α﹣∠β或∠CPD＝∠β﹣∠α． 【分析】（1）过P作PE∥AB，然后利用平行线的性质可以解决问题； （2）过P作PE∥AB，然后利用平行线的性质可以解决问题； （3）有两种情况：当P在AB延长线和当P在OA延长线，都是通过作平行线利用平行线的性质解决问题． 【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°， ∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°， ∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°， ∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°； （2）∠CPD＝∠α+∠β， 理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； （3）①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α； ②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β， ①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α； 理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α； ②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β， 理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和常用辅助线作平行线，同时也考查了分类讨论的思想，对于学生的能力要求比较高． 20．（1）发现问题：如图1，AB∥CD，试写出∠ABE，∠E，∠CDE之间的数量关系． （2）解决问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F． ①如图2，若∠E＝80°，求∠BFD的度数． ②如图3，若，试写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论． ③若，请直接用含有n，m°的代数式表示出∠M. 【答案】（1）∠B+∠D+∠BED＝360°； （2）①∠BFD的度数为140°； ②6∠M+∠E＝360°，理由见解答； ③∠M，理由见解答． 【分析】（1）过点E作EG∥AB，利用铅笔模型进行计算即可解答； （2）①过点F作FH∥AB，利用猪脚模型可得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，再利用（1）的结论可得：∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，从而可得∠ABE+∠CDE＝280°，然后利用角平分线的定义可得∠ABFABE，∠CDF∠CDE，从而可得∠BFD＝∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE），进行计算即可解答； ②利用（1）的结论可得∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，再利用①可得：∠BFD（∠ABE+∠CDE）（360°﹣∠BED）＝180°∠BED，然后利用猪脚模型可得：∠M＝∠ABM+∠CDM，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，从而可得∠M＝∠ABM+∠CDM（∠ABF+∠CDF）∠BFD（180°∠BED）＝60°∠BED，最后进行计算即可解答； ③利用②的思路进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点E作EG∥AB， ∴∠B+∠1＝180°， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠2+∠D＝180°， ∴∠B+∠1+∠2+∠D＝360°， ∴∠B+∠D+∠BED＝360°； （2）①过点F作FH∥AB， ∴∠ABF＝∠BFH， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠CDF＝∠DFH， ∵∠BFD＝∠BFH+∠DFH， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF， 由（1）可得：∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°， ∵∠E＝80°， ∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣80°＝280°， ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABFABE，∠CDF∠CDE， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF ∠ABE∠CDE （∠ABE+∠CDE） 280° ＝140°， ∴∠BFD的度数为140°； ②6∠M+∠E＝360°， 理由：由（1）可得：∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°， ∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED， 由①可得：∠BFD（∠ABE+∠CDE）（360°﹣∠BED）＝180°∠BED， 由①可得：∠M＝∠ABM+∠CDM，∠BFD＝∠ABF+∠CDF， ∵， ∴∠M＝∠ABM+∠CDM （∠ABF+∠CDF） ∠BFD （180°∠BED） ＝60°∠BED， ∴6∠M＝360°﹣∠BED， 即6∠M+∠BED＝360°； ③∵， ∴∠M＝∠ABM+∠CDM （∠ABF+∠CDF） ∠BFD （180°∠BED） ， 即：∠M． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $