数学二模模拟卷（长春专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在2026马年春节来临之际，爸爸在群里玩抢红包游戏．若抢得6.66元红包作为收入项记作元，则发出8.88元红包作为支出项记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．江西省博物馆收藏着一件中国古代青铜礼乐器——勾云纹青铜铙．如图1．此件勾云纹青铜铙浑厚庄重，造型古朴，体现了古代江西地区青铜文化的精湛技艺．图2为其抽象示意图，它的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若点在第二象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 5．如图，当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 6．已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 7．透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感，如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示，下列说法错误的是（    ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．若，则“”是______． 10．若与的和仍是单项式，则的值等于___________． 11．已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 12．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 13．如图是第四套人民币中的菊花一角硬币，该硬币边缘镌刻一个正九边形，若直线，与正九边形的两条边重合，则______． 14．如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，与相交于点G，连接给出下列四个结论： ①； ②； ③C、G两点之间的最小值为； ④当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．先化简，15．（6分）化简求值：先化简，再求值：，其中 16．（6分）1月9日，“粤游学·暖冬知行季-2026‘寒假游学到广东’”五大主题游学周之“红色铸魂周”游学启动仪式在惠州市东江纵队纪念馆举行．某校建议同学们利用寒假时间自主到以下三个基地开展研学活动． A：广州起义纪念馆； B：河源苏维埃政府旧址及兵工厂旧址； C：广州中山纪念堂． 小明和小丽各自随机选取一个基地作为本次研学活动的第一站，用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 17．（6分）如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：． 18．（7分）临沂炒鸡作为齐鲁名菜，其独特风味已经家喻户晓．在临沂某美食街有一家小餐馆和一家大餐馆都主营炒鸡，已知小餐馆每小时炒制x份炒鸡，大餐馆每小时比小餐馆多炒制5份，在某一特定的营业时段内，大餐馆炒制30份炒鸡所用的时间和小餐馆炒制20份炒鸡所用的时间相同．求大小餐馆每小时各炒制多少份炒鸡？ 19．（7分）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B均为格点（网格线的交点），我们把顶点落在格点上的四边形称为格点四边形．请在给定的网格中用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图①中画一个以为边的格点正方形； (2)在图②中画一个格点平行四边形，且面积为6； (3)在图③中画一个格点菱形，且四边形不是正方形． 20．（7分）2026年春晚展示了光伏、储能、聚变能源等绿色低碳技术，从内容到舞美都贯穿了“绿色、低碳、可持续”的理念．某校举办环保比赛，比赛的三个项目分别是绿色生活知识竞赛、自然生态板报创作、环保能源主题演讲，每个项目各有一个得分，这三个项目的得分依次按的比例确定个人总成绩．从参加比赛的学生中，随机抽取20名学生的个人总成绩，得到如下信息： 【信息1】个人总成绩均不低于60分，共分为四组如下表： 组别 A B C D 成绩（分） 【信息2】所抽取学生个人总成绩频数分布直方图如图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，所抽取学生个人总成绩的中位数落在______组； (2)所抽取学生中，小华、小飞各个项目的得分如下表（单位：分）： 项目 学生 绿色生活知识竞赛 自然生态板报创作 环保能源主题演讲 个人总成绩 小华 65 70 75 68.5 小飞 80 70 95 先计算小飞的个人总成绩；若个人总成绩高于一半学生的个人总成绩能获得“环保先锋”的称号，请分别判断小华、小飞能否获得“环保先锋”的称号？ (3)若有500人参加此次比赛，请估计个人总成绩在90分及以上的学生人数． 21．（8分）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 22．（9分）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 23．（10分）已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点的坐标； (2)若点为抛物线上一动点（点不与点重合）．设点的横坐标为． ①设抛物线上点，之间的部分（含）为图象，当图象的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求的值； ②如图2，点在第四象限抛物线上，过点作轴交直线与点，求线段长的最大值； ③连接，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点的坐标． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 5 6 8 A D A A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） π 9.2 10.111.112.313.100 14.①②④ 三、解答题（本大题共10个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(6分) 【详解】解：(3r+2(3x-2-5xx-1-(2x-12 =9x2-4-5x2+5x-4x2-4x+1 (2分) =9x2-4-5x2+5x-4x2+4x-1 =9x-5,(4分) 当1 3时，原式 16.(6分) 【详解】解：可画树状图为： 开始 小明 B (4分) 小丽 A B 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小丽选择相同基地的结果数有3种，(4分) 1/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 31 、小明和小丽选择相同基地的概率是)3· (6分) 17.(6分) 【详解】证明：：四边形ABCD是菱形， .AB=BC ∴.∠BAC=∠BCA, 又：∠ABF=∠CBE, ∴.△ABF≌△CBE,(4分) .AF =CE, .AF-EF CE-EF, 即AE=CF.(6分) 18.(7分) 【详解】解：设小餐馆每小时炒制x份炒鸡，则大餐馆每小时炒制 x+5)份炒鸡. 3020 根据题意可列方程： x+5x,(3分) 方程两边同时乘以(x+5列 30x=20(x+5) 解得x=10(5分) 检验：当x=10时， x(x+5)=10×10+5)=150≠0 ,(6分) ∴.x=10是原分式方程的解， 大餐馆：x+5=10+5=15(份) 答：小餐馆每小时炒制10份炒鸡，大餐馆每小时炒制15份炒鸡.(7分) 19.(7分) 【详解】(1) 2/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A (2分) B 图① (2) A (4分) B 图② (3) A M (7分) B 图③ 20.(7分) 【详解】(1)解：C组人数：20-8-4-3=5（人）， 补全频数分布直方图如图： 人数 6 4 3 0% 60708090100成绩 根据中位数的定义，第10和11位同学位于B组（或70≤x<80);(3分） 3/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 80×5+70×3+95×2 (2)解：小飞的个人总成绩m= =80 5+3+2 :小华的个人总成绩落在A组，小飞的个人总成绩落在C组， ·小华的个人总成绩小于中位数，小飞的个人总成绩大于中位数， ·小华不能获得“环保先锋”的称号，小飞能获得“环保先锋”的称号；(5分) (3)解：估计个人总成绩在90分及以上的学生人数为50×习 =75(名)(7分) 20 21.(8分) 【详解】(1)解：根据题意，当0≤r≤4时，甲车的速度为 60÷4=40(am/h) ∴.甲车离开A地h时，离A地的距离为 ×40=40(km) 由图象可知，甲车离开A地6.4h和8h时，离A地的距离分别为160km和240km: 填表如下： 甲车离开A地的时间（单位：h) 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：km) 40 160 160 240 1.5分) (2)解：当0≤x≤4时，设乙车的'与*的函数关系式为’=k0) 代入4,240，得46=240，则5=60 0=4+416 33 则当4<xs16 时，此时y=240: 当3 <x≤8，设乙车的y与x的函数关系式为y=kx+m(k≠0)， 代入(16,240 和 k+m=240 得3 3 (8,0) 8k2+m=0 k2=-90 解得m=720, 4/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 60x0≤x≤4) y= 综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为 2404<x≤16 ) (4.5分) 16 90x+720 y x 3 (3)解：①由(2)可知，b=-90×6.4+720=144;(5分) ②令-90x+720=160, 解得x=56 9 56 9时，两车相遇， 当0≤x≤4时， 60÷4=40(km/h) 甲车的速度为 根据题意得：60x-40x=50, 5 解得r 2 当4<xs16 时，甲、乙两车相距240-160=80(km): 16 56 当3<r 9时， 根据题意得：-90x+720-160=50, 17 解得x= 3 51 当9 <x≤8时， 160-144+90x-6.4+50(x-6.4)=50 根据题意得： 3 解得x=4 93 综上所述， 当或好酸 2 h时，两车相距5Okm· (8分) 22. (9分) 【详解】解：(1)同弧所对的圆周角相等：(1分) (2)证明：如图3，假设点D在⊙O外，设AD交⊙O于点E,连接CE, 5/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 0 点在 上， 图3 E ⊙0 ∠AEC=∠B :在△CDE中，∠AEC=∠DCE+∠D .∠B=∠DCE+∠D ∴这与已知条件∠D=∠B矛盾， 点D不在⊙0外：(4分) (3)解：t的值不会发生改变；理由如下： 四边形4BCD中，BC=B0C,若BCE60e,pD平分BC:起1形 BD,延长BC至点 E,使得CE=AB,过点D作DM⊥BE于M, A,B,C,D四点在同一个圆上， BD平分∠ABC, ∠ABD=LCBD, .AD=CD .AD=CD; A,B,C,D四点在同一个圆上， .∠DAB+∠DCB=180° '∠DCE+∠DCB=180°， ·∠DAB=LDCE, 图4 6/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△BAD和△ECD中， CE=AB ∠DAB=∠DCE AD=CD ABAD≌AECD(SAS) ∴BD=ED ∠DBE=∠E, DM⊥BE,BD=ED, .BE=2BM ,BD平分∠ABC,∠ABC=60°， ∴∠DBE=∠ABD=∠E=30°， :BD =2DM, :BM=BD2-DM2=3DM .BE =2V3DM .AB+BC=CE+BC=BE =2BM=23DM 1=4B+BC _23DM =√3 BD 2DM (9分) 23. (10分) 【详解】10：(2分) (2)解：运动一：如图2， 设EC为cm,则CQ为tcm, 1 .S.eco-x1x :S与1之间的函数关系式为：y=2 2(0≤1≤4) 运动二：如图3，连接CD, 7/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A D EC F 图3 在△ECP和△DCQ中， ∠E=∠CDQ EC=DC ∠ECP=∠ECQ ∴.△ECP≌△DCQ(ASA) :S与t之间的函数关系式为：y=8(4<1<6), 运动三：如图4， A B D E 图4 可得四边形QDPC为矩形， :.CF=4-(t-6)=10-t, EC=8-CF=1-2, E21×N210-)=-52+61-10 2 3与1之间的函数关系式为：=+8-106≤1≤10， 0ss4 综上可得， S= 8(4<t<6 ;(6分) 2+61-10(6≤1≤10) 2 (3)解：存在点Q,理由如下： 如图5，连接BQ, 8/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A D B EC 图5 运动一： :点Q在线段AB的中垂线上， ..AO=OB ∴AC-C0=VBC2+CQ AC=16cm,BC=12cm, 解得，CQ=3.5cm, ∠DEF=45°， .EC=3.5cm, 此时，t为：3.5÷1=3.5秒 如图6， B E 图6 运动二： 同理：CQ=3.5, 过点C作CM1DF交DF于点M,CM=22 在ROCM中，QM=VCo-CM- 2 D0=2W2- 2 1=(2V2- 2)*V2+4=6-34 ； C 2√2<3.5 运动三时， 最大为 9/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以无解 6 √34 综上，t=3.5或 4时，点Q正好在线段AB的中垂线上.(10分) 24.(12分) 【详解】()解：抛物线=r-2x+c与轴交于点4-1,0.B到3,0， a+2+c=0 .(9a-6+c=0, a=1 解得：c=-3, 六抛物线r-2r-3 当x=0时，y=-3, c(0,-3到.(2分) (2)解：①设Pmm-2m-3) 当点P位于y轴左侧时，即m<0, 函数最大值为m2-2m-3,当x=0时，函数最小值为-3， m2-2m-3-(-3=8 ∴.m2-2m-8=0. m1=-2m2=4 解得 (舍去). 当点P位于y轴右侧时，且0<m≤2时， 当x=0时，函数最大值为-3， -2 当x=-2=1时，函数值为1-2-3=4， 即抛物线顶点为(1，-4) -3-(-4=1 ,此时最高点和最低点的纵坐标之差不超过1，即此时m无解； 当点P位于y轴右侧时，且m>2时， 10/112026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[AJ[BJ[CJ[D] 2[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4AJIBJICIID] 5[A][B][CIID] 6.[A][BJICIID] 7AJIB]IC]ID] 8[A]IB][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 11. 13. 14. 三、（本大题共10个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(6分) 17.(6分) D 18.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. (7分) A ---------- B B 图① 图② 图③ 20.(7分) (1) 从数 7 6 0 60708090100成绩 (2) (3) 21.(8分) (1) (km) 40 甲车离开A地的时间（单位：h) 1 4 6.4 160 甲车离A地的距离（单位：km) 160 6.48x (2) (3)① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) (1)】 (2) E 0 C 图3 (3) D 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A D D B D C(E) B→EC F E E 图1 图2 图3 图4 (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 图1 图2 (1) (2)① ② ③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【W1[/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分）》 1[A][B][C][D] 2.[A][B][C1[D1 3.[A1[B][C1[D] 4.A][B1[CI[D] 5.[A][B][CJ[D1 6.[A][B][C][D] 7.AJ[B1[C1[D1 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 9 10. 11. 12 13. 14. 三、（本大题共10个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(6分) 17.(6分) D C E B 18.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. (7分) A B B 图① 图② 图③ 20.(7分) (1) 人数 5 06008090100成绩 (2) (3) 21.(8分) (1) km) 40 甲车离开A地的时间（单位：h) 1 4 6.4 8 16( 甲车离A地的距离（单位：km) 160 64 h (2 (3)① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. (9分) (1) (2) D E 0 C 图3 (3) D 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A D D B D D B B F C(E) B→EC EC F E 图1 图2 图3 图4 (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) B 图1 图2 (1) (2)① ② ③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在2026马年春节来临之际，爸爸在群里玩抢红包游戏．若抢得6.66元红包作为收入项记作元，则发出8.88元红包作为支出项记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．江西省博物馆收藏着一件中国古代青铜礼乐器——勾云纹青铜铙．如图1．此件勾云纹青铜铙浑厚庄重，造型古朴，体现了古代江西地区青铜文化的精湛技艺．图2为其抽象示意图，它的左视图是（    ） A．   B．   C．   D．   3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若点在第二象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 5．如图，当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 6．已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 7．透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感，如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示，下列说法错误的是（    ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．若，则“”是______． 10．若与的和仍是单项式，则的值等于___________． 11．已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 12．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 13．如图是第四套人民币中的菊花一角硬币，该硬币边缘镌刻一个正九边形，若直线，与正九边形的两条边重合，则______． 14．如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，与相交于点G，连接给出下列四个结论： ①； ②； ③C、G两点之间的最小值为； ④当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．先化简，15．（6分）化简求值：先化简，再求值：，其中 16．（6分）1月9日，“粤游学·暖冬知行季-2026‘寒假游学到广东’”五大主题游学周之“红色铸魂周”游学启动仪式在惠州市东江纵队纪念馆举行．某校建议同学们利用寒假时间自主到以下三个基地开展研学活动． A：广州起义纪念馆； B：河源苏维埃政府旧址及兵工厂旧址； C：广州中山纪念堂． 小明和小丽各自随机选取一个基地作为本次研学活动的第一站，用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 17．（6分）如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：． 18．（7分）临沂炒鸡作为齐鲁名菜，其独特风味已经家喻户晓．在临沂某美食街有一家小餐馆和一家大餐馆都主营炒鸡，已知小餐馆每小时炒制x份炒鸡，大餐馆每小时比小餐馆多炒制5份，在某一特定的营业时段内，大餐馆炒制30份炒鸡所用的时间和小餐馆炒制20份炒鸡所用的时间相同．求大小餐馆每小时各炒制多少份炒鸡？ 19．（7分）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B均为格点（网格线的交点），我们把顶点落在格点上的四边形称为格点四边形．请在给定的网格中用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图①中画一个以为边的格点正方形； (2)在图②中画一个格点平行四边形，且面积为6； (3)在图③中画一个格点菱形，且四边形不是正方形． 20．（7分）2026年春晚展示了光伏、储能、聚变能源等绿色低碳技术，从内容到舞美都贯穿了“绿色、低碳、可持续”的理念．某校举办环保比赛，比赛的三个项目分别是绿色生活知识竞赛、自然生态板报创作、环保能源主题演讲，每个项目各有一个得分，这三个项目的得分依次按的比例确定个人总成绩．从参加比赛的学生中，随机抽取20名学生的个人总成绩，得到如下信息： 【信息1】个人总成绩均不低于60分，共分为四组如下表： 组别 A B C D 成绩（分） 【信息2】所抽取学生个人总成绩频数分布直方图如图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，所抽取学生个人总成绩的中位数落在______组； (2)所抽取学生中，小华、小飞各个项目的得分如下表（单位：分）： 项目 学生 绿色生活知识竞赛 自然生态板报创作 环保能源主题演讲 个人总成绩 小华 65 70 75 68.5 小飞 80 70 95 先计算小飞的个人总成绩；若个人总成绩高于一半学生的个人总成绩能获得“环保先锋”的称号，请分别判断小华、小飞能否获得“环保先锋”的称号？ (3)若有500人参加此次比赛，请估计个人总成绩在90分及以上的学生人数． 21．（8分）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 22．（9分）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 23．（10分）已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点的坐标； (2)若点为抛物线上一动点（点不与点重合）．设点的横坐标为． ①设抛物线上点，之间的部分（含）为图象，当图象的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求的值； ②如图2，点在第四象限抛物线上，过点作轴交直线与点，求线段长的最大值； ③连接，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点的坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在2026马年春节来临之际，爸爸在群里玩抢红包游戏．若抢得6.66元红包作为收入项记作元，则发出8.88元红包作为支出项记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据收入的记作，可知支出记作“”，解答即可． 【详解】解：∵抢得红包的收入记作正数，收入6.66元记作元， ∴与收入相反意义的支出应记作负数． ∵发出8.88元红包属于支出， ∴支出8.88元应记作元． 2．江西省博物馆收藏着一件中国古代青铜礼乐器——勾云纹青铜铙．如图1．此件勾云纹青铜铙浑厚庄重，造型古朴，体现了古代江西地区青铜文化的精湛技艺．图2为其抽象示意图，它的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】左视图为从左边看到的图形． 【详解】解：它的左视图是：   ． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.，计算错误. B .，计算错误. C .，计算错误. D .，计算正确. 4．若点在第二象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正列出不等式组即可求解． 【详解】∵点在第二象限， ∴， 解得：， 综上，． 5．如图，当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】根据题意得到，再根据正弦值求得答案． 【详解】解：位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米， ， 在中，， ． 6．已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先根据一次函数的性质，再根据最大值对应的自变量取值代入计算即可求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取最小值时，取得最大值， 将，代入函数得：， 解得． 7．透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感，如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例的对应关系是解题的关键．利用平行线分线段成比例的性质，结合已知的线段比例关系，推导出所求线段的比例． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示，下列说法错误的是（    ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象中数据发现： ， ∴拉力与距离的乘积不变， ∴拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长l增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意； 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， ∴的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 设拉力与之间的函数解析式为， 将代入，解得， ∴拉力与之间的函数解析式为． 当时，，， ∴当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．若，则“”是______． 【答案】2 【分析】利用二次根式的乘法法则推导出，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则． 10．若与的和仍是单项式，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义、求代数式的值，由和仍是单项式，知两式为同类项，故相同字母的指数相同，即可求出、的值，再把字母的值代入代数式求值． 【详解】解： 与 的和仍是单项式， 与 是同类项， ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：. 11．已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义及代数式的化简求值，先把方程的解代入方程得到，再将所求代数式变形为含的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴将代入，得， ∴， ∴． 12．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据题意得到扇形的半径，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵的中点为圆心， ∴，即扇形的半径为， ∴该扇形的面积为， 故答案为： 13．如图是第四套人民币中的菊花一角硬币，该硬币边缘镌刻一个正九边形，若直线，与正九边形的两条边重合，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角与外角、三角形的内角和定理，先求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵硬币边缘镌刻一个正九边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，与相交于点G，连接给出下列四个结论： ①； ②； ③C、G两点之间的最小值为； ④当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【分析】利用正方形的性质证明，可判断①②，再找到点的运动轨迹，即可判断③，最后根据当与相切时，最大，由切线的性质求出，再利用勾股定理即可判断④． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 如图，取中点，正方形的中心为，连接， ∵点E、F分别在边上， 当两点重合，两点重合时，交于点，此时两点重合， ∴点在以为直径的圆上运动，且运动轨迹为劣弧， ∵，即， 当三点共线时，， 此时，有最小值， ∴，故③错误； 当与相切时，最大， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∴， 连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 则正确的结论有①②④． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．先化简，15．（6分）化简求值：先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 先根据平方差公式，单项式乘以多项式，完全平方公式计算，再代入求值即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 16．（6分）1月9日，“粤游学·暖冬知行季-2026‘寒假游学到广东’”五大主题游学周之“红色铸魂周”游学启动仪式在惠州市东江纵队纪念馆举行．某校建议同学们利用寒假时间自主到以下三个基地开展研学活动． A：广州起义纪念馆； B：河源苏维埃政府旧址及兵工厂旧址； C：广州中山纪念堂． 小明和小丽各自随机选取一个基地作为本次研学活动的第一站，用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小丽选择相同基地的结果数有3种， ∴小明和小丽选择相同基地的概率是． 17．（6分）如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用菱形的性质证明，全等的性质和（）综合（或者）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用菱形的性质得出，再证明，从而可利用线段差求得． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， 即． 18．（7分）临沂炒鸡作为齐鲁名菜，其独特风味已经家喻户晓．在临沂某美食街有一家小餐馆和一家大餐馆都主营炒鸡，已知小餐馆每小时炒制x份炒鸡，大餐馆每小时比小餐馆多炒制5份，在某一特定的营业时段内，大餐馆炒制30份炒鸡所用的时间和小餐馆炒制20份炒鸡所用的时间相同．求大小餐馆每小时各炒制多少份炒鸡？ 【答案】小餐馆每小时炒制10份炒鸡，大餐馆每小时炒制15份炒鸡 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设小餐馆每小时炒制x份炒鸡，则大餐馆每小时炒制份炒鸡，根据大餐馆炒制30份炒鸡所用的时间和小餐馆炒制20份炒鸡所用的时间相同，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小餐馆每小时炒制x份炒鸡，则大餐馆每小时炒制份炒鸡． 根据题意可列方程：， 方程两边同时乘以， 得， 解得 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 大餐馆：（份） 答：小餐馆每小时炒制10份炒鸡，大餐馆每小时炒制15份炒鸡． 19．（7分）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B均为格点（网格线的交点），我们把顶点落在格点上的四边形称为格点四边形．请在给定的网格中用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图①中画一个以为边的格点正方形； (2)在图②中画一个格点平行四边形，且面积为6； (3)在图③中画一个格点菱形，且四边形不是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，多边形，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据正方形的定义画出图形； （2）作一个底为2，高为3的平行四边形即可； （3）根据菱形的判定画出图形（答案不唯一）． 【详解】（1）解：如图①中，正方形即为所求； （2）解：如图②中，平行四边形即为所求； （3）解：如图③中，菱形即为所求（答案不唯一）． 20．（7分）2026年春晚展示了光伏、储能、聚变能源等绿色低碳技术，从内容到舞美都贯穿了“绿色、低碳、可持续”的理念．某校举办环保比赛，比赛的三个项目分别是绿色生活知识竞赛、自然生态板报创作、环保能源主题演讲，每个项目各有一个得分，这三个项目的得分依次按的比例确定个人总成绩．从参加比赛的学生中，随机抽取20名学生的个人总成绩，得到如下信息： 【信息1】个人总成绩均不低于60分，共分为四组如下表： 组别 A B C D 成绩（分） 【信息2】所抽取学生个人总成绩频数分布直方图如图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，所抽取学生个人总成绩的中位数落在______组； (2)所抽取学生中，小华、小飞各个项目的得分如下表（单位：分）： 项目 学生 绿色生活知识竞赛 自然生态板报创作 环保能源主题演讲 个人总成绩 小华 65 70 75 68.5 小飞 80 70 95 先计算小飞的个人总成绩；若个人总成绩高于一半学生的个人总成绩能获得“环保先锋”的称号，请分别判断小华、小飞能否获得“环保先锋”的称号？ (3)若有500人参加此次比赛，请估计个人总成绩在90分及以上的学生人数． 【答案】(1)图见解析，B (2)小华不能获得“环保先锋”的称号，小飞能获得“环保先锋”的称号 (3)估计个人总成绩在90分及以上的学生人数为75名 【分析】（1）根据抽取的人数求出组人数，补全频数直方图，根据中位数的定义，第和位同学位于组； （2）求出小飞的个人总成绩，小华的个人总成绩落在组，小飞的个人总成绩落在组，小华的个人总成绩小于中位数，小飞的个人总成绩大于中位数，即可得到答案； （3）用样本估计整体即可得到答案． 【详解】（1）解：组人数：（人）， 补全频数分布直方图如图： 根据中位数的定义，第和位同学位于组（或）； （2）解：小飞的个人总成绩， 小华的个人总成绩落在组，小飞的个人总成绩落在组， 小华的个人总成绩小于中位数，小飞的个人总成绩大于中位数， 小华不能获得“环保先锋”的称号，小飞能获得“环保先锋”的称号； （3）解：估计个人总成绩在90分及以上的学生人数为（名） 21．（8分）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 【答案】(1)40；160；240 (2) (3)①144；②或或 【分析】（1）根据题意，结合图象先计算当时，甲车的速度，即可得到对应的路程，其余两空可直接由图象获取数据； （2）利用待定系数法，分，，时，分别求解即可； （3）先求得乙车的时，，然后分，，，时，根据两车的距离列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，甲车的速度为， ∴甲车离开A地时，离A地的距离为， 由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和； ∴填表如下： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 （2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为， 代入，得，则； ∵， 则当时，此时； 当，设乙车的与的函数关系式为， 代入和，得， 解得， 综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为； （3）解：①由（2）可知，； ②令， 解得， 当时，两车相遇， 当时，甲车的速度为， 根据题意得：， 解得： 当时，甲、乙两车相距； 当时， 根据题意得：， 解得； 当时， 根据题意得：， 解得 综上所述，当或或时，两车相距． 22．（9分）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据圆周角定理的推论作答即可； （2）假设点在外，设交于点，连接，利用反正法，根据圆周角定理及三角形的外角性质即可得解； （3）延长至点，使得，过点作于，证明得，再利用勾股定理及 30 度直角三角形的性质得，从而得，进而即可得解． 【详解】解：（1）同弧所对的圆周角相等； （2）证明：如图3，假设点在外，设交于点，连接， 点在上， ， 在中，， ， 这与已知条件矛盾， 点不在外； （3）解：的值不会发生改变；理由如下： 已知四边形中，，若，平分，记，延长至点，使得，过点作于， ，，，四点在同一个圆上， 平分， ， ， ； ，，，四点在同一个圆上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 平分，， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理，反证法，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，熟练掌握勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理是解题的关键． 23．（10分）已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)存在，3.5或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、旋转、平移的性质等，要注意的是（2）中，要根据点的不同位置进行分类求解；（3）中要确定点的位置，是解答的关键． （1）运动一，停止时，，用时为秒；运动二，停止时，，用时为秒；运动三，点与点重合时，，用时为秒，可算出总用时； （2）运动一，与的重叠部分为直角的面积，表示出即可；运动二，连接，可得，，，所以，与的重叠部分不变：；运动三，四边形为矩形，，，所以，； （3）点在线段的中垂线上，连接，可得，可得，计算出，由，可得，解答出即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 运动一： 是等腰三角形，，， ， 运动一所用时间为：（秒）， 运动二： 当时暂停旋转， ， 运动二所用时间为：（秒）， 运动三： ， 运动三所用的时间为：（秒）， 整个过程共耗时（秒）； 故答案为：10； （2）解：运动一：如图2， 设为，则为， ， 与之间的函数关系式为：， 运动二：如图3，连接， 在和中， ， 与之间的函数关系式为：， 运动三：如图4， 可得四边形为矩形， ， ， ； 与之间的函数关系式为：， 综上可得，； （3）解：存在点，理由如下： 如图5，连接， 运动一： 点在线段的中垂线上， ， ， ，， 解得，， ， ， 此时，为：秒． 如图6， 运动二： 同理：， 过点作交于点，， 在中，， ， ； 运动三时，最大为， 所以无解． 综上，或时，点正好在线段的中垂线上． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点的坐标； (2)若点为抛物线上一动点（点不与点重合）．设点的横坐标为． ①设抛物线上点，之间的部分（含）为图象，当图象的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求的值； ②如图2，点在第四象限抛物线上，过点作轴交直线与点，求线段长的最大值； ③连接，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；②；③或. 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可． （2）①设，当点位于轴左侧时，即，当点位于轴右侧时，且时，当点位于轴右侧时，且时，再进一步求解即可. ②设，且，求解直线为：，可得，，再进一步求解即可． ③如图，当的横坐标为，当时，此时只有，此时不符合题意，舍去，当在之间时，即，如图，同理可得：此时只有，延长，过作于点，过作轴的平行线交于，交轴于，如图，当在之间时，此时不符合题意，舍去，当在的左边时，即时，此时只有，如图，记与轴的交点为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点．， ∴， 解得：， ∴抛物线． 当时，， ∴. （2）解：①设， 当点位于轴左侧时，即， 函数最大值为，当时，函数最小值为， ． ∴． 解得，（舍去）． 当点位于轴右侧时，且时， 当时，函数最大值为， 当时，函数值为，即抛物线顶点为 ∵， ∴此时最高点和最低点的纵坐标之差不超过1，即此时无解； 当点位于轴右侧时，且时， 函数最大值为，当时，函数最小值为， ∴， 解得 ，（舍去）． 综上所述，或． ②设，且， ∵，， 设直线为，则， 解得：， ∴直线为：， ∴， ∴， 当时，的长有最大值，最大值为． ③如图，当的横坐标为，当时， 此时， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，即， 此时都不等于，不符合题意，舍去， 当在之间时，即，如图， 此时，，故只有， 延长，过作于点，过作轴的平行线交直线于，交轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，而， ∴， ∴，， ∴， 将代入抛物线解析式得：， 解得：，（舍去）， ∴， 如图，当在之间时， 设直线：与抛物线有一个交点，在轴上， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程中， 解得：， ∴直线为， ∴， ∴，而， ∴，， ∴，而 ∴， ∴， ∴，而，此时不符合题意，舍去， 当在的左边时，即时， 此时，，只有，如图，记与轴的交点为， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线为， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 综上：或. 【点睛】本题考查的二次函数与几何综合，难度很大，涉及待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解题的关键. 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $