专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（脚丫子模型）（几何模型讲义）数学新教材沪科版七年级下册

专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（脚丫子模型） 在初中几何中，平行线的角度关系是核心考点，而“拐点模型”是其中最具代表性的一类工具型模型。它源于两条平行线被折线所截的图形，因拐点处的折线形态类似铅笔头（或子弹）而得名。这类模型不仅是高频考点，更能帮我们建立“复杂图形拆解为基本模型”的几何思维。本专题将系统梳理拐点模型的核心规律、证明方法与应用技巧，带你从“会算”到“会思”，彻底掌握这一解题利器。本专题就平行线中的拐点模型铅笔头模型（子弹模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型：在两条平行线被一条折线所截的图形中，折线的转折点即为“拐点”，由此构成的角度关系模型统称为平行线拐点模型。 通用解法：过拐点作已知平行线的平行线（辅助线用虚线绘制，标注清晰），构造“三线八角”基本图形（同位角、内错角、同旁内角）； 基本思路：通过作平行线，将复杂的折线角拆分为多个内错角或同旁内角，利用“两直线平行，内错角相等/同旁内角互补”的性质，实现角度的“和差拆分”与“等角转化”。 模型解读 2 模型证明 2 模型运用 3 8 前两专题我们已掌握了M 型（猪蹄型）（拐点在平行线间，角度和）与铅笔头模型（子弹型）（拐点在平行线外侧，角度和为 360°）两类拐点模型。而当拐点移动到平行线外侧，且折线呈现 “向内凹、形似牛角” 的形态时，便构成了牛角模型。 这一模型是前两类模型的重要补充，核心区别在于拐点处的角度为 “和差型” 而非直接求和，是检验学生对平行线性质灵活应用、分类辨析能力的关键载体。本讲将从模型来源、严谨证明到分层应用，系统拆解牛角模型，帮助你彻底区分三类拐点模型，攻克几何计算与证明难题。 图1： 条件：如图1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：. 证明：如图，延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝， ∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴； 图2： 条件：如图2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：. 证明：如图，延长AB交DE于点F， ∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-， ∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴； 例1为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 　30°　 ． 【分析】延长DC交AE于点F，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFC＝80°，再根据三角形外角的性质可得∠E的度数． 【解答】解：延长DC交AE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠EFC＝∠A＝80°， 由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC， ∴∠E＝110°﹣80°＝30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理和三角形外角的性质是解题关键． 例2如图，已知AB∥DE，点C在AB上方，连接BC，CD．∠ABC＝150°，CB与DF互相垂直，垂足为F，求∠EDF的度数为（　　） A．30° B．60° C．55° D．65° 【分析】过点F作FG∥AB，得到∠ABC＝∠GFC＝150°，∠CFD＝90°，推导出∠GFD＝360°﹣∠GFC﹣∠CFD＝120°，FG∥DE，则∠EDF＝180°﹣∠GFD＝60°，即可解答． 【解答】解：如图，过点F作FG∥AB， ∴∠ABC＝∠GFC＝150°， ∵DF⊥CF， ∴∠CFD＝90°， ∴∠GFD＝360°﹣∠GFC﹣∠CFD＝120°， ∵AB∥DE，FG∥AB， ∴FG∥DE， ∴∠EDF+∠GFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠EDF＝180°﹣∠GFD＝180°﹣120°＝60°， 故选：B． 【点评】本题考查根据平行线的性质，理解题意，作出辅助线是解题关键． 例3将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边a∥b的有（　　） ①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°；⑤∠1+∠4＝90°． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据同位角相等，两直线平行可判定①⑤，根据内错角相等，两直线平行可判定②，根据同旁内角互补可判断④． 【解答】解：①∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故①可以； ②∵∠3＝∠4， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故②可以； ③∠2+∠4＝90°，无法得出a∥b，故③不可以； ④∵∠4+∠5＝180°， ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），故④可以； ⑤∵∠2+∠4＝90°，∠1+∠4＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故⑤可以． 综上所述，能判定纸带边a∥b的有4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，关键是平行线判定定理的应用． 例4【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例：如图①，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在直线AB，CD之间，试说明：∠EPF＝∠AEP+∠CFP． 解：过点P向右作PQ∥AB， ∴∠EPQ＝∠AEP． ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD． ∴∠FPQ＝∠CFP． ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠AEP+∠CFP． 可以运用以上思路方法解答下列问题： 【类比应用】 （1）如图②，已知AB∥CD，∠D＝40°，点G在PA的延长线上，∠GAB＝60°，求∠APD的度数； （2）如图③，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，直接写出∠PAB，∠CEP，∠APE之间数量关系是　∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°　 ； 【拓展应用】 （3）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，∠PED的平分线与∠PAB 的平分线所在直线交于点Q，直接写出的值　180°　 ． 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，得∠GPQ＝∠GAB＝60°，∠DPQ＝∠D＝40°，即可得到结果； （2）过点P作PQ∥AB，得∠APQ+∠PAB＝180°，∠CEP＝∠EPQ，整理可得结果； （3）结合图形，利用（2）的结论，可得∠APE+∠EQF∠CEP∠PAB﹣90°+180°﹣∠FAB+∠DEQ，结合角平分线，化简可得到结果． 【解答】解：（1）如图②，过点P作PQ∥AB， ∴∠GPQ＝∠GAB＝60°， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠DPQ＝∠D＝40°， ∴∠APD＝∠GPQ+∠DPQ＝100°； （2）如图③，过点P作PQ∥AB， ∴∠APQ+∠PAB＝180°， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CEP＝∠EPQ， ∵∠APE＝∠EPQ﹣∠APQ， ∴∠APE＝∠CEP﹣（180°﹣∠PAB）， ∴∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， 故答案为：∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°； （3）如图④， 由（2）得∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， 即∠APE＝∠CEP+∠PAB﹣180°， ∴∠APE∠CEP∠PAB﹣90°， 同理由【阅读理解】可得∠EQF＝∠BAQ+∠DEQ， ∴∠APE+∠EQF∠CEP∠PAB﹣90°+∠BAQ+∠DEQ， ∵EQ平分∠PED，FA平分∠PAB， ∴∠DEQ∠PED，∠FAB∠PAB， ∴∠APE+∠EQF ∠CEP∠PAB﹣90°+180°﹣∠FAB+∠DEQ ∠CEP∠PAB﹣90°+180°∠PAB∠PED ∠CEP∠PED+90° ＝90°+90° ＝180°， 故答案为：180°． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 1．如图，AB∥CD，点M在直线AB，CD之间，GH是∠AGM的平分线，连接GM，HM，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，，则∠MHG的度数为　45°　 ． 【分析】过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，可得∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，由∠HGN，可得∠HGN＝β﹣α，从而∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝2β+α，又∠BGH+∠GHD＝180°，即知α+β＝45°，故∠MHG＝α+β＝45°． 【解答】解：过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，如图： 设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，则∠N＝∠BGM＝2α， ∴∠AGM＝180°﹣2α， ∵GH平分∠AGM， ∴， ∴∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α， ∵AB∥CD， ∴MF∥AB∥CD， ∴∠FMH＝∠MHD，∠GMF＝∠BGM， ∴∠GMH＝∠GMF+∠FMH＝∠BGM+∠MHD＝2α+β， ∵， ∴， ∴∠HGN＝β﹣α， ∵HE∥CN， ∴∠EHM＝∠N＝2α，∠GHE＝∠HGN＝β﹣α， ∴∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝（β﹣α）+2α+β＝2β+α， ∵AB∥CD， ∴∠BGH+∠GHD＝180°， ∴（90°+α）+（2β+α）＝180°， ∴α+β＝45°， ∴若∠N＝∠BGM，，则∠MHG的＝∠GHE+∠EHM＝（β﹣α）+2α＝α+β＝45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线，角的和差等知识，解题的关键是掌握平行线的性质． 2．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题如图，已知AB∥CD，∠BAE＝87°，∠DCE＝121°，则∠E的度数是　34°　 ． 【分析】延长CD交AB于F，根据两直线平行，同位角相等，可得∠CFE＝∠BAE＝87°，再根据三角形外角的性质得∠CFE+∠E＝∠DCE，即可求解． 【解答】解：如图，延长CD交AB于F， ∵AB∥CD，∠BAE＝87°， ∴∠CFE＝∠BAE＝87°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠CFE+∠E＝∠DCE， ∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣87°＝34°， 故答案为：34°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 3．如图，直线a∥b，则∠A＝　44　 度． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵a∥b， ∴∠ABE＝∠ADF＝75°， ∴∠A＝∠ABE﹣∠ACB＝75°﹣31°＝44°． 故答案为：44． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 4．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【分析】过点H作HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案． 【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC， ∴AB∥CD， ∴①正确； 过点H作HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥HQ∥CD， ∴∠EHQ＝∠AEH＝∠NEB，∠GHQ＝∠HGC， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y， ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∴∠FEN+∠FGH＝2（x+y）＝2∠EHG， ∴②正确； ∵∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG， ∴∠EFM＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴③错误； 3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键． 5．如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 【分析】过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN，则MN∥PQ∥AG∥EH；设设∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，则，∠DBN＝2x，∠ECP＝2y，所以∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y，∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y，由平行的性质可知，∠DEC＝2（x+y），∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣150°＝α，可得x+y36°α，所以∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 【解答】解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH， ∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣180°＝α， ∴x+y36°α， ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，几何直观得出角之间的和差关系，正确添加辅助线是解题的关键． 6．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：如图①∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）如图②，求∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系，并说明理由． （3）如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，求∠BAE的度数． 【分析】（1）由平行线的性质推出∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，得到∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP，即可解决问题； （2）由平行线的性质推出∠MKP＝∠CNP，由三角形外角的性质即可得到∠AMP＝∠P+∠CNP； （3）延长EA交BC于点L，由平行线的性质推出∠ALC＝∠C＝60°，求出∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，由三角形外角的性质得到∠BAE＝∠B+∠ALB＝145°． 【解答】解：（1）∵AB∥MN∥CD， ∴∠DPN＝∠CDP，∠BPN＝∠ABP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （2）∠AMP＝∠P+∠CNP，AB与NP相交于点K， 理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP； （3）如图③，延长EA交BC于点L， ∵AE∥CD， ∴∠ALC＝∠C＝60°， ∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°， ∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°． 【点评】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，熟知平行线的性质与三角形外角的性质是解题的关键． 7．如图，直线m∥n，Rt△ABC的直角顶点C在直线m上，顶点B在直线n上，AB与直线m交于点D，∠1＝75°，∠2＝55°，求∠A的度数． 【分析】根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠A的度数即可． 【解答】解：∵m∥n， ∴∠1+∠ABC+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠1＝75°，∠2＝55°， ∴∠ABC＝50°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 8．已知：AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，N为AB与CD之间一点． （1）如图1，求证：∠EMF＝∠BEM+∠MFD； （2）如图2，∠BEM＝40°，MH平分∠EMF，∠BEM的平分线与MH的反向延长线交于点N，若∠MFD＝60°，求∠N的度数； （3）如图3，FT平分∠MFC，TE平分∠FTM，∠TMF＝90°，请求出的值． 【分析】（1）过M向左作MQ∥AB，利用平行线的性质得到∠EMQ＝∠BEM，∠FMQ＝∠MFD，然后利用角的和差解题即可； （2）设直线MH、CD交于点G，由（1）得，∠BEN+∠G＝∠N，∠BEM+∠DFM＝∠EMF，过F作FP∥MG，则有∠MFP＝∠FMH，然后根据∠DFM＝∠MFP+∠DFP解题即可； （3）设∠MFD＝x，则有∠CFT＝∠TFM＝90°﹣0.5x，过点T向右作TS∥AB，可得∠STF＝∠CFT，由（1）得∠STM+∠MFD＝∠TMF＝90°，可以求出∠STM，进而计算∠ETF，即可求比值． 【解答】（1）证明：过M向左作MQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MQ∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠EMQ＝∠BEM，∠FMQ＝∠MFD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EMQ+∠FMQ＝∠BEM+∠MFD， ∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD； （2）解：设直线MH、CD交于点G， ∵MH平分∠EMF，∠BEM＝40°， ∴（角平分线的性质）， 设∠EMH＝∠FMH＝α， ∵AB∥CD， 由（1）得，∠BEN+∠G＝∠N， ∴∠G＝∠N﹣∠BEN＝∠N﹣20°， 由（1）得，∠BEM+∠DFM＝∠EMF， ∴∠MFD＝∠EMF﹣∠BEM＝2α﹣40°＝60°，即α＝50°， 过F作FP∥MG，则∠MFP＝∠FMH＝α＝50°，∠DFP＝∠G＝∠N﹣20°， ∴∠MFD＝∠MFP+∠DFP＝50°+∠N﹣20°＝60°， ∴∠N＝30°； （3）解：设∠MFD＝x， ∵FT平分∠MFC， ∴∠CFT＝∠TFM＝90°﹣0.5x（角平分线的性质）， 过点T向右作TS∥AB， ∵AB∥CD， ∴TS∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠STF＝∠CFT＝90°﹣0.5x（两直线平行，内错角相等）， 由（1）得∠STM+∠MFD＝∠TMF＝90°， ∴∠STM＝90°﹣x， ∴∠FTM＝∠STF﹣∠STM＝（90°﹣0.5x）﹣（90°﹣x）＝0.5x， ∵TE平分∠FTM， ∴， ∴． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间． （1）如图1，过点M作MP∥AB，利用平行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为 　∠1+∠2＝∠EMF ． （2）①如图2，若∠1＝30°，∠2：∠3＝1：2，试判断ME与MF的位置关系，并说明理由； ②如图3，若∠1＝30°，点F在点E的右侧，N为直线CD下方一点，EM平分∠AEN，FC平分∠MFN，求∠EMF+∠ENF的大小． 【分析】（1）过点M作MP∥AB，得到PM∥CD，推出∠1＝∠PME，∠2＝∠PMF，得到∠1+∠2＝∠EMF； （2）①应用（1）的结论，求出∠M＝∠2+∠1＝90°，即可解决问题； ②应用（1）的结论得到∠M＝∠1+∠2＝30°+∠2，由三角形外角的性质求出∠N＝60°﹣∠CFN，由角平分线定义得到∠2＝∠CFN，因此∠EMF+∠ENF＝90°． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠1＝∠PME，∠2＝∠PMF， ∴∠1+∠2＝∠PME+∠PMF， ∴∠1+∠2＝∠EMF， ∴∠1，∠2，∠EMF 之间的数量关系为：∠1+∠2＝∠EMF， 故答案为：∠1+∠2＝∠EMF； （2）①ME⊥MF，理由如下： ∵∠2：∠3＝1：2，∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝60°， 由（1）知：∠M＝∠2+∠1＝60°+30°＝90°， ∴ME⊥MF； ②由（1）得：∠M＝∠1+∠2＝30°+∠2， ∵ME平分∠AEN， ∴∠AEN＝2∠1＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠EKD＝∠AEN＝60°， ∴∠N＝60°﹣∠CFN， ∵FC平分∠MFN， ∴∠2＝∠CFN， ∴∠EMF+∠ENF＝90°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1+∠2＝∠EMF，应用（1）的结论来解决问题． 10．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2． （1）如图1，求证：EF∥GH； （2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求∠ENF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值． 【分析】（1）根据AB∥CD得∠1＝∠DHG＝∠2，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）设EN交CD于点K，根据N平分∠BEF，设∠BEN＝∠FEN＝α，则∠BEF＝2α，根据EF∥GH，∠EGH＝180°﹣2α，根据AB∥CD得∠FHM＝∠EGH＝180°﹣2α，∠EKF＝∠BEN＝α，根据FM⊥GH得∠DFM＝90°﹣∠FHM＝2α﹣90°，进而根据FN平分∠DFM得∠DFN∠DFM＝α﹣45°，然后根据三角形外角性质得∠EKF＝∠DFN+∠ENF，据此即可得出∠ENF的度数； （3）根据在（2）的条件下，设∠BEN＝∠FEN＝α，则∠FHM＝∠EGH＝180°﹣2α，∠HFM＝2α﹣90°，根据3∠FEN＝4∠HFM得3α＝4（2α﹣90°），由此解得α＝72°，进而得∠BEN＝∠FEN＝α＝72°，∠FHM＝∠EGH＝180°﹣2α＝36°，根据三角形外角性质得∠GPN＝∠BEN+∠EGH＝108°，再根据GQ是∠AGH的平分线得∠AGQ∠EGH＝18°，然后根据AB∥CD得∠GQH＝∠AGQ＝18°，由此即可得出的值． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DHG， ∵∠1＝∠2， ∵∠DHG＝∠2， ∴EF∥GH； （2）解：设EN交CD于点K，如图所示： ∵N平分∠BEF， ∴设∠BEN＝∠FEN＝α， ∴∠BEF＝2α， 由（1）可知：EF∥GH， ∴∠EGH＝180°﹣∠BEF＝180°﹣2α， ∵AB∥CD， ∴∠FHM＝∠EGH＝180°﹣2α，∠EKF＝∠BEN＝α， ∵FM⊥GH交GH延长线于点M， ∴△FHM是直角三角形， ∴∠DFM＝90°﹣∠FHM＝90°﹣（180°﹣2α）＝2α﹣90°， ∵FN平分∠DFM， ∴∠DFN∠DFM（2α﹣90°）＝α﹣45°， ∵∠EKF是△KFN的外角， ∴∠EKF＝∠DFN+∠ENF， ∴∠ENF＝∠EKF﹣∠DFN＝α﹣（α﹣45°）＝45°； （3）∵在（2）的条件下， ∴设∠BEN＝∠FEN＝α， 则∠FHM＝∠EGH＝180°﹣2α，∠HFM＝2α﹣90°， ∵3∠FEN＝4∠HFM， ∴3α＝4（2α﹣90°）， 解得：α＝72°， ∴∠BEN＝∠FEN＝α＝72°，∠FHM＝∠EGH＝180°﹣2α＝36°， ∵∠GPN是△PEG的外角， ∴∠GPN＝∠BEN+∠EGH＝72°+36°＝108°， ∵GQ是∠AGH的平分线． ∴∠AGQ∠EGH36°＝18°， ∵AB∥CD， ∴∠GQH＝∠AGQ＝18°， ∴， ∴的值为． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，直角三角形的性质，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 11．材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，AB∥CD，EF⊥AB，交AB于点Q，FG交CD于点P．请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点F处作MN∥CD，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作QN∥FG，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，AB∥CD，反向延长∠ABP的平分线BE，交直线CD于点F，点H在直线CD上，连接PH，若∠EFC＝50°，∠PHC＝70°，求∠P的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，AB∥CD，DN平分∠CDP，且AP⊥PD，∠PAB+2∠PAN＝180°，请直接写出∠DNA的度数． 【分析】（1）根据题意，结合图形，作平行线，利用平行线的性质，得到∠EFG＝90°+∠DPG； （2）根据题意，结合图形，过点P作 PM∥CD，结合角平分线，得到结果； （3）根据题意，过P点作PM∥AB，利用三角形内角和定理，得到∠DNA+∠NDP＝∠DPA+∠PAN，结合平行线性质和角平分线，得到结果． 【解答】解：（1）∠EFG＝90°+∠DPG， 选择明明同学，过程如下： 在点F处作MN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠DPG＝∠NFG， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥MN， ∴∠EFN＝90°， ∴∠EFG＝∠EFN+∠NFG＝90°+∠DPG， 即∠EFG＝90°+∠DPG； 选择欣欣同学，过程如下： 过点Q作QN∥FG，交CD于点M， ∴∠EFG＝∠EQN，∠DPG＝∠DMN， ∵AB∥CD， ∴∠DMN＝∠BQN， ∵EF⊥AB， ∴∠EQB＝90°， ∴∠EFG＝∠EQN＝90°+∠BQN＝90°+∠DPG， 即∠EFG＝90°+∠DPG； （2）如图，过点P作 PM∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥PM∥CD， ∴∠MPH＝180°﹣∠PHC＝180°﹣70°＝110°，∠ABE＝∠EFC＝50°， ∵BE平分∠ABP， ∴∠ABP＝2∠ABE＝2×50°＝100°， ∴∠MPB＝180°﹣∠ABP＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BPH＝∠MPH﹣∠MPB＝110°﹣80°＝30°， 即∠P 的度数为30°； （3）如图⑤，过P点作PM∥AB，则PM∥AB∥CD， ∵∠NOD＝∠POA， ∴∠DNA+∠NDP＝∠DPA+∠PAN， ∵DN平分∠CDP， ∴∠NDP∠CDP， ∵CD∥PM， ∴∠CDP＝∠DPM， ∴∠NDP∠DPM， ∵AP⊥PD， ∴∠DPA＝90°， ∴∠DNA∠DPM＝90°+∠PAN， ∴∠DNA（∠DPA+∠APM）＝90°+∠PAN， ∴∠DNA（90°+∠APM）＝90°+∠PAN， ∴∠DNA+45°∠APM＝90°+∠PAN， ∵PM∥AB， ∴∠APM＝180°﹣∠PAB， ∴∠DNA+45°（180°﹣∠PAB）＝90°+∠PAN， 即∠DNA∠PAB+∠PAN﹣45°， ∵∠PAB+2∠PAN＝180°， ∴∠PAB+∠PAN＝90°， ∴∠DNA＝90°﹣45°＝45°， 即∠DNA＝45°． 【点评】本题考查了平行线的性质应用，角度的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12．（1）基础问题：如图（1），若AB∥CD，∠BEP＝140°，∠PFC＝50°，则∠EPF的度数为　90　 °． （2）问题迁移：如图（2），若AB∥CD，点P在AB的上方，问：∠PEA、∠PFC、∠EPF之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知∠EPF＝α°，∠PFC＝β°，∠PEA的角平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G＝　　 °（用含有α、β的代数式表示）． 【分析】（1）过点P作PH平行于AB，再结合平行线的性质进行计算即可； （2）根据平行线的性质找出关系即可； （3）根据平行线的性质及角平分的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）过点P作PH平行于AB， ∵AB∥CD，PH∥AB， ∴PH∥CD，∠BEP+∠EPH＝180°， ∴∠PFC＝∠FPH． ∵∠BEP＝140°，∠PFC＝50°， ∴∠EPH＝40°，∠FPH＝50°， ∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝90°． 故答案为：90； （2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由如下： 如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠PMA＝∠PFC． ∵∠PMA＝∠PEA+∠EPF， ∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF； （3）∵∠EPF＝α°，∠PFC＝β°， ∴∠PEA＝β°﹣α°， ∵EG平分∠PEA， ∴∠GEA∠PEA． ∵FG平分∠PFC， ∴∠GFC∠PFC． ∵AB∥CD， ∴∠GNA＝∠GFC， ∴∠G＝∠GNA﹣∠GEA． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、列代数式及角平分线的定义，熟知平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 13．【问题背景】 已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接BP、DP． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线AB、CD之间时，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，过点E作EF∥AB．若∠ABP＝50°，∠CDP＝70°，求∠BED的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在AB的上方时，若∠ABP＝α，∠CDP＝β，∠ABP和∠CDP的角平分线交于点E1，过点E1作E1F1∥AB．求∠BE1D的度数；（用含α、β的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在AB的上方时，点M、F分别在AB、CD的延长线上，点H为DP和AB的交点，BQ平分∠ABP，BQ的反向延长线与∠PDF的角平分线交于点E，过点E作EG∥AB．试说明：∠DEB＝90°（∠AHP﹣∠ABP）． 【分析】（1）根据平行线的判定可知AB∥CD∥EF，利用平行线的性质可证∠ABE＝25°，∠CDE＝35°，再根据角之间的位置关系可得∠BED＝60°； （2）先推导出E1F1∥AB∥CD，得到∠ABE1＝∠F1E1B，∠CDE1＝∠F1E1D，继而证明∠F1E1B，，则，即可解答． （3）先推导出AB∥CD∥EG，∠PHA＝∠PDC，得到∠BED＝∠BEG+∠DEG＝∠ABQ+∠EDF，继而推导出，∠EDF∠PDF（180°﹣∠PDC），代入计算即可解答． 【解答】（1）解：∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BEF，∠EDC＝∠DEF， ∵BE平分∠ABP，DE平分∠CDP， ∴，， ∵∠ABP＝50°，∠CDP＝70°， ∴，， ∴∠BEF＝25°，∠DEF＝35°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+35°＝60°． （2）解：∵AB∥CD，E1F1∥AB， ∴E1F1∥AB∥CD， ∴∠ABE1＝∠F1E1B，∠CDE1＝∠F1E1D， ∵DE1和BE1分别是∠CDP和∠ABP的角平分线， ∴∠CDE1∠CDP，， ∴，， ∴∠BE1D＝∠F1E1D﹣∠F1E1B． （3）证明：∵AB∥CD，EG∥AB， ∴AB∥CD∥EG，∠PHA＝∠PDC， ∴∠GEB＝∠MBE＝∠ABQ，∠GED＝∠EDF， ∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝∠ABQ+∠EDF，∠P＝∠PDC﹣∠ABP， ∵BQ平分∠ABP，DE平分∠PDF， ∴∠BEG＝∠ABQ＝2∠ABP，， ∴∠BED＝2∠ABP+（180°﹣∠PDC）＝90°+2（∠ABP﹣∠PHA）＝90°﹣（∠AHP﹣∠ABP）， 即． 【点评】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，角的和差，掌握相关知识点是解题的关键． 14．【感知探究】如图①，已知，AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上．求证：∠MEN＝∠BME+∠DNE． 【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为 　∠BMF＝∠MFN+∠FND ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知AB∥DE，∠BAC＝120°，∠D＝80°，则∠ACD＝　20　 °． 【分析】【感知探究】过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可求解； 【类比迁移】如图②，过F作FH∥AB，根据平行线的性质即可得到结论； 【结论应用】如图③，过C作CG∥AB，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】【感知探究】证明：如图①，过点E作EF∥AB， 则∠MEF＝∠BME， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠NEF＝∠DNE， ∴∠MEN＝∠MEF+∠NEF， 即∠MEN＝∠BME+∠DNE； 【类比迁移】∠BMF＝∠MFN+∠FND． 证明：如图②，过F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN+∠FND． 故答案为：∠BMF＝∠MFN+∠FND； 【结论应用】如图③，过C作CG∥AB， ∴∠GCA＝180°﹣∠BAC＝60°， ∵AB∥DE， ∴CG∥DE， ∴∠GCD＝∠CDE＝80°， ∴∠ACD＝20°， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查平行线的性质，作辅助线是解题的关键． 15．（1）已知AB∥CD ①如图1，求证：∠B＝∠E+∠D； ②如图2，F为AB，CD之间一点，连接EF，DF，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠D＝120°，求∠B，∠G之间的数量关系； （2）如图3，若AB与CD交于点H，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠B﹣∠BHD＝115°，∠D＝120°，则∠G＝　92.5°　 ． 【分析】（1）①过点E作EF∥AB，进而得到EF∥CD，根据平行线的性质求解；②过点G作GH∥AB，根据平行线的判定和性质，角平分线的性质求解； （2）延长EB交CD于点M，利用三角形外角性质得到∠BMD＝65°，再用四边形内角和三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）①过点E作EF∥AB． 由条件可知EF∥CD， ∴∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠DEF＝180°， ∴∠B+∠BEF＝∠DEF+∠D＝∠BEF+∠BED+∠D， 即∠B＝∠E+∠D． ②过点G作GH∥AB，过点F作FM∥AB． 由条件可知AB∥GH∥FM∥CD． ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，设∠BEF＝2x，∠EFD＝2y． 由①可知∠B＝∠HGE+∠BEG， 即∠B＝x+∠HGE． ∵GH∥MF∥CD， ∴∠HGF+∠GFM＝180°，∠MFD+∠D＝180°， ∴∠HGF+∠GFM+∠MFD+∠D＝360°， ∴∠HGF＝360°﹣y﹣120°＝240°﹣y． 由条件可知∠B﹣x+240°﹣y+180°﹣x﹣y＝360°， ∴∠B﹣2（x+y）＝﹣60°． ∵x+y＝180°﹣∠EGF， ∴∠B﹣2×（180°﹣∠EGF）＝﹣60°， ∴∠B+2∠EGF＝300°． （2）延长EB交CD于点M， 由条件可得∠BMH＝115°， ∴∠BMD＝180°﹣115°＝65°． ∵∠BMD+∠D+∠BEF+∠EFD＝360°， 设∠BEF＝2x，∠EFD＝2y，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠EGF＝180°﹣（x+y）， ∴2∠EGF＝360°﹣2（x+y）＝360°﹣（∠BEF+∠EFD）， ∴∠BEF+∠EFD＝306°﹣2∠EGF， ∴65°+120°+360°﹣2∠EGF＝360°， ∴∠EGF＝92.5°， 故答案为：92.5°． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，四边形的内角和，理解平行线的判定和性质是解答关键． 16．已知E，F分别是AB，CD上的动点，P也为一动点． （1）如图1，若AB∥CD，试说明：∠P＝∠BEP+∠PFD； （2）如图2，若∠PFD＝∠P+∠BEP，试说明：AB∥CD； （3）如图3，AB∥CD，移动E、F，使∠EPF＝90°，若∠PEG＝∠BEP，则　2　 ． 【分析】（1）过P作PQ∥AB，由AB∥CD，得到PQ∥CD∥AB，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由∠EPF＝∠1+∠2，等量代换就可得证； （2）过P作PQ∥AB，得到∠QPE＝∠PEB，然后推导∠PFD＝∠PGB，由此可得出结论； （3）由（1）中的结论∠EPF＝∠BEP+∠PFD，则有∠PFD＝90°﹣∠BEP，利用平角定义表示出∠AEG，即可得到结论． 【解答】（1）证明：过P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD∥AB， ∴∠BEP＝∠1，∠2＝∠PFD， ∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD； （2）证明：过P作PQ∥AB， ∴∠QPE＝∠PEB， 又∵∠EPF＝∠PFD﹣∠BEP，∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE， ∴∠PFD＝∠QPF， ∴PQ∥CD， 又∵PQ∥AB， ∴AB∥CD； （3）解：过点作PQ∥AB， 由（1）可得：∠EPF＝∠BEP+∠PFD＝90°，即∠PFD＝90°﹣∠BEP， ∵∠PEG＝∠PEB， ∴∠AEG＝180°﹣∠BEP﹣∠PEG＝180°﹣2∠BEP＝2（90°﹣∠BEP）＝2∠PFD， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解答此题的关键． 17．综合与实践 （1）如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠AMP＝32°，∠DNP＝128°，求∠MPN的度数． （2）如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，则∠AMP，∠CNP，∠MPN之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，∠MPN＝α，∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E，求∠MEN的度数．（结果用含α的式子表示） 【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质得出∠MPE＝∠AMP＝32°，∠EPN＝180°﹣∠DNP＝180°﹣128°＝52°，最后求出结果即可； （2）过点P作PQ∥CD，根据平行公理得出AB∥CD∥PQ，根据平行线的性质得出∠CNP＝∠NPQ，∠AMP＝∠MPQ，最后求出结果即可； （3）过点E作EF∥CD，根据平行线公理得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠NEF＝∠CNE，∠AME＝∠MEF，根据角平分线定义得出，根据解析（2），得出∠AMP＝∠MPN+∠CNP，最后得出结果即可． 【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥AB， ∵PE∥AB， ∴∠MPE＝∠AMP＝32°． ∵AB∥CD， ∴CD∥PE， ∴∠EPN＝180°﹣∠DNP＝52°， ∴∠MPN＝∠MPE+∠EPN＝84°． （2）∠AMP＝∠MPN+∠CNP． 理由：如图2，过点P作PQ∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PQ， ∴∠CNP＝∠NPQ， ∵∠MPQ＝∠NPQ+∠MPN， ∴∠MPQ＝∠CNP+∠MPN， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠AMP， ∴∠AMP＝∠CNP+∠MPN． （3）如图3，过点E作EF∥CD， ∵CD∥AB， ∴CD∥AB∥EF， ∴∠CNE＝∠NEF，∠MEF＝∠AME， ∵∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E． ∴， 由（2）得∠AMP＝∠MPN+∠CNP， ∵∠MPN＝α， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 18．（1）【问题】 如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】 如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠FPQ＝30°，∠BEP＝∠EPQ＝25°，进而可求解； （2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，根据平行线的性质可得∠PEA＝∠NPE，即可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，结合PN∥CD可求解； （3）过点G作AB的平行线GH．由平行线的性质可得∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴CD∥PQ． ∴∠CFP+∠FPQ＝180° ∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°， 又∵PQ∥AB， ∴∠BEP＝∠EPQ＝25°， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°； （2）∠PFC＝∠PEA+∠P， 理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD， ∴∠PEA＝∠NPE， ∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE， ∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE， ∵PN∥CD， ∴∠FPN＝∠PFC， ∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P； （3）如图3，过点G作AB的平行线GH． ∵GH∥AB，AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG， 又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G， ∴∠HGE＝∠AEG∠AEP，∠HGF＝∠CFG∠CFP， 同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP， ∴∠HGF（∠P+∠AEP）（α+∠AEP）， ∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE（α+∠AEP）﹣∠HGEα∠AEP﹣∠HGEα． 【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 19．直线MN∥PQ，点A在直线PQ上，点B在直线MN、PQ之间，∠BAP＝45°，点C在直线MN上，记∠MCB＝α（0°＜α＜22.5°）． （1）如图1，求∠ABC的度数；（用含α的代数式表示） （2）过点B作∠ABD交直线PQ于点D（D在A的右侧）使得，点E为平面内一点且满足，直线CE与直线BD交于点F． （i）如图2，若点E在直线MN上方，求∠BFC与∠MCB的数量关系； （ii）如图3，若点E在直线MN下方，G是线段CB延长线的动点，H是线段BD上的动点，且满足∠GFB+∠HCF＝150°，连接GH，试说明三角形BCF，BFG，BGH，BCH中必有某两个三角形的面积相等． 【分析】（1）过点B作BK∥MN，根据两直线平行，内错角相等即可求解； （2）（i）先可求，，过点F作FT∥MN，由平行线的性质可得∠TFC＝∠MCF＝α，过B作B∥MN，得到，进而可得； （ii）通过证明∠GFB+∠HCF＝150°，得到FG∥HC，再根据两直线平行，直线上任意一点到直线的距离相等即可求解． 【解答】解：（1）过点B作BK∥MN， ∵BK∥MN， ∴∠KBC＝∠MCB＝α， ∵MN∥PQ， ∴BK∥PQ， ∴∠KBA＝∠PAB＝45°， ∴∠ABC＝∠KBA+∠KBC＝45°+α； （2）（i）∵∠ABD∠ABC且∠ABC＝45°+α， ∴，， 过点F作FT∥MN，则FT∥PQ， ∵， ∴∠MCF＝∠MCB＝α， ∵FT∥MN， ∴∠TFC＝∠MCF＝α， 过B作BI∥MN，则BI∥EF， ∴∠CBI＝∠MCB＝α， ∴∠DBI＝∠CBD， ∵BI∥FT， ∴， ∴， ∴； （ii）∵，∠MCB＝α， ∴，， ∵， ∴， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°， ∵∠GFB+∠HCF＝150°， ∴∠GFB+∠BFC+∠HCF＝180°，即∠GFC+∠HCF＝180°， ∴FG∥HC， 设三角形BCF的面积为S1，三角形BFG的面积为S2，三角形BGH的面积为S3，三角形BCH的面积为S4， ∵FG∥HC， ∴点C，H到GF的距离相等，则S1+S2＝S2+S3， ∴S1＝S3，即三角形BCF的面积与三角形BGH的面积相等． 【点评】本题主要考查平行线的性质，角的计算，三角形面积的理解，掌握两直线平行，同位角相等、同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 20．已知∠ABE＝α，AB∥CD，BE⊥CE． （1）如图1，求∠ECD的度数；（用含α的代数式表示） （2）如图2，∠ECD的角平分线与∠ABE的角平分线BF的反向延长线交于点G，求∠BGC的度数； （3）在（2）的条件下，点H为射线CD上一动点，HK∥CE交直线FG于点K，若α＝50°，∠GHK＝30°，直接写出∠CGH的度数． 【分析】（1）过点E作EH∥AB，点H在点E的右侧，则AB∥EH∥CD，由此得∠BEH＝∠ABE＝α，∠CEH+∠ECD＝180°，进而得∠CEH＝90°﹣α，∠ECD＝180°﹣∠CEH＝90°+α； （2）过点G作GP∥AB，点P在点G的左侧，则∠ABF＝1/2∠ABE＝α/2，由（1）的结论得∠ECD＝90°+α，则∠GCD∠ECD，证明GP∥AB∥CD得∠PGB＝∠ABF，∠PGC＝∠GCD，再根据“∠BGC＝∠PGC﹣∠PGB”可得，∠BGC的度数； （3）根据在（2）的条件下，α＝50°得∠GCD＝70°，再分两种情况讨论如下：①当点K在线段CG上时，过点G作GM∥CD，点M在点G的右侧，先求出∠CHK＝40°，则∠CHG＝70°，根据GM∥CD得∠MGH＝∠CHG＝70°，∠MGC＝180°﹣∠GCD＝110°，由此得∠CGH＝∠MGC﹣∠MGH＝40°；②当点K在CG的延长线上时，过点G作GN∥CD，点N在点G的右侧，先求出∠CHK＝40°，则∠CHG＝10°，根据GN∥CD得∠KGN＝∠GCD＝70°，∠NGH＝∠CHG＝10°，由此得∠KGH＝∠KGN+∠NGH＝80°，进而得∠CGH＝100°，综上所述可得∠CGH的度数． 【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，点H在点E的右侧，如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EH∥CD， ∵∠ABE＝α， ∴∠BEH＝∠ABE＝α，∠CEH+∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°﹣∠CEH， ∵BE⊥CE， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CEH＝∠BEC﹣∠BEH＝90°﹣α， ∴∠ECD＝180°﹣∠CEH＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α， 即∠ECD的度数为90°+α； （2）过点G作GP∥AB，点P在点G的左侧，如图2所示： ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABF∠ABE， 由（1）的结论得：∠ECD＝90°+α， ∵CG平分∠ECD， ∴∠GCD∠ECD， ∵AB∥CD，GP∥AB， ∴GP∥AB∥CD， ∴∠PGB＝∠ABF，∠PGC＝∠GCD， ∴∠BGC＝∠PGC﹣∠PGB45°， 即∠BGC的度数为45°； （3）∵在（2）的条件下，α＝50°， ∴∠GCD70°， 依题意有以下两种情况： ①当点K在线段CG上时，过点G作GM∥CD，点M在点G的右侧，如图3①所示： ∵HK∥CE， ∴∠CHK＝180°﹣∠ECD＝40°， 又∵∠GHK＝30°， ∴∠CHG＝∠CHK+∠GHK＝70°， ∵GM∥CD， ∴∠MGH＝∠CHG＝70°，∠MGC＝180°﹣∠GCD＝180°﹣70°＝110°， ∴∠CGH＝∠MGC﹣∠MGH＝110°﹣70°＝40°； ②当点K在CG的延长线上时，过点G作GN∥CD，点N在点G的右侧，如图3②所示： ∵HK∥CE， ∴∠CHK＝180°﹣∠ECD＝40°， 又∵∠GHK＝30°， ∴∠CHG＝∠CHK﹣∠GHK＝10°， ∵GN∥CD， ∴∠KGN＝∠GCD＝70°，∠NGH＝∠CHG＝10°， ∴∠KGH＝∠KGN+∠NGH＝80°， ∴∠CGH＝180°﹣∠KGH＝100°， 综上所述：∠CGH的度数为40°或100°． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（脚丫子模型） 在初中几何中，平行线的角度关系是核心考点，而“拐点模型”是其中最具代表性的一类工具型模型。它源于两条平行线被折线所截的图形，因拐点处的折线形态类似铅笔头（或子弹）而得名。这类模型不仅是高频考点，更能帮我们建立“复杂图形拆解为基本模型”的几何思维。本专题将系统梳理拐点模型的核心规律、证明方法与应用技巧，带你从“会算”到“会思”，彻底掌握这一解题利器。本专题就平行线中的拐点模型铅笔头模型（子弹模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型：在两条平行线被一条折线所截的图形中，折线的转折点即为“拐点”，由此构成的角度关系模型统称为平行线拐点模型。 通用解法：过拐点作已知平行线的平行线（辅助线用虚线绘制，标注清晰），构造“三线八角”基本图形（同位角、内错角、同旁内角）； 基本思路：通过作平行线，将复杂的折线角拆分为多个内错角或同旁内角，利用“两直线平行，内错角相等/同旁内角互补”的性质，实现角度的“和差拆分”与“等角转化”。 模型解读 2 模型证明 2 模型运用 3 4 前两专题我们已掌握了M 型（猪蹄型）（拐点在平行线间，角度和）与铅笔头模型（子弹型）（拐点在平行线外侧，角度和为 360°）两类拐点模型。而当拐点移动到平行线外侧，且折线呈现 “向内凹、形似牛角” 的形态时，便构成了牛角模型。 这一模型是前两类模型的重要补充，核心区别在于拐点处的角度为 “和差型” 而非直接求和，是检验学生对平行线性质灵活应用、分类辨析能力的关键载体。本讲将从模型来源、严谨证明到分层应用，系统拆解牛角模型，帮助你彻底区分三类拐点模型，攻克几何计算与证明难题。 图1： 条件：如图1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：. 证明：如图，延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝， ∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴； 图2： 条件：如图2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：. 证明：如图，延长AB交DE于点F， ∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-， ∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴； 例1为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 　30°　 ． 例2如图，已知AB∥DE，点C在AB上方，连接BC，CD．∠ABC＝150°，CB与DF互相垂直，垂足为F，求∠EDF的度数为（　　） A．30° B．60° C．55° D．65° 例3将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边a∥b的有（　　） ①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°；⑤∠1+∠4＝90°． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例4【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例：如图①，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在直线AB，CD之间，试说明：∠EPF＝∠AEP+∠CFP． 解：过点P向右作PQ∥AB， ∴∠EPQ＝∠AEP． ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD． ∴∠FPQ＝∠CFP． ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠AEP+∠CFP． 可以运用以上思路方法解答下列问题： 【类比应用】 （1）如图②，已知AB∥CD，∠D＝40°，点G在PA的延长线上，∠GAB＝60°，求∠APD的度数； （2）如图③，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，直接写出∠PAB，∠CEP，∠APE之间数量关系是　 　 ； 【拓展应用】 （3）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，∠PED的平分线与∠PAB 的平分线所在直线交于点Q，直接写出的值　 　 ． 1．如图，AB∥CD，点M在直线AB，CD之间，GH是∠AGM的平分线，连接GM，HM，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，，则∠MHG的度数为　 　 ． 2．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题如图，已知AB∥CD，∠BAE＝87°，∠DCE＝121°，则∠E的度数是　 　 ． 3．如图，直线a∥b，则∠A＝　 　 度． 4．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 5．如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 6．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：如图①∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）如图②，求∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系，并说明理由． （3）如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，求∠BAE的度数． 7．如图，直线m∥n，Rt△ABC的直角顶点C在直线m上，顶点B在直线n上，AB与直线m交于点D，∠1＝75°，∠2＝55°，求∠A的度数． 8．已知：AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，N为AB与CD之间一点． （1）如图1，求证：∠EMF＝∠BEM+∠MFD； （2）如图2，∠BEM＝40°，MH平分∠EMF，∠BEM的平分线与MH的反向延长线交于点N，若∠MFD＝60°，求∠N的度数； （3）如图3，FT平分∠MFC，TE平分∠FTM，∠TMF＝90°，请求出的值． 9．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间． （1）如图1，过点M作MP∥AB，利用平行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为 　 ． （2）①如图2，若∠1＝30°，∠2：∠3＝1：2，试判断ME与MF的位置关系，并说明理由； ②如图3，若∠1＝30°，点F在点E的右侧，N为直线CD下方一点，EM平分∠AEN，FC平分∠MFN，求∠EMF+∠ENF的大小． 10．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2． （1）如图1，求证：EF∥GH； （2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求∠ENF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值． 11．材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，AB∥CD，EF⊥AB，交AB于点Q，FG交CD于点P．请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点F处作MN∥CD，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作QN∥FG，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，AB∥CD，反向延长∠ABP的平分线BE，交直线CD于点F，点H在直线CD上，连接PH，若∠EFC＝50°，∠PHC＝70°，求∠P的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，AB∥CD，DN平分∠CDP，且AP⊥PD，∠PAB+2∠PAN＝180°，请直接写出∠DNA的度数． 12．（1）基础问题：如图（1），若AB∥CD，∠BEP＝140°，∠PFC＝50°，则∠EPF的度数为　 　 °． （2）问题迁移：如图（2），若AB∥CD，点P在AB的上方，问：∠PEA、∠PFC、∠EPF之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知∠EPF＝α°，∠PFC＝β°，∠PEA的角平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G＝　 　 °（用含有α、β的代数式表示）． 13．【问题背景】 已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接BP、DP． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线AB、CD之间时，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，过点E作EF∥AB．若∠ABP＝50°，∠CDP＝70°，求∠BED的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在AB的上方时，若∠ABP＝α，∠CDP＝β，∠ABP和∠CDP的角平分线交于点E1，过点E1作E1F1∥AB．求∠BE1D的度数；（用含α、β的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在AB的上方时，点M、F分别在AB、CD的延长线上，点H为DP和AB的交点，BQ平分∠ABP，BQ的反向延长线与∠PDF的角平分线交于点E，过点E作EG∥AB．试说明：∠DEB＝90°（∠AHP﹣∠ABP）． 14．【感知探究】如图①，已知，AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上．求证：∠MEN＝∠BME+∠DNE． 【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为 　 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知AB∥DE，∠BAC＝120°，∠D＝80°，则∠ACD＝　 　 °． 15．（1）已知AB∥CD ①如图1，求证：∠B＝∠E+∠D； ②如图2，F为AB，CD之间一点，连接EF，DF，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠D＝120°，求∠B，∠G之间的数量关系； （2）如图3，若AB与CD交于点H，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠B﹣∠BHD＝115°，∠D＝120°，则∠G＝　 　 ． 16．已知E，F分别是AB，CD上的动点，P也为一动点． （1）如图1，若AB∥CD，试说明：∠P＝∠BEP+∠PFD； （2）如图2，若∠PFD＝∠P+∠BEP，试说明：AB∥CD； （3）如图3，AB∥CD，移动E、F，使∠EPF＝90°，若∠PEG＝∠BEP，则　 　 ． 17．综合与实践 （1）如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠AMP＝32°，∠DNP＝128°，求∠MPN的度数． （2）如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，则∠AMP，∠CNP，∠MPN之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，∠MPN＝α，∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E，求∠MEN的度数．（结果用含α的式子表示） 18．（1）【问题】 如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】 如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 19．直线MN∥PQ，点A在直线PQ上，点B在直线MN、PQ之间，∠BAP＝45°，点C在直线MN上，记∠MCB＝α（0°＜α＜22.5°）． （1）如图1，求∠ABC的度数；（用含α的代数式表示） （2）过点B作∠ABD交直线PQ于点D（D在A的右侧）使得，点E为平面内一点且满足，直线CE与直线BD交于点F． （i）如图2，若点E在直线MN上方，求∠BFC与∠MCB的数量关系； （ii）如图3，若点E在直线MN下方，G是线段CB延长线的动点，H是线段BD上的动点，且满足∠GFB+∠HCF＝150°，连接GH，试说明三角形BCF，BFG，BGH，BCH中必有某两个三角形的面积相等． 20．已知∠ABE＝α，AB∥CD，BE⊥CE． （1）如图1，求∠ECD的度数；（用含α的代数式表示） （2）如图2，∠ECD的角平分线与∠ABE的角平分线BF的反向延长线交于点G，求∠BGC的度数； （3）在（2）的条件下，点H为射线CD上一动点，HK∥CE交直线FG于点K，若α＝50°，∠GHK＝30°，直接写出∠CGH的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $