重难点01 三角形中的十类倒角模型（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 重难点01 三角形中的十类倒角模型 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 28 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 三角形中的十类倒角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。 题型01 平行线中的拐点模型 1）猪蹄模型（M型与锯齿型） 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 2）铅笔头模型 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 3）牛角模型： 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 4）羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1 图2 5）蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【典例】（2025·四川甘孜州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，根据题意可得，∴， ∵，∴；故选：A． 【变式】1．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵，，∴， ∴；故选C 【变式】2．（2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点，∵，，∴， ∵，∴，故选：B． 【变式】3．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设和交于点F， ∵，∴，∴，故选：D． 【变式】4．（2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴，∴， 如图所示，过点F作，∴， ∵，∴，∴， ∴，故选：A． 【变式】5．（2025·四川达州·二模）如图，两直线，平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分别过E点，F点，G点，H点作，如图所示， ∵，∴， ∴，，， ∴ ，．故选：D． 题型02 “8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 【典例】（2025·湖北武汉·校考一模）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． （1）已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作），_________（两直线平行，内错角相等）， _________（两直线平行，同位角相等）， __________________（平角的定义），（等量代换）． 【实践运用】（2）如图，线段相交于点O，连接，试证明：． 【拓展提升】（3）如图，，则的度数为_________． （4）如图，若和的平分线和相交于点P．若，则的度数为____． 【答案】（1），，；（2）见详解；（3）；（4） 【详解】（1）证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作），（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）， （平角的定义），（等量代换）． 故答案为：，，． （2）证明：在中，， 在中，，，． （3）解：如图：则， ，，故答案为：． （4）解：如图，连接并延长，∵和分别平分和，∴， 根据（2）可得，即，∴． 根据图象可得：，， ∴．故答案：． 【变式】1．（2025·河南商丘·校考一模）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，，，，，， ，，，．    【变式】2．（2024·河北石家庄·一模）将两张三角形纸片 和按如图1位置放置，点D、C分别在的延长线上， 记； 沿虚线将剪掉一部分得到图2的， 记， 则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较α与β的大小 【答案】B 【详解】解：由题意知，，， ∴，即，故选：B． 题型03 A字模型 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 【典例】（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，即，故选：． 【变式】1．（2025·甘肃·一模）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴，故选：A． 【变式】2．（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故选：C． 题型04 燕尾（飞镖）型 飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 图1 图2 图3 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 【典例】（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长至点，∵，， ∴，∴， ∵，，∴，故答案为：． 【变式】1．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°， ∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D． 【变式】2．（2025·江苏连云港·模拟预测）（1）如图1，在中，已知． ①求证：；②若D是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，，求证：． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析 【详解】证明：（1）①如图所示，作的平分线交于点D，在上截取，∴；又∵，∴，∴ ∵在中，∴；证明：②延长到点，使，连接， 是边的中点，，又∵，，，， ∵，，，； （2）证明：在右侧作，连接交于点O， ，，， ，， ，，． 题型05 风筝模型 图1 图2 鹰爪模型：如图1，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 【典例】在四边形中，，点分别是边上的点，点是一动点，连接，令． 初探：(1)如图①，若点在线段上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(2)如图②，若点在线段的延长线上运动，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点运动到四边形的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时间的关系______． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下；由题意知，， ∵，∴； （2）解：，理由如下；如图②，记的交点为， 由题意知，，∵， ∴，即； （3）解：如图备用图，由题意知，， ∴，故答案为：． 【变式】1．如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∵， ∴， ∴．故答案为：． 【变式】2．如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）猜想：，理由如下： ∵，，∴， （2）∵，，， ∴， ∵、分别平分与，∴，， ∴，∴， （3）、与的数量关系为：，理由如下： ∵、分别是四边形外角、的角平分线， ∴，， 由(1)可知:，， ∴，∴，故答案为：． 题型06 翻角模型 图1 图2 角内翻模型 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时， 结论：2∠C=∠1+∠2； 角外翻模型 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时， 结论：2∠C=∠2-∠1。 【典例】（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 　　；②若，，求点到的距离． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）①；② 【详解】解：（1），理由如下：连接，如图①， 将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置，． ，，， 即；故答案为：； （2），理由如下：设与交于点，如图②， ，，，； （3）①延长交的延长线于，由（2）中结论可知， 如图③，，． ，．故答案为：； ②过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图， ，，，． ，，， ，．，， ，即点到的距离为． 【变式】1．（2025·山东菏泽·三模）如图，取一张三角形纸片，记为，在边上各任取一点，将纸片沿折叠，使点落在的另一侧，落点为，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，∵，∴，∴， ∵折叠，∴，∴， ∴选：D． 【变式】2．（2025·河北·模拟预测）如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由折叠可知， 又， 是等边三角形，，．故选：B． 题型07 高分线模型 高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 【典例】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】 【详解】解：因为，所以， 根据题意得：平分，所以， 因为为高，所以，所以, 所以，故答案为：． 【变式】1.（2025·南京·二模）如图，在中，是高，是角平分线，若，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，∴， ∵是角平分线，∴， ∵是高，∴，∴，∴，∴， ∴，故选：A． 【变式】2.已知：在中，，平分交于点． (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．    【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 题型08 双（三）垂直模型 1）双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③（等面积）。 2）子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③（等面积）。 【典例】（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线交于，求证：． （3）探究AB、BC、AC、BD之间的数量关系，请完成相关证明。 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图， （2）证明：如图 ∵，∴， ∵，∴，，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，∴，∴． （3）∵∠ACB=90°，CD是高线， ∴，∴。 【变式】1.（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴， ∵是边上的高，∴，∴，故选：A． 【变式】2.（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，，∴垂直平分，则，， ∵在中，，，，∴， 由得，∴，故答案为：． 题型09 双角平分线模型（三类） 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 【典例】（2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②理由见解析；③，理由见解析 【详解】解（1）∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴，∴； （2）①，理由如下：∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴， ∴，故答案为：； ②，理由如下： ∵，∴， ∵分别是两个外角和的平分线， ∴，∴， ∴，故答案为：； ③，理由如下：∵、分别是的一个内角和一个外角的平分线， ∴， 又∵是的一外角，∴，∴， ∵是的一外角，∴， 故答案为：． 【变式】1.（2025·陕西西安·二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ． 【答案】130° 【详解】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°， ∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1∠BAC，∠3∠ABC， ∴∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案为：130°． 【变式】2.（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：∵，∴， 由作图方法可知，分别平分，∴， ∴，故答案为：． 【变式】3.（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，平分，平分，连接，若，则的长度为（   ） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，∴． ．．平分，平分， ，． ∵，． ，．故选： ． 题型10 三角板模型 【典例】（2025·江苏·中考真题）综合与实践：小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．①求线段的长；（结果保留根号）②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析 【详解】解：（1）∵中，，∴， ∵中，，∴， ∴； 在中，， 在中，，∴． （2）①如图，过点作，垂足为， 中，， ． 中，． ∴，． ②，理由如下： ∵在中，，∴， 又∵，∴，∴． 【变式】1．（2025·浙江·模拟预测）一副三角板叠在一起如图放置．最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与，分别交于点，．把绕点旋转到一定位置，使得，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得到，， 当时，， ∴， ∴在中，， ∴，故选：C ． 【变式】2．（2025·浙江丽水·二模）如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，∴， ∵，，∴，∴；故选D． 1．（四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A．210° B．110° C．150° D．100° 【答案】A 【详解】解：∵∠A=30°，∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150° ∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180° ∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°故选A． 2.（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，由题意可知， ，，，故选：D． 3．（2025·陕西榆林·一模）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴．故选：A． 4.（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，，，点为上一点，于点，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，∴， ∵尺规作图的痕迹，∴平分，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 5.（2025·四川广元·校考一模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】D 【详解】解：过点C作，∴， ∵∴； ∵，∴； 由题意，∴，∴．故选：D 6．（2025·山西临汾·三模）如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过E作，∵，∴， ∴，∴， ∴，∵，∴．故选：A． 7.（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，是高，若，，则 。 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 8.如图，，相交于点O，，分别平分和．若，，则 ． 【答案】/60度 【详解】因为，分别平分和， 所以设，，则，， ，两式相加得，．故答案为． 9.（2025·四川甘孜州·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，，， ，由题意得：，∴DH= 故答案为：． 10.（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【详解】解：如图：∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，，∴， 如图：同理可求：，∴，……， ∴，即，故答案为：． 11．（2025·山东泰安·一模）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．初中教材中已经学习了“在一个三角形中，等边对等角；等角对等边”．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． (1)尺规作图：在图1中，作的角平分线，交于点D，在上截取，连接．（保留作图痕迹） (2)证明：平分线，∴___________． 在和中，．___________． ___________，． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，_____________________． (3)如图2，在四边形中，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析(2)；；；；大边对大角(3) 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：平分线，∴． 在和中，．， ，． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边对大角． 故答案为：；；；；大边对大角； （3）解：连接， ∵，∵，∵，∴，∴，∴． 1.（2025·湖北武汉·三模）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)见解析(3)或 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线， ， ，，，， ，； （2）解：，，是的平分线，， ，，，； （3）解：当点在点左边时，如图，，平分，， 平分，，，， 平分，， ，即； 当点在点右边时，如图，， 平分，，， ，即，综上，或． 2.（2025·陕西西安·模拟预测）已知，是平面内任意一点． (1)如图1，若，，，为角平分线．①________度； ②将条件“，”改为“”，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，若点位于的外部且在的内部，连接，，用，，表示； (3)如图3，若，，平分交于点，为射线上一点（不与点，重合）．①当为钝角三角形时，请直接写出度数的取值范围；②当时，将绕点逆时针旋转，旋转过程中当与的一边平行时，请直接写出旋转的度数． 【答案】(1)①；②(2) (3)①或；②或 【详解】（1）解：①∵，，，为角平分线． ∴，， ∴，故答案为：； ②∵在中，，∴， ∵，为角平分线．∴，， ∴， ∴，∴的度数为； （2）∵，，在四边形中，， ∴， 即； （3）①∵在中，，， ∴， ∵平分，∴， 当时，则，∵为钝角三角形， 当时，则，∴，∴； 当时，则， ∵为钝角三角形，当时，则； 综上所述，为钝角三角形时，度数的取值范围为或； ②∵，，∴，∴， 设绕点逆时针旋转后得到，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴，，，+ 若，如图，∴， ∴，此时旋转的度数为； 若，如图，∴， ∴，此时旋转的度数为； 若，如图，延长交于点， ∴，∴， ∴， ∴，此时旋转的度数为； 综上所述，旋转过程中当与的一边平行时，旋转的度数为或． 3.（2025·山东青岛·校考一模）【阅读理解】三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步应用】如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，（1）若，则______；（2）若，则______；（3）若，则______． 【拓展延伸】如图④，点D，E分别是的边延长线上一点， （4）若，分别作和的平分线交于点O，则______； （5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______； （6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）60；（5）100；（6）． 【详解】（1）由三角形外角的性质可得出．故答案为：； （2）∵，，∴． ∵，，∴．故答案为：； （3）由（2）同理可得． ∵，，∴ 故答案为：； （4）∵和的平分线交于点O，∴，， ∴． 由（2）可知，∴， ∴．故答案为：； （5）∵，，∴． 由（2）可知，∴， ∴．故答案为：100； （6）∵，，∴． 由（3）可知，∴， ∴．故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 重难点01 三角形中的十类倒角模型 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 28 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 三角形中的十类倒角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。 题型01 平行线中的拐点模型 1）猪蹄模型（M型与锯齿型） 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 2）铅笔头模型 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 3）牛角模型： 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 4）羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1 图2 5）蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【典例】（2025·四川甘孜州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】4．（2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式】5．（2025·四川达州·二模）如图，两直线，平行，则（   ） A． B． C． D． 题型02 “8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 【典例】（2025·湖北武汉·校考一模）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． （1）已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作），_________（两直线平行，内错角相等）， _________（两直线平行，同位角相等）， __________________（平角的定义），（等量代换）． 【实践运用】（2）如图，线段相交于点O，连接，试证明：． 【拓展提升】（3）如图，，则的度数为_________． （4）如图，若和的平分线和相交于点P．若，则的度数为____． 【变式】1．（2025·河南商丘·校考一模）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式】2．（2024·河北石家庄·一模）将两张三角形纸片 和按如图1位置放置，点D、C分别在的延长线上， 记； 沿虚线将剪掉一部分得到图2的， 记， 则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较α与β的大小 题型03 A字模型 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 【典例】（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【变式】1．（2025·甘肃·一模）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 题型04 燕尾（飞镖）型 飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 图1 图2 图3 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 【典例】（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，则 ． 【变式】1．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·江苏连云港·模拟预测）（1）如图1，在中，已知． ①求证：；②若D是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，，求证：． 题型05 风筝模型 图1 图2 鹰爪模型：如图1，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 【典例】在四边形中，，点分别是边上的点，点是一动点，连接，令． 初探：(1)如图①，若点在线段上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(2)如图②，若点在线段的延长线上运动，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点运动到四边形的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时间的关系______． 【变式】1．如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【变式】2．如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 题型06 翻角模型 图1 图2 角内翻模型 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时， 结论：2∠C=∠1+∠2； 角外翻模型 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时， 结论：2∠C=∠2-∠1。 【典例】（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 　　；②若，，求点到的距离． 【变式】1．（2025·山东菏泽·三模）如图，取一张三角形纸片，记为，在边上各任取一点，将纸片沿折叠，使点落在的另一侧，落点为，若，则 （    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·河北·模拟预测）如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型07 高分线模型 高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 【典例】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【变式】1.（2025·南京·二模）如图，在中，是高，是角平分线，若，，则 A． B． C． D． 【变式】2.已知：在中，，平分交于点． (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．    题型08 双（三）垂直模型 1）双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③（等面积）。 2）子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③（等面积）。 【典例】（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线交于，求证：． （3）探究AB、BC、AC、BD之间的数量关系，请完成相关证明。 【变式】1.（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式】2.（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 题型09 双角平分线模型（三类） 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 【典例】（2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 【变式】1.（2025·陕西西安·二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ． 【变式】2.（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 【变式】3.（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，平分，平分，连接，若，则的长度为（   ） A．4 B．3 C．5 D． 题型10 三角板模型 【典例】（2025·江苏·中考真题）综合与实践：小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．①求线段的长；（结果保留根号）②判断与的位置关系，并说明理由． 【变式】1．（2025·浙江·模拟预测）一副三角板叠在一起如图放置．最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与，分别交于点，．把绕点旋转到一定位置，使得，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·浙江丽水·二模）如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 1．（四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A．210° B．110° C．150° D．100° 2.（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西榆林·一模）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，，，点为上一点，于点，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·四川广元·校考一模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 6．（2025·山西临汾·三模）如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 7.（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，是高，若，，则 。 8.如图，，相交于点O，，分别平分和．若，，则 ． 9.（2025·四川甘孜州·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为 ． 10.（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 11．（2025·山东泰安·一模）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．初中教材中已经学习了“在一个三角形中，等边对等角；等角对等边”．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． (1)尺规作图：在图1中，作的角平分线，交于点D，在上截取，连接．（保留作图痕迹） (2)证明：平分线，∴___________． 在和中，．___________． ___________，． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，_____________________． (3)如图2，在四边形中，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 1.（2025·湖北武汉·三模）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 2.（2025·陕西西安·模拟预测）已知，是平面内任意一点． (1)如图1，若，，，为角平分线．①________度； ②将条件“，”改为“”，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，若点位于的外部且在的内部，连接，，用，，表示； (3)如图3，若，，平分交于点，为射线上一点（不与点，重合）．①当为钝角三角形时，请直接写出度数的取值范围；②当时，将绕点逆时针旋转，旋转过程中当与的一边平行时，请直接写出旋转的度数． 3.（2025·山东青岛·校考一模）【阅读理解】三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步应用】如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，（1）若，则______；（2）若，则______；（3）若，则______． 【拓展延伸】如图④，点D，E分别是的边延长线上一点， （4）若，分别作和的平分线交于点O，则______； （5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______； （6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $