专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型（骨折模型）（几何模型讲义）数学新教材沪科版七年级下册

专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型（骨折模型） 在初中几何中，平行线的角度关系是核心考点，而“拐点模型”是其中最具代表性的一类工具型模型。它源于两条平行线被折线所截的图形，因拐点处的折线形态不同，衍生出M型、铅笔头、牛角、羊角（骨折）等多种具体模型。这类模型不仅是期中、期末几何压轴题的高频考点，更能帮我们建立“复杂图形拆解为基本模型”的几何思维。本专题将系统梳理拐点模型的核心规律、证明方法与应用技巧，带你从“会算”到“会思”，彻底掌握这一解题利器。本专题就平行线中的拐点模型——羊角模型（骨折模型）进行梳理及对应试题分析，方便精准掌握。 拐点（平行线）模型：在两条平行线被一条折线所截的图形中，折线的转折点即为“拐点”，由此构成的角度关系模型统称为平行线拐点模型。其中，折线向同侧弯折、形似羊角或骨折的形态，即为本次重点梳理的羊角模型（骨折模型）。 通用解法：过拐点作已知平行线的平行线（辅助线用虚线绘制，标注清晰），构造“三线八角”基本图形（同位角、内错角、同旁内角）； 基本思路：通过作平行线，将复杂的折线角拆分为多个内错角（羊角模型核心），利用“两直线平行，内错角相等”的性质，实现角度的“差量拆分”与“等角转化”，尤其适配羊角模型的同侧弯折特征，快速推导角度差关系。 模型解读 2 模型证明 2 模型运用 2 习题练模型 8 “两条平行线间的外侧同侧折线，形成角度差”的图形，因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。 图1： 条件：如图1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：. 证明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝， ∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴； 图2： 条件：如图2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：. 证明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-， ∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴； 例1如图，AB∥CD，∠AFE＝140°，∠DCE＝70°，则∠CEF的度数是（　　） A．30° B．40° C．25° D．35° 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求出∠1的度数，邻补角求出∠EFB的度数，三角形的外角求出∠CEF的度数即可． 【解答】解：由题意可得： ∴∠1＝∠DCE＝70°， ∵∠AFE＝140°， ∴∠EFB＝180°﹣∠AFE＝40°， ∵∠1＝∠CEF+∠EFB， ∴∠CEF＝30°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角，正确进行计算是解题关键． 例2如图，已知AC∥DE，∠B＝24°，∠D＝58°，则∠C＝（　　） A．24° B．34° C．58° D．82° 【答案】B 【分析】由平行线的性质可求得∠DAC，再利用三角形外角的性质可求得∠C． 【解答】解： ∵AC∥DE， ∴∠DAC＝∠D＝58°， ∵∠DAC＝∠B+∠C， ∴∠C＝∠DAC﹣∠B＝58°﹣24°＝34°， 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补． 例3将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边a∥b的有（　　） ①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°；⑤∠1+∠4＝90°． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据同位角相等，两直线平行可判定①⑤，根据内错角相等，两直线平行可判定②，根据同旁内角互补可判断④． 【解答】解：①∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故①可以； ②∵∠3＝∠4， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故②可以； ③∠2+∠4＝90°，无法得出a∥b，故③不可以； ④∵∠4+∠5＝180°， ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），故④可以； ⑤∵∠2+∠4＝90°，∠1+∠4＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故⑤可以． 综上所述，能判定纸带边a∥b的有4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，关键是平行线判定定理的应用． 例4如图，直线a∥b，则∠A＝　44　 度． 【答案】44． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵a∥b， ∴∠ABE＝∠ADF＝75°， ∴∠A＝∠ABE﹣∠ACB＝75°﹣31°＝44°． 故答案为：44． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 例5如图，已知AB∥CD，点F、G分别在AB、CD上，点E在AB、CD之间，连结EF、EG，FQ平分∠BFE，GH平分∠CGE且交FQ的反向延长线于点H，交AB于点P，∠BFE＝70°，∠DGE＝40°．给出下面四个结论： ①∠DGH＝110°； ②EF∥GH； ③∠HFE＝∠E； ④∠H＝∠AFH． 上述结论中，正确结论的序号有　①②④　 ． 【答案】①②④． 【分析】由补角的性质以及角平分线的性质，计算∠HGE的度数，得出∠DGH的度数，判断结论①； 由平行的性质得出∠GPB＝∠CGH＝70°，结合∠GPB＝∠BFE＝70°，可证EF∥GH，判断结论②；分别计算出∠HFE与∠E的度数，判断结论③；由EF∥GH与FQ平分∠BFE，结合对顶角相等，找出等量关系，可证∠H＝∠AFH，判断结论④． 【解答】解：∵∠DGE＝40°， ∴∠CGE＝180°﹣∠DGE＝180°﹣40°＝140°， ∵GH平分∠CGE， ∴， ∴∠DGH＝∠HGE+∠DGE＝110°， 所以结论①正确； ∵AB∥CD， ∴∠GPB＝∠CGH＝70°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠GPB＝∠BFE＝70°， ∴EF∥GH（同位角相等，两直线平行）， 故结论②正确； ∵EF∥GH，∠HGE＝70°， ∴∠E＝180°﹣∠HGE＝180°﹣70°＝110°， ∵∠BFE＝70°，FQ平分∠BFE， ∴， ∴∠HFE＝180°﹣∠EFQ＝145°≠∠E， 故结论③错误； ∵EF∥GH， ∴∠H＝∠EFQ＝∠BFQ， ∵∠BFQ＝∠AFH， ∴∠H＝∠AFH， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练运用这些知识点是解题的关键． 例6如图1，AB∥CD，M，N为直线AB，CD上的点，EM和EN交于点E． （1）若∠EMB＝35°，∠END＝65°，则∠MEN的度数是　30°　 ． （2）求证：∠MEN＝∠END﹣∠EMB． （3）如图2，MQ平分∠EMB，NQ平分∠END，若∠MEN＝α，试用含α的代数式表示∠MQN的度数． 【答案】（1）30°； （2）∵AB∥CD， ∴∠EHB＝∠END． ∵∠MEN＝∠EHB﹣∠EMB， ∴∠MEN＝∠END﹣∠EMB； （3）． 【分析】（1）根据平行线的性质进行计算即可； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】（1）解：如图所示， ∵AB∥CD，∠END＝65°， ∴∠EHB＝∠END＝65°． 又∵∠EMB＝35°， ∴∠MEN＝∠EHB﹣∠EMB＝65°﹣35°＝30°． 故答案为：30°； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠EHB＝∠END． ∵∠MEN＝∠EHB﹣∠EMB， ∴∠MEN＝∠END﹣∠EMB； （3）解：如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠EGB＝∠END． ∵∠MEN＝∠EGB﹣∠EMB， ∴∠MEN＝∠END﹣∠EMB， 同理可得，∠MQN＝∠QND﹣∠QMB． ∵MQ平分∠EMB，NQ平分∠END， ∴∠QMB∠EMB，∠QND∠END， ∴∠MQN（∠END﹣∠EMB）∠MEN． ∵∠MEN＝α， ∴∠MQN． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 1．如图，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于点G、F．若∠E＝30°，∠CFE＝125°，则∠BGE的度数为（　　） A．25° B．55° C．45° D．50° 【答案】B 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”，可求∠AGF，再根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：∵∠CFE＝125°，AB∥CD， ∴∠AGF+∠CFE＝180°，即∠AGF＝180°﹣∠CFE＝180°﹣125°＝55°， ∵∠BGE＝∠AGF， ∴若∠E＝30°，∠CFE＝125°，则∠BGE＝55°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若m∥n，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【分析】先得出∠DAB＝60°，再根据平行线的性质得出∠ABE＝∠DAB＝60°，进而根据∠ABD＝45°，得出答案． 【解答】解：如图： ∵∠1＝30°（已知）， ∴∠DAB＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°， ∵m∥n， ∴∠ABE＝∠DAB＝60°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABD＝45°， ∴∠2＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 则∠2的度数为75°， 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 3．如图，a∥b，∠1＝35°，∠3＝115°，则∠2的度数是（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【答案】D 【分析】由a∥b，得∠3＝∠DBE＝115°，由三角形的外角性质可得∠DBE＝∠1+∠2，然后代入即可求解． 【解答】解：如图， ∵a∥b，∠3＝115°， ∴∠3＝∠DBE＝115°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠DBE＝∠1+∠2＝115°，∠1＝35°， ∴∠2＝115°﹣35°＝80°， 则∠2的度数是80°， 故选：D． 4．如图，AB∥CD，∠F＝37°，∠C＝65°，那么∠A等于（　　） A．28° B．63° C．37° D．60° 【答案】A 【分析】由平行线的性质推出∠BEF＝∠C＝65°，由三角形的外角性质得到∠A＝∠BEF﹣∠F＝28°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF＝∠C＝65°， ∵∠F＝37°， ∴∠A＝∠BEF﹣∠F＝28°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BEF＝∠C． 5．如图，AB∥ED，∠A＝35°，∠C＝15°，则∠D的度数是（　　） A．120° B．130° C．110° D．135° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵AB∥ED，∠A＝35°， ∴∠CMD＝∠A＝35°． ∵∠C＝15°， ∴∠D＝180°﹣15°﹣35°＝130°． 故选：B． 6．如图，在数学活动课上，小明同学将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放置在矩形的两条对边上，则∠1，∠2的数量关系为（　　） A．∠2﹣∠1＝30° B．∠1+∠2＝90° C．∠2＝2∠1 D．∠1+∠2＝60° 【答案】A 【分析】根据三角形外角的性质可得∠3＝30°+∠1，然后利用平行线的性质可得答案． 【解答】解：如图， ∵矩形的对边平行， ∴∠2＝∠3， ∵∠3＝30°+∠1， ∴∠2＝30°+∠1， ∴∠2﹣∠1＝30°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 7．如图，已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠B＝30°），并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠2＝3∠1，则∠3的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 【答案】B 【分析】先根据三角形外角的性质和已知条件求出∠2＝3∠1＝45°，再利用平行线的性质求出答案即可． 【解答】解：∵∠2＝3∠1，∠2＝∠1+∠B，∠B＝30° ∴∠B＝2∠1＝30°， ∴∠1＝15°， ∴∠2＝3∠1＝3×15°＝45°， ∵m∥n， ∴∠2+∠3+∠ACB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠ACB＝45°， 则∠3的度数是45°， 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 8．如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠BFC＝α，∠ABF＝β，则α与β满足的关系式为（　　） A．α+β＝90° B．α+2β＝180° C． D．β＝4α 【答案】D 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵∠ABF＝β，， ∴∠CBFβ． ∵∠BFC＝α， ∴∠BCE＝∠CBF+∠BFC． ∵射线CE平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠BCE＝2α+β． ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD， 则， 整理得，β＝4α． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟知平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 9．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+∠G＝α°，则∠EFG的度数为（　　） A．° B．° C．α° D．° 【答案】D 【分析】过G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠2＝∠5，∠6＝∠4，进而可得∠FGH＝∠2+∠4，再利用平行线的性质进行等量代换可得3∠1＝2α°，求出∠1的度数，然后可得答案． 【解答】解：过G作GM∥AB， ∴∠2＝∠5， ∵AB∥CD， ∴MG∥CD， ∴∠6＝∠4， ∴∠FGH＝∠5+∠6＝∠2+∠4， ∵FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线， ∴∠1＝∠2∠EFG，∠3＝∠4EHD， ∴∠E+∠1+∠2+∠EHD＝2α°， ∵AB∥CD， ∴∠ENB＝∠EHD， ∴∠E+∠1+∠2+∠ENB＝2α°， ∵∠1＝∠E+∠ENB， ∴∠1+∠1+∠2＝2α°， ∴3∠1＝2α°， ∴∠1°， ∴∠EFG＝2α°°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是正确作出辅助线，掌握两直线平行同位角相等，内错角相等． 10．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点Q在AB的上方，连接QF，QE，点P在AB与CD之间，连接PF，连接PE并延长至点H，满足∠QEH＝2∠HEB，∠PFQ＝2∠PFC，设∠Q＝33°，则∠P的度数为（　　） A．68° B．70° C．71° D．72° 【答案】C 【分析】延长FP交AB于点M，根据平行线的性质及三角形外角的性质进行计算即可． 【解答】解：延长FP交AB于点M， ∵∠QEH＝2∠HEB，∠PFQ＝2∠PFC， ∴令∠BEH＝α，∠QEH＝2α，∠PFC＝β，∠PFQ＝2β． ∵AB∥CD， ∴∠BNF＝∠CFN＝3β，∠NMF＝∠PFC＝β， ∴∠QNB＝180°﹣3β． ∵∠QEB＝∠Q+∠QNB，∠Q＝33°， ∴3α＝33°+180°﹣3β， 解得α+β＝71°． ∵∠EPF＝∠PEM+∠NMF＝α+β， ∴∠EPF＝71°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及角的计算，熟知平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 11．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在直线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB＝110°．则下列结论： ①∠MAB＝∠BAD； ②∠ABM＝∠BAM； ③∠NBC＝∠BDH； ④设∠CBM＝α，则； ⑤∠DBA＝55°． 其中，正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】AB平分∠DAC，得到∠MAB＝∠BAD，平行线的性质得到∠ABM＝∠BAD，进而得到∠ABM＝∠BAM，BN平分∠FBC，结合平行线的性质，得到∠NBC＝∠BDH，三角形内角和求出∠CMB，平行线的性质，得到∠CAD的度数，角平分线求出∠BAD的度数，设∠CBM＝α，根据角的和差关系求出∠DBA＝55°． 【解答】解：∵AB平分∠DAC， ∴∠MAB＝∠BAD；故①正确； ∵EF∥GH， ∴∠ABM＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABM＝∠BAM；故②正确； ∵EF∥GH， ∴∠NBF＝∠BDH， ∵BN平分∠FBC， ∴∠NBC＝∠NBF， ∴∠NBC＝∠BDH；故③正确； ∵∠ACB＝110°，∠CBM＝α， ∴∠CMB＝180﹣110°﹣α＝70°﹣α， ∵EF∥GH， ∴∠CAD＝∠CMB＝70°﹣α（两直线平行，同位角相等）， ∵AB平分∠DAC， ∴；故④错误； 设∠CBM＝α，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴∠DBA＝180°﹣∠ABN＝55°；故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤．所以只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 12．如图，已知m∥n，则下列式子中，它的值等于180°的是（　　） A．∠1+∠2+∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．∠3+∠2﹣∠1 D．∠1+∠2﹣∠3 【答案】B 【分析】过∠2的顶点作l∥n得出∠4＝180°﹣∠3，进而根据平行线的性质可得∠1＝∠2+∠4＝180°﹣∠3+∠2，移项，即可求解． 【解答】解：如图，过∠2的顶点作l∥n ∴∠4＝180°﹣∠3（两直线平行，同旁内角互补）， ∵m∥n， ∴l∥m（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠1＝∠2+∠4＝180°﹣∠3+∠2， ∴∠1+∠3﹣∠2＝180°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 13．如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 【答案】B 【分析】过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN，则MN∥PQ∥AG∥EH；设设∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，则，∠DBN＝2x，∠ECP＝2y，所以∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y，∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y，由平行的性质可知，∠DEC＝2（x+y），∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣150°＝α，可得x+y36°α，所以∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 【解答】解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH， ∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣180°＝α， ∴x+y36°α， ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，几何直观得出角之间的和差关系，正确添加辅助线是解题的关键． 14．将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠3＝65°，则∠2＝　55°　 ． 【答案】55°． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵直尺的对边平行，∠3＝65°， ∴∠4＝∠3＝65°． ∵∠1+∠4＝90°， ∴∠1＝90°﹣65°＝25°， ∴∠2＝∠1+30°＝25°+30°＝55°． 故答案为：55°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 15．如图，AB∥CD，点M在直线AB，CD之间，GH是∠AGM的平分线，连接GM，HM，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，，则∠MHG的度数为　45°　 ． 【答案】45°． 【分析】过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，可得∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，由∠HGN，可得∠HGN＝β﹣α，从而∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝2β+α，又∠BGH+∠GHD＝180°，即知α+β＝45°，故∠MHG＝α+β＝45°． 【解答】解：过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，如图： 设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，则∠N＝∠BGM＝2α， ∴∠AGM＝180°﹣2α， ∵GH平分∠AGM， ∴， ∴∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α， ∵AB∥CD， ∴MF∥AB∥CD， ∴∠FMH＝∠MHD，∠GMF＝∠BGM， ∴∠GMH＝∠GMF+∠FMH＝∠BGM+∠MHD＝2α+β， ∵， ∴， ∴∠HGN＝β﹣α， ∵HE∥CN， ∴∠EHM＝∠N＝2α，∠GHE＝∠HGN＝β﹣α， ∴∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝（β﹣α）+2α+β＝2β+α， ∵AB∥CD， ∴∠BGH+∠GHD＝180°， ∴（90°+α）+（2β+α）＝180°， ∴α+β＝45°， ∴若∠N＝∠BGM，，则∠MHG的＝∠GHE+∠EHM＝（β﹣α）+2α＝α+β＝45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线，角的和差等知识，解题的关键是掌握平行线的性质． 16．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是　①②④　 ． 【答案】①②④． 【分析】过点H作HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y，分别表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案． 【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴结论①正确； 过点H作HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥HQ∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠GHQ＝∠HGC（两直线平行，内错角相等），∠EHQ＝∠AEH＝∠NEB， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y， ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∴∠FEN+∠FGH＝2（x+y）＝2∠EHG， ∴结论②正确； ∵∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG， ∴∠EFM＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴结论③错误； 3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴结论④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理和性质的熟练掌握． 18．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间． （1）如图1，过点M作MP∥AB，利用平行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为 　∠1+∠2＝∠EMF ． （2）①如图2，若∠1＝30°，∠2：∠3＝1：2，试判断ME与MF的位置关系，并说明理由； ②如图3，若∠1＝30°，点F在点E的右侧，N为直线CD下方一点，EM平分∠AEN，FC平分∠MFN，求∠EMF+∠ENF的大小． 【答案】（1）∠1+∠2＝∠EMF；（2）①ME⊥MF，理由见解析；②90°． 【分析】（1）过点M作MP∥AB，得到PM∥CD，推出∠1＝∠PME，∠2＝∠PMF，得到∠1+∠2＝∠EMF； （2）①应用（1）的结论，求出∠M＝∠2+∠1＝90°，即可解决问题； ②应用（1）的结论得到∠M＝∠1+∠2＝30°+∠2，由三角形外角的性质求出∠N＝60°﹣∠CFN，由角平分线定义得到∠2＝∠CFN，因此∠EMF+∠ENF＝90°． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠1＝∠PME，∠2＝∠PMF， ∴∠1+∠2＝∠PME+∠PMF， ∴∠1+∠2＝∠EMF， ∴∠1，∠2，∠EMF 之间的数量关系为：∠1+∠2＝∠EMF， 故答案为：∠1+∠2＝∠EMF； （2）①ME⊥MF，理由如下： ∵∠2：∠3＝1：2，∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝60°， 由（1）知：∠M＝∠2+∠1＝60°+30°＝90°， ∴ME⊥MF； ②由（1）得：∠M＝∠1+∠2＝30°+∠2， ∵ME平分∠AEN， ∴∠AEN＝2∠1＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠EKD＝∠AEN＝60°， ∴∠N＝60°﹣∠CFN， ∵FC平分∠MFN， ∴∠2＝∠CFN， ∴∠EMF+∠ENF＝90°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1+∠2＝∠EMF，应用（1）的结论来解决问题． 19．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　∠EAB ，∠C＝　∠DAC ， 又∵　∠EAB +∠BAC+　∠DAC ＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【答案】（1）∠EAB；∠DAC；∠EAB；∠DAC；180°； （2）∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D． 【分析】（1）过点A作，ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答； （2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等）， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．综合与实践 （1）如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠AMP＝32°，∠DNP＝128°，求∠MPN的度数． （2）如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，则∠AMP，∠CNP，∠MPN之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，∠MPN＝α，∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E，求∠MEN的度数．（结果用含α的式子表示） 【答案】（1）84°；（2）∠AMP＝∠MPN+∠CNP，理由见解析；（3）． 【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质得出∠MPE＝∠AMP＝32°，∠EPN＝180°﹣∠DNP＝180°﹣128°＝52°，最后求出结果即可； （2）过点P作PQ∥CD，根据平行公理得出AB∥CD∥PQ，根据平行线的性质得出∠CNP＝∠NPQ，∠AMP＝∠MPQ，最后求出结果即可； （3）过点E作EF∥CD，根据平行线公理得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠NEF＝∠CNE，∠AME＝∠MEF，根据角平分线定义得出，根据解析（2），得出∠AMP＝∠MPN+∠CNP，最后得出结果即可． 【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥AB， ∵PE∥AB， ∴∠MPE＝∠AMP＝32°． ∵AB∥CD， ∴CD∥PE， ∴∠EPN＝180°﹣∠DNP＝52°， ∴∠MPN＝∠MPE+∠EPN＝84°． （2）∠AMP＝∠MPN+∠CNP． 理由：如图2，过点P作PQ∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PQ， ∴∠CNP＝∠NPQ， ∵∠MPQ＝∠NPQ+∠MPN， ∴∠MPQ＝∠CNP+∠MPN， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠AMP， ∴∠AMP＝∠CNP+∠MPN． （3）如图3，过点E作EF∥CD， ∵CD∥AB， ∴CD∥AB∥EF， ∴∠CNE＝∠NEF，∠MEF＝∠AME， ∵∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E． ∴， 由（2）得∠AMP＝∠MPN+∠CNP， ∵∠MPN＝α， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型（骨折模型） 在初中几何中，平行线的角度关系是核心考点，而“拐点模型”是其中最具代表性的一类工具型模型。它源于两条平行线被折线所截的图形，因拐点处的折线形态不同，衍生出M型、铅笔头、牛角、羊角（骨折）等多种具体模型。这类模型不仅是期中、期末几何压轴题的高频考点，更能帮我们建立“复杂图形拆解为基本模型”的几何思维。本专题将系统梳理拐点模型的核心规律、证明方法与应用技巧，带你从“会算”到“会思”，彻底掌握这一解题利器。本专题就平行线中的拐点模型——羊角模型（骨折模型）进行梳理及对应试题分析，方便精准掌握。 拐点（平行线）模型：在两条平行线被一条折线所截的图形中，折线的转折点即为“拐点”，由此构成的角度关系模型统称为平行线拐点模型。其中，折线向同侧弯折、形似羊角或骨折的形态，即为本次重点梳理的羊角模型（骨折模型）。 通用解法：过拐点作已知平行线的平行线（辅助线用虚线绘制，标注清晰），构造“三线八角”基本图形（同位角、内错角、同旁内角）； 基本思路：通过作平行线，将复杂的折线角拆分为多个内错角（羊角模型核心），利用“两直线平行，内错角相等”的性质，实现角度的“差量拆分”与“等角转化”，尤其适配羊角模型的同侧弯折特征，快速推导角度差关系。 模型解读 2 模型证明 2 模型运用 2 习题练模型 4 “两条平行线间的外侧同侧折线，形成角度差”的图形，因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。 图1： 条件：如图1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：. 证明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝， ∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴； 图2： 条件：如图2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：. 证明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-， ∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴； 例1如图，AB∥CD，∠AFE＝140°，∠DCE＝70°，则∠CEF的度数是（　　） A．30° B．40° C．25° D．35° 例2如图，已知AC∥DE，∠B＝24°，∠D＝58°，则∠C＝（　　） A．24° B．34° C．58° D．82° 例3将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边a∥b的有（　　） ①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°；⑤∠1+∠4＝90°． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例4如图，直线a∥b，则∠A＝ 度． 例5如图，已知AB∥CD，点F、G分别在AB、CD上，点E在AB、CD之间，连结EF、EG，FQ平分∠BFE，GH平分∠CGE且交FQ的反向延长线于点H，交AB于点P，∠BFE＝70°，∠DGE＝40°．给出下面四个结论： ①∠DGH＝110°； ②EF∥GH； ③∠HFE＝∠E； ④∠H＝∠AFH． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 例6如图1，AB∥CD，M，N为直线AB，CD上的点，EM和EN交于点E． （1）若∠EMB＝35°，∠END＝65°，则∠MEN的度数是 ． （2）求证：∠MEN＝∠END﹣∠EMB． （3）如图2，MQ平分∠EMB，NQ平分∠END，若∠MEN＝α，试用含α的代数式表示∠MQN的度数． 1．如图，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于点G、F．若∠E＝30°，∠CFE＝125°，则∠BGE的度数为（　　） A．25° B．55° C．45° D．50° 2．将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若m∥n，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．如图，a∥b，∠1＝35°，∠3＝115°，则∠2的度数是（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 4．如图，AB∥CD，∠F＝37°，∠C＝65°，那么∠A等于（　　） A．28° B．63° C．37° D．60° 5．如图，AB∥ED，∠A＝35°，∠C＝15°，则∠D的度数是（　　） A．120° B．130° C．110° D．135° 6．如图，在数学活动课上，小明同学将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放置在矩形的两条对边上，则∠1，∠2的数量关系为（　　） A．∠2﹣∠1＝30° B．∠1+∠2＝90° C．∠2＝2∠1 D．∠1+∠2＝60° 7．如图，已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠B＝30°），并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠2＝3∠1，则∠3的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 8．如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠BFC＝α，∠ABF＝β，则α与β满足的关系式为（　　） A．α+β＝90° B．α+2β＝180° C． D．β＝4α 9．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+∠G＝α°，则∠EFG的度数为（　　） A．° B．° C．α° D．° 10．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点Q在AB的上方，连接QF，QE，点P在AB与CD之间，连接PF，连接PE并延长至点H，满足∠QEH＝2∠HEB，∠PFQ＝2∠PFC，设∠Q＝33°，则∠P的度数为（　　） A．68° B．70° C．71° D．72° 11．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在直线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB＝110°．则下列结论： ①∠MAB＝∠BAD； ②∠ABM＝∠BAM； ③∠NBC＝∠BDH； ④设∠CBM＝α，则； ⑤∠DBA＝55°． 其中，正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 12．如图，已知m∥n，则下列式子中，它的值等于180°的是（　　） A．∠1+∠2+∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．∠3+∠2﹣∠1 D．∠1+∠2﹣∠3 13．如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 14．将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠3＝65°，则∠2＝ ． 15．如图，AB∥CD，点M在直线AB，CD之间，GH是∠AGM的平分线，连接GM，HM，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，，则∠MHG的度数为 ． 16．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是 ． 18．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间． （1）如图1，过点M作MP∥AB，利用平行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为 ． （2）①如图2，若∠1＝30°，∠2：∠3＝1：2，试判断ME与MF的位置关系，并说明理由； ②如图3，若∠1＝30°，点F在点E的右侧，N为直线CD下方一点，EM平分∠AEN，FC平分∠MFN，求∠EMF+∠ENF的大小． 19．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝ ，∠C＝ ， 又∵ +∠BAC+ ＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝ ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 20．综合与实践 （1）如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠AMP＝32°，∠DNP＝128°，求∠MPN的度数． （2）如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，则∠AMP，∠CNP，∠MPN之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，∠MPN＝α，∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E，求∠MEN的度数．（结果用含α的式子表示） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $