专题01 概率与统计（专项训练）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第八章 概率与统计 专题01 概率与统计 专项训练 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：概率与频率综合问题 类型1：几何概型问题（B21） 1．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_____ 2．（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是______． 3．（2025·四川成都·校考二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）某数学探究学习小组利用线段中点和黄金分割点设计了一个掷飞镖的游戏，如图，在中，点M，N分别是线段的中点和黄金分割点，游戏规定：投掷的飞镖落在内（包括边界）即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在三角形内，现小明随机向该投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是________． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，地面上铺满了正方形的地砖（），现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率是______________． 6．（2025·四川成都·二模）如图，直径为的圆形图形中，点均在圆上，且，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．（取3） 类型2：古典概型（与不等式、方程、函数综合）（B21） 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）现从﹣1、0、1、2、3、4这六个数中任取一个作为m的值，使得关于x的方程的所有根都是比1小的正实数的概率为___________________ 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数是非负整数的概率为________． 3．（24-25九年级下·四川成都·月考）从、、0、1这四个数中随机抽取一个记为a，则使关于x的不等式组有解，且使关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象有1个交点的概率是_______． 4．（2025·四川成都·校考模）在中，，，是边上的中线，记且为正整数．则使关于的分式方程有正整数解的概率为______． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，我们称任意一点的横纵坐标之和为“坐标和”，用字母H表示．如的坐标和为3，记作；已知为反比例函数上一点，为反比例函数上一点，若且，则称x为点B相对于点A的“和谐数”．若时，点B相对于点A的“和谐数”为，则_________；若，时，（a，b均为正整数），则点B相对于点A的“和谐数”为的概率为_________． 类型3：古典概型（新定义、跨学科等）（B21） 1．（24-25九年级下·四川成都·月考）若正整数n使得在计算的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数”．例如2和是“本位数”，而5和不是“本位数”．现从所有大于0且小于的“本位数”中，按从小到大排列，第四个“本位数”是______；从所有大于0且小于的“本位数”中随机抽取一个数，抽到偶数的概率为______． 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）小航和小珂玩猜数字游戏时，把小航猜的数字记为x，小珂猜的数字记为y，且x，y是，1，2，4四个数其中的某一个，若在平面直角坐标系中，点恰好落在直线上，则称小航和小珂“心有灵犀”，则小航和小珂“心有灵犀”的概率为______． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，正方形边长为1个单位长度，将一枚棋子按顺时针方向依次沿正方形的四个顶点移动．每次开始时，棋子都位于点处；然后，掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和是几就移动棋子几个单位，如掷得的点数之和为3就移动3步落在点处，掷得的点数之和为6就移动6步落在点处，…；棋子落在点处的概率是______． 4．（25-26九年级上·成都·月考）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为____________ ． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是_____． 类型4：频率估计概率（B20） 1．（24-25九年级上·成都·期中）如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为______． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东江门·三模）一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球，每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次试验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 4．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 考点二：统计综合问题 类型1：统计图表综合问题 1．（25-26九年级上成都·月考）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是________ ． ①第所用的时间最长；②第的平均速度最大；③第和第的平均速度相同； ④前的平均速度大于最后的平均速度． 2．（2025·河南驻马店·三模）年月，西藏日喀则市定日县发生地震后，某校组织师生进行献爱心活动，积极向灾区捐款，捐款情况如图，图所示，则捐款的众数为______元． 3．（2025·成都·三模）“黑发不知勤学早，白首方悔读书迟．”某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生2000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有__________人． 4．（24-25九年级下·成都·期中）泰州市体育中考现场考试选项规则如下表： 项目 耐力（必选） 素质（必选） 素质（任选一项） 球类（任选一项） 男生 米跑 引体向上 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 女生 米跑 仰卧起坐 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 对初三某班40名同学的体育选考项目情况进行了统计（无“免试”或“缓试”），并根据其中部分信息绘制了下表： 项目 素质 球类 立定跳远 短跑 篮球绕杆 排球垫球 足球绕杆 男生 女生 总计 以下四个推断中，推断正确的有__________（填序号）． ①一定有女生选择了短跑；②一定有男生同时选择短跑和足球绕杆； ③至少有名女生同时选择立定跳远和篮球绕杆；④男生中同时选择短跑和篮球绕杆的至多有人． 5．（2025·成都·模拟预测）五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中的信息，下列结论正确的是____． ①本次抽样调查的样本容量是5000；②扇形统计图中的为；③若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人；④样本中选择公共交通出行的有2400人 类型2：数据分析综合问题 1．（25-26九年级上·成都·自主招生）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 2．（2025·成都·三模）为了了解某班七年级男生体能情况，随机抽取7名男生，进行引体向上测试，测试成绩（单位：个，且均为整数）按从小到大排序为：5，5，6，m，8，9，10，若这组数据的平均数小于这组数据的中位数，则这组数据的中位数为_____． 3．（24-25九年级上·成都·期中）【平均数】李老师在黑板上写上若干个从1开始的连续自然数1，2，3，……，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是，则擦掉的这个自然数是________． 4．（25-26九年级·成都·专题练习）五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为______________. 5．（2025·四川成都·二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为时，设最佳值为a，那么应为最小，此时_________；设某次实验测量了m次，由这m次数据的得到的最佳值为；又测量了n次，这n次数据得到的最佳值为，则利用这次数据得到的最佳值为__________． 6．（2025·四川成都·校考二模）有甲、乙两个箱子，甲箱内有90颗球，分别标记号码1－90，号码为不重复的整数，乙箱内没有球．已知小明从甲箱内拿出45颗球放入乙箱后，乙箱内球的号码的中位数为30.若此时甲箱内有颗球的号码小于30，则__________． 7．（2026·成都·模拟预测）甲、乙两名运动员六次射击测试的成绩（单位：环）如表所示，如果两人测试成绩的中位数相同，那么“？”表示的是（　　） 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10 A．6 B．7 C．8 D．9 8．（2025·山东济南·一模）编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八九年级下·成都·期末）体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 10．（25-26九年级上·成都·期中）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（    ） A．丙、丁 B．乙、戊 C．甲、丁 D．无法确定 类型3：概率与统计综合问题（解答题） 1．（2026·成都·一模）校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 A B C D E x（单位：cm）        整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为________． (2)下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组；Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数． (3)结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 2．（25-26九年级上·成都·期末）“湘超”联赛截止到12月18日结束后前8名的积分情况如下表：（注：积分与进失球个数无关） 球队名 长沙队 株洲队 常德队 娄底队 永州队 衡阳队 郴州队 岳阳队 场次 13 13 13 13 13 13 13 13 胜/平/负（场） 11/2/0 8/3/2 8/2/3 6/5/2 6/4/3 6/2/5 4/7/2 5/4/4 进/失球（个） 26/4 27/10 26/12 15/8 24/14 24/16 20/16 10/7 积分 35 27 26 23 22 20 (1)表中的值为_____；(2)这8支球队前13轮比赛进球个数的中位数是_____； (3)前13轮长沙队每场的进球个数为：2、4、1、3、1、2、1、5、2、1、2、0、2； 永州队每场的进球个数为：3、3、0、0、4、2、1、3、2、4、0、1、1． 长沙队与永州队前13轮比赛进球个数数据统计表 进球数 平均数 中位数 众数 方差 长沙队 26 2 2 1.69 永州队 24 0/1/3 1.98 ①求出统计表中的及的值；②在“四强”淘汰赛中，永州队以的比分战胜了长沙队，有人认为这纯属偶然，你是否同意这种说法，请从进球的角度阐述你的理由？ 3．（2025·成都·三模）某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱．小苏经过考查，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨．平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如果采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标．计算公式：减重率） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为40%．成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动．小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式；(2)若乙生产线分配到草莓原料100吨，试求出成品草莓酱的利润（用含s的式子表示）； (3)经过调研，工厂本季计划用100吨草莓做草莓酱，考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的2倍，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与甲生产线的草莓原料吨数，并说明理由． 4．（25-26九年级下·成都·月考）某公司有名职员，公司食堂供应午餐．受疫情影响，公司停工了一段时间．为了做好复工后职员取餐、用餐的防疫工作，食堂进行了准备，主要如下：①将过去的自主选餐改为提供统一的套餐；②调查了全体职员复工后的午餐意向，结果如图所示；③设置不交叉的取餐区和用餐区，并将用餐区按一定的间距要求调整为可同时容纳人用餐；④规定：排队取餐，要在食堂用餐的职员取餐后即进入用餐区用餐；⑤随机邀请了名要在食堂取餐的职员进行了取餐、用餐的模拟演练，这名职员取餐共用时，用餐时间（含用餐与回收餐具）如表所示．为节约时间，食堂决定将第一排用餐职员人的套餐先摆放在相应餐桌上，并在开始用餐，其他职员则需自行取餐．    用餐时间 人数 （1）食堂每天需要准备多少份午餐？ （2）食堂打算以参加演练的名职员用餐时间的平均数为依据进行规划：前一批职员用餐后，后一批在食堂用餐的职员开始取餐．为避免拥堵，需保证每位取餐后进入用餐区的职员都有座位用餐，则该规划是否可行？如果可行，请说明理由，并依此规划，根据调查统计的数据设计一个时间安排表，使得食堂不超过就可结束取餐、用餐服务，开始消杀工作；如果不可行，也请说明理由． 1．（25-26九年级上·成都·期末）某同学参加学校举行的“最强数学大脑”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 2．（2026·成都·一模）如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·成都·一模）某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，如图-1所示，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品；如图所示，售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图．根据以上信息可知，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·成都·三模）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个与红球除了颜色外其余均相同的白球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为________． 5．（2025·成都·模拟预测）如图，小颖在10×10的方格纸中绘制图形“19”，为计算它的面积，小颖将米粒随机撒在方格纸上，经过大量重复试验，发现米粒落在“19”区域的频率稳定在常数附近，由此可估计图形“19”的面积为_______． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）“作学习的主人，作生活的能手”，在成都七中一年一度的学生生活技能活动中，全体学生参加包粽子的体验活动．随机调查了部分学生，对他们每个人包粽子的平均时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长t（单位：分钟） 人数 所占百分比 A 4 x B C D 根据图表信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生总人数为______，表中x的值为______； (2)该校共有名学生，请你估计等级为B的学生人数；(3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 7．（25-26九年级上·成都·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（精确到0.01） 请根据上面的图表完成以下问题：(1)________；(2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）；(3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若时，矩形相对于矩形的“共比系数”为，则___；若（均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为 _____． 2．（2026·成都·二模）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被等分为三个扇形，每部分标注的数字分别为0，，；转盘B被分成三个扇形，其中数字0，4所在扇形的圆心角度数为，数字2所在扇形的圆心角度数为．姐姐和弟弟用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A与B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为1，则姐姐获胜；如果和为，则弟弟获胜． (1)转动转盘A，则指针指向0的概率为_________； (2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或者画树状图的方法说明理由． 3．（2026·成都·模拟预测）综合与实践 【项目主题】一种基于等可能假设的概率模型：几何概率． 【项目准备】（1）基本原理：设想每个结果是一个点，所有结果的点组成一个区域G，而组成事件A的结果是G中的部分区域g，G，g可以是直线上的线段，也可以是平面或空间的区域．因此，这种概率可以表示为两个线段的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两个空间区域的体积之比．常用公式：①如果是在线段上，；②如果是在平面图形上，；③如果是在立体图形上，． （2）初步探究： 场景1：假设有一根长的绳子，随机在绳子上画一个点，想知道点落在绳子中间段（从到）的概率． 分析：目标线段长度：，总线段长度：，则概率①________； 场景2：一个操场是长、宽的长方形，里面有一个篮球场是长、宽的长方形．如果你随机往操场扔一个球，球落在篮球场内的概率是多少？ 分析：操场的面积：，篮球场的面积：，概率②_________； 【实践应用】现在利用这个模型解决一个生活中的问题． （1）项目条件：小明每天早上之间随机出门赶到公交站，公交车每天之间随机到达公交站，小明能赶上公交车的概率是多少？ （2）原理分析：用“平面直角坐标系”把“小明赶到公交站时间”和“公交车到达时间”的所有可能情况变成一个矩形区域，再找出“能赶上公交”的区域，用“面积比例”算概率； （3）实施步骤： 第一步：定义“时间变量”，把抽象时间变具体——为了方便计算，我们给时间赋上数字（去掉“7点”，只算分钟）设小明赶到公交站时间为x分钟：就是，就是，所以x的取值范围是．（所有可能的赶到公交站时间）； 第二步：画“所有可能情况”的图形（总区域）——我们用“平面直角坐标系”来表示．横轴（x轴）：小明赶到公交站时间（0到），纵轴（y轴）：公交车到达时间（10到）；所有可能的情况，就是坐标系里一个“矩形”，计算矩形的面积（总度量）：矩形面积③_________． 第三步：找“能赶上公交”的条件（符合条件的区域）——小明能赶上公交，必须满足：小明赶到公交站时间≤公交车到达时间，也就是． 先在矩形里画一条直线（这条线表示“赶到公交站时间到达时间”），满足的区域，是直线上及其④________（填写“左侧”或“右侧”）的部分． 第四步：计算符合条件的面积和概率——符合条件的面积⑤________，小明能赶上公交车的概率⑥________（精确到）． 【项目总结】根据以上分析，几何概率可以解决生活中的问题． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 概率与统计 专题01 概率与统计 专项训练 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：概率与频率综合问题 类型1：几何概型问题（B21） 1．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_____ 【答案】 【详解】解：过点E作，交于点G，连接， ∵是等边三角形，且是高线，∴. ∵，∴，则.∵，∴. ∵，∴，∴， 设，则；∴. 根据等边三角形的对称性可知， ∵，∴，∴，∴阴影部分的面积是， 所以针尖落在阴影区域的概率是.故答案为：. 2．（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是______． 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形，∴，设， 如图所示，过点作于点，∴在中，， ∴，，∴， ∵点分别是的黄金分割点，∴， ∴，∴， ∴，则， 如图所示，过点作于点，∴在中，， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，故答案为：． 3．（2025·四川成都·校考二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________． 【答案】//0.25 【详解】解：如图，连接EG交BD于点P，∵平分，∴ ∠ADE＝∠MDE ∵四边形EFGH是正方形∴∠MED＝90°，∴∠AED＝180°－∠MED＝90°，∴∠MED＝∠AED ∵DE＝DE ；∴△ADE≌△MDE（ASA）；∴AE＝ME ；同理可证△BGC≌△BGN（ASA）， ∵四边形ABCD是正方形；∴∠ADM＝45°；∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°；∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5° ∵∠MEG＝45°；∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°；∴∠EMD＝∠MPE；∴EM＝EP 设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x；在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，∴FG＝EG×sin45°＝ ∵△BFA≌△AED≌△CGB ∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED， 在Rt△BCG中，∴＝ ∴ ∴针尖落在阴影区域的概率为．故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）某数学探究学习小组利用线段中点和黄金分割点设计了一个掷飞镖的游戏，如图，在中，点M，N分别是线段的中点和黄金分割点，游戏规定：投掷的飞镖落在内（包括边界）即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在三角形内，现小明随机向该投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是________． 【答案】 【详解】解：点M，N分别是线段的中点和黄金分割点，，， ，， 小明获胜的概率，故答案为：． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，地面上铺满了正方形的地砖（），现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率是______________． 【答案】 【详解】解：∵圆碟的圆心如果在正方形的地砖（）的中心部位，即的范围外，则与地砖间隙相交， ∴圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是．故答案为： 6．（2025·四川成都·二模）如图，直径为的圆形图形中，点均在圆上，且，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．（取3） 【答案】 【详解】解：设直径为的圆形的圆心为，半径为，连接， ， ， 由圆的对称性可知封闭图形和面积相等，， 阴影部分的面积扇形的面积的面积， 针尖落在阴影区域的概率，故答案为：． 类型2：古典概型（与不等式、方程、函数综合）（B21） 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）现从﹣1、0、1、2、3、4这六个数中任取一个作为m的值，使得关于x的方程的所有根都是比1小的正实数的概率为___________________ 【答案】 【详解】解：总共有6个数，即共有6种等可能的结果，分情况讨论如下： 当时，即，此时方程为一元一次方程； 若，原方程化为，解得，满足，符合条件； 若，原方程化为，解得，为负数，不符合条件． 当时，即，此时方程为一元二次方程，计算得：， 由求根公式得，∴，． 根据题意，两根都满足，因此： 由，得且，即． 当时，恒成立，且恒成立，满足的条件． 因此在所给数中，，符合条件，，不符合条件． 综上，符合条件的共有3种，由概率公式可得：．故答案为：． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数是非负整数的概率为________． 【答案】 【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：x， ∵不等式组的解集为，∴，∴， 分式方程两边都乘得：，解得：， ∵方程的解是正整数，∴，∴； ∵，∴1，∴，∴， ∴能是正整数解的a是：，∴是非负整数的概率为，故答案为：． 3．（24-25九年级下·四川成都·月考）从、、0、1这四个数中随机抽取一个记为a，则使关于x的不等式组有解，且使关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象有1个交点的概率是_______． 【答案】 【详解】解：当时，此时方程组无解； 当时，关于x的不等式组为，其解为，所以，不等式组有解， 关于x的一次函数为，反比例函数为 当时，即，此时，即方程有唯一解， 所以，关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象有1个交点， 当时，关于x的不等式组的解为，所以关于x的不等式组有解， 关于x的一次函数为，反比例函数为， 当时，即，此时，即方程有2个不同的解， 所以，关于x的不等式组有解，关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象有2个交点， 同理，当时，关于x的不等式组有解，关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象有2个交点， ∴使关于x的不等式组有解，且使关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象有1个交点的概率是．故答案：． 4．（2025·四川成都·校考模）在中，，，是边上的中线，记且为正整数．则使关于的分式方程有正整数解的概率为______． 【答案】 【详解】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图 ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD， 在△ADC和△EDB中， ∴△ADC≌△EDB(SAS)∴AC=BE=4， 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，∴6-4<2AD<6+4，∴1<AD<5，即1<m<5，∴m=2，3，4， 解分式方程∴ ∵x为正整数，∴m-4<0，∴m＜4，∴m=2，3， ∴m使关于x的分式方程有正整数解的概率为． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，我们称任意一点的横纵坐标之和为“坐标和”，用字母H表示．如的坐标和为3，记作；已知为反比例函数上一点，为反比例函数上一点，若且，则称x为点B相对于点A的“和谐数”．若时，点B相对于点A的“和谐数”为，则_________；若，时，（a，b均为正整数），则点B相对于点A的“和谐数”为的概率为_________． 【答案】 【详解】解：，在上，故，， 在上，故，，由“和谐数”定义，且， 当，时：，； 将代入得：，整理得：，解得； 由“和谐数”定义，，故：，； 将代入整理得：， 判别式，要求，即分子， 的取值为2，3，4，5（共4种），的取值为8，9，10，11（共4种），总情况数为， 分情况讨论：当时，，分子为，所有都满足，对应，，，，共4种， 当时，，分子为，当，9，10，11时，分子分别为17，28，41，56，均，对应，，，，共4种， 当 时，，分子为，当，9，10，11时，分子分别为，，，，对应满足条件， 当时，，分子为，当，9，10，11时，分子分别为，，，，均，无满足条件的，符合条件的情况数为， 故概率为．故答案为：，． 类型3：古典概型（新定义、跨学科等）（B21） 1．（24-25九年级下·四川成都·月考）若正整数n使得在计算的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数”．例如2和是“本位数”，而5和不是“本位数”．现从所有大于0且小于的“本位数”中，按从小到大排列，第四个“本位数”是______；从所有大于0且小于的“本位数”中随机抽取一个数，抽到偶数的概率为______． 【答案】 【详解】解：所有大于0且小于的“本位数”有：1、2、、、、、、、、、， 共有个，7个偶数，4个奇数， 所以按从小到大排列，第四个“本位数”是；从所有大于0且小于的“本位数”中随机抽取一个数，抽到偶数的概率为．故答案为：，． 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）小航和小珂玩猜数字游戏时，把小航猜的数字记为x，小珂猜的数字记为y，且x，y是，1，2，4四个数其中的某一个，若在平面直角坐标系中，点恰好落在直线上，则称小航和小珂“心有灵犀”，则小航和小珂“心有灵犀”的概率为______． 【答案】 【详解】解：由题意，和均从集合中取值，因此所有可能的点共有种情况． 点在直线上，需满足．分别代入的值计算： 当时，，但6不在集合中，不符合；当时，，4在集合中，符合； 当时，，3不在集合中，不符合；当时，，1在集合中，符合． 因此，符合条件的点有和，共2种情况．∴概率为．故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，正方形边长为1个单位长度，将一枚棋子按顺时针方向依次沿正方形的四个顶点移动．每次开始时，棋子都位于点处；然后，掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和是几就移动棋子几个单位，如掷得的点数之和为3就移动3步落在点处，掷得的点数之和为6就移动6步落在点处，…；棋子落在点处的概率是______． 【答案】 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和所有可能出现的结果如下：        1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 总共有36种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子落在点处，两次掷得的点数之和必须为5和9．两次掷得的点数之和5的结果有4种；两次掷得的点数之和为9的结果有4种；所以，使棋子落在点处的可能结果总共有（种）．因此，棋子落在点处的概率为．故答案为： 4．（25-26九年级上·成都·月考）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为____________ ． 【答案】 【详解】解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的有：，，，，共4种， ∴小灯泡发光的概率是．故答案为：． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是_____． 【答案】 【详解】解：画树状图为 共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， 可配成紫色的概率是，故答案为：． 类型4：频率估计概率（B20） 1．（24-25九年级上·成都·期中）如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为______． 【答案】 【详解】解：∵∴令，即解得， ∴，∴当时， ∴抛物线的顶点坐标为∴∴矩形的面积为 ∵在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个， ∴阴影部分面积的近似值为．故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为，∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为．故选：A． 3．（2025·广东江门·三模）一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球，每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次试验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值， 所以估计袋中红球的个数，故选：C． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是，故答案为：． （2）解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种，因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 考点二：统计综合问题 类型1：统计图表综合问题 1．（25-26九年级上成都·月考）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是________ ． ①第所用的时间最长；②第的平均速度最大；③第和第的平均速度相同； ④前的平均速度大于最后的平均速度． 【答案】①②③ 【详解】解：①由图可知，第所用的时间最长，该选项说法正确； ②由图可知，第所用的时间最短，所以它的平均速度最大，该选项说法正确； ③由图可知，第和第所用的时间相同，所以它们的平均速度相同，该选项说法正确； ④由图可知，前所用的时间分别为和，平均速度为；最后所用的时间分别为和，平均速度为，所以前的平均速度小于最后的平均速度，该选项说法错误；∴说法中正确的是①②③，故答案为：①②③． 2．（2025·河南驻马店·三模）年月，西藏日喀则市定日县发生地震后，某校组织师生进行献爱心活动，积极向灾区捐款，捐款情况如图，图所示，则捐款的众数为______元． 【答案】 【详解】解：∵，∴捐款总人数为人，∴捐款元的有人， ∵，∴捐款元的人数最多，∴捐款的众数为元，故答案为：． 3．（2025·成都·三模）“黑发不知勤学早，白首方悔读书迟．”某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生2000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有__________人． 【答案】800 【详解】被调查人数是：，样本中最喜欢科学类的人数是：(人) (人)∴该校最喜欢科学类图书的学生大约有800人．故答案为：800． 4．（24-25九年级下·成都·期中）泰州市体育中考现场考试选项规则如下表： 项目 耐力（必选） 素质（必选） 素质（任选一项） 球类（任选一项） 男生 米跑 引体向上 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 女生 米跑 仰卧起坐 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 对初三某班40名同学的体育选考项目情况进行了统计（无“免试”或“缓试”），并根据其中部分信息绘制了下表： 项目 素质 球类 立定跳远 短跑 篮球绕杆 排球垫球 足球绕杆 男生 女生 总计 以下四个推断中，推断正确的有__________（填序号）． ①一定有女生选择了短跑；②一定有男生同时选择短跑和足球绕杆； ③至少有名女生同时选择立定跳远和篮球绕杆；④男生中同时选择短跑和篮球绕杆的至多有人． 【答案】①③④ 【详解】解：通过立定跳远，得知：女生人，总计人，则男生有：（人）； 通过足球绕杆，得知：男生人，总计人，则没有女生选择足球绕杆； ∵每位同学均需要在素质（短跑、立定跳远）中选择一项，∴男生共有：（人）， ∴女生共有：（人），∴选择短跑的女生有：（人）； ∵每位同学均需要在球类（篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆）中选择一项， ∴选择篮球绕杆的男生有：（人），选择排球垫球的女生有：（人）； ①∵选择短跑的女生有人，∴一定有女生选择了短跑，故①正确； ②∵选择短跑的男生有人，在球类中选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，选择足球绕杆的有人，假如选择短跑的名男生中，选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，则没有男生选择足球绕杆，∴无法判定一定有男生同时选择短跑和足球绕杆，故②不正确； ③∵选择立定跳远的女生有人，在球类中选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，选择足球绕杆的有人，选择立定跳远的名女生中，假如选择排球的有人，则必有人选择篮球绕杆， ∴至少有名女生同时选择立定跳远和篮球绕杆，故③正确； ④∵选择短跑的男生有人，在球类中选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，选择足球绕杆的有人，∴男生中同时选择短跑和篮球绕杆的至多有人，故④正确．故答案为：①③④． 5．（2025·成都·模拟预测）五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中的信息，下列结论正确的是____． ①本次抽样调查的样本容量是5000；②扇形统计图中的为；③若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人；④样本中选择公共交通出行的有2400人 【答案】①②③ 【详解】解：本次抽样调查的样本容量是：（人），故①符合题意； ，故②符合题意；（万人），故③符合题意； （人），故④不符合题意；故答案为：①②③． 类型2：数据分析综合问题 1．（25-26九年级上·成都·自主招生）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 【答案】或5或19 【详解】解：设丢失的数据为x，根据题意，这组数据的众数一定是4，平均数为， 若时，中位数是4，众数为4，根据题意，得，解得； 若是中位数时，根据题意，得，解得； 若时，中位数是6，根据题意，得，解得； 综上所述，丢失的数据可能是或5或19；故答案为：或5或19． 2．（2025·成都·三模）为了了解某班七年级男生体能情况，随机抽取7名男生，进行引体向上测试，测试成绩（单位：个，且均为整数）按从小到大排序为：5，5，6，m，8，9，10，若这组数据的平均数小于这组数据的中位数，则这组数据的中位数为_____． 【答案】 【详解】解：这组数据有个，按从小到大排列后，中位数是第个数，即 平均数为 因为平均数小于中位数，所以， ，，， 又因为数据是按从小到大排列的，所以，所以，此时中位数为故答案为： 3．（24-25九年级上·成都·期中）【平均数】李老师在黑板上写上若干个从1开始的连续自然数1，2，3，……，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是，则擦掉的这个自然数是________． 【答案】13 【详解】解：设李老师一定写了（n是自然数）个数，擦掉的那个数为x， 所以这个数的和为， 因为擦掉x后，剩下的数的平均数是，所以，即， 因为n为自然数，所以当n为奇数时，为偶数，为奇数，当n为偶数时，为奇数，为偶数，所以不管n取何值，和为一奇一偶数，所以一定是正整数， 又因为x也是正整数，所以是正整数，所以n一定要是10的倍数， 当时，，解得，此时不成立； 当时，，解得，此时成立； 当时，，解得，此时不成立； 同理可验证当，x的值都不符合题意；综上所述，擦掉的数为13，故答案为：13． 4．（25-26九年级·成都·专题练习）五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为______________. 【答案】8 【详解】解：∵，，，，的平均数是，∴, ∵，，，，，的平均数还是，∴,∴, ∵，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6，∴, ∴，，，，对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4、6、8、10， ∴，，，，的方差为：．故答案为：8． 5．（2025·四川成都·二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为时，设最佳值为a，那么应为最小，此时_________；设某次实验测量了m次，由这m次数据的得到的最佳值为；又测量了n次，这n次数据得到的最佳值为，则利用这次数据得到的最佳值为__________． 【答案】 【详解】解： ， ∵，∴当时，有最小值； ∵m次数据的得到的最佳值为，n次数据得到的最佳值为， 设最佳值为a，与个数据的差的平方和为，与个数据的差的平方和为， 当时，最小， ∴次数据得到的最佳值为．故答案为：，． 6．（2025·四川成都·校考二模）有甲、乙两个箱子，甲箱内有90颗球，分别标记号码1－90，号码为不重复的整数，乙箱内没有球．已知小明从甲箱内拿出45颗球放入乙箱后，乙箱内球的号码的中位数为30.若此时甲箱内有颗球的号码小于30，则__________． 【答案】7 【详解】解：甲箱中剩球90-45=45（颗）， ∵乙箱内球的号码的中位数为30，∴小于、大于30各有（颗）， ∴甲箱中小于30的球有29-22=7（颗），即a=7，故答案为：7． 7．（2026·成都·模拟预测）甲、乙两名运动员六次射击测试的成绩（单位：环）如表所示，如果两人测试成绩的中位数相同，那么“？”表示的是（　　） 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：∵甲的成绩从小到大排序为6，7，8，8，9，9，共6个数据，数据个数为偶数， ∴甲成绩的中位数为第3个和第4个成绩的平均数，即， ∵两人测试成绩的中位数相同，∴乙成绩的中位数也为8，设？表示的成绩为环， ∵乙已知成绩从小到大排序为5，6，9，9，10，∴不能小于6也不能大于8， ∴加入从小到大排序为5，6，，9，9，10，∴，解得． 8．（2025·山东济南·一模）编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设原来盒子中有个小球，小球数码的平均数为，则盒子中有个小球，小球数码的平均数为，根据题意可得：， 由②得：，由③得：，， 整理得：，解得：． 9．（24-25八九年级下·成都·期末）体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】解：设五位同学测得的个数从小到大依次为， ∵共有个数据，中位数为，∴第三个数，∵众数是，∴至少出现次，∴， ∵平均数是，∴五个数据的和为，∴，整理得，即， ∵数据从小到大排列，且，∴，且， 当和时，则数据中有两个4，两个5和两个，与众数是4不符合， ∴，且，即， 且，∵，∴，即，∴， ∵是正整数，∴可取，则对应为，∴成绩最好的同学测得的个数不可能是． 10．（25-26九年级上·成都·期中）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（    ） A．丙、丁 B．乙、戊 C．甲、丁 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由图可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个， 因此可排除甲、丁；乙、戊； 故选：A． 类型3：概率与统计综合问题（解答题） 1．（2026·成都·一模）校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 A B C D E x（单位：cm）                          整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为________． (2)下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组；Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数． (3)结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 【答案】(1)见解析，4.65(2)Ⅰ(3)②区叶片发育品质更优，见解析 【详解】（1）解：根据题意知，C组对应样本数据为，故补全的频数分布直方图如图所示； ②区样本数据的平均数为； （2）解：分别从①、②区样本数据频数分布图中看出第90片和第91片样本数据均落在C组，故①、②区样本数据的中位数在C组，Ⅰ正确； 根据图表提供的信息不能确定两区样本数据的中位数的具体数值，故Ⅱ不一定正确；综上，故选：Ⅰ； （3）解：②区叶片发育品质更优． 理由：①区“优质发育叶片”所占比例为；②区“优质发育叶片”所占比例为，②区比例高于①区，故②区叶片发育品质更优． 2．（25-26九年级上·成都·期末）“湘超”联赛截止到12月18日结束后前8名的积分情况如下表：（注：积分与进失球个数无关） 球队名 长沙队 株洲队 常德队 娄底队 永州队 衡阳队 郴州队 岳阳队 场次 13 13 13 13 13 13 13 13 胜/平/负（场） 11/2/0 8/3/2 8/2/3 6/5/2 6/4/3 6/2/5 4/7/2 5/4/4 进/失球（个） 26/4 27/10 26/12 15/8 24/14 24/16 20/16 10/7 积分 35 27 26 23 22 20 (1)表中的值为_____；(2)这8支球队前13轮比赛进球个数的中位数是_____； (3)前13轮长沙队每场的进球个数为：2、4、1、3、1、2、1、5、2、1、2、0、2； 永州队每场的进球个数为：3、3、0、0、4、2、1、3、2、4、0、1、1． 长沙队与永州队前13轮比赛进球个数数据统计表 进球数 平均数 中位数 众数 方差 长沙队 26 2 2 1.69 永州队 24 0/1/3 1.98 ①求出统计表中的及的值；②在“四强”淘汰赛中，永州队以的比分战胜了长沙队，有人认为这纯属偶然，你是否同意这种说法，请从进球的角度阐述你的理由？ 【答案】(1)19(2)24(3)①，；②答案不唯一，合理即可 【详解】（1）解：设胜1场得x分，平1场得y分，负得z分， 由题意可得：，解得：，∴胜1场得3分，平1场得1分，负得0分， ∴以郴州：胜4，平7，负2，则积分； 岳阳队：胜5，平4，负4，积分，∴．故答案为：19． （2）解：由题意知，将8支球队进球个数从小到大排序：10，15，20，24，24，26，26，27， ∵共8个数，∴中位数是第4、5个数的平均数：中位数．故答案为：24． （3）解：①由题意，将长沙队进球个数从小到大排：0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，4，5， ∴2出现5次，此时最多，即众数为； 又∵永州队共比赛13场，总进球数为24，而题干文字部分只给出12个进球数据，其和为23， ∴永州队缺失的一个进球数据为. ∴永州队13场比赛的进球数据排序后为：0，0，0，1，1，1，2，2，3，3，3，4，4， ∴中位数是第7个，即． ②“永州胜长沙纯属偶然”不同意．理由如下： ∵长沙队平均数 2，永州队平均数，∴两队平均进球非常接近． ∵中位数都是 2，∴说明两队中间水平一样． ∵永州队方差大于长沙队，∴永州队发挥波动更大，更容易打出高比分． 又∵单场淘汰赛偶然性本来就存在，但从数据看，两队进攻能力在同一档次， ∴永州队并非完全没有赢球可能．故不能说纯属偶然． 3．（2025·成都·三模）某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱．小苏经过考查，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨．平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如果采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标．计算公式：减重率） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为40%．成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动．小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式；(2)若乙生产线分配到草莓原料100吨，试求出成品草莓酱的利润（用含s的式子表示）； (3)经过调研，工厂本季计划用100吨草莓做草莓酱，考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的2倍，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与甲生产线的草莓原料吨数，并说明理由． 【答案】(1)(2)万元 (3)工厂选址在距离农场400千米处，甲生产线分配到的草莓原料为吨时，利润最大，理由见解析 【详解】（1）解：由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，设，∵时，，时，， ∴，解得：， 即草莓采购成本价随工厂与农场路程距离的函数关系式为； （2）解：由直方图可知去年一年成品草莓酱销售价格的平均价格为（万元/吨），乙生产线分配到草莓原料100吨，成品草莓酱的产量为：吨； 成品草莓酱的利润（万元）； （3）解：设甲分配吨原料，则乙分配吨， 由题意得，解得：，设总利润为， ①当时：由图2知甲生产线减重率为， 根据图1设甲生产线平均销售价格为，与距离的关系式为， 把，，，代入得：，解得：，故， 则甲生产线的包装生产费为：（万元）， 甲生产线的销售总额为：（万元）； 乙生产线的包装生产费为：（万元）， 乙生产线的销售总额为：（万元）； ∴， 整理得， ∵随s的增大而增大，且当时系数为正，， 此时W随x增大而增大，当x取最大值时，W取得最大值， ∴此时，W随s增大而增大，因此s取最大值400， ∴万元；当时系数为负，， 此时W随x增大而减小，当x取最小值时，W取得最大值， ∴此时，W随s增大而减小，因此s取最小值，∴万元； 故当，时，W取得最大值万元； ②当时：由图2知甲生产线减重率为，甲生产线减重率增大，由图1知甲生产线平均销售价格下降， ∵草莓采购成本价随工厂与农场路程距离的函数关系式为， ∴采购成本价增大，故利润低于①中万元． 综上，最优规划为： 工厂选址在距离农场400千米处，甲生产线分配到的草莓原料为吨时，利润最大． 4．（25-26九年级下·成都·月考）某公司有名职员，公司食堂供应午餐．受疫情影响，公司停工了一段时间．为了做好复工后职员取餐、用餐的防疫工作，食堂进行了准备，主要如下：①将过去的自主选餐改为提供统一的套餐；②调查了全体职员复工后的午餐意向，结果如图所示；③设置不交叉的取餐区和用餐区，并将用餐区按一定的间距要求调整为可同时容纳人用餐；④规定：排队取餐，要在食堂用餐的职员取餐后即进入用餐区用餐；⑤随机邀请了名要在食堂取餐的职员进行了取餐、用餐的模拟演练，这名职员取餐共用时，用餐时间（含用餐与回收餐具）如表所示．为节约时间，食堂决定将第一排用餐职员人的套餐先摆放在相应餐桌上，并在开始用餐，其他职员则需自行取餐．    用餐时间 人数 （1）食堂每天需要准备多少份午餐？ （2）食堂打算以参加演练的名职员用餐时间的平均数为依据进行规划：前一批职员用餐后，后一批在食堂用餐的职员开始取餐．为避免拥堵，需保证每位取餐后进入用餐区的职员都有座位用餐，则该规划是否可行？如果可行，请说明理由，并依此规划，根据调查统计的数据设计一个时间安排表，使得食堂不超过就可结束取餐、用餐服务，开始消杀工作；如果不可行，也请说明理由． 【答案】（1）460份；（2）可行，见解析， 【详解】（1）解法一：500×64%＋500×28%＝460（份）答：食堂每天需要准备460份午餐； 解法二：500－500×8%＝460（份） 答：食堂每天需要准备460份午餐； （2）解：①可以估计参加演练的100名职员用餐时间的平均数为： =19（min）， 参加演练的100名职员取餐的人均时间：（min）； 可以估计：该公司用餐职员的用餐时间平均为19 min，取餐职员取餐时间平均为0.1 min； 根据表格，可以估计第一批职员用餐19 min后， 空出的座位有：160×60%＝96（个）.而第二批职员此时开始排队取餐， 取完餐坐满这96个空位所用的时间约为：96×0.1＝9.6（min）； 根据表格，可以估计：第一批职员用餐19 min后，剩下的职员在6 min后即可全部结束用餐， 因为9.6＞6，所以第二批取餐进入用餐区的职员都能保证有座位； ②可以估计140名只取餐的职员，需要14min可取完餐； 可设计时间安排表如下： 时间 取餐、用餐安排 12:00—12:19 第一批160名在食堂用餐的职员用餐；仅在食堂取餐的140名职员取餐 12:19—13:00 第二批160名在食堂用餐的职员取餐、用餐 13:00 食堂进行消杀工作 1．（25-26九年级上·成都·期末）某同学参加学校举行的“最强数学大脑”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和极差，根据平均数、中位数、众数和极差的定义判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设个评分排序后为， ∵中位数为，去掉和后剩余，其中位数为，∴中位数不变， 平均数因总和改变可能变化，众数因数据减小可能变化，极差因最大值和最小值改变可能变化，故选：． 2．（2026·成都·一模）如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意列表求和如下： 1 2 4 1 2 3 5 2 3 4 6 4 5 6 8 ∵点P经过两次运动后到达点D，∴点P两次运动的数字和为3或8， 由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有3种， ∴点P经过两次运动后到达点D的概率是 3．（2025·成都·一模）某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，如图-1所示，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品；如图所示，售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图．根据以上信息可知，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由获得优胜奖频率的折线统计图，可得获得优胜奖的频率稳定在附近，即获得优胜奖的概率是，，故选： C． 4．（2025·成都·三模）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个与红球除了颜色外其余均相同的白球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为________． 【答案】17 【详解】解：设红球的个数为x个，根据题意得： ∴解得：，经检验是原方程的解， 则红球的个数为17个．故答案为：17． 5．（2025·成都·模拟预测）如图，小颖在10×10的方格纸中绘制图形“19”，为计算它的面积，小颖将米粒随机撒在方格纸上，经过大量重复试验，发现米粒落在“19”区域的频率稳定在常数附近，由此可估计图形“19”的面积为_______． 【答案】 【详解】解：设图形“”的面积是，由题意可得，，解得， 由此可估计图形“”的面积为故答案为：． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）“作学习的主人，作生活的能手”，在成都七中一年一度的学生生活技能活动中，全体学生参加包粽子的体验活动．随机调查了部分学生，对他们每个人包粽子的平均时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长t（单位：分钟） 人数 所占百分比 A 4 x B C D 根据图表信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生总人数为______，表中x的值为______； (2)该校共有名学生，请你估计等级为B的学生人数；(3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)，(2)人(3) 【详解】（1）解：∵的有8人，占，∴本次调查的学生总人数为人， ∵的有4人，占，∴，解得：，故答案为：，； （2）该校共有名学生，估计等级为B的学生人数为人； （3）画树状图如图， 共12种情况，其中抽到一名男生和一名女生的有8种， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 7．（25-26九年级上·成都·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题：(1)________；(2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）；(3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 【答案】(1)(2)(3)方式二，见解析 【详解】（1）解：，故答案为：． （2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近， ∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．故答案为：． （3）解：选择方式二，理由如下：方式一：25元购物券；方式二：， 转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：． ，选择方式二更合算． 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若时，矩形相对于矩形的“共比系数”为，则___；若（均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为 _____． 【答案】 或3 【详解】解：第一空：∵，∴矩形的周长为，矩形的面积为， ∵，∴矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，∴，∴，∴，解得，或； 第二空：同理（1）思路可得：矩形的周长为，矩形的面积为， ∵，∴矩形的周长为，矩形的面积为，∴，∴，， ∴可以把和看成一元二次方程的两个正根， ∴，整理得， ∵（均为正整数），∴，， 当时，，符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，符合题意； 当时，，不符合题意；当时，，不符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意；当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意；∴共有组，符合题意的有组， 矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为，故答案为：或；． 2．（2026·成都·二模）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被等分为三个扇形，每部分标注的数字分别为0，，；转盘B被分成三个扇形，其中数字0，4所在扇形的圆心角度数为，数字2所在扇形的圆心角度数为．姐姐和弟弟用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A与B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为1，则姐姐获胜；如果和为，则弟弟获胜． (1)转动转盘A，则指针指向0的概率为_________； (2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或者画树状图的方法说明理由． 【答案】(1)(2)不公平，理由见解析 【详解】（1）解：∵转盘A被等分为三个扇形，每部分标注的数字分别为0，，， ∴转动转盘A，则指针指向0的概率为； （2）解：这个游戏不公平，理由如下：画树状图可得： 和  0    1  2  0  3  4  2  1  2  0 共有12种等可能的结果，和为1的结果有2种，所以姐姐获胜的概率为 和为的结果有1种，所以弟弟获胜的概率为．∵ ∴游戏对双方不公平． 3．（2026·成都·模拟预测）综合与实践 【项目主题】一种基于等可能假设的概率模型：几何概率． 【项目准备】（1）基本原理：设想每个结果是一个点，所有结果的点组成一个区域G，而组成事件A的结果是G中的部分区域g，G，g可以是直线上的线段，也可以是平面或空间的区域．因此，这种概率可以表示为两个线段的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两个空间区域的体积之比．常用公式：①如果是在线段上，；②如果是在平面图形上，；③如果是在立体图形上，． （2）初步探究： 场景1：假设有一根长的绳子，随机在绳子上画一个点，想知道点落在绳子中间段（从到）的概率． 分析：目标线段长度：，总线段长度：，则概率①________； 场景2：一个操场是长、宽的长方形，里面有一个篮球场是长、宽的长方形．如果你随机往操场扔一个球，球落在篮球场内的概率是多少？ 分析：操场的面积：，篮球场的面积：，概率②_________； 【实践应用】现在利用这个模型解决一个生活中的问题． （1）项目条件：小明每天早上之间随机出门赶到公交站，公交车每天之间随机到达公交站，小明能赶上公交车的概率是多少？ （2）原理分析：用“平面直角坐标系”把“小明赶到公交站时间”和“公交车到达时间”的所有可能情况变成一个矩形区域，再找出“能赶上公交”的区域，用“面积比例”算概率； （3）实施步骤： 第一步：定义“时间变量”，把抽象时间变具体——为了方便计算，我们给时间赋上数字（去掉“7点”，只算分钟）设小明赶到公交站时间为x分钟：就是，就是，所以x的取值范围是．（所有可能的赶到公交站时间）； 第二步：画“所有可能情况”的图形（总区域）——我们用“平面直角坐标系”来表示．横轴（x轴）：小明赶到公交站时间（0到），纵轴（y轴）：公交车到达时间（10到）；所有可能的情况，就是坐标系里一个“矩形”，计算矩形的面积（总度量）：矩形面积③_________． 第三步：找“能赶上公交”的条件（符合条件的区域）——小明能赶上公交，必须满足：小明赶到公交站时间≤公交车到达时间，也就是． 先在矩形里画一条直线（这条线表示“赶到公交站时间到达时间”），满足的区域，是直线上及其④________（填写“左侧”或“右侧”）的部分． 第四步：计算符合条件的面积和概率——符合条件的面积⑤________，小明能赶上公交车的概率⑥________（精确到）． 【项目总结】根据以上分析，几何概率可以解决生活中的问题． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】①；②；③450；④左侧；⑤；⑥ 【详解】解：①目标线段长度：，总线段长度：，则概率为．故答案为：． ②操场的面积：，篮球场的面积：，则概率为．故答案为：． ③根据图形可知，矩形的面积．故答案为：450． ④满足的区域，即的区域，由图形可知，该区域是直线上及其左侧．故答案为：左侧． ⑤对于直线，令，则；令，则； 的区域的面积为．故答案为：． ⑥小明能赶上公交车的概率．故答案为：． 1 / 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