4.2.4 积化和差与和差化积公式（教学课件）数学北师大版必修第二册

4.2.4 积化和差与和差化积公式 第四章 三 角 恒 等 变 换 北师大版必修第二册·高一 学 习 目 标 1 2 3 了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程. 能够应用积化和差、和差化积公式解决三角函数的求值、化简和证明. 借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理素养. 读教材 阅读课本P159-P161，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“积化和差与和差化积公式”吧！ 1.如何利用两角和与差公式推导积化和差公式、和差化积公式？ 2.观察积化和差、和差化积公式，思考下有没有口诀或者方便记忆公式的方法？ 3.哪些题型可以应用积化和差、和差化积公式进行化简、计算？ 单击此处添加备注 3 情境导入 变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果． 变换是生活中的常态，换一个环境，换一种心情，换一个角度，或许就柳暗花明又一村了，我们经常看到的魔术更是如此．可见，变换已深入到我们生活中的每一个角落． 在前面几节的学习中，我们已经领略了三角变换的风采，那么，对于前面学习的和角公式、差角公式，通过对两角和、差公式做加减运算，又能得到什么样的变换呢？ 这就是我们这一节要学习的内容：三角函数的积化和差与和差化积． 学习过程 01 03 02 目录 1 三角函数的积化和差 3 当堂检测 2 三角函数的和差化积 单击此处添加备注 5 新知探究 计算：（1） 分析：可以利用二倍角公式、降幂升角公式进行计算。 上式既不是特殊角，也不能转化为应用公式进行计算 问题：如何求出cos αcos β，sin αsin β的表达式吗？ 新知探究 追问1：，两个角如何用 的两个角表示？ ，.即右边的两个角分别是左边两个角的和（差）的一半． 追问2：对任意两个角，应该等于什么？ 原式 化简 新知探究 思考：如何运用两角和差公式计算： 你还能得出什么结论？ sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， 得 ． ① ② 得 ． 新知探究 仿照上式计算方法，利用两角和差公式表示 的形式. 归纳小结 按照以上做法，我们可以得出以下四条积化和差公式 记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差. 典例分析 例8 .求的值 解： 两个三角函数值的积可转化为另外两个易求三角函数值的和（差）乘常数的形式，再进行求值. 典例分析 证明： 例9 .求证 学习过程 01 03 02 目录 1 三角函数的积化和差 3 当堂检测 2 三角函数的和差化积 单击此处添加备注 13 新知探究 解： 设 请把 转化成三角函数的积的形式. 故 归纳小结 按照以上做法，我们可以得出以下四条和差化积公式 设 记忆口诀：正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦. 典例分析 解：（1） 例10. 把下列各式化为积的形式： （1）sin 103°＋sin 17°；（2） 两个三角函数的和或差可利用和差化积公式转化为积的形式 典例分析 解： 例11 .把 化为积的形式. 学习过程 01 03 02 目录 1 三角函数的积化和差 3 当堂检测 2 三角函数的和差化积 单击此处添加备注 18 当堂检测 D 当堂检测 2.函数 的最小正周期是___. 解： ， 所以 . 当堂检测 3.已知函数，， ，求函数的最小值. 解： ， ， ， ， 即 ， . 当堂检测 D 课堂小结 1.积化和差公式： 2.和差化积公式： 感谢聆听! 解：因为， 所以，. 又，均为锐角，所以，故. 1.已知，均为锐角，且满足，，则( ) A. B. C. D. 4.，且，，则( ) A. B. C. D. 解：由已知，得. ，，，，，，，. $