重难点01 相似三角形的11类重要模型（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 重难点01 相似三角形的11类重要模型 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 48 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 相似三角形的11类重要模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。． 题型01 “A”字模型 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 【典例】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【详解】解：当时，∵，∴，∴， 当时，∵，∴，∴， 综上，或，故答案为：3或． 【变式】（2025·辽宁营口·一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 【答案】/0.5 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴．故答案为：． 【变式】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：，． ，．，．． ．，故答案为：． 【变式】（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形，，， ，，， ，，， 解得：，正方形的面积为故答案为： 题型02 “X”字模型（“8”字模型） “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 【典例】（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， ∴，∴，∴, ∵，∴，∴．故答案为： 【变式】（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 【答案】20 【详解】解：如图，延长交延长线于点，点是边的中点，， 四边形是菱形，，，， 在和中，，，， ，，又点是中点， ，，， 的面积为1，的面积为5，菱形的面积为20，故答案为：20． 【变式】（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，是上靠近点的三等分点，连接，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图，过点作∥交于点， ，平分，，是的中点， ∵∥，∴,是的中点，是的中位线， ，是上靠近点的三等分点，，，， ∵∥，，，，．故选：B． 【变式】（2025·山东青岛·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明：连接．分别是边、的中点， ，，，． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】(1)9(2)16(3) 【详解】（1）解：在中，点G是的重心， ∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：9． （2）解：∵在中，中线相交于点G， ∴G为的重心．∴， ∴，∴．故答案为：16． （3）解：如图：连接．∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴，∴．∴，∴， ∵，∴，∴， ∴．故答案为：． 题型03 “AX”字模型（“A8”字模型） “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 【典例】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵四边形是菱形，且， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，，∴，故答案为：96． 【变式】（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵，∴∴，， ∴，则，∴， ∵，∴，∴∴， 在中，，故选：B． 【变式】（2025·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、，，∴，，， ∴，，∴，，∴， ，∴，点是的中点，，，， ∴，，∴，∴，故选：． 【变式】（2025·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 题型04 “母子型”模型（共边共角模型） “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 【典例】（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴； （2）解：∵点为中点，∴设，由（1）知， ∴，∴， ∴与的相似比为，∴，∵∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点，∴设， ∵，∴，， 在中，，则由勾股定理可得，过点作于点，如图2所示： ∴，∴，∴，∴，，∴，∴， ∵，点为中点，∴，，， 又∵，∴，， ∴，又∵，∴，， ∴，即，∴，∴． 【变式】（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，点是的黄金分割点，如果，，则 ． 【答案】 【详解】解：点是的黄金分割点，， ，，，，， ， ，故答案为：． 【变式】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，．(1)证明：；(2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：是等边三角形，，， ， ，，，，， 又，； （2）解：，， ，，． 【变式】（2025·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 （1）如图1，点D是 的边上一点，且．求证：； （2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值； 【拓展应用】（3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的最小值为 【详解】解：（1）证明：∵，∴， ∴，∴； （2）延长至点F，使得，连接，如图所示：则垂直平分，∴， ∵，∴， ∵E是边的中点，，∴为的中位线，∴， ∵，∴，∴线段的最大值为； （3）∵，，∴，∴， ∵正方形中，，∴，∴， 连接，如图所示：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵E是射线上的一个动点，点F在线段上，∴点F的运动轨迹为以为直径的圆上， ∴，连接，∴，∴的最小值为， ∴的最小值为． 题型05 一线三等角（K字型）模型 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. ②一线三直角变异型1： 条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°. 结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【典例】（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，， ∴，∴． （3）∵，， ∴，∴．∴， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 【变式】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为 ． 【答案】10 【详解】解：为等边三角形，，，， ，， ，，， ，，，，故答案为：10． 【变式】（2025·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 【答案】D 【详解】解：依题意可得，∴，∴， 又，∴．故A项正确；如图， ∵，，∴．在与中，， ∴，∴，又∵，∴； ∵为等腰直角三角形，∴；∴； ∵，∴，∴，∴．故B项正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得， ∴是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵，∴，∴，故C项正确； ∵，，，∴，∴，， ∴，∴；∴．故D项错误．故选：D． 【变式】（2025·北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，． ⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长； ⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 【答案】⑴的长1或4;⑵① ;②或3- 【详解】解：⑴，，， 又梯形中，，，，， 设，，，解得，，的长1或4; ⑵①由⑴易得（如图），，即， ②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴,或， ，解得：AP=2或3−. 题型06 “手拉手”模型 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 【典例】（2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，，， 在和中，，，； （2）解：，， ，，，，则， ，，，故答案为：； （3）解：，，， ，，，，， ，∴，， 当点D在线段上时，如图3，，，， 由得，，则，； 当E在线段上时，如图4，则，， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或 【变式】（2025·江西新余·三模）【初步感知】（1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】（2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【答案】（1）①；②见解析；（2），证明见解析；（3）10 【详解】解：（1）①∵∴ ∵∴，∴∴ ∴，即故答案为：； ②证明：由①可知，，，，即，    又，，； （2）；理由如下：，， 又，，； （3）如图，连接，在的上方取点，使，． ，在中，，，， ，，，，， ，，，， 当时，，两点间的距离最大，，两点间的最大距离为10． 【变式】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，回答下列题： 【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．①与之间的数量关系为_________；②的度数为_________； 【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或 【详解】解：（1）①， ，， 又，，，， ②设与交于点，由①知，，， ，， ，故答案为：①；②； （2）中，，．∴ 同理得：∴，∵，∴， ∴．∴，， 在中，． （3）如图3-1中，作于H，连接， 在中，∵，，．∴， ∵，∴，∴，∴由勾股定理得， 在中，，∴，同（2）可证明：， ∴，∴， 如图3-2中，连接，作于H，同法可得，，∴， ∵，∴，∴． 综上所述，点A、D之间的距离为或． 【变式】（2025·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解(2)，证明见详解(3)1或2 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由：∵为等边三角形，∴，， ∵O是的中点∴，∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴为等腰三角形； （2）解：， 证明如下：连接，∵均是等边三角形，∴， ∵点O为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：情况一，如图①，当点在同一直线上，连接， ∵点O为中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵点M为的中点，点O为中点，∴，∴，即，解得：； 情况二：∵为等边三角形，∴， ∵点O为中点，，∴，， 如图②，当点O为中点时，， ∵等边边长为2，∴在中，，∴， ∵此时三点共线，∴点B和点E重合， 又∵点M是直线与直线的交点，∴三点重合， ∴此时的长为的长，即，综上所述，此时的长为1或2． 题型07 半角模型 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 【典例】（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 【答案】(1)为等边三角形，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下：由作法得， ，为等边三角形； （2）证明：为等边三角形，，， ，， ，，而，； （3）解：为等边三角形，， ，，即，解得． 【变式】（2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【答案】（1）成立；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴ ∵，，∴， 又∵，∴,∴ ∵,   ∴, 故结论成立； （2）证明：如图2，∵四边形是正方形，∴, ∵，∴, ∴，∴， 又∵，∴； （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且，∴， ∴，∴， ∴，∴ ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴, ∵，，∴ ∵,∴，∴∴, ∵菱形的边长为，∴， ∵，∴，∴， ∵∴cm， ∴，∴线段的长为． 【变式】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在，上．若，，则的长是 ． 【答案】7.2 【详解】解：在，上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接，四边形是矩形， ，，，，， ，四边形的平行四边形，，，四边形是正方形， ，，，， ，，， ，，，， ，，，设，，， ，，， 在中，，，，， ，，，，，， ，，，故答案为：7.2． 【变式】（24-25九年级上·四川·期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，． (1)请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并对其进行证明；(2)求m和n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；(3)证明在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 【答案】(1)，，证明见解析；(2)(3)证明见解析 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵，∴ 又∴；同理可得：． （2）解：由（1）可知，，∴，∴ 又∵是等腰直角三角形，且，∴，又，， ∴，即，∴； （3）证明：如图，将绕点顺时针旋转至的位置，则，，，旋转角．连接，在和中， ∵，，．∴，∴， 又，∴，即． ∴在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 题型08 对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 【典例】（2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③；(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，连接BE．①当时，为中点， 是等腰直角三角形，， 又，，， 在和中，，； ②；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ． ③；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ；如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形∴设，则 ∴ ∴ 由题意得，∴ ∴当时，和没有交点; ∴的取值范围是； （2）解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则，，当时，与重合时，面积取最小，，是等腰直角三角形，，，，，， 在等腰中，，当时，；当时，取得最大， ，，， 在中，，，此时面积最大，． 【变式】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段、、之间的数量关系． 【特殊化研究】如图1，当D是边中点时，请写出线段、、之间的数量关系是_____________；请写出证明过程． 【一般化探究】如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段、、之间的数量关系，请写出结论并证明； 【结论推广】请通过类比、归纳、猜想，探究出线段、、之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【答案】特殊化研究：，证明见解析；一般化探究：，证明见解析； 结论推广：当在射线上时，，当在延长线上时， 【详解】解：特殊化研究：，证明如下：连接， D是边中点， 且在中，，， ，，， ，，，， ，.，， ，； 故答案为：； 一般化探究：，证明如下：过点作于点，作于点， ，，， ，，和为等腰直角三角形， ，，，同理，， ，，，， 设，，，，， ，四边形为矩形，，， ，，， ，，，即， ； 结论推广：当在射线上时， 过点作于点，作于点， 由第二问同理可证，，， 设，，，，， ，四边形为矩形，再同理可证， ，即，； 当在延长线上时， 过点作于点，作于点， 由第二问同理可证，，， 设，，，，， ，四边形为矩形，再同理可证， ，即，． 【变式】（2025·广西贺州·一模）【特例探究】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的______，说明理由． 【类比迁移】如图②，正方形的对角线上一点P，，且． （1）判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由； （2）若，，当点F与点B重合时，求的长． 【答案】【特例探究】，理由见解析；【类比迁移】（1），理由见解析；（2） 【详解】解：特例探究：四边形是正方形，，，， ，，，， 四边形的面积 正方形的面积，故答案为：； 类比迁移：（1），理由如下：如图②中，过点作于点， 于点， 四边形是正方形，， ，，，等腰直角三角形，，，， ，，， ，，； （2）如图③，过点作于点， 于点， ，，，，， ，， ，，． 【变式】（24-25九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 【答案】(1)①见解析  ②(2) 【详解】（1）①证明:过点作，垂足分别为，         ∵是的平分线,∴ . 由,∴,∴, ∵,∴.∴.∴； ②，，，，     ，，，； （2）当与相似时，点的位置有两种情况： ①当点在射线上时，∵,,∴.∴. ∴.在中, ； ②当点在延长线上时，∵,∴. ∵, ,,∴.同理， ∴，，，∴∴ ，，，，综上所述. 题型09 十字架模型 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN， 结论：. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 【典例】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【详解】解：（1）能，过程如下：如图所示：∵四边形是矩形，∴∴ ∵，∴∴，∴，∴，∵，，∴， （2）分别过作，如图所示：∵四边形是矩形，∴ ∵∴∴四边形是矩形，∴， ∵四边形是矩形，∴∵，∴ ∴四边形是矩形，∴，，∴，， ∴，∴，∵，∴ ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴； （3）如图所示：∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，∴∴，∴，∴， ∵，∴，在中，， ∴，故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴， 过点N作，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，在中，， ∴．故答案为： 【变式】（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：；(2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H， ∵，∴，∴，∴，∴， 由（1）可知，，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （3）解：在中，，，，则，， 设，则，在中，，则， ∵，，∴， ∴，即，解得： (舍去)， ∵，，∴，∴． 【变式】（24-25九年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，理由见解析(3) 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ，，， ，，，，， （2）解：仍然成立，理由如下：，， ，，， ，，，，， 四边形为平行四边形，，， ，，， ，，，，， （3）解：在线段上取一点，使得， 则四边形为等腰梯形，， ，，，， ，，，， ，，， 为中点，，，设，则，， ，，，，，， 过点作，交于点，， ，， ，，（舍去），，，故答案为：． 【变式】（24-25·淄博·校考一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：． 【答案】(1)；(2)见解析 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，， 又∵，∴，∴， ∴； （2）证明：∵，，∴． ∵∴，∴，∴． 题型10 梅涅劳斯（定理）模型 梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。 注意：梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。 【典例】（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【详解】法1：∵直线EBF是的梅氏线，∴．∵是的中线，∴， ∵是的中点，∴，∴，．故答案为：． 法2：过点作交于， 则，是的中线，是的中点， ，，，．故答案为：． 【变式】（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】法1：∵直线FEC是的梅氏线，∴． ∵，∴，∴，∴． 法2：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形，， ，，，，， 设，则，，，， ，，，， ，，即． 【变式】（25-26·江苏·九年级统考期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G， 则有，，∴． 请用上述定理的证明方法解决以下问题： (1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：． (2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________． (3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点 ∴ 故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE ∴ ∵∴． （2）解：如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G∴由题意可知 ∵D是BC的中点，为等边三角形∴， 在中∵ ∴解得故答案为：． （3）解：如图5，分别过作 ∵图5同图1，故可知∵F为AB中点，CD=BC，∴ ∵ ∴∴ ∴ ∵∴四边形BCEF的面积为 故答案为：． 题型11 塞瓦（定理）模型 塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F， 如图3，则。 注意：塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。 【典例】（2024·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)；的面积为 【详解】（1）证明：在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴，． 由赛瓦定理可得：．∴，∴．即点F为AB的中点； （2）解：∵为等边三角形，，∴ ∵点D是BC边的中点，∴， ∵，∴．由赛瓦定理可得：；过点F作FG⊥BC于G， ∴，，∴CG=BC-BG=8， ∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴， ∴，即，∴，∴， ∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴ 又，∴，∴． 【变式】如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。 【详解】证明：在中，∵点D为边BC的中点，∴． 对△ABC和点M应用赛瓦定理可得：． ∴，∴． 即EF//BC； 点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键． 【变式（2025·山西阳泉·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应任务． 塞瓦定理：塞瓦定理载于年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大 发现．如图，塞瓦定理是指在内任取一点 ，延长分别交对边于，则．    任务：（1）当点分别为边的中点时，求证：点为的中点； （2）若为等边三角形，，点是边的中点，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明：分别为边的中点， 由塞瓦定理，得点为的中点 解：为等边三角形， 点是的中点 由赛瓦定理，得 故答案为（1）见解析；（2） 1．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法1：∵直线EFB是的梅氏线，∴。 ∵是的中线，∴，∵，∴，，∴，故选：B． 法2：过点作交于点，如图， ∵是的中线，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，故选：B． 2.（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，，∴，∴∴ ∵，∴，∴∵∴，故选：C． 3．（24-25·北京顺义·九年级校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴．故选B． 4.（2025·云南昆明·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H，以下说法：①AH＝a；②△CEF的周长是2a；③若BE＝2，DF＝3，则a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正确的是（    ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤ 【答案】A 【详解】解：如图，延长EB至点G，使BG＝DF， ∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADF＝∠ABG＝90°， ∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AF＝AG， 又∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAE+∠BAG＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF，∴△AGE≌△AFE，∴GE＝FE，S△AGE＝S△AFE， 又∵AH⊥EF，AB⊥GE，∴AH＝AB＝a，故①正确；∵BG＝DF，GE＝FE， △CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EG+CF＝CE+BE+BG+CF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝2a，故②正确； ∵BE＝2，DF＝3，∴EF＝GE＝BE+BG＝BE+DF＝2+3＝5， 在Rt△ECF中，CF＝a﹣3，EC＝a﹣2，∴（a﹣3）2+（a﹣2）2＝52， 解得：a＝6或a＝﹣1（负值舍去），故③正确；∵∠EAF＝45°，∠DBC＝45°，∴∠EAF＝∠DBC， 又∵∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴， 又∵∠AMB＝∠NME，∴△ABM相似△NEM，但并一定全等，故④错误； ∵△AMB∽△NME，∴∠ABM＝∠AEN＝45°，又∵∠EAF＝45°， ∴∠ANE＝180°﹣∠AEN﹣∠EAF＝90°，即AN⊥NE，故⑤正确，正确的是①②③⑤，故选：A． 5.（2025·山西大同·模拟预测）矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则线段的长为 ． 【答案】/3.5 【详解】解：过E作于M，如图，则， ∵四边形是矩形，，∴，， ∵沿翻折到处， ，∴，，， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，则，∴，， ∵，，∴， ∴，即，∴，，   设，∵∴四边形是矩形，∴，， 在中，，，由勾股定理得， 则，解得，∴．∴故答案为：． 6.（2025·江苏常州·三模）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【详解】（1）证明：∵是由折叠得到，，， ∵四边形是正方形，，，， ，． （2）解：如图，连接． ，，由折叠可知，， 四边形是正方形，，， ，，， ，∴，∴，， ，，， 或（舍去），； （3）解：如图，连接，由题意，设，设． ①当点在点的左侧时，∵，∴， 由折叠可知，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 解得：或（舍弃），∴； ②当点在点的右侧时，如图， 设，同理，∵，∴， ∴，即， ∴或（舍弃），∴．综上所述，或． 7.（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）PD=PE，证明见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【详解】（1）PD=PE 证明：过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°， ∴△BPF为等边三角形，∴FP=BP，∵BP=CP，∴FP=CP ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF≌△PEC，∴PD=PE． 图① 图② （2） 过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°，∴△BPF为等边三角形， ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF∽△PEC， ∴，又∵，∴，∴． （3）在图②中，连接AP，过点A作AO⊥BC于O， ∵∠B=60º，∴∠BAO=30º∵AB=8，∴BO=4， 在Rt△APO中，AP=7，∴BP=3，PC=5， 由（2）知△PDF∽△PEC，BP=BF=PF=3∴，又BD=2，∴，解得：， 同理，如备用图，BP=5，PC=3，由得：，解得：，故CE的长为 8.（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分． (1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长； (2)如图（2），当时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②(2) 【详解】（1）①∵∴ 又∵∴ ∴，∴，∴； ②∵当时，∴∴， ∵∴，是等腰直角三角形 ∵∴，即∴∵∴ ∵平分∴∴ ∵∴ ∵∴∴ ∵∴∴； （2）如图所示，连接， ∵∴， ∵∴， 同（1）可得，∴ ∴设，则同（1）可得，∴ ∴∴． 9.（2024·广东·校考一模）综合与实践 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．    猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长； (3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)(3) 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 点是的中点，点是的中点，，， ，，，四边形是矩形； （2）如图2，过点作于，       ，，，，点是的中点，， ，，，，， 又，，，，； （3）如图③，连接，，过点作于， ，，， ，点，点，点，点四点共圆，， ，，，，， ，，，， ，，，． 10.（2025·湖北·一模）如图1，在菱形ABCD中，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A逆时针方向旋转，交直线CD于点F，射线AF、AE分别交BC、DC的延长线于点H、G，连接AC，． (1)求证：；(2)如图2，若，，求的值；(3)如图3，连接GH，若，当为等腰三角形时，直接写出的值（可用含n的式子表式）． 【答案】(1)见解析，(2)(3)或1或 【详解】（1）证明：∵菱形ABCD，∴ADBC，ABDC，∠BAC=∠DAC， ∵∠EAF=∠BAD，∴∠EAF=∠DAC=∠BAC， ∴∠EAC+∠CAF=∠CAF+∠HAD=∠BAE+∠EAC，∴∠EAC=∠HAE，∠CAF=∠BAE， ∵ADBC，即ADCH，∴∠H=∠HAD，∴∠GAC=∠H， ∵ABDC，即ABCG，∴∠G=∠CAH，∴△ACG∽△HCA． （2）解：∵ABDC，即ABCG，∴△ABE∽△GCE, ∴==2，∴CG=AB， ∵△ACG∽△HCA，∴，∵，∴AC=AB，∴，∴， ∵ADBC，即ADCH，∴△ADF∽△HCF,∴， ∵菱形ABCD，∴AD=AB，∴，∴； （3）解：由（1）知：，∴， 分两种情况：①当AH=GH时，∴∠HGA=∠HAG，∵AB=CB，∴∠BAC=∠BCA， ∵∠HAG=∠BAC，∴∠HAG=∠BCA，∠HAG=∠BAC，∴△HAG∽△BAC， ∴，∴，∴，∴CG=nAC， ∵CGAB，∴△ABE∽△GCE，∴=； ②当AG=HG时，∴∠GAH=∠GHA，∵∠GAH=∠EAF=∠BAC ∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∴∠GHA=∠BCA，∠GAH=∠BAC，∴△GAH∽△BAC， ∴，∴，∴，∴CG=AC=AB， ∵CGAB，∴△AEB∽△GEC，∴=1，即=1； ③当AG=AH时，∵△ACG∽△HCA，∴=1，∴AC=CG， ∵=n，,∴=n，∵CGAB，∴△AEB∽△GEC，∴综上，=或1或． 11.（2025·河南周口 校考一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段，∴， ∵，，∴． 在和中，∴， ∴．故答案为： （2）．证明：同（1）可得，，， ∴，∴，∵，∴，∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，，由（1）同理可证，， ∴，，∴，， ∴． 12.（2025·山东济南·模拟预测） (1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． (3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析．(3)的长为或 【分析】本题考查了相似多边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）延长，交于H，连接，利用矩形的性质与判定可证明四边形是矩形，得出，，利用相似多边形的性质得出，进而得出，在中，由勾股定理得：，即可求解；（2）如图2，连接、，利用相似多边形的性质、旋转的性质可证明，得出，利用矩形的性质，勾股定理可求出，即可得出结论； （3）分点E在线段上，点E在线段延长线上，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1，延长，交于H，连接， ∵四边形和四边形都是矩形，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∵矩形与矩形相似，，∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， ∴，故答案为：． （2）解：（1）中的结论仍然成立 理由如下：如图2，连接、， ∵矩形与矩形相似，∴，由旋转可得：， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：①如图3，当点E在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴； ②如图4，当点E在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，综上所述，的长为或． 1.（2025·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即，解得：，∴； （3）过点作交的延长线于点， ∵，， ∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴．    2.（2025·四川乐山·模拟预测）【解决问题】如图1，点C，D在线段上，，若，求证：． 【知识迁移】如图2，中，，，点C，D在线段上，点F在线段上，若，求证：． 【拓展应用】如图3，点E在平行四边形的边延长线上，，在线段上确定点M，使得，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】证明：（1）∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 证明：（2），， ，， ，，，， ，，，，， ，，，，； （3）解：在上截取， 四边形是平行四边形，，， ，，同（1）（2）题证明得． 3.（2024·吉林长春·模拟预测）在菱形中，是对角线上一点． 【感知】如图①，过点作交于点，作交于点，易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结．（1）判断的形状，并说明理由； （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结，当，，且时，线段的长为______． 【答案】[应用]（1）是等边三角形，理由见解析；（2）；[拓展] 【详解】解：[应用]（1）是等边三角形，理由如下： ∵四边形是菱形，，∴， ∵，∴， ∴点、、、共圆，∴，，∴是等边三角形； （2）当时，的边长最小，的面积最小，此时， ∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：； [拓展]如图，由（1）可得：是等边三角形，∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， ∴，是等边三角形， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，解得：或（负值不符合题意，舍去）， 作于，∴， ，∴， ∴，故答案为：． 4.（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， (1)如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； (2)如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由；(3)如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 【答案】(1)见解析(2)是定值，(3)3 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； （2）是定值，如下图，过点作交延长线于点， ∴，∴四边形为矩形，∴，， ∵，，又∵， ∴，∵，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∴为定值； （3）如下图，过点作于点，交于点，作于点， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵将沿翻折得到，∴，， 设，则，∴， ∵，，，∴， ∵，即，∴， ∵，∴，∴∴． 5．（2023·辽宁锦州·中考真题）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】（1）如图1，当时，易知；如图2，当时，则与的数量关系为 ；    （2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】（1）如图，过点A作于点H，    ∵，，∴，∴． ∵是以为底边的等腰三角形，，∴，． ∴．∴．∴．∴．∴． ∵，∴．∴．∴． ∵，H为的中点，∴．在中，， ∴．∴．∴． 又，∴； （2）解：；如图，过点A作于点H，   ∵，，∴，∴． ∵是以为底边的等腰三角形，，∴，． ∴．∴．∴．∴．∴． ∵，∴．∴．∴． ∵，H为的中点，∴．在中，， ∴．∴．∴． （3）． 方法一：如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，    ∴．∴． ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，∴．∴． ∵是以为底边的等腰三角形，，∴，． ∴．∴．∴． ∵，∴．设，则， ∵，∴，∴．∴． ∵，∴，．∴． 在中，，，∴． ∴，解得．∴． ∵，∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 重难点01 相似三角形的十一类重要模型 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 25 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 相似三角形的十一类重要模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。． 题型01 “A”字模型 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 【典例】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【变式】（2025·辽宁营口·一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 【变式】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【变式】（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 题型02 “X”字模型（“8”字模型） “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 【典例】（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．    【变式】（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 【变式】（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，是上靠近点的三等分点，连接，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．3 【变式】（2025·山东青岛·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明：连接．分别是边、的中点， ，，，． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 题型03 “AX”字模型（“A8”字模型） “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 【典例】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【变式】（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【变式】（2025·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【变式】（2025·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 题型04 “母子型”模型（共边共角模型） “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 【典例】（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【变式】（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，点是的黄金分割点，如果，，则 ． 【变式】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，．(1)证明：；(2)求的度数． 【变式】（2025·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 （1）如图1，点D是 的边上一点，且．求证：； （2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值； 【拓展应用】（3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值． 题型05 一线三等角（K字型）模型 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. ②一线三直角变异型1： 条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°. 结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【典例】（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【变式】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为 ． 【变式】（2025·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 【变式】（2025·北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，． ⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 题型06 “手拉手”模型 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 【典例】（2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【变式】（2025·江西新余·三模）【初步感知】（1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】（2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【变式】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，回答下列题： 【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．①与之间的数量关系为_________；②的度数为_________； 【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【变式】（2025·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 题型07 半角模型 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 【典例】（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 【变式】（2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【变式】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在，上．若，，则的长是 ． 【变式】（24-25九年级上·四川·期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，． (1)请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并对其进行证明；(2)求m和n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；(3)证明在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 题型08 对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 【典例】（2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【变式】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段、、之间的数量关系． 【特殊化研究】如图1，当D是边中点时，请写出线段、、之间的数量关系是_____________；请写出证明过程． 【一般化探究】如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段、、之间的数量关系，请写出结论并证明； 【结论推广】请通过类比、归纳、猜想，探究出线段、、之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【变式】（2025·广西贺州·一模）【特例探究】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的______，说明理由． 【类比迁移】如图②，正方形的对角线上一点P，，且． （1）判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由； （2）若，，当点F与点B重合时，求的长． 【变式】（24-25九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点.(1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 题型09 十字架模型 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN， 结论：. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 【典例】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【变式】（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图②，若，，求的值． 【变式】（24-25九年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【变式】（24-25·淄博·校考一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：． 题型10 梅涅劳斯（定理）模型 梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。 注意：梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。 【典例】（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【变式】（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【变式】（25-26·江苏·九年级统考期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G， 则有，，∴． 请用上述定理的证明方法解决以下问题： (1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：． (2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________． (3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________． 题型11 塞瓦（定理）模型 塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F， 如图3，则。 注意：塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。 【典例】（2024·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积． 【变式】如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。 【变式（2025·山西阳泉·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应任务． 塞瓦定理：塞瓦定理载于年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大 发现．如图，塞瓦定理是指在内任取一点 ，延长分别交对边于，则．    任务：（1）当点分别为边的中点时，求证：点为的中点； （2）若为等边三角形，，点是边的中点，求的长． 1．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 3．（24-25·北京顺义·九年级校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ） A． B． C． D．2 4.（2025·云南昆明·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H，以下说法：①AH＝a；②△CEF的周长是2a；③若BE＝2，DF＝3，则a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正确的是（    ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤ 5.（2025·山西大同·模拟预测）矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则线段的长为 ． 6.（2025·江苏常州·三模）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 7.（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 8.（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分． (1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长； (2)如图（2），当时，直接写出的值． 9.（2024·广东·校考一模）综合与实践 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．    猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长； (3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 10.（2025·湖北·一模）如图1，在菱形ABCD中，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A逆时针方向旋转，交直线CD于点F，射线AF、AE分别交BC、DC的延长线于点H、G，连接AC，． (1)求证：；(2)如图2，若，，求的值；(3)如图3，连接GH，若，当为等腰三角形时，直接写出的值（可用含n的式子表式）． 11.（2025·河南周口 校考一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 12.（2025·山东济南·模拟预测） (1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． (3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 1.（2025·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          2.（2025·四川乐山·模拟预测）【解决问题】如图1，点C，D在线段上，，若，求证：． 【知识迁移】如图2，中，，，点C，D在线段上，点F在线段上，若，求证：． 【拓展应用】如图3，点E在平行四边形的边延长线上，，在线段上确定点M，使得，并说明理由． 3.（2024·吉林长春·模拟预测）在菱形中，是对角线上一点． 【感知】如图①，过点作交于点，作交于点，易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结．（1）判断的形状，并说明理由； （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结，当，，且时，线段的长为______． 4.（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， (1)如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； (2)如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由；(3)如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 5．（2023·辽宁锦州·中考真题）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】（1）如图1，当时，易知；如图2，当时，则与的数量关系为 ；    （2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $