重难点02 圆中的最值模型（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第六章 圆 重难点02 圆中的八类最值模型 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 3 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 圆中的八类最值模型 本专题重点讲练圆中的八类经典最值模型（瓜豆模型（圆弧轨迹）、阿氏圆模型、最值模型（隐圆）、定角定高（探照灯）模型、米勒（最大角）模型、点与圆上一点的最值问题、切线相关的最值问题、圆中的其他最值）。 题型01 瓜豆模型（圆弧轨迹） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 【典例】（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ；∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形，∴点到的距离为， ∴点到的最小值为，∴面积最小值为： ．故答案为：． 【变式】（2025·山东临沂·校考二模）如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3， ∵∠ACB=90°，即在中，， ∵E是斜边AB上的中点，∴， ∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴， ∴在中，，即； 当C、M、E三点共线时有或者； 即，∴CM最小值为5，故选：C． 【变式】（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∵，四边形为正方形，∴，则，∴， ∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，，  ∴为等边三角形，∴， ∴，故答案为：． 【变式】（2025·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形，，， 是的中点，，， 由旋转得：，，， 的值最小为．故选：B． 题型02 阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 【典例】（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图，∵，∴，∴， ∵，∴∴．∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵，此时．故答案为：； 模型探究：证明：∵，∴∴， 又，∴，∴，∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值．∴的最小值为13．故答案为：13． 【变式】（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形；。 在中，故答案为：． 【变式】（2025·安徽六安·模拟预测）已知圆是正方形的内切圆，为圆上任一点，为的中点，连接．（1）如图1， ；（2）如图2，连接，若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）如图1，过点作，垂足为．设圆半径为，则，， 为的中点，，，， 又，，，故答案为：； （2）由（1）可知，，， 当在的延长线上时，即点、、三点共线时，有最大值，最大值为的长， 如图2，过点作，垂足为，，，， ，，，， ，的最大值为， 的最大值为，的最大值为．故答案为：． 【变式】（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【解答】解：在上取点，使，，， ，，，， 在延长线上取，，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 题型03 定角定高（探照灯）模型 定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 【典例】（2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，作，垂足分别为点，，，， ，，，，， ，，，，，， 在中，， 设的半径为，则，，， ，，，外接圆半径的最小值为．故答案为：． 【变式】（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：. 法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 【变式】（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    【答案】 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ，，，， 设的半径为，则，，， ，，解得：，， ，的面积的最小值为，故答案为：. 【变式】（2025·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，， ∵∴， 设，则， ∵，，∴，解得：， ∴，∴最小值为； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形， ∵，，，∴，，， ∴； ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线， ∴， ∵为定值，∴当取得最小值时，取得最大值， ∵，∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J．设的外接圆半径为，则， 又∵，∴，∴， 当点O在上时，最短，此时，∴， ∴． （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H． ∵，∴，同理可得：， 设，则，， ∵，∴，∴，∴， ∴的面积的最小值为，∴的面积的面积的最小值为， ∴五边形的面积的最大值， ∴种植乙花面积的最大值为． 题型04 米勒最大角模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，， ，，甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，，∴米，米， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，∴米，米， ∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形， 连接，设圆O的半径为r，则，∴， ∵，，∴， 解得：或（舍去），∴米， ∴米． 【变式】（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A．(4，0) B． C． D．(2，0) 【答案】B 【详解】解：根据题意，当的外接圆与x相切于点C时，最大， 设外接圆的圆心为D，连接，，过点D作于点E， ∵点、的坐标分别是，∴点D一定在线段的垂直平分线上， 点， 故，根据切线性质，∴，∴四边形，∴， ∵，∴，∴，∴，故选：B. 【变式】（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 【答案】/ 【详解】解：由题意，，∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，如图，过点B作于点H． ∵，∴，∵．，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴；故答案为：． 【变式】（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，， ，，甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，，∴米，米， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，∴米，米， ∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形， 连接，设圆O的半径为r，则，∴， ∵，，∴， 解得：或（舍去），∴米， ∴米． 题型05 最值模型（隐圆） 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：定点定长、定弦对定角（直角）、同弦（等弦）对等角、对角互补等。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。 【典例】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 【答案】/ 【详解】解：，．如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为，连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，，∴，∴， ，即的最大值为，故答案为：． 【变式】（2025·江苏宿迁·二模）如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上取点Q，使得，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴点P在以点Q为圆心，半径为20的上运动． 连接，当点P为与的交点时，取得最小值，此时， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，即的最小值为．选：D 【变式】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：，．． 点P是的内心，即，分别平分和，，． ． ，，，≌．． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ，设所对的圆心角优角为，则，． ，．，． ∵四边形是正方形，．过点Q作，则， ．∴是等腰直角三角形．． ．． ．的最小值为．故答案为：． 【变式】（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点（点不与点重合），沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，、两点间的距离为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 点在以为圆心，为半径的圆上，作，连接交于点，此时值最小， ，，，解得：， 点是边的中点，；由勾股定理得：， ，，即线段长的最小值是， 连接，过作于，，，， ，，， ，．故答案为：． 题型06 点与圆上一点的最值问题 【典例】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作， 点的坐标为，，，， 点，点关于原点对称，， ，，，当最大时最大， 当点、、共线时有最大值， 的半径为，的最大值是，的最大值是．故选：B． 【变式】（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是 【答案】/ 【详解】解：如图，连接， ∵、、，∴，∴，     ∵，∴要t最小，就是点A到上的一点的距离最小，∴点P在上， ∵，∴，∴t的最小值是，故答案为：． 【变式】（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，在中，，，O为的斜边中点，以C为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】17 【详解】解：∵在中，，，∴， ∵O为的斜边中点，∴， 过点C作于点H，延长交圆于点G，当点P与点G重合时，面积最大， ∵，∴∵的半径为2，∴， ∴面积的最大值为．故答案为：17． 【变式】（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 8 18 【详解】解：当三点在一条直线上时，线段的长取得最值． 是边的中点，．，． 当点A，E在的同侧时，有最小值，最小值为； 当点A，E在的异侧时，有最大值，最大值为．故答案为：8；18． 题型07 切线长相关的最值 【典例】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接、，过点作于，， 是等边三角形，且，，， 是的切线，，， ，当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时， 的最小值为：，故选：． 【变式】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于， ∵与相切于，，∵的半径为1，， 当与重合时，最小，∵等边的边长为2，，， ∴的最小值为：．故答案为：． 【变式】（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别相交于点A、B，的圆心的坐标为，半径为1，点是直线上的一个动点，直线与相切于点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点M作于点H，轴于点N，交于点C，连结， 直线PQ与相切于点，，， 当取最小值时，线段的长度取最小值， ，当点P在点H处时，取最小值，此时，线段的长度取最小值； 令，则，，，令，则，， 令，则，解得，，，， ，，，轴，， ，，， ，，，， 即当点P在点H处时，线段长度取最小值为．故答案为：． 【变式】（2026九年级·河北·专题练习）如图，等边三角形的边长为4，的半径为3，P为上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如解图，连接，过点C作于点H． 是的切线，，当时，最小，取最小值． 为等边三角形，，，的最小值为． 题型08 圆中的其他最值 【典例】（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴，∴， ∴，即的最小值为4，故选：A． 【变式】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是的一条弦，，点C为平面内一点．，若点D为上任意一点，连接，若的半径是4，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，画出以为直径的圆，连接，∵，∴点C在以为直径的圆上运动， ∵若点D为上任意一点，要使长取得最大值，则过点M，O作直线分别交和于点D和点C，即此时的最长，∵是的中点，在直径所在的直线上，∴，∴， ∵的半径是4，，∴，在中，， 即，∴（舍负），∴；故选：B． 【变式】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是以为直径的圆上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，是弦的中点，过点作于点，若，，则最大值是 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，连接， ∵， ∴，∵点是弦的中点，∴，∴， ∴当为的直径时，的值最大，直径，∴，，故答案为：． 【变式】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值 ． 【答案】6 【详解】解：连接， ，，，， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值，过点作轴于点， 圆心的坐标为，则，，， 又的半径为2，的最小值为，，故答案是：6． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线的方向带球前进，，垂足为C，若米，米，若仅从射门角度大小考虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为（   ） A．4米 B．米 C．米 D．5米 【答案】B 【详解】解：以为弦作圆，当圆与相切于时，最大，甲最佳射门位置是点， 连接，过作于，连接，，（米， ，四边形是矩形，，， 米，米，（米，米， （米，米， 甲位于最佳射门位置时离点的距离是米．故选：B． 2.（2025·山东·校考二模）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图，在上截取，使得，连接，，． ∵，，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵ ，在中，，，， ∴，∴，∴的最小值为．故选：C． 3．（24-25九年级下·广东湛江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在以为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足，则的值可能是（   ）（多选题） A． B．4 C．5 D．6 【答案】BCD 【详解】解：∵点，，，∴，，∴， ∵，∴，如图，延长交于M，，当点P与M重合时，最大，即a最大，当点与重合时，最小，即最小： ∵，，∴， ∵的半径为1，∴，， ∴．∴的值可能为；故选：BCD． 4．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：∵∴直线过定点， ∵点，∴，又∵的半径为，∴，∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示：由垂径定理得：，∴，在中，，， 由勾股定理得：，∴，即的最小值为6．故答案为：6． 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，的直径为6，矩形内接于为上一点，且分别交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，交于点，连接，如图所示： ∵矩形内接于，，∴是直径， 又∵，根据平行线间的距离处处相等得：， ，∴由圆周角定理得：， 在中，， ，， ，， ，，即，， ，∴当为最大时，为最小，对于，当为最大时，为最大，∴当为最大时，为最小， 又∵，∴当为最大时，为最大，∴当为最大时，点共线，如图所示： 此时点为弧的中点，经过圆心，根据垂径定理得：， ∴是线段的垂直平分线，∴，又∵，∴为等边三角形， 在中，， 同理：，， 即的最小值为．故答案为：． 6．（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 【答案】 /60度 【详解】解：如图，四边形是菱形，，，是等边三角形， ，， 在和中，，， ，， ，点的运动轨迹是，设圆心为，连接，，． ，，垂直平分线段， ，，，， ，， 当与相切时，的值最大，此时．故答案为：，． 7．（2025·广东珠海·一模）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交的延长线于点Q，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：，∴四点共圆，，∴为直径， ， ， ，，， 在圆中，直径是最长的线段，因此当为直径时，最大，， ，故答案为：． 8.（2025·广东·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ，，，，， ，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故答案为：． 9.（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上取点，使， 又∵，，∴，又∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， 即当在上时，取最小值，为.故答案为. 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，以点A为圆心，为半径作，点P是上一个动点，连接交于点Q，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点和点作的垂线，垂足分别为和， ∵矩形中，，，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵是定值，∴当取最小值时，取得最小值； 连接，当点在线段上时，有最小值，最小值为的长，如图，此时， 同理，，∴，故答案 1.（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接，，，DE． ∵，，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆， ∵，∴，∴，∴的最小值为．故选：A． 2.（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    【答案】2        ∵正方形ABCD中AB=，M为中点∴CM=BM=，∵∠MPC＝45°∴半径为1 作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2： 根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，∴，∠NOP=∠AOP∴△OPN∽△OAP ∴即PN=PA∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN） 连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：∵CN=OC+CN=1+=，∴NG=CG=，∴BG=，根据勾股定理可得，BN=, ∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．故答案为：． 3.（2025·陕西西安·模拟预测） 【问题提出】（1） 如图①， 在中， 点为的中点， 则： （填“， ， ”） 【问题探究】（2）如图②，在正方形中， ， 点E为的中点，点F、G分别为、边上的动点，，求 面积的最小值； 【问题解决】（3） 如图③，矩形是某农业观光园的部分平面示意图，千米， 千米， 边上的点E为休息区， 且千米， 三条观光小路、、（小路宽度不计， F在边上， G在边上）拟将这个园区分成四个区域，用来种植不同的蔬菜，根据实际需要， 并且要求△EFG的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的？若存在，请求出的面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，的面积的最小值为 【详解】解：（1）如图1，作于，点是的中点，， ，，，故答案为：． （2）如图2，延长， 交的延长线于点，作的外接圆，连接，，，作于，设，四边形是正方形，， 是的中点，且，，，， ，，，， ，，，， ，，，，， 当点共线时，，， ，面积的最小值为． （3）如图3，存在的面积的最小值，理由如下： 延长， 交的延长线于点，作的外接圆，作于，作，交的延长线于，设的半径为，四边形是矩形，，， 千米，千米，（千米），，， ，， 由（2）得：，， ，四边形是矩形，， ，，，（千米）， （平方千米），（平方千米）． 4．（24-25九年级上·广东中山·期中）【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】(1)如图2，当弦，时，求外接圆的半径． (2)如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G．①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 【答案】(1)(2)①， ②， ③ 【详解】（1）解：如图：作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E ∵，∴ ∵∴ ∵∴∴∴ 在中， ∴    ∴ （2）①证明：在正方形中，，， ∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴．故答案为：； ②点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，∴点在上，当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合，∴点G的路径为， ∵，O为的中点，∴，∴， ∴的长度为，即点G经过的路径为； 连接，在中 所以当O、C、G三点共线时取最小值为 ③解：如图，连接，∵点I是的内心，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵，∴， 即线段最小值为．故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆 重难点02 圆中的八类最值模型 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 3 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 圆中的八类最值模型 本专题重点讲练圆中的八类经典最值模型（瓜豆模型（圆弧轨迹）、阿氏圆模型、最值模型（隐圆）、定角定高（探照灯）模型、米勒（最大角）模型、点与圆上一点的最值问题、切线相关的最值问题、圆中的其他最值）。 题型01 瓜豆模型（圆弧轨迹） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 【典例】（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【变式】（2025·山东临沂·校考二模）如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【变式】（2025·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型02 阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 【典例】（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【变式】（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【变式】（2025·安徽六安·模拟预测）已知圆是正方形的内切圆，为圆上任一点，为的中点，连接．（1）如图1， ；（2）如图2，连接，若，则的最大值为 ． 【变式】（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 题型03 定角定高（探照灯）模型 定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 【典例】（2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 【变式】（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【变式】（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    【变式】（2025·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 题型04 米勒最大角模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【变式】（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A．(4，0) B． C． D．(2，0) 【变式】（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 【变式】（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 题型05 最值模型（隐圆） 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：定点定长、定弦对定角（直角）、同弦（等弦）对等角、对角互补等。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。 【典例】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 【变式】（2025·江苏宿迁·二模）如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 【变式】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为 ． 【变式】（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点（点不与点重合），沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，、两点间的距离为 ． 题型06 点与圆上一点的最值问题 【典例】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式】（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是 【变式】（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，在中，，，O为的斜边中点，以C为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，连接，则面积的最大值为 ． 【变式】（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 题型07 切线长相关的最值 【典例】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是 ． 【变式】（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别相交于点A、B，的圆心的坐标为，半径为1，点是直线上的一个动点，直线与相切于点，则线段长度的最小值为 ． 【变式】（2026九年级·河北·专题练习）如图，等边三角形的边长为4，的半径为3，P为上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为 ． 题型08 圆中的其他最值 【典例】（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是的一条弦，，点C为平面内一点．，若点D为上任意一点，连接，若的半径是4，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是以为直径的圆上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，是弦的中点，过点作于点，若，，则最大值是 ． 【变式】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值 ． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线的方向带球前进，，垂足为C，若米，米，若仅从射门角度大小考虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为（   ） A．4米 B．米 C．米 D．5米 2.（2025·山东·校考二模）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级下·广东湛江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在以为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足，则的值可能是（   ）（多选题） A． B．4 C．5 D．6 4．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，的直径为6，矩形内接于为上一点，且分别交于点，则的最小值为 ． 6．（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 7．（2025·广东珠海·一模）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交的延长线于点Q，则的最大值为 ． 8.（2025·广东·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 9.（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为 ． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，以点A为圆心，为半径作，点P是上一个动点，连接交于点Q，则的最小值是 ． 1.（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    3.（2025·陕西西安·模拟预测） 【问题提出】（1） 如图①， 在中， 点为的中点， 则： （填“， ， ”） 【问题探究】（2）如图②，在正方形中， ， 点E为的中点，点F、G分别为、边上的动点，，求 面积的最小值； 【问题解决】（3） 如图③，矩形是某农业观光园的部分平面示意图，千米， 千米， 边上的点E为休息区， 且千米， 三条观光小路、、（小路宽度不计， F在边上， G在边上）拟将这个园区分成四个区域，用来种植不同的蔬菜，根据实际需要， 并且要求△EFG的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的？若存在，请求出的面积的最小值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·广东中山·期中）【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】(1)如图2，当弦，时，求外接圆的半径． (2)如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G．①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $