专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版七年级下册

专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 在初中几何中，平行线的角度关系是核心考点，而“拐点模型”是其中最具代表性的一类工具型模型。它源于两条平行线被折线所截的图形，因拐点处的折线形态类似猪蹄（M 型）或锯齿而得名。这类模型不仅是期中、期末乃至中考的高频考点，更能帮我们建立 “复杂图形拆解为基本模型”的几何思维。本专题将系统梳理拐点模型的核心规律、证明方法与应用技巧，带你从“会算”到 “会思”，彻底掌握这一解题利器。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型：在两条平行线被一条折线所截的图形中，折线的转折点即为 “拐点”，由此构成的角度关系模型统称为平行线拐点模型。 通用解法：过拐点作已知平行线的平行线（辅助线用虚线绘制，标注清晰），构造 “三线八角” 基本图形（同位角、内错角、同旁内角）； 基本思路：通过作平行线，将复杂的折线角拆分为多个内错角或同旁内角，利用 “两直线平行，内错角相等 / 同旁内角互补” 的性质，实现角度的 “和差拆分” 与 “等角转化”。 1 模型来源 1 模型证明 2 模型运用 3 4 先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。 ①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。 图1： 条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 证明：如图1，过点P作PQ∥AM，（辅助线用虚线，标注字母，避免与原图混淆） ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． 图2： 条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 证明：根据图1中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 图3： 条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 证明：由图2的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例1如图，已知直线AB∥CD，点E在AB和CD之间，连接AE，CE，若∠2＝55°，∠3＝35°，则∠1＝　 　 °． 例2如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠1＝10°，那么∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 例3如图，船C在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（　　）度． A．20° B．35° C．55° D．60° 例4如图，AB∥CD，BE为∠ABC的平分线，DE为∠ADC的平分线，∠ADC＝72°，∠BCD＝42°，则∠BED的度数为 　 　 °． 例5如图1，已知点E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD． （1）若∠EMF＝80°，则∠AEM+∠CFM＝　 　 ． （2）如图2，在图1的基础上，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN∠AEM，∠CFN∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠ENF的度数（用α表示），并说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q，若∠AEP∠AEM，∠CFP∠CFM，∠BEQ∠BEM，∠DFQ∠DFM，请直接写出∠P与∠Q间的数量关系． 例6【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由． （2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①【类比探究】如图②，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠BAD＝36°，∠BCD＝80°，EF平分∠BED交直线于点F，则∠BEF＝　 　 ． ②【拓展延伸】如图③，AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点E，∠BAD＝36°，∠BCD＝80°，过点D作DG∥CB交直线AB于点G，AH平分∠BAD，DH平分∠CDG，求∠AHD的度数，并说明理由． 1．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝125°，∠2＝35°，则∠BEC的度数为（　　） A．90° B．85° C．95° D．80° 2．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1＝65°，则∠2＝　 　 度． 3．将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 4．李四在学习“平行线”的知识后，将手中的等腰直角三角形摆放在直尺上，如图所示，则∠1与∠2的数量关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1+∠2＝90° D．2∠1+∠2＝180° 5．如图，AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点E，F，且满足∠BEP∠BEF，∠DFP∠DFE，则∠P的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 6．如图，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB，CD之间，∠AEP和∠CFP的角平分线相交于点M，∠DFP的角平分线交EM的反向延长线于点N，下列四个结论： ①∠EPF＝∠AEP+∠CFP； ②∠EPF＝2∠M； ③若EP∥FN，则∠AEM＝∠CFM； ④∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM． 其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 7．如图，长方形纸片的对边是平行的，小明将含有30°角的三角板的直角顶点放在一边上，含有60°角的顶点放在邻边上，若∠1＝42°32'，则∠2的度数为 　 　 ． 8．如图，AB∥CD，连接BC，点E在BC上，连接DE，若∠B+∠D＝107°，则∠BED的度数是（　　） A．104° B．107° C．116° D．124° 9．如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 10．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是 　 　 ． 11．如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（　　） A．20° B．25° C．30° D．45° 12．探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都可以反射光线．如图所示是一探照灯灯碗，侧面看上去，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出．如果图中∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数为　 　 ． 13．如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为 　 　 ． 14．【探索发现】 （1）已知：如图1，AB∥CD，点M在AB，CD之间，连接AM，CM．证明：∠AMC＝∠BAM+∠MCD． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点M，连接AC，EG，若∠MAC+∠MEG＝∠AGE，求证：AC∥EF； 【拓展延伸】 如图3，在（2）的条件下，AB∥CD，AN平分∠MAC，FN平分∠MFC，AN与FN交点N，若∠CAN＝25°，∠ANF＝∠AEG，∠MGE＝2∠CAN+3∠MEG．求∠MFC的度数． 15．【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　 ． 【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． 【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数． 16．【发现问题】 如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P． 【提出问题】 ∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究； 【解决问题】 （1）如图2，写出∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在的数量关系，并说明理由； （2）如图3，已知AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，CD之间，MN右侧任意一点，连接PM，PN，则∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　 　 ；（不需要写解答过程） （3）如图4，在（2）条件下，AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN，若使得∠AMQ∠AMP，∠CNQ∠CNP，求∠P与∠Q的数量关系．（用n表示） 17．【阅读学习】阅读下面的解题过程： （1）如图①，AB∥CD，过点F作FP∥AB，由平行线的传递性可得FP∥CD，利用平行线的性质，我们不难发现：∠EFG与∠AEF、∠CGF之间的数量关系是 　 ；∠EFG与∠BEF、∠DGF之间的数量关系是 　 　 ． 【知识运用】利用上面的结论解决下列问题： （2）如图②，AB∥CD，点M是∠BEF和∠DGF的平分线的交点，∠EFG＝130°，则∠EMG的度数是 　 　 ． （3）如图③，AB∥CD，GM平分∠DGF，EM⊥GM，EF平分∠AEM，若∠EFG比∠DGF大15o，求∠DGF的度数． 18．【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数； 【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝　 　 度． 19．如图，AB∥CD，点E是直线CD上一点，点P是平行线AB、CD内部一点，连接AP、EP． （1）如图1，当∠BAP＝37°，∠DEP＝18°，求∠APE的度数； （2）如图2，AM平分∠BAP，EM平分∠DEP，AM与EM相交于点M，求证：∠P＝2∠M； （3）如图3，AM平分∠BAP，EQ平分∠CEP，过点E作EN∥AM，请直接写出∠QEN与∠P的数量关系． 20．已知AB∥CD． [知识回顾]（1）如图1，点E在两平行线之间，试说明：∠BED＝∠ABE+∠EDC． [知识应用]（2）如图2，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，利用（1）中的结论，试说明：； （3）如图2，直接写出∠BPD、∠BED、∠PBE、∠PDE四个角之间的数量关系． [知识拓展]（4）如图3，若∠BEF＝145°，∠EFD＝135°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，那么∠BPD＝　 　 °；（只要直接填上正确结论即可） （5）如图4，若∠BEF、∠EFG、∠FGD三个角的和是n，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDG，那么∠BPD＝　 　 ．（用含n的式子表示） 21．已知直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角板PMN（∠P＝90°，∠PMN＝60°）按如图1所示位置摆放，使N，M分别在AB，CD上，P在AB，CD之间，设∠PMD＝α（0°＜α＜90°）. （1）比较：∠PNB+∠PMD　 　 ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）如图2，分别画∠BNM，∠PMD的平分线，交于点Q，求∠NQM的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若NE平分∠ANP，交CD于点E，过点N作NF∥MQ，交CD于点F．请在图3中补全图形，并判断∠ENF的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 22．如图，直线l1∥l2，点A为l1线上的一个定点，点B为直线l1、l2之间的定点，点C为直线l2上的动点． （1）当点C运动到图1所示位置时，求证：∠B＝∠1+∠2； （2）点D在直线l2上，且∠DBC＝∠2（∠2＜90°），BE平分∠ABD． ①如图2，若点D在AB的延长线上，∠1＝50°，求∠EBC的度数； ②若点D不在AB的延长线上，请你利用图1补全图形，探究并证明∠EBC与∠1之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角） 23．已知AB∥CD，在AB，CD内有一条折线EGF． （1）如图①，过点G作GH∥AB，试说明∠BEG+∠DFG＝∠EGF； （2）如图②，已知∠BEG的平分线与∠DFG的平分线相交于点Q，运用（1）中结论探究∠EGF与∠EQF的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】如图②，若∠BEQ∠GEB，∠DFQ∠GFD，∠G＝m°，则∠Q的度数为 　 （用含n，m的代数式表示）． 24．综合与探究 某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线a∥c，则b∥c．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题． 已知直线AB∥CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE的数量关系，并说明理由； （2）如图2，∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，求出∠F与∠E之间的数量关系； （3）如图3，直接写出∠1，∠2，∠E，∠F，∠G之间的数量关系：　 ． 25．已知直线MB∥ND，A，C分别是MB，ND上的点，P是直线MB，ND之间的一点、连接AP，CP． （1）已知点P在直线AC的右侧． ①如图1，∠BAP，∠APC与∠DCP之间的数量关系为 　 ； ②如图2，若AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，判断∠AEC与∠APC之间的数量关系，并说明理由； （2）若点P在直线AC的左侧，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP． ①如图3，若∠MAP＝40°，∠NCP＝80°，求∠AEC的度数； ②试判断∠AEC与∠APC之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出∠AEC与∠APC之间的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 在初中几何中，平行线的角度关系是核心考点，而“拐点模型”是其中最具代表性的一类工具型模型。它源于两条平行线被折线所截的图形，因拐点处的折线形态类似猪蹄（M 型）或锯齿而得名。这类模型不仅是期中、期末乃至中考的高频考点，更能帮我们建立 “复杂图形拆解为基本模型”的几何思维。本专题将系统梳理拐点模型的核心规律、证明方法与应用技巧，带你从“会算”到 “会思”，彻底掌握这一解题利器。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型：在两条平行线被一条折线所截的图形中，折线的转折点即为 “拐点”，由此构成的角度关系模型统称为平行线拐点模型。 通用解法：过拐点作已知平行线的平行线（辅助线用虚线绘制，标注清晰），构造 “三线八角” 基本图形（同位角、内错角、同旁内角）； 基本思路：通过作平行线，将复杂的折线角拆分为多个内错角或同旁内角，利用 “两直线平行，内错角相等 / 同旁内角互补” 的性质，实现角度的 “和差拆分” 与 “等角转化”。 1 模型来源 1 模型证明 2 模型运用 3 9 先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。 ①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。 图1： 条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 证明：如图1，过点P作PQ∥AM，（辅助线用虚线，标注字母，避免与原图混淆） ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． 图2： 条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 证明：根据图1中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 图3： 条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 证明：由图2的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例1如图，已知直线AB∥CD，点E在AB和CD之间，连接AE，CE，若∠2＝55°，∠3＝35°，则∠1＝　20　 °． 【答案】20． 【分析】过点E作直线MN∥AB，则AB∥MN∥CD，由平行线的性质可得∠1＝∠AEM，∠3＝∠CEM＝35°，易得∠AEM+∠CEM＝∠2，则∠1＝∠AEM＝∠2﹣∠CEM，代入计算即可求解． 【解答】解：如图，过点E作直线MN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1＝∠AEM，∠3＝∠CEM＝35°， ∵∠AEM+∠CEM＝∠2，∴∠AEM＝∠2﹣∠CEM＝55°﹣35°＝20°，∴∠1＝∠AEM＝20°． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题关键． 例2如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠1＝10°，那么∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】过点A作AB∥b，利用猪蹄模型进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点A作AB∥b， ∴∠1＝∠DAB＝10°， ∵∠DAC＝60°，∴∠CAB＝∠DAC﹣∠DAB＝50°， ∵a∥b，∴AB∥a，∴∠2＝∠CAB＝50°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键． 例3如图，船C在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（　　）度． A．20° B．35° C．55° D．60° 【答案】C 【分析】过点C作CF∥AD，根据题意可得：∠DAC＝35°，∠CBE＝20°，AD∥EB，从而可得CF∥EB，然后利用平行线的性质可求出∠FCB＝20°，∠ACF＝35°，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点C作CF∥AD， 由题意得： ∠DAC＝35°，∠CBE＝20°，AD∥EB，∴CF∥EB，∴∠FCB＝∠CBE＝20°， ∵CF∥AD，∴∠ACF＝∠DAC＝35°，∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝55°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键． 例4如图，AB∥CD，BE为∠ABC的平分线，DE为∠ADC的平分线，∠ADC＝72°，∠BCD＝42°，则∠BED的度数为 　57　 °． 【答案】57． 【分析】过点E作EF∥CD，利用平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝42°，再利用角平分线的定义可得∠1＝21°，∠2＝36°，然后利用猪蹄模型进行计算，即可解答． 【解答】解：过点E作EF∥CD， ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝42°， ∵BE为∠ABC的平分线，DE为∠ADC的平分线，∴∠1∠ABE＝21°，∠2∠ADC＝36°， ∵EF∥CD，∴∠2＝∠FED＝36°， ∵AB∥CD，∴AB∥EF，∴∠1＝∠BEF＝21°，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝21°+36°＝57°， 故答案为：57． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 例5如图1，已知点E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD． （1）若∠EMF＝80°，则∠AEM+∠CFM＝　80°　 ． （2）如图2，在图1的基础上，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN∠AEM，∠CFN∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠ENF的度数（用α表示），并说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q，若∠AEP∠AEM，∠CFP∠CFM，∠BEQ∠BEM，∠DFQ∠DFM，请直接写出∠P与∠Q间的数量关系． 【答案】（1）80°． （2）∠ENFα．理由见解析． （3）n∠Q+m∠P＝360°． 【分析】（1）过点M作MP∥AB，利用平行线的性质，把∠AEM+∠CFM转化为∠EMF，从而求得度数． （2）过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，利用平行线的性质，把∠EMF转化为∠AEM+∠CFM，把∠ENF转化为∠AEN+∠CFN，得出∠ENF∠EMF，从而用α表示出∠ENF的度数． （3）利用（2）的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出∠BEM+∠DFM+∠M＝360°，进而找到∠P与∠Q间的数量关系． 【解答】解：（1） 过点M作MG∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MG，∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠CFM， ∴∠AEM+∠CFM＝∠EMG+∠GMF＝∠EMF＝80°． 故答案为：80°． （2）∠ENFα．理由如下： 过点M作MG∥AB， 由（1）知，∠EMF＝∠AEM+∠CFM， 过点N作NH∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NH， ∴∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN， ∴∠ENF＝∠ENH+∠HNF＝∠AEN+∠CFN， ∵∠AEN∠AEM，∠CFN∠CFM， ∴∠ENF∠AEM∠CFM（∠AEM+∠CFM）∠EMF， ∵∠EMF＝α，∴∠ENFα． （3）n∠Q+m∠P＝360°．理由如下： 由（2）的结论可知，∠P∠M，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M＝360°， ∵∠BEQ∠BEM，∠DFQ∠DFM， ∴∠Q∠BEM∠DFM，（∠BEM+∠DFM）（360°﹣∠M），∴∠M＝360°﹣n∠Q， ∵∠M＝m∠P，∴360°﹣n∠Q＝m∠P，即n∠Q+m∠P＝360°． 【点评】本题考查平行线的性质，其中作平行线将角转化是解题的关键． 例6【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由． （2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①【类比探究】如图②，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠BAD＝36°，∠BCD＝80°，EF平分∠BED交直线于点F，则∠BEF＝　58°　 ． ②【拓展延伸】如图③，AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点E，∠BAD＝36°，∠BCD＝80°，过点D作DG∥CB交直线AB于点G，AH平分∠BAD，DH平分∠CDG，求∠AHD的度数，并说明理由． 【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D； （2）58°； （3）148°． 【分析】（1）过E作ET∥AB，由AB∥CD，得ET∥AB∥CD，即有∠B＝∠BET，∠D＝∠DET，即可得∠BED＝∠B+∠D； （2）【类比探究】同（1）方法可知：∠AEC＝∠BAD+∠BCD，即知∠AEC＝116°＝∠BED，根据EF平分∠BED，即得答案； 【拓展延伸】延长DH交AG于K，由DG∥CB，∠BCD＝80°，得∠CDG＝100°，而DH平分∠CDG，即得∠CDH∠CDG＝50°，又AB∥CD，可得∠AKD＝130°，根据∠BAD＝36°，AH平分∠BAD，得∠KAH∠BAD＝18°，即可得∠AHD＝148°． 【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D，理由如下： 过E作ET∥AB，如图： ∵AB∥CD， ∴ET∥AB∥CD， ∴∠B＝∠BET，∠D＝∠DET， ∴∠B+∠D＝∠BET+∠DET， 即∠BED＝∠B+∠D； （2）【类比探究】 同（1）方法可知：∠AEC＝∠BAD+∠BCD， ∵∠BAD＝36°，∠BCD＝80°， ∴∠AEC＝116°， ∴∠BED＝116°， ∵EF平分∠BED， ∴∠BEF∠BED＝58°， 故答案为：58°； 【拓展延伸】 延长DH交AG于K，如图： ∵DG∥CB， ∴∠BCD+∠CDG＝180°， ∵∠BCD＝80°， ∴∠CDG＝100°， ∵DH平分∠CDG， ∴∠CDH∠CDG＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠CDH+∠AKD＝180°， ∴∠AKD＝130°， ∵∠BAD＝36°，AH平分∠BAD， ∴∠KAH∠BAD＝18°， ∴∠AHK＝180°﹣∠KAH﹣∠AKH＝32°， ∴∠AHD＝180°﹣∠AHK＝148°． 【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用． 1．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝125°，∠2＝35°，则∠BEC的度数为（　　） A．90° B．85° C．95° D．80° 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：如图， ∵AB∥EM∥CD， ∴∠1+∠BEM＝180°，∠CEM＝∠2， ∵∠1＝125°，∠2＝35°， ∴∠BEM＝55°，∠CEM＝35°， ∴∠BEC＝∠BEM+∠CEM＝90°， 故选：A． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 2．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1＝65°，则∠2＝　25　 度． 【答案】25． 【分析】先利用平行线的性质得出∠1＝∠3，∠2＝∠4，最后利用直角三角形的性质即可． 【解答】解：如图， 过直角顶点作l3∥l1， ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥l3， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°， ∵∠1＝65°， ∴∠2＝25°． 故答案为：25． 【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 3．将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】过点A作AD∥a，如图，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠1，根据平行线的传递性可得AD∥b，从而得到∠DAC＝∠2．再根据等边△ABC可得到∠BAC＝60°，就可求出∠DAC，从而解决问题． 【解答】解：过点A作AD∥a，如图， 则AD∥b， ∴∠BAD＝∠1＝35°． ∵a∥b， ∴AD∥b， ∵∠DAC＝∠2， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠2＝∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝60°﹣35°＝25°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与b交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题． 4．李四在学习“平行线”的知识后，将手中的等腰直角三角形摆放在直尺上，如图所示，则∠1与∠2的数量关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1+∠2＝90° D．2∠1+∠2＝180° 【答案】C 【分析】过点E作EF∥AB，先根据猪蹄模型可得∠GEH＝∠3+∠4＝90°，然后利用对顶角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，从而利用等量代换可得∠1+∠2＝90°，即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EF∥AB， ∴∠5＝∠3， ∵AB∥CD， ∴∠EF∥CD， ∴∠6＝∠4， ∵∠GEH＝∠5+∠6＝90°， ∴∠3+∠4＝90°， ∵∠3＝∠1，∠4＝∠2， ∴∠1+∠2＝90°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．如图，AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点E，F，且满足∠BEP∠BEF，∠DFP∠DFE，则∠P的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】过点P作PG∥AB，利用猪蹄模型进行计算，即可解答． 【解答】解：过点P作PG∥AB， ∴∠BEP＝∠EPG∠BEF， ∵AB∥CD， ∴CD∥PG， ∴∠DFP＝∠FPG∠DFE， ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∴∠EPF＝∠EPG+∠FPG∠BEF∠DFE（∠BEF+∠DFE）， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键． 6．如图，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB，CD之间，∠AEP和∠CFP的角平分线相交于点M，∠DFP的角平分线交EM的反向延长线于点N，下列四个结论： ①∠EPF＝∠AEP+∠CFP； ②∠EPF＝2∠M； ③若EP∥FN，则∠AEM＝∠CFM； ④∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM． 其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）． 【答案】①②④． 【分析】作PQ∥AB，证出PQ∥CD，由内错角相等可得①正确；同理可证∠M＝∠AEM+∠CFM，再根据角平分线的定义，可得②正确；若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF，再由平行线的性质和角平分线的定义可得∠AEP＝∠PFH，因为∠CFP与∠PFH不一定相等，所以∠AEM与∠CFM不一定相等，判断③不正确；由FN平分∠PFD，FM平分∠CFP，得到∠MFN＝90°，即∠N+∠M＝90°，即可判断④正确． 【解答】解：①：作PQ∥AB， ∴∠AEP＝∠EPQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CFP＝∠FPQ， ∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ， ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP，故①正确； 同理可得：∠M＝∠AEM+∠CFM， ∵EM平分∠AEP，FM平分∠CFP， ∴∠AEP＝2∠AEM，∠CFP＝2∠CFM， ∴∠AEP+∠CFP＝2（∠AEM+∠CFM）， 即∠EPF＝2∠M，故②正确； 设AB交NF于点H， 若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF， ∵AB∥CD， ∴∠AHF＝∠HFD， ∵FN平分∠PFD， ∴∠HFD＝∠PFH， ∴∠AEP＝∠PFH， 若∠AEM＝∠CFM，则∠AEP＝∠CFP， ∵∠CFP与∠PFH不一定相等， ∴∠AEM与∠CFM不一定相等，故③不正确； ∵FN平分∠PFD，FM平分∠CFP， ∴∠MFN＝90°， ∴∠N+∠M＝90°， ∵∠M＝∠AEM+∠CFM，且∠AEM＝∠PEM，∠CFM＝∠PFM， ∴∠M＝∠PEM+∠PFM， ∴∠N+∠PEM+∠PFM＝90°， ∴∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM，故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了平行线的性质的应用，其中角平分线的定义和三角形内角和定理的应用是本题的解题关键． 7．如图，长方形纸片的对边是平行的，小明将含有30°角的三角板的直角顶点放在一边上，含有60°角的顶点放在邻边上，若∠1＝42°32'，则∠2的度数为 　17°28′　 ． 【答案】17°28′． 【分析】过点E作EF∥CD，从而利用平行线的性质可得∠1＝∠FEH＝42°32'，再根据题意可得：AB∥CD，∠GEH＝60°，从而可得∠GEF＝17°28′，然后再根据已知AB∥CD，可得AB∥EF，从而利用平行线的性质可得∠2＝∠GEF＝17°28′，即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EF∥CD， ∴∠1＝∠FEH＝42°32'， 由题意得：AB∥CD，∠GEH＝60°， ∴∠GEF＝∠GEH﹣∠FEH＝60°﹣42°32′＝17°28′， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF， ∴∠2＝∠GEF＝17°28′， 故答案为：17°28′． 【点评】本题考查了平行线的性质，度分秒的换算，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键． 8．如图，AB∥CD，连接BC，点E在BC上，连接DE，若∠B+∠D＝107°，则∠BED的度数是（　　） A．104° B．107° C．116° D．124° 【答案】B 【分析】先由平行线的性质得到∠C＝∠B，再由∠B+∠D＝107°得出∠C+∠D＝107°，最后由三角形外角的性质可得答案． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠B（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠B+∠D＝107°， ∴∠C+∠D＝107°， ∴∠BED＝∠D+∠C＝107°， 则∠BED的度数为107°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 9．如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 【答案】B 【分析】过点E作EG∥AB，根据猪蹄模型可得：∠MEN＝∠1+∠CNE，∠F＝∠AMF+∠4，再利用角平分线的定义可得∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4，从而可得∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4），然后进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EG∥AB， ∴∠1＝∠MEG， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠GEN＝∠CNE， ∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN， ∴∠MEN＝∠1+∠CNE， 同理可得：∠F＝∠AMF+∠4， ∵ME平分∠AMF，NF平分∠CNE， ∴∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4， ∴∠MEN＝∠1+2∠4，∠F＝2∠1+∠4， ∵∠MEN+54°＝2∠F， ∴∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4）， ∴∠1＝18°， ∴∠AMF＝2∠1＝36°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行添加适当的辅助线是解题的关键． 10．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是 　50°　 ． 【答案】50°． 【分析】由平角得∠ABP＝30°，∠CDP＝20°，由平行线性质得∠BPN＝∠ABP＝30°，∠NPD＝∠CDP＝20°，故∠EPF＝∠EPN+∠NPF＝50°． 【解答】解：∵∠ABE＝150°， ∴∠ABP＝30°， ∵∠CDF＝160°， ∴∠CDP＝20°， ∵AB∥MN∥CD， ∴∠BPN＝∠ABP＝30°，∠NPD＝∠CDP＝20°， ∴∠EPF＝∠EPN+∠NPF＝50°． 【点评】本题考查了平行线的性质，会利用平行线性质是解题关键． 11．如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（　　） A．20° B．25° C．30° D．45° 【答案】C 【分析】过点B作BC∥b，利用平行线的性质可得∠CBD＝15°，再利用等腰直角三角形的性质可得∠ABD＝45°，从而可得∠ABC＝30°，然后再利用平行线的性质即可解答． 【解答】解：如图：过点B作BC∥b， ∴∠1＝∠CBD＝15°， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝30°， ∵a∥b， ∴a∥BC， ∴∠2＝∠ABC＝30°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键． 12．探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都可以反射光线．如图所示是一探照灯灯碗，侧面看上去，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出．如果图中∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数为　α+β　 ． 【答案】α+β 【分析】两直线平行，内错角相等；在本题中，需要两次用到此性质． 【解答】解：∠BOC的度数为α+β． 过O作直线EF∥AB，则EF∥CD， ∴∠1＝∠ABO＝α，∠2＝∠DCO＝β， ∴∠BOC＝∠1+∠2＝α+β． 【点评】本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等． 13．如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为 　46°　 ． 【答案】46°． 【分析】延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G，设∠BAE＝x，∠FCG＝y，根据角平分线的定义可得∠BAF＝2x，∠ECG＝2y，然后利用平行线的性质可得∠AGC＝2x，∠AHC＝x，，再利用三角形的外角性质可得∠AEC＝x+2y，∠AFC＝2x+y，最后列出关于x，y的方程组，进行计算即可解答． 【解答】解：延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G， 设∠BAE＝x，∠FCG＝y， ∵AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE， ∴∠BAF＝2∠BAE＝2x，∠ECG＝2∠FCG＝2y， ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AGC＝2x，∠BAH＝∠AHC＝x， ∵∠AEC是△EHC的一个外角， ∴∠AEC＝∠AHC+∠ECG＝x+2y， ∵∠AFC是△GCF的一个外角， ∴∠AFC＝∠AGC+∠FCG＝2x+y， ∵∠AEC＝57°，∠AFC＝63°， ∴， 解得：， ∴∠BAF＝46°， 故答案为：46°． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14．【探索发现】 （1）已知：如图1，AB∥CD，点M在AB，CD之间，连接AM，CM．证明：∠AMC＝∠BAM+∠MCD． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点M，连接AC，EG，若∠MAC+∠MEG＝∠AGE，求证：AC∥EF； 【拓展延伸】 如图3，在（2）的条件下，AB∥CD，AN平分∠MAC，FN平分∠MFC，AN与FN交点N，若∠CAN＝25°，∠ANF＝∠AEG，∠MGE＝2∠CAN+3∠MEG．求∠MFC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）90°． 【分析】（1）过点M作MQ∥AB，则AB∥MQ∥CD，利用平行线的性质可得证； （2）利用三角形内角和及邻补角定义可得证； （3）设∠MEG＝x，可得∠MGE＝2∠CAN+3∠MEG＝50°+3x，∠AGE＝180°﹣∠MGE＝180°﹣（50°+3x）＝130°﹣3x，∠MFN＝y，可得∠ANF＝∠AEG＝2y﹣20°，∠ANF＝∠CAN+∠MFN＝25°+y，进而可求∠MFC． 【解答】证明：（1）如图：过点M作MQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MQ∥CD， ∴∠AMQ＝∠BAM，∠CMQ＝∠MCD， ∴∠AMC＝∠AMQ+∠CMQ＝∠BAM+∠MCD，即∠AMC＝∠A+∠C； （2）证明：在三角形MGE中，∠EGM+∠MEG+∠GME＝180°， ∵∠EGM+∠AGE＝180°， ∴∠GME+∠MEG＝∠AGE， ∵∠MAC+∠MEG＝∠AGE， ∴∠AME＝∠MAC， ∴AC∥EF； （3）解：∵AN平分∠MAC，∠CAN＝25°， ∴∠MAC＝2∠CAN＝50°， 设∠MEG＝x， ∴∠MGE＝2∠CAN+3∠MEG＝50°+3x， ∴∠AGE＝180°﹣∠MGE＝180°﹣（50°+3x）＝130°﹣3x， ∵在（2）的条件下，∠AGE＝∠MAC+∠MEG＝50°+x， ∴50°+x＝130°﹣3x， 解得：x＝20°， ∴∠MEG＝20°， 设∠MFN＝y， ∵FN平分∠MFC， ∴∠MFC＝2∠MFN＝2y， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠MFC＝2y， ∴∠AEG＝∠AEF﹣∠MEG＝2y﹣20°， ∴∠ANF＝∠AEG＝2y﹣20°， ∵AC∥EF， 同理可得：∠ANF＝∠CAN+∠MFN＝25°+y， 即2y﹣20°＝25°+y， 解得：y＝45°， ∴∠MFC＝2y＝90°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定及性质，邻补角定义，三角形内角和，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 15．【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　70°　 ． 【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． 【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数． 【答案】（1）70°； （2）∠BEF的度数为45°； （3）∠AED的度数为129°． 【分析】（1）延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC＝28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC＝∠A+∠C，进行计算即可解答； （2）利用猪蹄模型可得：∠AEC＝∠A+∠C＝90°，再利用对顶角相等可得∠BED＝90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答； （3）利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得∠AED＝∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）延长CE交AB于点F， ∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠C＝28°， ∵∠AEC是△AEF的一个外角， ∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°， 故答案为：70°； （2）利用（1）的结论可得： ∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°， ∴∠AEC＝∠BED＝90°， ∵EF平分∠BED， ∴∠BEF∠BED＝45°， ∴∠BEF的度数为45°； （3）∵BC∥DF， ∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°， ∵DG平分∠CDF， ∴∠CDG∠CDF＝62°， ∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠CDG＝62°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE∠BAD＝31°， ∵∠GDE＝20°， ∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°， 利用（1）的结论可得： ∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°， ∴∠AED的度数为129°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键． 16．【发现问题】 如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P． 【提出问题】 ∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究； 【解决问题】 （1）如图2，写出∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在的数量关系，并说明理由； （2）如图3，已知AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，CD之间，MN右侧任意一点，连接PM，PN，则∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°　 ；（不需要写解答过程） （3）如图4，在（2）条件下，AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN，若使得∠AMQ∠AMP，∠CNQ∠CNP，求∠P与∠Q的数量关系．（用n表示） 【答案】（1）∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由见解答； （2）∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°； （3）∠P＝360°﹣n∠Q． 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，利用猪蹄模型进行计算，即可解答； （2）过点P作PH∥AB，利用铅笔模型进行计算，即可解答； （3）由（1）可得：∠Q＝∠AMQ+∠CNQ，从而可得∠Q（∠AMP+∠CNP），进而可得∠AMP+∠CNP＝n∠Q，然后利用（2）的结论可得：∠P+AMP+∠CNP＝360°，从而进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∠BPD＝∠ABP+∠CDP， 理由：如图：过点P作PQ∥AB， ∴∠1＝∠ABP， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠2＝∠CDP， ∵∠BPD＝∠1+∠2， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （2）∠P+∠AMP+∠CNP＝360°， 理由：如图：过点P作PH∥AB， ∴∠3+∠AMP＝180°， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠4+∠CNP＝180°， ∴∠3+∠AMP+∠4+∠CNP＝360°， ∴∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°， 故答案为：∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°； （3）由（1）可得：∠Q＝∠AMQ+∠CNQ， ∵∠AMQ∠AMP，∠CNQ∠CNP， ∴∠Q∠AMP∠CNP （∠AMP+∠CNP）， ∴∠AMP+∠CNP＝n∠Q， 由（2）可得：∠P+AMP+∠CNP＝360°， ∴∠P＝360°﹣（∠AMP+∠CNP） ＝360°﹣n∠Q， 即∠P＝360°﹣n∠Q． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪蹄模型，铅笔模型是解题的关键． 17．【阅读学习】阅读下面的解题过程： （1）如图①，AB∥CD，过点F作FP∥AB，由平行线的传递性可得FP∥CD，利用平行线的性质，我们不难发现：∠EFG与∠AEF、∠CGF之间的数量关系是 　∠EFG＝∠AEF+∠CGF ；∠EFG与∠BEF、∠DGF之间的数量关系是 　∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°　 ． 【知识运用】利用上面的结论解决下列问题： （2）如图②，AB∥CD，点M是∠BEF和∠DGF的平分线的交点，∠EFG＝130°，则∠EMG的度数是 　115°　 ． （3）如图③，AB∥CD，GM平分∠DGF，EM⊥GM，EF平分∠AEM，若∠EFG比∠DGF大15o，求∠DGF的度数． 【答案】（1）∠EFG＝∠AEF+∠CGF，∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°； （2）115°； （3）∠DGF＝120°． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，可得∠PFE＝∠AEF，∠PFG＝∠CGF，所以∠PFE+∠PFG＝∠AEF+∠CGF，即∠EFG＝∠AEF+∠CGF；根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠PFE+∠BEF＝180°，∠PFG+∠DGF＝180°，所以∠PFE+∠BEF+∠PFG+∠DGF＝∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°； （2）由（1）得∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°，∠EMG＝∠BEM+∠DGM，因为∠EFG＝130°，所以∠BEF+∠DGF＝360°﹣130°＝230°，因为EM，GM分别平分∠BEF和∠DGF，所以∠EMG∠BEF∠DGF＝115°； （3）设∠DGM＝x，则∠DGF＝2x，由（1）得∠M＝∠DGM+∠BEM，所以∠BEM＝90°﹣x，根据平角定义∠AEM＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x，因为EF平分∠AEM，所以∠AEF∠AEM＝45°x，由（1）得∠EFG＝∠AEF+∠CGF＝45°x+（180°﹣2x）＝225°x，根据∠EFG比∠DGF大15o，列出方程得225°x﹣2x＝15°，解得x＝60°，即可求∠DGF的度数． 【解答】解：（1）如图①，作FP∥AB， ∵AB∥CD， ∴FP∥CD， ∴∠PFE＝∠AEF，∠PFG＝∠CGF， ∴∠PFE+∠PFG＝∠AEF+∠CGF， 即∠EFG＝∠AEF+∠CGF； ∵AB∥CD∥FP， ∴∠PFE+∠BEF＝180°，∠PFG+∠DGF＝180°， ∴∠PFE+∠BEF+∠PFG+∠DGF＝360°， 即∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°． 故答案为：∠EFG＝∠AEF+∠CGF，∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°； （2）如图②，AB∥CD， 由（1）得∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°， ∵∠EFG＝130°， ∴∠BEF+∠DGF＝360°﹣130°＝230°， 由（1）得∠EMG＝∠BEM+∠DGM， ∵EM，GM分别平分∠BEF和∠DGF， ∴∠EMG∠BEF∠DGF230°＝115°． 故答案为：115°； （3）如图③，AB∥CD， 由（1）得∠M＝∠DGM+∠BEM， 设∠DGM＝x，则∠DGF＝2x， ∵EM⊥GM， ∴∠BEM＝90°﹣x， ∴∠AEM＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x， ∵EF平分∠AEM， ∴∠AEF∠AEM＝45°x， 由（1）得∠EFG＝∠AEF+∠CGF， ∵∠CGF＝180°﹣2x， ∴∠EFG＝45°x+（180°﹣2x）＝225°x， ∵∠EFG比∠DGF大15o， ∴225°x﹣2x＝15°， 解得x＝60°， ∴∠DGF＝2×60°＝120°． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，角平分线的定义等，熟练掌握这些性质以及（1）的结论是解题的关键，本题综合性较强，难度较大． 18．【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数； 【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝　25　 度． 【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D，理由见解答； （2）∠BEG+∠GFD的度数为83°； （3）25． 【分析】（1）过点E作EP∥AB，利用猪蹄模型即可解答； （2）过点G作GM∥AB，利用猪蹄模型可得：∠BEG＝∠B+∠EGM，∠GFD＝∠D+∠FGM，从而可得∠BEG+∠GFD＝∠B+∠D+∠EGF，进行计算即可解答； （3）先利用三角形内角和定理可得∠BNF＝35°，从而利用对顶角相等可得∠ANE＝∠BNF＝35°，然后利用猪蹄模型可得∠DEN＝∠ANE+∠D，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D， 理由：过点E作EP∥AB， ∴∠B＝∠BEP， ∵AB∥CD， ∴CD∥EP， ∴∠D＝∠DEP， ∵∠BED＝∠BEP+∠DEP， ∴∠BED＝∠B+∠D； （2）过点G作GM∥AB， 由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGM， ∵AB∥CD， ∴GM∥CD， 由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGM， ∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°， ∴∠BEG+∠GFD＝∠B+EGM+∠D+∠FGM ＝∠B+∠D+∠EGF ＝23°+25°+35° ＝83°， ∴∠BEG+∠GFD的度数为83°； （3）如图： ∵∠B＝60°，∠F＝85°， ∴∠BNF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°， ∴∠ANE＝∠BNF＝35°， ∵AB∥CD， ∴由（1）可得：∠DEN＝∠ANE+∠D， ∴∠D＝∠DEN﹣∠ANE＝60°﹣35°＝25°， 故答案为：25． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 19．如图，AB∥CD，点E是直线CD上一点，点P是平行线AB、CD内部一点，连接AP、EP． （1）如图1，当∠BAP＝37°，∠DEP＝18°，求∠APE的度数； （2）如图2，AM平分∠BAP，EM平分∠DEP，AM与EM相交于点M，求证：∠P＝2∠M； （3）如图3，AM平分∠BAP，EQ平分∠CEP，过点E作EN∥AM，请直接写出∠QEN与∠P的数量关系． 【答案】55°；∠P＝2∠M；∠P+∠NEQ＝90°． 【分析】（1）过点P作 PF∥AB，由平分线的性质得出∠BAP＝∠APF，∠FPE＝∠PED，即可求出∠APE的度数； （2）根据（1）中的结论先得到：∠P＝∠BAP+∠PED，∠M＝∠BAM+∠MED，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作∠PED的角平分线EM交AM于点M，由邻补角的角平分线互相垂直得到∠QEM＝90°，由根据两直线平行，同旁内角互补得到∠M与∠NEQ的关系，再由（2）题的结论即可得出∠QEN与∠P的数量关系． 【解答】解：如图（1）所示： 过点P作FP∥AB， ∴∠BAP＝∠APF， ∵AB∥CD， ∴FP∥CD， ∴∠FPE＝∠PED， ∵∠BAP＝37°，∠PED＝18°， ∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠BAP+∠PED＝37°+18°＝55°； （2）如图（2）所示： 由（1）得：∠P＝∠BAP+∠PED， 同理：∠M＝∠BAM+∠MED， ∵AM平分∠BAP，EM平分∠DEP， ∴∠BAP＝2∠BAM，∠PED＝2∠MED， ∴∠P＝2∠M； （3）如图（3）所示： 作∠PED的角平分线EM交AM于点M， ∴∠PEM∠PED， ∵EQ平分∠CEP， ∴∠QEP∠CEP， ∵∠PED+∠CEP＝180°， ∴∠PEM+∠QEP＝90°， 即∠QEM＝90°， ∵EN∥AM， ∴∠M+∠MEN＝180°， 即∠M+∠QEM+∠NEQ＝180°， ∴∠M+∠NEQ＝90°， 由（2）得：∠P＝2∠M， ∴∠P+∠NEQ＝90°． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，直角的定义等知识，是一个综合性较强的题目，解决问题的关键是对平行线性质的灵活运用． 20．已知AB∥CD． [知识回顾]（1）如图1，点E在两平行线之间，试说明：∠BED＝∠ABE+∠EDC． [知识应用]（2）如图2，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，利用（1）中的结论，试说明：； （3）如图2，直接写出∠BPD、∠BED、∠PBE、∠PDE四个角之间的数量关系． [知识拓展]（4）如图3，若∠BEF＝145°，∠EFD＝135°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，那么∠BPD＝　50　 °；（只要直接填上正确结论即可） （5）如图4，若∠BEF、∠EFG、∠FGD三个角的和是n，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDG，那么∠BPD＝　n﹣180°　 ．（用含n的式子表示） 【答案】（1）说明过程见解答； （2）说明过程见解答； （3）∠BPD+∠PBE+∠PDE＝∠BED； （4）50； （5）n﹣180°． 【分析】（1）过点E作EM∥AB，利用猪蹄模型进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得得：∠BED＝∠ABE+∠CDE，∠BPD＝∠ABP+∠CDP，再利用角平分线的定义可得∠ABP∠ABE，∠CDP∠CDE，然后进行计算即可解答； （3）根据角平分线的定义可得∠EBP∠ABE，∠EDP∠CDE，再利用（1）的结论，从而进行计算可得∠PBE+∠PDE∠BED，再利用（2）的结论可得，然后进行计算即可解答； （4）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，从而可得AB∥EM∥FN∥CD，然后利用平行线的性质可得∠MEF+∠NFE＝180°，从而可得∠BEM+∠DFN＝100°，再利用平行线的性质可得∠ABE＝∠BEM，∠CDF＝∠DFN，从而可得∠ABE+∠CDF＝100°，最后利用角平分线的定义可得∠ABP∠ABE，∠CDP∠CDE，从而利用（1）的结论可得∠BPD＝∠ABP+∠CDP（∠ABE+∠CDE），进行计算即可解答； （5）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，利用（4）的解题思路进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点E作EM∥AB， ∴∠ABE＝∠BEM， ∵AB∥CD， ∴CD∥EM， ∴∠CDE＝∠DEM， ∵∠BED＝∠BEM+∠DEM， ∴∠BED＝∠ABE+∠CDE； （2）由（1）得：∠BED＝∠ABE+∠CDE， ∠BPD＝∠ABP+∠CDP， ∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC， ∴∠ABP∠ABE，∠CDP∠CDE， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP ∠ABE∠CDE （∠ABE+∠CDE） ∠BED， 即； （3）∠BPD+∠PBE+∠PDE＝∠BED， 理由：∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC， ∴∠EBP∠ABE，∠EDP∠CDE， ∴∠PBE+∠PDE∠ABE∠CDE （∠ABE+∠CDE） ∠BED， 由（2）得：， ∴∠BPD+∠PBE+∠PDE∠BED∠BED＝∠BED， 即∠BPD+∠PBE+∠PDE＝∠BED； （4）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥CD， ∵EM∥FN， ∴∠MEF+∠NFE＝180°， ∵∠BEF＝145°，∠EFD＝135°， ∴∠BEM+∠DFN＝∠BEF+∠EFD﹣（∠MEF+∠NFE）＝100°， ∵AB∥EM，FN∥CD， ∴∠ABE＝∠BEM，∠CDF＝∠DFN， ∴∠ABE+∠CDF＝100°， ∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF， ∴∠ABP∠ABE，∠CDP∠CDE， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP ∠ABE∠CDE （∠ABE+∠CDE） 100° ＝50°， 故答案为：50； （5）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD， ∵EM∥FN，FN∥GH， ∴∠MEF+∠NFE＝180°，∠NFG+∠HGF＝180°， ∵∠BEF+∠EFG+∠FGD＝n， ∴∠BEM+∠DGH＝∠BEF+∠EFG+∠FGD﹣（∠MEF+∠NFE+∠NFG+∠HGF）＝n﹣360°， ∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDG， ∴∠ABP∠ABE，∠CDP∠CDG， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP ∠ABE∠CDG （∠ABE+∠CDG） （n﹣360°） n﹣180°， 故答案为：n﹣180°． 【点评】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．已知直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角板PMN（∠P＝90°，∠PMN＝60°）按如图1所示位置摆放，使N，M分别在AB，CD上，P在AB，CD之间，设∠PMD＝α（0°＜α＜90°）. （1）比较：∠PNB+∠PMD　＝　 ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）如图2，分别画∠BNM，∠PMD的平分线，交于点Q，求∠NQM的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若NE平分∠ANP，交CD于点E，过点N作NF∥MQ，交CD于点F．请在图3中补全图形，并判断∠ENF的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）＝． （2）60°． （3）45°． 【分析】（1）通过辅助线PQ构造等角得出∠PNB＝∠NPQ和∠PND＝∠MPQ，进而得出结论． （2）由平行线的性质得出∠BNM＝∠NMC，在平角CMD中求出∠NMC+∠PMD，进而求出（∠NMC+∠PMD），再同理（1）可求出∠NQM的大小． （3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出∠ANF＝∠DMQ∠PMD，然后角平分线的性质求出∠ANE（180°﹣∠BNP），最后通过角的和差关系求得∠FNE＝∠ANE﹣∠ANF＝90°（∠BNP+∠PMD），结合（1）即可求出结果． 【解答】解：（1）如图，过点P作PQ平行于AB，则PQ∥AB∥CD． ∴∠PNB＝∠NPQ，∠PND＝∠MPQ， ∵∠NPQ+∠MPQ＝∠MPN＝90°， ∴∠PNB+∠PMD＝∠MPN． 故答案为：＝． （2）∵AB∥CD， ∴∠BNM＝∠NMC， ∵∠BNQ∠BNM，∠DMQ∠PMD， ∴由（1）结论同理可得：∠NQM＝∠BNQ+∠DMQ（∠BNM+∠PMD）（∠NMC+∠PMD）． ∵∠NMC+∠PMD＝180°﹣∠PMN＝120°， ∴∠NQM＝60°． （3）根据题意补全图形如下： ∵AB∥CD， ∴∠ANF＝∠NFD， ∵NF∥MQ， ∴∠NFD＝∠DMQ． ∴∠ANF＝∠DMQ． ∵MQ平分∠PMD， ∴∠ANF＝∠DMQ∠PMD． ∵NE平分∠ANP， ∴∠ANE∠ANP（180°﹣∠BNP）＝90°∠BNP． ∴∠FNE＝∠ANE﹣∠ANF＝90°∠BNP﹣∠DMQ＝90°（∠BNP+∠PMD）． 由（1）知，∠BNP+∠PMD＝90°， ∴∠FNE＝90°﹣45°＝45°． 故∠FNE的大小为定值，度数是45°． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的性质，通过平行线构造等角是解答本题的关键． 22．如图，直线l1∥l2，点A为l1线上的一个定点，点B为直线l1、l2之间的定点，点C为直线l2上的动点． （1）当点C运动到图1所示位置时，求证：∠B＝∠1+∠2； （2）点D在直线l2上，且∠DBC＝∠2（∠2＜90°），BE平分∠ABD． ①如图2，若点D在AB的延长线上，∠1＝50°，求∠EBC的度数； ②若点D不在AB的延长线上，请你利用图1补全图形，探究并证明∠EBC与∠1之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角） 【答案】（1）见解答； （2）①25°； ②∠EBC∠1或∠EBC＝180°∠1． 证明见解答． 【分析】（1）过点B作平行线，利用平行线性质证明即可； （2）①利用（1）的结论和给定的条件，通过角的和差倍分关系代换即可求解； ②类似①的方法，即可探究出结论． 【解答】（1）证明：过点B向右作BF∥l1，如图， 则∠ABF＝∠1， ∵l1∥l2， ∴BF∥l2， ∴∠FBC＝∠2， ∴∠ABF+∠FBC＝∠1+∠2， 即∠ABC＝∠1+∠2； （2）①∵BE平分∠ABD，点D在AB的延长线上， ∴∠ABE＝90°， ∵∠DBC＝∠2， ∴180°﹣∠ABC＝∠2， 由（1）知，∠2＝∠ABC﹣∠1， ∴180°﹣∠ABC＝∠ABC﹣∠1， ∴∠ABC， ∵∠1＝50°， ∴∠ABC115°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝115°﹣90°＝25°； ②∠EBC∠1或∠EBC＝180°∠1． 证明：分两种情况． 1）点D位于直线AB的右侧，如图， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE∠ABD， ∵∠DBC＝∠2， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE ＝∠ABC∠ABD ＝∠ABC（∠ABC+∠DBC） ∠ABC∠DBC ∠ABC∠2， 由（1）得∠ABC＝∠1+∠2， ∴∠EBC（∠1+∠2）∠2， ∴∠EBC∠1； 2）点D位于直线AB的左侧，如图， ∵BE平分∠ABD， ∴∠3∠ABD， ∵∠DBC＝∠2， ∴∠EBC＝∠3+∠DBC ∠ABD+∠2 （360°﹣∠ABC﹣∠2）+∠2， 由（1）得∠ABC＝∠1+∠2， ∴∠EBC（360﹣∠1﹣∠2﹣∠2）+∠2＝180°∠1． 综上，∠EBC∠1或∠EBC＝180°∠1． 【点评】本题考查平行线性质，解答时需要一定的探究能力，熟悉锯齿模型常用辅助线的作法和灵活代换技巧是解题的关键． 23．已知AB∥CD，在AB，CD内有一条折线EGF． （1）如图①，过点G作GH∥AB，试说明∠BEG+∠DFG＝∠EGF； （2）如图②，已知∠BEG的平分线与∠DFG的平分线相交于点Q，运用（1）中结论探究∠EGF与∠EQF的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】如图②，若∠BEQ∠GEB，∠DFQ∠GFD，∠G＝m°，则∠Q的度数为 　　 （用含n，m的代数式表示）． 【答案】（1）说明过程见解答； （2）∠EQF∠EGF，理由见解答； 【拓展应用】． 【分析】（1）根据猪蹄模型，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：∠BEQ+∠DFQ＝∠EQF，再利用角平分线的定义可得∠BEQ∠BEG，∠DFQ∠DFG，然后利用角的歌词关系以及等量代换可得∠EQF∠EGF，即可解答； 【拓展应用】利用（2）的解题思路，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵GH∥AB， ∴∠BEG＝∠EGH， ∵AB∥CD， ∴GH∥CD， ∴∠DFG＝∠FGH， ∵∠EGH+∠FGH＝∠EGF， ∴∠BEG+∠DFG＝∠EGF； （2）∠EQF∠EGF， 理由：由（1）可得：∠BEG+∠DFG＝∠EGF， ∠BEQ+∠DFQ＝∠EQF， ∵EQ平分∠BEG，FQ平分∠DFG， ∴∠BEQ∠BEG，∠DFQ∠DFG， ∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ ∠BEG∠DFG， （∠BEG+∠DFG） ∠EGF， 即∠EQF∠EGF． 【拓展应用】由（1）可得：∠BEG+∠DFG＝∠EGF， ∠BEQ+∠DFQ＝∠EQF， ∵∠BEQ∠GEB，∠DFQ∠GFD， ∴∠Q＝∠BEQ+∠DFQ ∠BEG∠DFG， （∠BEG+∠DFG） ∠EGF， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键． 24．综合与探究 某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线a∥c，则b∥c．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题． 已知直线AB∥CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE的数量关系，并说明理由； （2）如图2，∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，求出∠F与∠E之间的数量关系； （3）如图3，直接写出∠1，∠2，∠E，∠F，∠G之间的数量关系：　∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G ． 【答案】（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，理由见解答； （2）4∠F+∠E＝360°，理由见解答． （3）∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G，理由见解答． 【分析】（1）利用猪蹄模型，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：∠E＝∠APE+∠CQE，∠F＝∠BPF+∠DQF，从而利用平角定义可得∠APE＝180°﹣4∠BPF，∠CQE＝180°﹣4∠DQF，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点F作FH∥AB，然后利用（1）的结论可得：∠E＝∠1+∠EFH，∠G＝∠2+∠GFH，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE， 理由：∵EH∥AB，AB∥CD， ∴EH∥CD， ∵AB∥EH， ∴∠APE＝∠PEH， ∵CD∥EH， ∴∠CQE＝∠HEQ， ∵∠PEQ＝∠PEH+∠HEQ， ∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE； （2）4∠F+∠E＝360°， 理由：由（1）可得：∠E＝∠APE+∠CQE，∠F＝∠BPF+∠DQF， ∵∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF， ∴∠APE＝180°﹣∠EPF﹣∠BPF＝180°﹣4∠BPF，∠CQE＝180°﹣∠EQF﹣∠DQF＝180°﹣4∠DQF， ∴∠E＝∠APE+∠CQE ＝180°﹣4∠BPF+180°﹣4∠DQF ＝360°﹣4（∠BPF+∠DQF） ＝360°﹣4∠F， ∴4∠F+∠E＝360°； （3）∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G， 理由：过点F作FH∥AB， 由（1）可得：∠E＝∠1+∠EFH，∠G＝∠2+∠GFH， ∴∠E+∠G＝∠1+∠EFH+∠GFH+∠2 ＝∠1+∠EFG+∠2， ∴∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G， 故答案为：∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键． 25．已知直线MB∥ND，A，C分别是MB，ND上的点，P是直线MB，ND之间的一点、连接AP，CP． （1）已知点P在直线AC的右侧． ①如图1，∠BAP，∠APC与∠DCP之间的数量关系为 　∠APC＝∠BAP+∠DCP ； ②如图2，若AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，判断∠AEC与∠APC之间的数量关系，并说明理由； （2）若点P在直线AC的左侧，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP． ①如图3，若∠MAP＝40°，∠NCP＝80°，求∠AEC的度数； ②试判断∠AEC与∠APC之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出∠AEC与∠APC之间的数量关系． 【答案】（1）①∠APC＝∠BAP+∠DCP； ②∠AEC∠APC，理由见解答； （2）①∠AEC的度数为120°； ②∠AEC与∠APC之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，∠AEC与∠APC之间的数量关系为：∠AEC＝180°∠APC，理由见解答． 【分析】（1）①过点P作PG∥MB，利用猪蹄模型，进行计算即可解答； ②利用①的结论可得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，再利用角平分线的定义可得∠BAE∠BAP，∠DCE∠DCP，即可解答； （2）①先利用平角定义可求出∠BAP＝140°，∠DCP＝100°，从而利用角平分线的定义可得∠BAE＝70°，∠DCE＝50°，然后利用（1）①的结论可得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，进行计算即可解答； ②先利用角平分线的定义可得∠BAE∠BAP，∠DCE∠DCP，再利用（1）①的结论可得：∠APC＝∠MAP+∠NCP，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）①过点P作PG∥MB， ∴∠BAP＝∠1， ∵MB∥ND， ∴GP∥ND， ∴∠2＝∠DCP， ∵∠APC＝∠1+∠2， ∴∠APC＝∠BAP+∠DCP， 故答案为：∠APC＝∠BAP+∠DCP； ②∠AEC∠APC， 理由：由①可得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE， ∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP， ∴∠BAE∠BAP，∠DCE∠DCP， ∵∠APC＝∠BAP+∠DCP， ∴∠AEC∠APC； （2）①∵∠MAP＝40°，∠NCP＝80°， ∴∠BAP＝180°﹣∠MAP＝140°，∠DCP＝180°﹣∠NCP＝100°， ∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP， ∴∠BAE∠BAP＝70°，∠DCE∠DCP＝50°， 由（1）①可得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE， ∴∠AEC＝70°+50°＝120°， ∴∠AEC的度数为120°； ②∠AEC与∠APC之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，∠AEC与∠APC之间的数量关系为：∠AEC＝180°∠APC， 理由：∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP， ∴∠BAE∠BAP，∠DCE∠DCP， 由（1）①可得：∠APC＝∠MAP+∠NCP，∠AEC＝∠BAE+∠DCE， ∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE ∠BAP∠DCP （180°﹣∠MAP）（180°﹣∠NCP） ＝90°∠MAP+90°∠NCP ＝180°（∠MAP+∠NCP） ＝180°∠APC， ∴∠AEC＝180°∠APC． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $