专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 26 模型1.羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例1．（2024·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 例2．（2023下·福建福州·七年级统考期末）如图，已知，．求证：．    例3．（23-24七年级下·北京·期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，，，，，点是上一点．  （1）的度数为 ；（2）若．则与 （填“平行”或“不平行”）． 例5．（2023下·内蒙古·七年级统考期中）如图（1），，猜想与、的数量关系，并说明理由．    ①读下列过程，并填写理由．解：猜想． 理由：过点作．∴．（___________） ∵（已知），（辅助线的作法）． ∴．（___________）∴． ∴．∴． ②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知，猜想图中的与、的数量关系，并说明理由．③观察图（3）和图（4），已知，直接写出图中的与、的数量关系，不必说明理由． 例6．（2023下·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，在中，E在边BC上，过点E作，交AC于点F，若D为BC边上的动点，连接DF、DA，设，．(1)如图①，当D在线段BE上时．①若，，则________；②试证明． (2)如图②，当点D在线段EC上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由． (3)如图③，当点D在BC延长线上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．    1．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 5．（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）如图，，，则（    ）    A． B． C． D． 6．（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角，要求使，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．（2023下·湖南永州·七年级校考阶段练习）如图，直线，相交于点，．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，，，，点在上，点在上，则的度数为(    )    A． B． C． D． 9．（2023下·福建三明·七年级统考期中）如图，与交于点，于点．若，则 度．    10．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，，，则 ．    11．（2023上·广东·八年级专题练习）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ．    12．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，    （1）若，，则 ；（2）与之间满足的数量关系是 ． 13．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    14．（2023下·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）（1）问题：如图1，若，，．求的度数；（2）问题迁移：如图2，，点P在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；（3）联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有的式子表示的度数，请说明理由；      15．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．(1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点．①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ．    16．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． (1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？ (2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 17．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）【问题原型】如图①，，点M在直线AB、CD之间，请说明， 【问题迁移】如图②，，点M与直线CD分别在AB的两侧，请写出、、之间有怎样的数量关系，不需要证明．    【推广应用】（1）如图③，，点M在直线AB、CD之间，的平分线与的平分线交于点N，，则______°；（2）如图④，，点M与直线CD分别在AB的两侧，的平分线与的平分线交于点N，，则______°；（3）如图⑤，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则______°．    18．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知， (1)如图1，求证：；(2)如图2，若为，之间的一点，，且． ①平分交于点，若，，求的度数；②若，，，则和之间的数量关系是__________．（用含的式子表示） 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 26 模型1.羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例1．（2024·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 【答案】57° 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°． 例2．（2023下·福建福州·七年级统考期末）如图，已知，．求证：．    【答案】证明见解析 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 例3．（23-24七年级下·北京·期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①当∠1＝∠B时，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，故①符合题意； ②当∠EFD＋∠B＝180°时， ∵∠BFC＝∠EFD，∴∠BFC＋∠B＝180°，∴AB∥CD，故②符合题意； ③当∠B＝∠D时，无法判断AB∥CD，故③不符合题意； ④当∠E＝∠B时，无法判断AB∥CD，故④不符合题意； ⑤当∠BFD＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故⑤符合题意． 则符合题意的有①②⑤，共3个．故选：B． 例4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，，，，，点是上一点．  （1）的度数为 ；（2）若．则与 （填“平行”或“不平行”）． 【答案】 /度 平行 【详解】解：（1）∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴；故答案为：． （2）∵，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：平行． 例5．（2023下·内蒙古·七年级统考期中）如图（1），，猜想与、的数量关系，并说明理由．    ①读下列过程，并填写理由．解：猜想． 理由：过点作．∴．（___________） ∵（已知），（辅助线的作法）． ∴．（___________）∴． ∴．∴． ②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知，猜想图中的与、的数量关系，并说明理由．③观察图（3）和图（4），已知，直接写出图中的与、的数量关系，不必说明理由． 【答案】①两直线平行，同旁内角互补；平行线公理的推论②，理由见详解③ 【详解】解：①猜想．理由：过点作．        ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知），（辅助线的作法）． ∴．（平行线公理的推论）∴． ∴．∴． ②，理由：过点作． ∵，∴．∴，．∴． ③如图（3），理由：∵，∴， ∵，∴，即． 如图（4），，理由：∵，∴， ∵，∴，即． 例6．（2023下·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，在中，E在边BC上，过点E作，交AC于点F，若D为BC边上的动点，连接DF、DA，设，．(1)如图①，当D在线段BE上时．①若，，则________；②试证明． (2)如图②，当点D在线段EC上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由． (3)如图③，当点D在BC延长线上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．    【答案】(1)①；②见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析． 【详解】（1）解：①过点D作，，，，， ∵，，， ，，，故答案为：；         ②过点D作，∵，，， ，，； （2）解：，理由如下：设AD与EG的交点为M， ，，是的外角， ，； （3）解：，理由如下：设EG与AD的交点为N， ∵，，是的外角，． 1．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴,故选：． 2．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， ∵，， ∴．故选：B 3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，故选：C． 4．（2023·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，    ∵，，∴，故选：B． 5．（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）如图，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 6．（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角，要求使，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∵，∴，故选：C． 7．（2023下·湖南永州·七年级校考阶段练习）如图，直线，相交于点，．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， 又∵，∴，故选：B． 8．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，，，，点在上，点在上，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，．故选：B． 9．（2023下·福建三明·七年级统考期中）如图，与交于点，于点．若，则 度．    【答案】53 【详解】解：，，， ，，．故答案为：． 10．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，，，则 ．    【答案】/60度 【详解】  如图，过点C作，∴， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为： 11．（2023上·广东·八年级专题练习）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ．    【答案】/68度 【详解】解：如图，延长交于M．由题意设，．    则有，得：， ∵，∴， ∵，∴，故答案为：． 12．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，    （1）若，，则 ；（2）与之间满足的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：（1）延长，交与点H，令和相交于点I， ∵，，∴， ∵，，∴， ∵，  ∴，， ∵平分，∴，∴， ∴，故答案为：20°；       （2）设，∴， ∵平分，∴， ∴，∴， ∵，，∴，   ∵，∴， ∵，，， ∴，即， 整理得：．故答案为： 13．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    【答案】/22度 【详解】解：如图，过点作，，    ∵直线，，， ，故答案为：． 14．（2023下·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）（1）问题：如图1，若，，．求的度数；（2）问题迁移：如图2，，点P在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；（3）联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有的式子表示的度数，请说明理由；      【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1）如图，过点作，，          ，，，； （2），理由如下：过点作， ，即， ，，，即， ； （3）由（2）得：， 的平分线和的平分线交于点，，， 如图，过点作，， ，，， ． 15．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．(1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点．①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ．    【答案】(1)(2)数量关系：，理由见解析(3)① ，② 【详解】（1）解：过点作，          ，，，， ，故答案为：； （2）数量关系：，证明：过点作， ，，，， ． （3）①过点作，，， ，，． 又平分，平分，， 由（2）可得 ②，理由如下：：，，， ，，， ，故答案为：． 16．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． (1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？ (2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 【答案】(1)图①：；图②：；图③：；图④： (2)以图③为例说明理由见解析 【详解】（1）图①：；如图，过点E作， ∵， ∴，∴，， ∴，∴ 图②：；如图，过点E作， ∵， ∴，∴，， ∴，∴； 图③：；证明见小问2详解； 图④：；如图，过点E作， ∵， ∴，∴，， ∴，∴ （2）以图③为例：如图，过点E作， ∵， ∴，∴，． ∵，∴． 17．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）【问题原型】如图①，，点M在直线AB、CD之间，请说明， 【问题迁移】如图②，，点M与直线CD分别在AB的两侧，请写出、、之间有怎样的数量关系，不需要证明．    【推广应用】（1）如图③，，点M在直线AB、CD之间，的平分线与的平分线交于点N，，则______°；（2）如图④，，点M与直线CD分别在AB的两侧，的平分线与的平分线交于点N，，则______°；（3）如图⑤，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则______°．    【答案】【问题原型】见解析；【问题迁移】；【推广应用】（1）48；（2）50；（3）39 【问题原型】如图，作，则， ∵，∴，∴， ∴；          【问题迁移】，理由如下： 如图，∵，∴，∴； 【推广应用】 （1）由【问题原型】的结论可得：， ∵的平分线与的平分线交于点N，∴， ∴，∴； （2）由【问题迁移】的结论可得：， ∵的平分线与的平分线交于点N，∴， ∴，∴； （3）如图，延长交于点N，∵，，∴，∴， ∵，∴，则由（1）题的结论可得：． 18．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知， (1)如图1，求证：；(2)如图2，若为，之间的一点，，且． ①平分交于点，若，，求的度数；②若，，，则和之间的数量关系是__________．（用含的式子表示） 【答案】(1)证明见解析(2)①；② 【详解】（1）如图，过点作，∴， 又∵，∴，∴，即． （2）①如图，过点作，设， ∵，，，∴， 由（1）知：，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，解得：，即，∴的度数为； ②如图，过点作，∵，，∴， ∵，，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，由（1）知：， ∴，∴， ∴和之间的数量关系是，故答案为：． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$