2026年安徽省阜阳市颍泉区九年级一模数学测试卷

2026年安徽省阜阳市颍泉区九年级一模数学测试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各实数中，与2026互为相反数的是（    ） A．2026 B． C． D． 2．电影《哪吒之魔童闹海》自2025年1月29日上映以来，票房表现极为抢眼，截至2026年2月，全球累计票房已突破159亿元人民币，159亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通红砖的三倍以上．如图所示的是一种“月壤砖”，则它的左视图为（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，点D 是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 7．如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，点，是的边上的两点，连接，交于点，的面积为，，则的面积为（   ） A．45 B．48 C．50 D．52 10．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点在和之间，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③对于任意的，都有；④关于的一元二次方程，其中一个根为，且；⑤若，则，其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．计算：________． 12．比较大小：________． （填“”“”或“”） 13．如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 14．如图，已知矩形，连接，点P是上一点，且， （1）若，，则________； （2）连接交于点Q，若，则________． 三.（本题共16分） 15． 计算：． 16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)画出线段关于所在直线对称的线段（点，分别为A，B的对应点）； (2)将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，画出线段（点，分别为A，B的对应点）； (3)连接，在所给的网格图中描出一个格点E，使得直线是线段的垂直平分线． 四.（本题共16分） 17．某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地、其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成．2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元，求该科技园总收入的月平均增长率． 18．为了解某镇去年家庭收入情况，有关部门从该镇2000户居民中随机抽取了部分居民的家庭年收入x（单位：万元）作为样本，分成6组（A：，B：，C：，D：，E：，F：），并绘制了以下不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)该部门随机抽取的样本容量是________； (2)频数直方图中的________，________； (3)扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角为________，样本的中位数落在________组． 五.（本题共20分） 19．如图，内接于半圆，已知是半圆的直径．，平分，分别交半圆和于点，过点作，垂足为点，交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，若，求的长． 20．某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题图是“躺式”课桌椅的实物图，图是上课期间椅子的摆放样式已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，（结果精确到）．（参考数据：，，，） (1)求点到支撑脚的垂直距离； (2)如图是午休时椅子的摆放样式，此时点到点的水平距离为，求背垫旋转的度数． 六.（本题共12分） 21．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______； (2)【公式推导】如果一个数列是等比数列，且公比为，那么根据定义可得，，，，，所以，，，． 由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______； (3)【拓广探究】等比数列的求和公式并不复杂，但是其推导过程-错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值所采用的方法： 设，① 则，② 得，． 【解决问题】请仿照小明的方法计算的值． 七.（本题共12分） 22．如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，求的长． 八.（本题共14分） 23．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求直线，的函数表达式； (2)如图2，P是直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点Q，当的值最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点P作的平行线交抛物线的对称轴于点M，交直线于点D，抛物线对称轴与交于点N，若求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年安徽省阜阳市颍泉区九年级一模数学测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C C A D B B 1．B 【详解】解：与2026互为相反数的是． 2．B 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，先将以亿为单位的数转化为普通整数，再根据科学记数法的定义确定系数和指数即可得到结果． 【详解】解：159亿． 3．D 【分析】本题考查了三视图的识别，左视图就是从左边看到的视图，其中能看到的边用实线表示，不能看到的用虚线表示． 【详解】解：是完整的长方形，未体现中间凹陷，错误，故选项不符合题意； 是三个小长方形的组合，不符合左视图形状，错误，故选项不符合题意； 这是主视图，故选项不符合题意； 是长方形且中间有两条水平虚线，符合左视图的特征，正确，故选项符合题意． 故选：． 4．C 【分析】根据幂的运算性质与二次根式的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解∶A．，故A错误； B．，当时，结果为，不等于，故B错误； C．，原计算正确，故C正确； D．，故D错误． 5．C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟记根的判别式是关键． 通过计算一元二次方程的判别式判断是否有实数解，若则有实数解． 【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意； ，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意； ，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意； ，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意； 故选C． 6．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、垂线段最短，在上取一点，使，证明，得出，推出当最小时，最小，而当时，最小，由勾股定理可得，得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：在上取一点，使， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，而当时，最小， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 7．A 【分析】根据为直径，可得，根据等腰直角三角形的性质可得垂直平分，，为的中点，再由阴影部分的面积是扇形的面积与的面积之差即可得出． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵是半圆的直径， ∴，即， 在等腰直角三角形中，垂直平分，， ∴． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，根据题意可得，再利用不等式的性质逐一判断即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，∴．故选项A正确； ∵，∴，故选项B正确； ∵，∴，故选项C正确； ∵，， ∴，， ∴，故D选项错误． 故选：D． 9．B 【分析】连接、，利用平行四边形对边平行的性质，证明，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形面积与平行四边形面积的关系，逐步推导平行四边形的面积． 【详解】解：如图，连接、、， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，且相似比为 ∴ ∵， ∴ ∵， ∴与同底等高， ∵， ∴， ∴ ∵，且与同高， ∴ ∵平行四边形的面积， ∴ 10．B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质．根据抛物线开口向下判断出，再根据对称轴可得，根据与轴的交点求出的取值范围，然后判断出①错误；根据当时，，可以判断出②正确；根据开口向下，抛物线有最大值可判断③错误；根据对称性可知抛物线与轴的另一交点在3和4之间，可判断出④正确；设，则，根据，可得，将点的坐标代入抛物线的解析式可判断⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， 与轴的交点在正半轴上， ， ，故①错误； 抛物线与轴交于点，点在和之间， 当时，， ， ， ，故②正确； 开口向下，对称轴是直线， 对于任意的，都有， ，故③错误； 点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一交点在3与4之间， 关于的一元二次方程，其中一个根为， ，故④正确； 设，则， ， ，即， ， 将点的坐标代入得：， ， ， ， ， ，故⑤正确； 综上所述，结论正确的是②④⑤，共3个． 故选：B． 11．3 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了零指数幂和负指数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键，注意非零底数的零指数幂的结果为1． 12． 【分析】本题考查比较实数的大小，先估算无理数的大小，进而即可得到答案． 【详解】解：∵，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 14． 【分析】（1）由等角对等边得，设，则，再在中，利用勾股定理求解即可； （2）根据题意可推出，设，再利用勾股定理得出的关系，构建关于的方程求解． 【详解】解：（1）在矩形中，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 则； （2）， ， 又，， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即， 整理得， 即， 设，即， 解得或（舍去）， ． 15． 【分析】本题考查分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，把第二个分式变形后根据同分母分式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称性质，通过找对称点来画出对称线段； （2）依据旋转性质，确定旋转后的对应点，进而画出旋转后的线段； （3）根据线段垂直平分线的性质，借助网格确定垂直平分线上的格点． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点E即为所求．（答案不唯一） 17．该科技园总收入的月平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该科技园总收入的月平均增长率为，根据“2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设该科技园总收入的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该科技园总收入的月平均增长率为． 18．(1)50； (2)10，14 (3)72，D 【分析】（1）根据样本容量频数频率，代入计算即可； （2）先求出C组频数，即的值，再计算的值； （3）根据某组对应的圆心角该组频率，进行计算即可；根据中位数的算法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，该部门随机抽取的样本容量为． （2）解：由题意得，， ． （3）解：扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角为， 样本的中位数为第个数据的平均数，且，， 样本的中位数落在D组． 19．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于得到，再根据垂直定义得到及角平分线即可得到即可解答； （2）根据直角三角形的性质及等边对等角即可得到，再利用垂直平分线的定义及等边三角形的判定即可得到是等边三角形，最后利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为:， 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，垂直平分线的定义，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式，掌握直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键． 20．(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【详解】（1）解：过点作于点， 在中，， ， ， 点到支撑脚的垂直距离约为； （2）解：过点作，交的延长线于点， 由题意得， ， ， ， ， ， ， 背垫旋转的度数为． 21．(1)3；243 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）设根据例题的方法求得，即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得：等比数列的公比为 3 ，第 5 项是； 故答案为： 3；243 ； （2）解：根据题意得：等比数列的通项公式：； 故答案为：． （3）解：设，① 则，② 得， ． 22．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，得出，根据角的和差关系即可得出，得出； （2）根据等腰三角形的性质得出，为的中点，利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，进而得出，利用证明，得出，即可得出，利用三角函数的定义即可得答案； （3）先证明，得出，同理可得，，即可证明，根据等腰三角形的性质，结合平行线的性质得出，设，利用勾股定理可求出，证明，根据相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （2）解：∵，， ∴，为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， 在中，，即， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 23．(1)直线解析式为，直线解析式为 (2) (3)12 【分析】（1）由求出，，，再用待定系数法可得直线、解析式； （2）过P作交于G，设，可得，，由，即可得，根据二次函数性质可得答案； （3）过D作于H，设，求出抛物线的对称轴为直线，直线解析式为，可得，，，联立，得，故，根据，得，可知，从而可得，的长为12． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， 令得， 解得或， ∴，， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为； 设直线解析式为'，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：过P作交于G，如图： 设， 在中，令得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最大值； 此时， ∴当的值最大时，点P的坐标为； （3）解：过D作于H，如图： 设， 由可得，抛物线的对称轴为直线， 由，设直线解析式为，将代入得： ， ∴， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， 在中，令得， ∴， ∴， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（无实数解，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的长为12． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $