精品解析：河北廊坊市第四中学2025--2026学年下学期八年级第一次阶段练习数学试卷

2025-2026学年度第二学期第一次质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（共16小题，1-10题每个3分，11-16每个2分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使有意义，必须满足（ ） A. B. C. 为任何实数 D. 为非负数 3. 在下列二次根式中，其中能与合并的是（ ） A B. C. D. 4. 下列几组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ） A. B. C. D. 12s 6. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 8. “低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（ ） A. 400米 B. 450米 C. 500米 D. 600米 9. 如图，在数轴上，点对应的数是1，点对应的数是3，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 10. 按照如图所示程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A. B. C. 2 D. 11. 若，，则的值为（　　） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 12. 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（　　） A 6 B. 5 C. 4 D. 3 13. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 18 14. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为，即此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A. 8m B. 10m C. m D. m 16. 对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（ ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共4题，每题3分） 17. 已知实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：________． 18. 已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 19. 手工课上老师拿走了一块大的正方形布料做教学材料，小红和小芸按照如图所示的方式各剪下一块面积为和的小正方形布料做沙包，那么剩下的两块长方形布料的面积和为______． 20. 观察下列一组等式的化简然后解答后面的问题： ； ； （1）在计算结果中找出规律______．（n表示大于0自然数） （2）通过上述化简过程，可知______（填“”、“”或“”）； 三、解答题（21题12分，22题8分，23题8分，24题8分，25题10分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 已知，请计算下列各式的值： （1）； （2）． 23. 如图，在四边形中，，，，．连接． （1）求的长度； （2）求度数． 24. 如图一架云梯斜靠在一面墙上，梯子的底端B离墙根O的距离长为7米，梯子的顶端A到地面的距离为24米． （1）求这个梯子的长； （2）如果梯子的顶端A下滑4米到点，梯子的底端B向右滑动到点，试求的长． 25. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一次质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（共16小题，1-10题每个3分，11-16每个2分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负，即可解答． 【详解】解：选项A：，根指数为2，但被开方数的正负未知．若，则为二次根式；否则无意义．因题目未限定的范围，无法确定，故排除． 选项B：，根指数为2，但被开方数为（负数），在实数范围内无意义，故排除． 选项C：，根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式定义，故正确． 选项D：，根指数为3（三次根式），不符合二次根式的根指数要求，故排除． 故选：C 2. 要使有意义，必须满足（ ） A. B. C. 为任何实数 D. 为非负数 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x+5≥0，再解不等式即可． 【详解】解：要使有意义，则2x+5≥0， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 3. 在下列二次根式中，其中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简各个选项的二次根式，再看能否合并，即可得到答案． 【详解】解：A、，不能和合并的，不符合题意， B、，能和合并的，符合题意， C、，不能和合并的，不符合题意， D、，不能和合并的，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式的化简，解题的关键是正确化简二次根式． 4. 下列几组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意． 5. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ） A. B. C. D. 12s 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，直接将代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 6. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需根据二次根式的四则运算法则逐一判断选项． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 8. “低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（ ） A. 400米 B. 450米 C. 500米 D. 600米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理可得出答案． 【详解】解：由题意知米，米， ∴（米）， 故选：C． 9. 如图，在数轴上，点对应的数是1，点对应的数是3，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得，， 在中，， ， 表示的实数为． 故选：A． 10. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴输出的值为2． 11. 若，，则的值为（　　） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴原式． 12. 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】∵S1左侧和S2右侧部分的两个直角三角形是全等三角形，根据勾股定理的几何意义可知 ∴S1+S2=1 ∴S2+S3=2 ∴S3+S4=3 ∴S1+S2+S3+S4=4 故选C 13. 如图，中，，分别以这个三角形三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理求图形面积，关键是利用勾股定理将正方形面积的关系转化为线段长度的关系，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，，根据勾股定理，得． ∵分别以三边为边长向外作正方形，面积记为， ∴，，， ∴． ∵， ∴， 解得，即． 观察图形，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为． 故选：A． 14. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为，即此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，可设秋千的绳索长为，根据题意可知，利用勾股定理可得，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴ 在中，，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：． 所以，绳索的长度为， 故选：C． 15. 如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A. 8m B. 10m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故选：B． 16. 对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（ ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，计算，再逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴所有可能的值为6和7，③正确； 若， 那么， ． ，故④不正确； 故选：B． 二、填空题（共4题，每题3分） 17. 已知实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．观察数轴得：，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴． 故答案为： 18. 已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，最后根据三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵，，，且 ∴，，， 解得，，． ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，直角边为和， ∴的面积为． 19. 手工课上老师拿走了一块大的正方形布料做教学材料，小红和小芸按照如图所示的方式各剪下一块面积为和的小正方形布料做沙包，那么剩下的两块长方形布料的面积和为______． 【答案】 【解析】 【分析】设小正方形的边长分别为，，则，，然后由剩下的两块长方形布料的面积和为，再代入即可求解． 【详解】解：如图，设小正方形的边长分别为，， ∴，， ∴，， ∴剩下的两块长方形布料的面积和为： ． 20. 观察下列一组等式的化简然后解答后面的问题： ； ； （1）在计算结果中找出规律______．（n表示大于0的自然数） （2）通过上述化简过程，可知______（填“”、“”或“”）； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）利用题中的计算结论即可求解； （2）利用（1）结论进行变形，再根据正数的大小比较方法，分子相同，分母越大的数越小即可求解； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由上述例子可知：， ， ， ， 即， 故答案为： 三、解答题（21题12分，22题8分，23题8分，24题8分，25题10分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的运算法则计算． （）先通过分母有理化化简，再由二次根式加减运算法则求解即可； （）先化为最简二次根式，再根据二次根式乘除混合运算法则求解即可； （）先化简二次根式，再计算括号内的加减，最后计算除法即可； （）先运用完全平方公式及平方差公式进行计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：    ； 【小问2详解】 解：   ； 【小问3详解】 解：      ； 【小问4详解】 解：    ． 22. 已知，请计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式． （1）直接根据平方差公式计算即可； （2）先将原式化为，进而计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 23. 如图，在四边形中，，，，．连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形性质，角度计算等． （1）根据题意利用勾股定理即可得到本题答案； （2）根据题意利用勾股定理逆定理可得，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 24. 如图一架云梯斜靠在一面墙上，梯子的底端B离墙根O的距离长为7米，梯子的顶端A到地面的距离为24米． （1）求这个梯子长； （2）如果梯子的顶端A下滑4米到点，梯子的底端B向右滑动到点，试求的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）根据勾股定理即可求解； （2）先求出，再根据勾股定理求出米，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 根据勾股定得米 ∴米； 【小问2详解】 解：米， 在中，根据勾股定理得， 所以米， 所以米． 25. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）求∠ACB度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）∠ACB＝90° （2）海港C受台风影响，理由见解析 （3）台风影响该海港持续的时间为小时 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可求解； （2）过点C作CD⊥AB， 根据直角三角形的面积可得AC×BC＝CD×AB，从而得到CD＝240km，即可求解； （3）设台风中心移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 根据等腰三角形的性质可得EF=2ED=200km，即可求解． 【小问1详解】 解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； 【小问2详解】 解：海港C受台风影响，理由： 过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴×300×400＝×500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响， ∴海港C受台风影响； 【小问3详解】 解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 由（2）得：CD⊥AB，CD=240km， ∴EF=2ED， ∵ED＝＝100（km）， ∴EF＝200km， ∵台风的速度为28千米/小时， ∴200÷28＝（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $