第01讲 概率与统计（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第八章 概率与统计 第01讲 概率与统计 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 概率 题型01 事件的分类 题型02 概率的意义与计算 题型03 几何概型 题型04 列举法（树状图与列表）求概率 题型05 概率的应用（游戏公平性） 题型06 频率估计概率 命题点二 统计 题型01 全面调查与抽样调查 题型02 总体、个体、样本、样本容量 题型03 统计图表1（折线、条形、扇形） 题型04 统计图表2（频数分布表与直方图） 题型05 数据的集中趋势 题型06 数据的波动程度 05·重难突破·思维进阶难 41 突破一 概率与不等式、方程、函数综合运用 突破二 概率与跨学科综合 突破三 概率与统计综合问题 06·优题精选·练能提分 50 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 概率 成都卷 T20 （概率） 成都卷T12 （概率的应用） 成都卷T6 （概率） 了解事件的分类；能运用概率公式求已知事件的概率（包含几何概型）；能用列表或树状图求事件的概率；能用频率估计概率。 统计 成都卷 T5 （统计图表） 成都卷T15 （数据分析） 成都卷T5 （中位数） 成都卷T15 （统计图表、样本估计总体） 成都卷T4 （中位数） 成都卷T15 （统计图表、样本估计总体） 体会抽样的必要性，能通过实例认识简单随机抽样；掌握基本的统计图表（扇形、条形、折线、频数分布表和直方图），能从中读取相关信息；理解平均数。中位数。众数、方差、极差、标准差的意义，能进行相关运算；能根据结果作出简单的判断和预测。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查统计图表、数据分析、概率、频率，分值在12分左右。近三年概率和数据的集中趋势基本都出现在选填题中，解答题主要考查统计图表（扇形统计图、条形统计图、频数分布表或直方图等）获取信息和数据分析（算术平均数和加权平均数）等；本专题内容因整体难度较低，属于成都中考必拿分点，审题时要多加注意即可。 考点一 概率 1）确定事件与随机事件 定义 事件发生的概率 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 P(必然事件)=1 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 P(不可能事件)=0 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 0＜P(随机事件)＜1 2）概率的定义及计算公式 概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。 3）利用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率。 方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率． 4）概率的计算方法： （1）概率公式： P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数。 （2）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率。 （3）树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率。 5）概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策。 1．（2025·四川成都·模拟预测）成都市境内有诸多风景名胜，青城山、都江堰、西岭雪山、洛带古镇、武侯祠就是其中5处景点，将这5处景点制作成卡片（除汉字外其他都相同），随机从中抽取1张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为（    ） A．0 B． C． D．1 2．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 3．（25-26九年级上·成都·期中）一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到蓝球的频率稳定在，则估计口袋中蓝球的个数为（   ） A．18个 B．16个 C．6个 D．4个 4．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 5．（2026·四川成都·一模）从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为______． 考点二 统计 1.数据的收集、整理与描述 1）全面调查与抽样调查 （1）全面调查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做全面调查。 （2）抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调查叫做抽样调查。 2）调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查时，往往采用抽样调查。 3）抽样调查样本的选取：1）抽样调查的样本要有代表性；2）抽样调查的样本数目要足够大。 4）总体、个体、样本及样本容量 总体：所要考察对象的全体叫做总体； 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体； 样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本；样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。 2.常见统计图（表） 1）条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形。 特点：（1）能够显示每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别。 2）折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形。 特点：易于显示数据的变化趋势。 3）扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图。 百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的比；扇形的圆心角=360°×百分比。 4）频数分布直方图 1）每个对象出现的次数叫频数；2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度。 3）频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况。 4）频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图。 3.数据分析 1）平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。 2）加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权。 3）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 4）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 5）方差：在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即 。 6）极差：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差。 7）标准差：方差的算术平方根,即。 1．（2026·成都·一模）为研究山西某地的气象变化情况，小宣将2月和3月的第一周中每天的最高气温整理成两组数据制作成如下所示的折线统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A．2月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定 B．3月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定 C．2月份的第一周平均日最高气温更高，但3月份的第一周日最高气温更稳定 D．3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定 2．（2026·成都·模拟预测）根据某次安全知识竞赛成绩，笑笑绘制了所有参赛学生成绩的统计图如图所示，则本次安全知识竞赛成绩的优秀率是____________． 3．（2025·四川成都·二模）某校开设校园足球特色课程，拟为足球队成员准备球鞋，对15名成员的鞋码进行了调查，结果如图所示.则这15名成员鞋码的众数和中位数分别是(   ) A．， B．， C．， D．， 4．（2026·四川成都·二模）甲、乙、丙、丁四个旅行团的游客人数都相等，每个团游客的平均年龄都是32岁，年龄的方差分别是，，，，导游小明喜欢带游客间年龄相近的团队，在这四个团中，则他应选（    ）    A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 5．（2025·四川成都·模拟预测）为建设“书香校园”，某班开展了捐书活动，学生捐书情况统计如下： 捐书数量（本） 人数（人） 对于不同的，下列关于捐书数量的统计量中不会发生改变的是（    ） A．平均数，中位数 B．众数，中位数 C．平均数，方差 D．众数，方差 6．（2025·四川成都·模拟预测）某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了名学生进行测试百分制，测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，）． 七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，， 八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出上述图表中，，的值；(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由．(3)该校七、八年级共人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的学生人数是多少？ 命题点一 概率 ►题型01 事件的分类 【典例】1．（2026·成都·模拟预测）“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（   ） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 【典例】2．（2026·成都·模拟预测）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过路口，恰好遇到绿灯 B．从只有红球的袋子中摸出白球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上 【变式】1．（2025·成都·一模）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．从地面向上抛的硬币会落下 B．射击运动员射击一次，命中环 C．太阳从东边升起 D．有一匹马奔跑的速度是米秒 【变式】2．（2026·成都·模拟预测）下列事件中必然发生的事件是（    ） A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B．件产品中有件次品，从中任意抽取件，至少一件是正品 C．不等式的两边同时乘一个数，结果仍是不等式 D．随意翻一本书的某页，这页的页码一定是偶数 ►题型02 概率的意义与计算 【典例】1．（25-26九年级上·成都·期末）下列说法正确的是（   ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C．一个事件发生的概率可能为200% D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）积极开展中小学生劳动教育是对“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的深刻诠释．某校积极开展劳动教育课程，现提供校内劳动教育和校外劳动教育两类，其中校内劳动教育有校园手工制作、校园日常劳动，校外劳动教育有校外义务卫生活动、农田劳动、社区服务、家庭劳动．小芳从这些劳动教育中任选一种，她恰好选中校内劳动教育的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______． 【变式】2．（24-25九年级上·四川成都·期中）盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ______________． ►题型03 几何概型 【典例】1．（25-26九年级上·成都·月考）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为______． 【典例】2．（2025·四川成都·一模）如图，四边形是平行四边形，点为边上的中点，点为对角线上一点，且，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为______． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为___________． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在等边中，分别是边的三等分点，连接，随机在内取一点，则这个点恰好在阴影部分的概率为______． ►题型04 列举法（树状图与列表）求概率 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城叠翠、草堂喜雨等美景．现将分别印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城叠翠”“草堂喜雨”图案的卡片卡片除图案外都相同各1张放入不透明的甲盒中，再将与甲盒中完全一样的4张卡片放入不透明的乙盒中．小兰从甲、乙两个盒中各随机抽取1张卡片，则抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”的概率是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2026·四川成都·一模）【阅读理解】有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色． 请根据该知识完成下列各题． 【问题解决】现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）． (1)从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______； (2)从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶ 摸球的次数 摸到白球的次数m 摸到白球的频率 (1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个； (2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【变式】2．（2025·四川成都·三模）一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率． ►题型05 概率的应用（游戏公平性） 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字．他们用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；若差为负数，则小春胜；若差为正数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【变式】3．（2025·成都·二模）“五一”期间，小明一家为外出游玩目的地争执不下，小明爸爸想去崂山巨峰，而妈妈想去北九水．于是小明设计了一个游戏：有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，转动转盘两次，若第次指针指向的数字减去第次的差为正数，则去崂山巨峰，若差为负数则去北九水．若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平． ►题型06 频率估计概率 【典例】1．（2025·四川成都·二模）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 【典例】2．（24-25九年级上·成都·月考）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）一个不透明的口袋中有红球10个、黑球若干个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程1000次，发现有400次摸到红球，估计口袋中有黑球________个． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）某校课外学习小组做换球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外部相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 (1)该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01） ，由此估出红球有 个； (2)学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课.请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 命题点二 统计 ►题型01 全面调查与抽样调查 【典例】1．（2026·成都·校考一模）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．旅客上飞机前的安检 B．了解全班同学每周体育锻炼的时间 C．对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查 D．了解某批次灯泡的使用寿命情况 【典例】2．（2026·成都·模拟预测）下列调查中，最适合采用全面调查的是（   ） A．调查2026年春节联欢晚会的收视率 B．采访某晚点4小时的春运列车上乘客们的心情 C．检测国产大飞机的零部件质量情况 D．调查某批奥迪汽车的抗撞击能力 【变式】1．（2025·成都·一模）下列说法中不正确的是（    ） A．调查春运期间乘坐高铁的旅客是否携带危险物品，采用普查方式 B．了解某品牌烟花的燃放时间，采用抽样调查方式 C．了解某市中小学生睡眠时间，采用抽样调查方式 D．了解中央电视台春节联欢晚会的收视率，采用普查方式 【变式】2．（2026·成都·一模）为了解某市教育局管辖的8万名初中生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是（    ） A．随机抽取某一所初中的全体学生 B．每个县区各推荐30名学生 C．在市区几所中学的体育课上，随机抽取40名学生 D．将全市所有初中生的学籍信息输入电脑程序，在电脑中随机抽取500名学生 【变式】3．（2025·成都·三模）为了解游客在郑州、开封和洛阳这三个城市旅游的满意度，下面四种收集数据的方案最合理的是（    ） A．在郑州调查100名游客 B．在开封调查500名游客 C．在三个城市一共调查1000名游客 D．在三个城市各调查1000名游客 ►题型02 总体、个体、样本、样本容量 【典例】1．（2025·成都·二模）2000年某区有15000名学生参加高考，为调查他们的数学考试情况，评卷人抽取了800名学生的数学成绩进行统计，那么下列四个判断正确的是（   ） A．每一名学生的数学成绩是个体 B．15000名学生是总体 C．800名学生是总体的一个样本 D．上述调查是普查 【变式】1．（2025·成都·三模）为了考查库存2000只灯泡的使用寿命，从中任意抽取15只灯泡进行实验．在这个问题中，下列说法不正确的是（    ） A．总体是2000只灯泡的使用寿命 B．样本是抽取的15只灯泡 C．个体是每只灯泡的使用寿命 D．样本容量是15 【变式】2．（2025·成都·二模）某校有2000名学生，随机抽取了200名学生进行体重调查，下列说法错误的是（    ） A．总体是该校2000名学生的体重 B．个体是每名学生 C．样本是抽取的200名学生的体重 D．样本容量是200 ►题型03 统计图表1（折线、条形、扇形） 【典例】1．（2025·四川成都·中考真题）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表： 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 根据图表信息，表中a的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 【典例】2．（2023·四川成都·中考真题）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数： （3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数． 【变式】1．（2025·成都·一模）2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的折线图，若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“二等奖”对应扇形的圆心角度数为____________． 【变式】2．（2025·成都·一模）汽车的“燃油效率”是指汽车每年消耗1升汽油最多可行驶的公里数，下图描述了A，B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是__________． ①消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米；②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油： ③对于A车而言，行驶速度越快越省油；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）2025年4月5日清明时节，为深切缅怀革命先烈，云南师范大学师生代表在西南联大旧址“一二一”运动四烈士墓前举行了庄重的“清明祭英烈”活动．上午9时，全体师生代表向烈士默哀，行鞠躬礼，并列队瞻仰闻一多先生衣冠冢和四烈士墓，向烈士敬献鲜花，以寄托对革命烈士的无限哀思，表达对革命烈士的无限敬仰与怀念之情．同时，在常态化疫情防控工作形势下，西南联大博物馆（西南联大研究所）还通过云讲解、云参观、云展览、云展播、云课堂等方式立体讲好西南联大教育救国故事，传承弘扬西南联大精神．某中学组织初中全体学生发起了“2022清明网上祭英烈，云端寄哀思”的教育活动，为了了解学生对西南联大历史的了解程度，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名（抽取的各年级学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数表示，单位：分），且分为，，三个等级，分别是：优秀为等级：，合格为等级：，不合格为等级：．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩数据的众数出现在组，组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩数据的组共有个人． 七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 成绩 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 163 八年级 88 91 96 95.1 九年级 89 91.5 100 77.7 根据以上信息，解答下列问题：(1)填空： ， ， ；(2)根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩更稳定，并说明理由；(3)若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中600名学生中成绩为优秀的学生共有多少名？ ►题型04 统计图表2（频数分布表与直方图） 【典例】1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）2025年是海南自贸港封关运作、扩大开放之年，某校开展了以“海南自贸港政策知识”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩x A B C D E      (1)本次调查采用的调查方式为________（填写“抽样调查”或“普查”）； (2)本次调查一共随机抽取了________名学生的成绩，频数分布直方图中________； (3)所抽取学生成绩的中位数落在________等级； (4)这组数据用扇形统计图表示，成绩在范围内的扇形圆心角的大小为________度； (5)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有________人？ 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如表： 每周课外阅读时间x（小时）                          合计 频数 8 17 b 15 a 频率           c      1 表中组的频数b满足．下面有四个推断：①表中a的值为100；②表中c的值可以为；③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在之间；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6．所有合理推断的序号是______． 【变式】1．（2025·成都·二模）某超市随机调查了某段时间内该超市的部分顾客在收银台排队付款的等待时间（单位：分钟），并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）．若等待时间在5分钟以内为正常范围，则等待时间属于正常范围的顾客所占的百分比是_________． 【变式】2．（2026·成都 模拟预测）某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题：(1)所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． (2)请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注，辽阳青少年研究所随机调查了本市一中学名学生寒假中花零花钱的数量(钱数取整数元)，以便引导学生树立正确的消费观．根据调查数据制成了频率分布表和频率分布直方图(如图)． 分组 频数 频率 5 合计 100 (1)补全频率分布表；(2)在频率分布直方图中，长方形的面积是______；这次调查的样本容量是_____； (3)研究所认为，应对消费元以上的学生提出勤俭节约的建议．试估计应对该校名学生中约多少名学生提出这项建议． ►题型05 数据的集中趋势 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）天地英雄气，千秋尚凛然．清明时节，各地以多种形式缅怀英烈，寄托哀思，厚植家国情怀，汲取新时代奋进力量．某中学九年级举办了“牢记历史”知识竞赛，7个班的平均成绩分别为：87，87，88，87，90，88，则这组数据的众数和中位数分别为（   ） A．87，87 B．，87 C．87， D．87，88 【典例】2（2025·四川成都·中考真题）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 （1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； （2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； （3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）中国空间站已全面建成并转入应用与发展阶段，中国载人月球探测工程登月阶段任务已启动实施．为加强学生对我国航天知识的了解，某学校开展了航天知识竞赛，其中8名学生的竞赛成绩为：87，86，89，87，88，90，95，97，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．87，88．5 B．88．5，87 C．87，88 D．88，88 【变式】2．（2026成都·一模）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（    ） A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，80 【变式】3．（2025·成都·一模）某企业生产部负责人为了合理制定产品的每天生产定额，统计了20名工人某天的生产零件个数，并绘制成如图所示的折线统计图，为了让一半以上的工人能完成，定额又尽量多，那么每人每天生产定额应定为___________个．    ►题型06 数据的波动程度 【典例】1．（2026·成都·模拟预测）甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【典例】2．（2025·成都·一模）我国将每年月日设立为“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神、激发青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校为了解全体七年级学生（共，两班）对“航空航天”知识的掌握情况，现从七年级，两个班中各随机抽取名学生，统计这部分学生的测试成绩（满分分），得到部分信息如下 收集、整理数据： 班测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成组：，，，），其中这一组中的数据为：、、、、、． 班测试成绩：、 分析数据：        统计量 班级　 平均数 众数 中位数 极差 方差 班 班 根据以上信息，解决下列问题：(1)填空： ， ；(2)估计该校七年级共名学生中测试成绩达到分以上的人数；(3)请利用所学的统计知识分析，你认为，两个班中哪个班的成绩比较好？请说明理由． 【变式】1．（2025·成都·一模）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则这组数据的方差是 ______． 【变式】2．（2026·成都·模拟预测）【问题情境】数学活动课上，老师和同学们跟随食堂采购员前往河南省信阳潢川——中国中部最大的鱼苗繁殖基地（年产鱼苗超过300亿尾），参观国家级水产良种场并开展“利用鱼的重量与其长度的比值特征对鱼进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们在基地观察将要购买的黄颡鱼（黄辣丁）和鲈鱼各10条，测量这些鱼的重量（斤）与长度（米），分别计算每条鱼的重长比（即重量与长度的比值），并整理数据如图所示． 【实践探究】根据以上数据，得到以下统计量． 图示 统计量 平均数 中位数 众数 黄颡鱼的重长比 3.1 3.0 鲈鱼的重长比 4.6 4.6 【问题解决】(1)上述表格中：___________，___________． (2)若鱼的重长比的方差越小，则认为该种鱼的体型差异越小，据此推断：在黄颡鱼与鲈鱼中，体型差异较大的是___________．（填“黄颡鱼”或“鲈鱼”）；(3)食堂采购员在该基地购买了一条重1.8斤、长0.4米的鱼，试推测食堂采购员购买的这条鱼更可能是黄颡鱼还是鲈鱼，并说明理由． 突破一 概率与不等式、方程、函数综合运用 【典例】（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 【变式】2．（2025·四川成都·三模）在，，，，，，这个数中，随机选取一个数，记为，使得直线与双曲线没有交点的概率为______ ． 突破二 概率与跨学科综合 【典例】（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 【变式】1．（24-25九年级上·成都·月考）在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A．酚酞    B．氢氧化钠溶液（碱性）    C．盐酸溶液（酸性）    D．蒸馏水（中性） (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． (2)张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【变式】2．（2026·成都·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 突破三 概率与统计综合问题 【典例】（2026·成都·一模）校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 A B C D E x（单位：cm）                         整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为________． (2)下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组；Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数． (3)结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 【变式】1．．（2025·成都·校考三模）项目式学习 项目主题：探究不同介质对光折射的影响 项目背景：光的折射是自然界中常见的现象，当光从一种介质斜射入另一种介质时，其传播方向会发生偏折．不同的介质对光的折射能力不同，这可以通过折射率（α为入射角，β为折射角）来定量描述． 驱动任务：如何通过实验和数据分析，比较两种未知透明介质（A和B）的折射特性，并利用结论判断一束光的折射数据属于哪种介质？ 实践操作：某小组在实验室获取了以下数据：使用激光笔以不同入射角α照射介质A和介质B，测量对应的折射角β和γ，计算和，并对数据进行记录，从中选取10组数据绘制了如下折线统计图． 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 1.36 b 1.36 m a 1.53 c n 问题解决：请认真阅读上述信息，回答下列问题：(1)填空：________，________，________； (2)甲同学说：“从这10次实验中，与的方差大小关系为．”乙同学说：“根据实验数据可知，的估计值在1.54附近．”上面两位同学的说法中，合理的是________（填“甲”或“乙”） (3)该小组在后续研究中意外发现一组未标记介质类型的折射数据：当入射角为时，折射角为．请根据已有数据判断这组数据是通过介质A还是介质B得到的，并说明理由．（参考数据：，） 【变式】2．（2026·成都·一模）2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参加航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩 年级 七年级 2 a b 4 八年级 1 2 6 6 【描述数据】七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图 【分析数据】 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 c 87 92.13 八年级 86 87 d 79.73 根据以上信息解决下列问题：(1)补全频数分布直方图；(2)填空：_______，_______； (3)若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级； (4)七年级共有750名学生参加此次竞赛，如果成绩不低于85分可以参加第二轮比赛，请估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 1．（2025·成都·一模）下列说法正确的是（   ） A．旅客上高铁列车前的安检应选择抽样调查 B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件 C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图 D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定 2．（2025·四川成都·三模）有一组数据为3，2，4，4，2，则下列说法中错误的是（   ） A．中位数为4 B．众数为2和4 C．平均数为3 D．方差为0.8 3．（2025·四川成都·二模）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（   ）个 A．12 B．16 C．18 D．20 4．（2026·成都·模拟预测）某文具店推出三种笔记本：“车缝本”（5元）、“胶套本”（6元）和“活页本”（7元）．根据某月销售统计，三种笔记本的销量占比分别为：车缝本占、胶套本占、活页本占．则该月笔记本的平均售价为（    ） A．5.6元 B．5.7元 C．5.8元 D．5.9元 5．（2026·成都·一模）化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略） ①② ③④ 小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（） A． B． C． D． 6．（2025·成都·三模）小贤是一名观鸟爱好者，他想用折线统计图反映每年到都阳湖湿地公园过冬的东方白鹤的数量变化情况，以下是他打乱顺序的统计步骤： ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势； ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ④整理每年到公园过冬的东方白鹅的数量，并制成统计表。 正确的统计步骤的顺序应是________． 7．（2025·成都·模拟预测）某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对3000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度（单位：），则估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好（树苗中高度不低于）的有________棵． 8．（2025·成都·模拟预测）如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并连续停留天．则此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率是______． 9．（2024·四川成都·二模）现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为______． 10．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）小洛和他的伙伴们设计了一个摸球试验：将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋，每次搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．在老师的帮助下，小洛和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 2000 4000 6000 7000 8000 9000 10000 摸到黑球的次数 478 1027 1460 1728 2017 2234 2509 摸到黑球的频率 0.239 0.257 0.243 0.247 0.252 0.248 0.251 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是_____；(保留两位小数) (2)估算袋中白球的个数；(3)按照（2）的估算结果，若小洛同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 11.（2025·江苏淮安·中考真题）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题：(1)填空： ， ， ； (2)请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 12.（2025·成都·模拟预测）年是中国共产主义青年团建团周年，为迎接党的二十大胜利召开，进一步传承五四精神．某中学组织了一面向全校的党团知识竞赛，有名学生参加的书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了份答卷进行分析统计，发现测试结果（分）的最低分为分，最高分为满分分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题： 分数段（分） 频数 频率 (1)填空：______，______，______，并将频数分布直方图补充完整； (2)校团委打算让全校位于分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排个座位，则估计需要安排多少个补测的考室？（列式说明） (3)校团委计划对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为，请你估算全校获得二等奖的学生人数． 1．（2025·成都·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字 (1)小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是 ；(2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；若差为负数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 2．（2026·成都·一模）近年来，学生体质健康情况受到广泛关注．国际上常用握力体重指数（，缩写）来综合评价上肢肌肉力量与身体协调性，该指数不仅是体质健康评估的核心项目之一，更被多项权威研究证实与心血管健康和寿命密切相关．握力体重指数计算公式是，例如：某人握力为35公斤，体重为50公斤，则他的．《国家学生体质健康标准》．对初中男生的参考标准为：为优秀；为良好；为及格；为不及格． 某中学为了解九年级男生的握力体重指数（）情况，从该校九年级男生中随机抽取了21名男生进行测试，通过计算得到他们的，并绘制了不完整的条形统计图． 根据以上信息回答下列问题：(1)补全条形统计图； (2)这21名男生的中位数属于______水平；（填序号） ①优秀；    ②良好；    ③及格；    ④不及格． (3)基于上述统计结果，学校建议小于60的男生进行针对性训练．学生小刚体重为70公斤，为48．接下来他需要通过科学训练，使得能达到“良好”水平，那么小刚的握力至少需要增加______公斤．（假设体重保持不变） 3．（2026·成都·模拟预测）从“河南制造”向“河南智造”跨越，到“智能红利”惠及千万百姓，河南正迎来发展人工智能（）的重要机遇．河南某教育集团举办技术比赛．为了解各校区参赛效果，随机从甲乙两个校区各抽取35名学生参加比赛，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，数据（成绩）分成五组： ，，，，． 下面给出了部分信息：（任何一组的数据都不是完全相同） 信息一：甲校区成绩的频数分布直方图，如图所示； 信息二：甲校区成绩在的数据如下： （单位：分）88，85，88，92，88，88，90，88，88，86，88，88，91； 信息三：甲乙两个校区各抽取的35名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 校区 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 82.6 m n 125.32 乙 82.6 89 88 78.56 根据以上信息，回答下列问题：(1)表中_______，________；(2)补全频数分布直方图； (3)比赛成绩85分及以上记为优秀，甲校区有315名学生参加比赛，请估计甲校区成绩优秀学生的总人数； (4)综合以上信息，分析甲乙两个校区哪个校区技术掌握得更好？ 4．（2026·成都·一模）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 (1)小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） 由上表填空：_________，_________； (4)【判断决策】结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 1．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·中考真题）已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 4．（2025·四川甘孜州·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为______． 5．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：(1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题：(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 7．（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题：(1)补全条形图；(2)表中的 ， ， ； (3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 8．（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）． (1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果． ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”） ②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势． (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图． ①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号） ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题：(1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；(2)补全频数分布直方图；(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 概率与统计 第01讲 概率与统计 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 概率 题型01 事件的分类 题型02 概率的意义与计算 题型03 几何概型 题型04 列举法（树状图与列表）求概率 题型05 概率的应用（游戏公平性） 题型06 频率估计概率 命题点二 统计 题型01 全面调查与抽样调查 题型02 总体、个体、样本、样本容量 题型03 统计图表1（折线、条形、扇形） 题型04 统计图表2（频数分布表与直方图） 题型05 数据的集中趋势 题型06 数据的波动程度 05·重难突破·思维进阶难 41 突破一 概率与不等式、方程、函数综合运用 突破二 概率与跨学科综合 突破三 概率与统计综合问题 06·优题精选·练能提分 50 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 概率 成都卷 T20 （概率） 成都卷T12 （概率的应用） 成都卷T6 （概率） 了解事件的分类；能运用概率公式求已知事件的概率（包含几何概型）；能用列表或树状图求事件的概率；能用频率估计概率。 统计 成都卷 T5 （统计图表） 成都卷T15 （数据分析） 成都卷T5 （中位数） 成都卷T15 （统计图表、样本估计总体） 成都卷T4 （中位数） 成都卷T15 （统计图表、样本估计总体） 体会抽样的必要性，能通过实例认识简单随机抽样；掌握基本的统计图表（扇形、条形、折线、频数分布表和直方图），能从中读取相关信息；理解平均数。中位数。众数、方差、极差、标准差的意义，能进行相关运算；能根据结果作出简单的判断和预测。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查统计图表、数据分析、概率、频率，分值在12分左右。近三年概率和数据的集中趋势基本都出现在选填题中，解答题主要考查统计图表（扇形统计图、条形统计图、频数分布表或直方图等）获取信息和数据分析（算术平均数和加权平均数）等；本专题内容因整体难度较低，属于成都中考必拿分点，审题时要多加注意即可。 考点一 概率 1）事件的分类 定义 事件发生的概率 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 P(必然事件)=1 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 P(不可能事件)=0 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 0＜P(随机事件)＜1 2）概率的定义及计算公式 概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。 3）利用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率。 方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率． 4）概率的计算方法： （1）概率公式： P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数。 （2）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率。 （3）树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率。 5）概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策。 1．（2025·四川成都·模拟预测）成都市境内有诸多风景名胜，青城山、都江堰、西岭雪山、洛带古镇、武侯祠就是其中5处景点，将这5处景点制作成卡片（除汉字外其他都相同），随机从中抽取1张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：随机从中抽取1张卡片有5种等可能结果，其中抽到含“山”字卡片的有2种结果， 所以抽到含“山”字卡片的概率为，故选：C 2．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】B 【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意； 、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意； 、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下， 一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种， 所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意；故选：． 3．（25-26九年级上·成都·期中）一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到蓝球的频率稳定在，则估计口袋中蓝球的个数为（   ） A．18个 B．16个 C．6个 D．4个 【答案】C 【详解】解：设蓝球个数为，则总球数为， ∵摸到蓝球的概率为，∴，解得：， 经检验，是原方程的解，∴蓝球个数为6个．故选：C． 4．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵是的中位线，∴，，∴， 同理，∴， 同理，∴， ∴，同理，， ∴飞镖命中阴影区域的概率为．故答案为：． 5．（2026·四川成都·一模）从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为______． 【答案】 【详解】解：使得关于x的一元二次方程有实数解，即， 解得，也就是取出的两个数的积不大于9即可，用列表法表示所有可能出现的结果如下： / 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 共有16种等可能出现的结果，其中两个数的积不大于9的有6种， ∴使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为，故答案为：． 考点二 统计 1.数据的收集、整理与描述 1）全面调查与抽样调查 （1）全面调查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做全面调查。 （2）抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调查叫做抽样调查。 2）调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查时，往往采用抽样调查。 3）抽样调查样本的选取：1）抽样调查的样本要有代表性；2）抽样调查的样本数目要足够大。 4）总体、个体、样本及样本容量 总体：所要考察对象的全体叫做总体； 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体； 样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本；样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。 2.常见统计图（表） 1）条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形。 特点：（1）能够显示每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别。 2）折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形。 特点：易于显示数据的变化趋势。 3）扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图。 百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的比；扇形的圆心角=360°×百分比。 4）频数分布直方图 1）每个对象出现的次数叫频数；2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度。 3）频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况。 4）频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图。 3.数据分析 1）平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。 2）加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权。 3）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 4）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 5）方差：在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即 。 6）极差：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差。 7）标准差：方差的算术平方根,即。 1．（2026·成都·一模）为研究山西某地的气象变化情况，小宣将2月和3月的第一周中每天的最高气温整理成两组数据制作成如下所示的折线统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A．2月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定 B．3月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定 C．2月份的第一周平均日最高气温更高，但3月份的第一周日最高气温更稳定 D．3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定 【答案】D 【详解】解：观察统计图可知，3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定． 2．（2026·成都·模拟预测）根据某次安全知识竞赛成绩，笑笑绘制了所有参赛学生成绩的统计图如图所示，则本次安全知识竞赛成绩的优秀率是____________． 【答案】 【详解】解：由条形统计图可知本次参赛学生一共有（人）， 其中成绩合格的学生有400人，成绩优秀的学生人数为（人）， ∴本次安全知识竞赛成绩的优秀率为：． 3．（2025·四川成都·二模）某校开设校园足球特色课程，拟为足球队成员准备球鞋，对15名成员的鞋码进行了调查，结果如图所示.则这15名成员鞋码的众数和中位数分别是(   ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：数据出现了次，出现次数最多，故众数为； 按大小排列第个数是，所以中位数是．故选：． 4．（2026·四川成都·二模）甲、乙、丙、丁四个旅行团的游客人数都相等，每个团游客的平均年龄都是32岁，年龄的方差分别是，，，，导游小明喜欢带游客间年龄相近的团队，在这四个团中，则他应选（    ）    A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 【答案】C 【详解】解：方差越大则数据的离中程度就越大，故方差越小离中程度就越小，数据越稳定， ∵，∴他应选丙团，故选：C. 5．（2025·四川成都·模拟预测）为建设“书香校园”，某班开展了捐书活动，学生捐书情况统计如下： 捐书数量（本） 人数（人） 对于不同的，下列关于捐书数量的统计量中不会发生改变的是（    ） A．平均数，中位数 B．众数，中位数 C．平均数，方差 D．众数，方差 【答案】B 【详解】解：由表可得，捐书人数为人， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第和第个数的平均数， ∵，∴不管取何值，中位数都为， ∵，∴，∴对于不同的，众数都为， ∵，∴对于不同的，平均数也不同， ∵平均数会发生改变，∴方差也会发生改变，∴统计量中不会发生改变的是众数，中位数，故选：． 6．（2025·四川成都·模拟预测）某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了名学生进行测试百分制，测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，）． 七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，， 八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出上述图表中，，的值；(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由．(3)该校七、八年级共人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】(1)，，(2)八年级掌握得更好，理由见解析(3)人 【详解】（1）解：八年级测试成绩在组人数所占百分比为， ，即， 八年级测试成绩在、组人数为人， 八年级测试成绩的中位数为第、个数据的平均数，即． 七年级的10个数据中出现次数最多的是，故； （2）八年级掌握得更好．因为七八年级的平均数、中位数相同，而八年级的众数比七年级高，说明八年级高分的同学更多；八年级方差比七年级小，说明八年级两极分化差距小． （3）由题意得：七年级成绩大于或等于分的有人，八年级成绩大于或等于分的有人． （人）． 答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为人． 命题点一 概率 ►题型01 事件的分类 【典例】1．（2026·成都·模拟预测）“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（   ） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 【答案】B 【详解】解：“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是随机事件． 【典例】2．（2026·成都·模拟预测）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过路口，恰好遇到绿灯 B．从只有红球的袋子中摸出白球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上 【答案】B 【详解】解：A．经过路口恰好遇到绿灯是可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； B．袋子只有红球，一定无法摸出白球，该事件一定不发生，属于不可能事件，符合要求； C．任意圆都是轴对称图形，该事件一定发生，属于必然事件，不符合要求； D．抛硬币落地后正面朝上是可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求． 【变式】1．（2025·成都·一模）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．从地面向上抛的硬币会落下 B．射击运动员射击一次，命中环 C．太阳从东边升起 D．有一匹马奔跑的速度是米秒 【答案】B 【详解】解：A 、从地面向上抛的硬币会落下，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； B 、射击运动员射击一次，可能命中环，也可能不命中环，是否发生无法预先确定，属于随机事件，符合题意； C 、太阳从东边升起，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； D 、马奔跑的速度不可能达到米/秒，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合题意； 故选：B. 【变式】2．（2026·成都·模拟预测）下列事件中必然发生的事件是（    ） A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B．件产品中有件次品，从中任意抽取件，至少一件是正品 C．不等式的两边同时乘一个数，结果仍是不等式 D．随意翻一本书的某页，这页的页码一定是偶数 【答案】B 【详解】解：∵平移变换不改变图形的形状和大小，平移后图形与原图形全等，∴A选项是不可能事件． ∵100件产品中仅有4件次品，从中抽取5件，最多抽到4件次品，至少有1件是正品∴B选项是必然事件 ∵当不等式两边同时乘以非零数时，结果仍为不等式，当乘以0时，结果为等式，事件的结果不唯一， ∴C选项是随机事件．∵书的页码可能是奇数，也可能是偶数，∴D选项是随机事件．故选：B． ►题型02 概率的意义与计算 【典例】1．（25-26九年级上·成都·期末）下列说法正确的是（   ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C．一个事件发生的概率可能为200% D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【答案】A 【详解】解：∵ 概率表示事件发生的可能性，降水概率即指明天下雨的可能性是，∴ A正确； ∵ 硬币抛掷是随机事件，出现反面的概率为，但实际次数不一定为50次，∴ B错误； ∵ 概率的取值范围是到，不可能为，∴ C错误； ∵ 彩票中奖是独立事件，中奖概率并不保证买100张一定中奖，∴ D错误．故选：A． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）积极开展中小学生劳动教育是对“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的深刻诠释．某校积极开展劳动教育课程，现提供校内劳动教育和校外劳动教育两类，其中校内劳动教育有校园手工制作、校园日常劳动，校外劳动教育有校外义务卫生活动、农田劳动、社区服务、家庭劳动．小芳从这些劳动教育中任选一种，她恰好选中校内劳动教育的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵总劳动教育种类数为6种，校内劳动教育有2种， ∴小芳从这些劳动教育中任选一种，她恰好选中校内劳动教育的概率是．故选：B． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______． 【答案】 【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“中庸”书签的结果有1种， ∴抽到“中庸”书签的概率为，故答案为：． 【变式】2．（24-25九年级上·四川成都·期中）盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ______________． 【答案】/ 【详解】解：由题意得：，整理得：，∴，故答案为：． ►题型03 几何概型 【典例】1．（25-26九年级上·成都·月考）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为______． 【答案】 【详解】解：设，则，，， ，    ，解得：或舍去，，， ，，这个点落在阴影部分的概率为，故答案为： 【典例】2．（2025·四川成都·一模）如图，四边形是平行四边形，点为边上的中点，点为对角线上一点，且，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作于点，过点作于点，则，∵四边形是平行四边形，∴，， 在中，点是中点，∴，∴， ∵，∴设，则，∴， ∴，∴，∵，∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为，故答案为： ． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为___________． 【答案】 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形，∴，∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：．故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在等边中，分别是边的三等分点，连接，随机在内取一点，则这个点恰好在阴影部分的概率为______． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， 又∵。∴，∴，∴， 同理：，，∴， ∴由几何概率模型可知这个点恰好在阴影部分的概率为，故答案为：． ►题型04 列举法（树状图与列表）求概率 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城叠翠、草堂喜雨等美景．现将分别印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城叠翠”“草堂喜雨”图案的卡片卡片除图案外都相同各1张放入不透明的甲盒中，再将与甲盒中完全一样的4张卡片放入不透明的乙盒中．小兰从甲、乙两个盒中各随机抽取1张卡片，则抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城叠翠”“草堂喜雨”图案的卡片分别为A、B、C、D， 画树状图如图：    由图知，一共有16种等可能的结果，其中抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”有2种， ∴抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”的概率为，故选：A． 【典例】2．（2026·四川成都·一模）【阅读理解】有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色． 请根据该知识完成下列各题． 【问题解决】现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）． (1)从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______； (2)从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵四个瓶子中随机选取一瓶，紫色石蕊溶液只有A， ∴紫色石蕊溶液的概率是：； （2）解：∵分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由表可知，共有12种等可能出现的结果， ∵只有，混合时，紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，∴混合后变红的概率为. 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶ 摸球的次数 摸到白球的次数m 摸到白球的频率 (1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个； (2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)1，3(2) 【详解】（1）解：随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，而小球总数为4，∴口袋中白球的个数：个， 所以口袋中黑球的个数：个．故答案为：1，3； （2）解：画树状图，得： 共有种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 【变式】2．（2025·四川成都·三模）一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率． 【答案】 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，摸出的两个小球上的数字之和为偶数的有5种情况， ∴摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率为． ►题型05 概率的应用（游戏公平性） 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字．他们用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；若差为负数，则小春胜；若差为正数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】这个游戏对双方不公平，理由见解析 【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下：根据题意列表如下： 1 2 4 5 3 1 2 4 0 1 4 0 1 由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果， 则小春胜的概率是，小明胜的概率为，，这个游戏对双方不公平． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【答案】(1)(2)不公平 【详解】（1）解：员工小王抽到去地车票的概率为，故答案为：． （2）解：不公平，画树状图如下： 由此可知，共有16种等可能结果． 其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：，，，，，． 所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为． 则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为，，不公平． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】(1)(2)不公平，理由见解析 【详解】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是．故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵，∴这个游戏规则对两人不公平． 【变式】3．（2025·成都·二模）“五一”期间，小明一家为外出游玩目的地争执不下，小明爸爸想去崂山巨峰，而妈妈想去北九水．于是小明设计了一个游戏：有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，转动转盘两次，若第次指针指向的数字减去第次的差为正数，则去崂山巨峰，若差为负数则去北九水．若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】这个游戏对双方是公平的，理由见解析 【详解】解：这个游戏对双方是公平的，理由如下：列表如下： 第2次    第1次 由表知，共有种等可能结果，其中差为正数的有种结果，差为负数的有种结果， 所以去崂山巨峰的概率去北九水的概率，则这个游戏对双方是公平的． ►题型06 频率估计概率 【典例】1．（2025·四川成都·二模）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 【答案】B 【详解】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右， 设口袋中红球有个，由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即， 解得：，所以口袋中红球的个数最可能是个，故选：B． 【典例】2．（24-25九年级上·成都·月考）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，该点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．长方形的长为，宽为，则长方形的面积为：， 不规则图案的面积大约为．故选：B． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）一个不透明的口袋中有红球10个、黑球若干个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程1000次，发现有400次摸到红球，估计口袋中有黑球________个． 【答案】 【详解】解：设这个口袋中黑球的数量为个， 解得：经检验是原方程的解，故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）某校课外学习小组做换球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外部相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 (1)该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01） ，由此估出红球有 个； (2)学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课.请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 【答案】(1)；(2) （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由表格可知，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在附近摆动，这个常数是． 设红球有个，，解得，经检验，是原方程的解且符合题意， 估出红球有个．故答案为：；． （2）解：根据题意列表如下： 白 白 红 白 （白，白） （白，白） （白，红） 白 （白，白） （白，白） （白，红） 红 （红，白） （红，白） （红，红） 共有种等可能的结果，其中两次都是白球的结果有种，∴小明上烹饪课的概率为． 命题点二 统计 ►题型01 全面调查与抽样调查 【典例】1．（2026·成都·校考一模）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．旅客上飞机前的安检 B．了解全班同学每周体育锻炼的时间 C．对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查 D．了解某批次灯泡的使用寿命情况 【答案】D 【详解】解：∵旅客上飞机前的安检事关安全，必须逐一检查，适合普查，排除A； ∵了解全班同学每周体育锻炼时间，调查范围小，适合普查，排除B； ∵运载火箭零部件检查事关发射安全，必须逐一检查，适合普查，排除C； ∵测试灯泡使用寿命具有破坏性，无法对整批次每一个灯泡都测试，因此最适合采用抽样调查． 【典例】2．（2026·成都·模拟预测）下列调查中，最适合采用全面调查的是（   ） A．调查2026年春节联欢晚会的收视率 B．采访某晚点4小时的春运列车上乘客们的心情 C．检测国产大飞机的零部件质量情况 D．调查某批奥迪汽车的抗撞击能力 【答案】C 【详解】解：根据全面调查结果准确，但工作量大，抽样调查适合工作量大，或具有破坏性，不需要极高精度的调查.∵A中调查春晚收视率，范围广，工作量大，适合抽样调查，∴A不符合要求. ∵B中采访晚点列车乘客心情，不需要全面调查，抽样即可满足需求，∴B不符合要求. ∵C中检测大飞机零部件质量，对精度要求极高，每个零部件都必须检查合格，适合全面调查， ∴C符合要求. ∵D中检测汽车抗撞击能力属于破坏性试验，不能对每辆汽车都检测，适合抽样调查，∴D不符合要求. 【变式】1．（2025·成都·一模）下列说法中不正确的是（    ） A．调查春运期间乘坐高铁的旅客是否携带危险物品，采用普查方式 B．了解某品牌烟花的燃放时间，采用抽样调查方式 C．了解某市中小学生睡眠时间，采用抽样调查方式 D．了解中央电视台春节联欢晚会的收视率，采用普查方式 【答案】D 【详解】解：A、调查春运期间乘坐高铁的旅客是否携带危险物品，应采用普查方式，该选项正确，不符合题意；B、了解某品牌烟花的燃放时间，应采用抽样调查方式，该选项正确，不符合题意； C、了解某市中小学生睡眠时间，应采用抽样调查方式，该选项正确，不符合题意； D、了解中央电视台春节联欢晚会的收视率，应采用抽样调查方式，该选项错误，符合题意．故选D． 【变式】2．（2026·成都·一模）为了解某市教育局管辖的8万名初中生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是（    ） A．随机抽取某一所初中的全体学生 B．每个县区各推荐30名学生 C．在市区几所中学的体育课上，随机抽取40名学生 D．将全市所有初中生的学籍信息输入电脑程序，在电脑中随机抽取500名学生 【答案】D 【详解】解：A选项只抽取某一所初中的学生，样本范围过于局限，无法代表全市初中生的情况，不合适． B选项采用推荐方式选取样本，不具有随机性，无法保证样本代表性，不合适． C选项只在市区中学抽取样本，忽略了非市区学校的学生，样本不全面，不合适． D选项利用全市学生学籍信息随机抽取样本，每个学生都有被抽到的机会，样本具有代表性和广泛性，因此最合适． 【变式】3．（2025·成都·三模）为了解游客在郑州、开封和洛阳这三个城市旅游的满意度，下面四种收集数据的方案最合理的是（    ） A．在郑州调查100名游客 B．在开封调查500名游客 C．在三个城市一共调查1000名游客 D．在三个城市各调查1000名游客 【答案】D 【分析】本题考查数据收集方案的合理性，需考虑样本的代表性和全面性． 【详解】解：要比较三个城市的游客满意度，样本需覆盖所有城市且分配合理． 选项A：仅在郑州调查，无法反映开封、洛阳的情况，样本缺乏代表性． 选项B：仅在开封调查，样本量虽大但未涵盖其他城市，同样不具全面性． 选项C：三个城市共调查1000人，但未明确是否均匀分配．若分配不均（如某城市样本过少），可能导致结果偏差． 选项D：在三个城市各调查1000人，确保每个城市样本量充足且均匀，数据代表性最强，结果更可靠． 故选：D ►题型02 总体、个体、样本、样本容量 【典例】1．（2025·成都·二模）2000年某区有15000名学生参加高考，为调查他们的数学考试情况，评卷人抽取了800名学生的数学成绩进行统计，那么下列四个判断正确的是（   ） A．每一名学生的数学成绩是个体 B．15000名学生是总体 C．800名学生是总体的一个样本 D．上述调查是普查 【答案】A 【详解】解：个体是某区每个学生的数学考试成绩，故A正确； 总体是15000名学生的数学成绩，故B错误；样本是抽取的800名学生的数学成绩，故C错误； 从总体中抽取部分对象进行的调查叫做抽样调查，故上述调查是抽样调查，故D错误；故选：A． 【变式】1．（2025·成都·三模）为了考查库存2000只灯泡的使用寿命，从中任意抽取15只灯泡进行实验．在这个问题中，下列说法不正确的是（    ） A．总体是2000只灯泡的使用寿命 B．样本是抽取的15只灯泡 C．个体是每只灯泡的使用寿命 D．样本容量是15 【答案】B 【详解】解：A．这2000只灯泡的使用寿命是总体，故本选项不符合题意； B．抽取的15只灯泡的使用寿命是样本，故本选项符合题意； C．每个灯泡的使用寿命是个体，故本选项不符合题意； D．样本容量是15，故本选项不符合题意．故选：B． 【变式】2．（2025·成都·二模）某校有2000名学生，随机抽取了200名学生进行体重调查，下列说法错误的是（    ） A．总体是该校2000名学生的体重 B．个体是每名学生 C．样本是抽取的200名学生的体重 D．样本容量是200 【答案】B 【详解】解：总体：研究对象的全体，即该校2000名学生的体重，故选项A正确． 个体：总体中的每一个研究对象，即每一名学生的体重．选项B将个体描述为“每名学生”，忽略了“体重”这一具体属性，因此错误． 样本：从总体中抽取的部分研究对象，即抽取的200名学生的体重，故选项C正确． 样本容量：样本中包含的个体数量，即200，故选项D正确．故选：B． ►题型03 统计图表1（折线、条形、扇形） 【典例】1．（2025·四川成都·中考真题）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表： 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 根据图表信息，表中a的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【详解】解：；故选B． 【典例】2．（2023·四川成都·中考真题）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数： （3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数． 【答案】（1），图见解析； （2）； （3）人； 【解析】（1）解：依题意，本次调查的师生共有人， ∴“文明宣传”的人数为（人） 补全统计图，如图所示， 故答案为：． （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为， （3）估计参加“文明宣传”项目的师生人数为（人）． 【变式】1．（2025·成都·一模）2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的折线图，若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“二等奖”对应扇形的圆心角度数为____________． 【答案】/108度 【详解】解：由折线图知 “二等奖”对应扇形的圆心角度数为．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·一模）汽车的“燃油效率”是指汽车每年消耗1升汽油最多可行驶的公里数，下图描述了A，B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是__________． ①消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米；②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油： ③对于A车而言，行驶速度越快越省油；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油． 【答案】②④ 【详解】解：①由图象可知，当A车速度超过40千米时，燃油效率大于，所以当速度超过40千米时，消耗1升汽油，A车行驶距离大于5千米，故此项错误； ②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，路程为40千米，，最多消耗4升汽油，此项正确；③对于A车而言，行驶速度在时，越快越省油，故此项错误； ④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车燃油效率更高，所以更省油，故此项正确．故②④合理，故答案为：②④． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）2025年4月5日清明时节，为深切缅怀革命先烈，云南师范大学师生代表在西南联大旧址“一二一”运动四烈士墓前举行了庄重的“清明祭英烈”活动．上午9时，全体师生代表向烈士默哀，行鞠躬礼，并列队瞻仰闻一多先生衣冠冢和四烈士墓，向烈士敬献鲜花，以寄托对革命烈士的无限哀思，表达对革命烈士的无限敬仰与怀念之情．同时，在常态化疫情防控工作形势下，西南联大博物馆（西南联大研究所）还通过云讲解、云参观、云展览、云展播、云课堂等方式立体讲好西南联大教育救国故事，传承弘扬西南联大精神．某中学组织初中全体学生发起了“2022清明网上祭英烈，云端寄哀思”的教育活动，为了了解学生对西南联大历史的了解程度，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名（抽取的各年级学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数表示，单位：分），且分为，，三个等级，分别是：优秀为等级：，合格为等级：，不合格为等级：．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩数据的众数出现在组，组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩数据的组共有个人． 七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 成绩 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 163 八年级 88 91 96 95.1 九年级 89 91.5 100 77.7 根据以上信息，解答下列问题：(1)填空： ， ， ；(2)根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩更稳定，并说明理由；(3)若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中600名学生中成绩为优秀的学生共有多少名？ 【答案】(1)14；86；95(2)九年级，理由见解析(3)390名 【详解】（1）解：由题意可知，； 七年级学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数是85、87，故中位数，众数； （2）解：九年级学生的测试成绩更稳定，理由如下： ①九年级测试成绩的平均数、中位数和众数均大于七、八年级 ②九年级测试成绩的方差小于七、八年级； （3）解：（名， 答：估计该校初中600名学生中成绩为优秀的学生共有390名． ►题型04 统计图表2（频数分布表与直方图） 【典例】1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）2025年是海南自贸港封关运作、扩大开放之年，某校开展了以“海南自贸港政策知识”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩x A B C D E      (1)本次调查采用的调查方式为________（填写“抽样调查”或“普查”）； (2)本次调查一共随机抽取了________名学生的成绩，频数分布直方图中________； (3)所抽取学生成绩的中位数落在________等级； (4)这组数据用扇形统计图表示，成绩在范围内的扇形圆心角的大小为________度； (5)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有________人？ 【答案】(1)抽样调查(2)200，16(3)C(4)126(5)940人 【详解】（1）∵竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计， ∴本次调查采用的调查方式为抽样调查．故答案为：抽样调查； （2）解：（人），（人），故答案为：200，16； （3）人，人， ∴从小到大排列后第100和101位的成绩在C等级．故答案为：C； （4）解：，故答案为：126； （5）解：（人），答：学校初中部2000名学生中成绩优秀的大约有940人． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如表： 每周课外阅读时间x（小时）                          合计 频数 8 17 b 15 a 频率           c      1 表中组的频数b满足．下面有四个推断：①表中a的值为100；②表中c的值可以为；③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在之间；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6．所有合理推断的序号是______． 【答案】①② 【详解】解：①．故表中a的值为100，是合理推断； ②，，，， 故表中c的值为，表中c的值可以为，是合理推断； ③∵表中组的频数b满足．∴，， ∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在之间，也可能在之间，故此推断不是合理推断； ④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断．故答案为：①②． 【变式】1．（2025·成都·二模）某超市随机调查了某段时间内该超市的部分顾客在收银台排队付款的等待时间（单位：分钟），并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）．若等待时间在5分钟以内为正常范围，则等待时间属于正常范围的顾客所占的百分比是_________． 【答案】 【详解】解：调查的顾客总人数（人）， 等待时间属于正常范围的顾客所占的百分比是．故答案为：． 【变式】2．（2026·成都 模拟预测）某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题：(1)所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． (2)请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 【答案】(1)83(2)720人 【详解】（1）解：由题意得，中位数为第25，26个数据的平均数， 由条形统计图可得第25，26个数据在组，而， ∴第25，26个数据为，，∴中位数为，故答案为：； （2）解：（人）， 答：全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数为720人． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注，辽阳青少年研究所随机调查了本市一中学名学生寒假中花零花钱的数量(钱数取整数元)，以便引导学生树立正确的消费观．根据调查数据制成了频率分布表和频率分布直方图(如图)． 分组 频数 频率 5 合计 100 (1)补全频率分布表；(2)在频率分布直方图中，长方形的面积是______；这次调查的样本容量是_____； (3)研究所认为，应对消费元以上的学生提出勤俭节约的建议．试估计应对该校名学生中约多少名学生提出这项建议． 【答案】(1)，，，，，1；(2)；；(3)名 【详解】（1）解：∵样本容量为，∴组的频数为； 观察各组组距为，可知后对应的分组上限为，即第二组分组为； 组的频数为，频率为； 根据前一组，可知第四组分组为；频率合计为1．补全频率分布表如下： 分组 频数 频率 ～ ～ ～ ～ 5 合计 1 （2）解：在频率分布直方图中，长方形的面积等于对应组的频率，长方形对应组，其频率为，∴长方形的面积是； 由题意“随机调查了本市一中学名学生”可知，这次调查的样本容量是． （3）解：消费元以上的学生对应，和三组， 这三组的频率之和为， ∴该校名学生中需要提出建议的人数约为(名)． 答：估计应对该校名学生中约名学生提出这项建议． ►题型05 数据的集中趋势 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）天地英雄气，千秋尚凛然．清明时节，各地以多种形式缅怀英烈，寄托哀思，厚植家国情怀，汲取新时代奋进力量．某中学九年级举办了“牢记历史”知识竞赛，7个班的平均成绩分别为：87，87，88，87，90，88，则这组数据的众数和中位数分别为（   ） A．87，87 B．，87 C．87， D．87，88 【答案】D 【详解】解：将87，87，88，87，90，88，91按照从小到大排列是：87，87，87，88，88，90，91， ∴这组数据的众数为87，中位数为88，故选：D． 【典例】2（2025·四川成都·中考真题）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 （1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； （2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； （3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】（1）10分 （2），，平台A的服务态度更好；（3）该公司会选择平台B 【解析】（1）解：分，即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分；故答案为：10 （2）解：， ， ∵，∴平台A的服务态度更好； （3）解：平台A的得分分， 平台B的得分分， ∵，∴该公司会选择平台B． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）中国空间站已全面建成并转入应用与发展阶段，中国载人月球探测工程登月阶段任务已启动实施．为加强学生对我国航天知识的了解，某学校开展了航天知识竞赛，其中8名学生的竞赛成绩为：87，86，89，87，88，90，95，97，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．87，88．5 B．88．5，87 C．87，88 D．88，88 【答案】A 【详解】∵数据为87，86，89，87，88，90，95，97，∴排序后为86，87，87，88，89，90，95，97． ∵87出现2次，其他数据均出现1次，∴众数为87． ∵数据共8个，中位数为第4和第5个数的平均数，即88和89，∴中位数为．故选：A． 【变式】2．（2026成都·一模）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（    ） A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，80 【答案】C 【详解】解：∵5名同学的平均成绩为80分，∴5名同学的总成绩为分， ∴丙的成绩为分，此时5名同学的成绩为：76，80，80，81，83， ∵80出现次数最多，∴众数为80，∴被遮盖的两个数据依次是80，80． 【变式】3．（2025·成都·一模）某企业生产部负责人为了合理制定产品的每天生产定额，统计了20名工人某天的生产零件个数，并绘制成如图所示的折线统计图，为了让一半以上的工人能完成，定额又尽量多，那么每人每天生产定额应定为___________个．    【答案】 【详解】解：由折线图得，第10，11个数据个，个，∴中位数为， 而完成个（含个）以上的人数有（个） ∴每人每天生产定额应定为54个．因为这个数值，一半以上的工人能完成．故答案为：54． ►题型06 数据的波动程度 【典例】1．（2026·成都·模拟预测）甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，所以．故选：C． 【典例】2．（2025·成都·一模）我国将每年月日设立为“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神、激发青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校为了解全体七年级学生（共，两班）对“航空航天”知识的掌握情况，现从七年级，两个班中各随机抽取名学生，统计这部分学生的测试成绩（满分分），得到部分信息如下 收集、整理数据： 班测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成组：，，，），其中这一组中的数据为：、、、、、． 班测试成绩：、 分析数据：        统计量 班级　 平均数 众数 中位数 极差 方差 班 班 根据以上信息，解决下列问题：(1)填空： ， ；(2)估计该校七年级共名学生中测试成绩达到分以上的人数；(3)请利用所学的统计知识分析，你认为，两个班中哪个班的成绩比较好？请说明理由． 【答案】(1)，；(2)；(3)班成绩较好，理由见解析． 【详解】（1）解：班共抽查了名学生， 在范围内有名学生，在范围内有名学生，在范围内有学生， 这三组共名学生，第三组学生的成绩按照从小到大排列为、、、、、， 其中第名和第名学生的成绩应为和，班学生成绩的中位数是； 班学生的成绩出现次数最多的是分，班学生成绩的众数是；故答案为：，； （2）解：两个班共抽取了名学生，成绩达到分以上的有人，占抽查人数的， 估计该校七年级共名学生中测试成绩达到分以上的人数有人； （3）解：班成绩较好，理由如下：、两个班平均分相等，班的众数、中位数高于班， 班的极差和方差小于班，说明班成绩的波动较小，班的成绩比较好． 【变式】1．（2025·成都·一模）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则这组数据的方差是 ______． 【答案】1 【详解】解：首先计算这组数据的算术平均数：， 根据方差公式，代入数据得：．故答案为：1． 【变式】2．（2026·成都·模拟预测）【问题情境】数学活动课上，老师和同学们跟随食堂采购员前往河南省信阳潢川——中国中部最大的鱼苗繁殖基地（年产鱼苗超过300亿尾），参观国家级水产良种场并开展“利用鱼的重量与其长度的比值特征对鱼进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们在基地观察将要购买的黄颡鱼（黄辣丁）和鲈鱼各10条，测量这些鱼的重量（斤）与长度（米），分别计算每条鱼的重长比（即重量与长度的比值），并整理数据如图所示． 【实践探究】根据以上数据，得到以下统计量． 图示 统计量 平均数 中位数 众数 黄颡鱼的重长比 3.1 3.0 鲈鱼的重长比 4.6 4.6 【问题解决】(1)上述表格中：___________，___________． (2)若鱼的重长比的方差越小，则认为该种鱼的体型差异越小，据此推断：在黄颡鱼与鲈鱼中，体型差异较大的是___________．（填“黄颡鱼”或“鲈鱼”） (3)食堂采购员在该基地购买了一条重1.8斤、长0.4米的鱼，试推测食堂采购员购买的这条鱼更可能是黄颡鱼还是鲈鱼，并说明理由． 【答案】(1)3.1      4.6(2)鲈鱼(3)鲈鱼，理由见解析 【详解】（1）解：黄颡鱼的重长比从小到大排列为：3.0，3.0，3.0，3.0，3.1，3.1，3.1，3.2，3.2，3.3， ∴；鲈鱼的重长比出现最多的是4.6，共出现3次，∴； （2） 解：由折线统计图知，黄颡鱼的重长比比鲈鱼的重长比波动幅度小，故在黄颡鱼与鲈鱼中，体型差异较大的是鲈鱼； （3） 解：鲈鱼，理由：由于，即该鱼的重长比为4.5，更接近鲈鱼的重长比的平均数，故推测这条鱼更可能是鲈鱼． 突破一 概率与不等式、方程、函数综合运用 【典例】（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，∴且，列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种，∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为，故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 【答案】 【详解】解：解不等式组得：，∴正整数的值为4、5、6、7，解分式方程得：， 当时，，当时，，当时，，当时，， ∴分式方程有整数解的概率为，故答案为： 【变式】2．（2025·四川成都·三模）在，，，，，，这个数中，随机选取一个数，记为，使得直线与双曲线没有交点的概率为______ ． 【答案】 【详解】解：联立方程，得到，整理得：， ∵直线与双曲线没有交点，∴无实数根， ∴，∴， ∵在，，，，，，这个数中满足的有个，即，，，，， ∴概率为，故答案为：． 突破二 概率与跨学科综合 【典例】（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 【答案】 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种，∴． 【变式】1．（24-25九年级上·成都·月考）在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A．酚酞    B．氢氧化钠溶液（碱性）    C．盐酸溶液（酸性）    D．蒸馏水（中性） (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． (2)张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是，故答案为：； （2）解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 【变式】2．（2026·成都·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 【答案】(1)(2)夫妇基因型均为，概率为(3)(4) 【详解】（1）解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为， ∴无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子，∴； （2）解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子， ∴孩子的基因型为，∴夫妇的基因型均为，列表如下： A a A a 共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种，∴； （3）解：由题意，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种，∴； （4）解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为，∴男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为， 当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发， 当男方的基因型为时，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种，∴， 又∵男方的基因型为的概率为，∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为． 突破三 概率与统计综合问题 【典例】（2026·成都·一模）校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 A B C D E x（单位：cm）                         整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为________． (2)下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组；Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数． (3)结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 【答案】(1)见解析，4.65(2)Ⅰ(3)②区叶片发育品质更优，见解析 【详解】（1）解：根据题意知，C组对应样本数据为，故补全的频数分布直方图如图所示； ②区样本数据的平均数为； （2）解：分别从①、②区样本数据频数分布图中看出第90片和第91片样本数据均落在C组，故①、②区样本数据的中位数在C组，Ⅰ正确； 根据图表提供的信息不能确定两区样本数据的中位数的具体数值，故Ⅱ不一定正确；综上，故选：Ⅰ； （3）解：②区叶片发育品质更优． 理由：①区“优质发育叶片”所占比例为；②区“优质发育叶片”所占比例为，②区比例高于①区，故②区叶片发育品质更优． 【变式】1．．（2025·成都·校考三模）项目式学习 项目主题：探究不同介质对光折射的影响 项目背景：光的折射是自然界中常见的现象，当光从一种介质斜射入另一种介质时，其传播方向会发生偏折．不同的介质对光的折射能力不同，这可以通过折射率（α为入射角，β为折射角）来定量描述． 驱动任务：如何通过实验和数据分析，比较两种未知透明介质（A和B）的折射特性，并利用结论判断一束光的折射数据属于哪种介质？ 实践操作：某小组在实验室获取了以下数据：使用激光笔以不同入射角α照射介质A和介质B，测量对应的折射角β和γ，计算和，并对数据进行记录，从中选取10组数据绘制了如下折线统计图． 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 1.36 b 1.36 m a 1.53 c n 问题解决：请认真阅读上述信息，回答下列问题：(1)填空：________，________，________； (2)甲同学说：“从这10次实验中，与的方差大小关系为．”乙同学说：“根据实验数据可知，的估计值在1.54附近．”上面两位同学的说法中，合理的是________（填“甲”或“乙”） (3)该小组在后续研究中意外发现一组未标记介质类型的折射数据：当入射角为时，折射角为．请根据已有数据判断这组数据是通过介质A还是介质B得到的，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)1.55，1.36，1.53；(2)乙；(3)这组数据是通过介质A得到的，见解析． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 介质A的折射率实验数据按照从大到小的顺序排列， 可得1.31，1.33，1.34，1.36，1.36，1.36，1.37，1.37，1.38，1.42， 其中排在第5位和第6位的是1.36，1.36，∴这组数据的中位数， 介质B的折射率的10个实验数据中，出现次数最多的是1.53，出现了3次，∴这组数据的众数； （2）的方差的方差∴，故甲同学说法错误； 根据实验数据可知，的估计值在1.54附近，该说法正确，故合理的是乙； （3）这组数据是通过介质A得到的． 理由如下：计算该组数据的折射率得，由表格数据可知，与介质A的数据比较接近，且与介质B的数据相差较大，所以这组数据是通过介质A得到的． 【变式】2．（2026·成都·一模）2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参加航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩 年级 七年级 2 a b 4 八年级 1 2 6 6 【描述数据】七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图 【分析数据】 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 c 87 92.13 八年级 86 87 d 79.73 根据以上信息解决下列问题：(1)补全频数分布直方图；(2)填空：_______，_______； (3)若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级； (4)七年级共有750名学生参加此次竞赛，如果成绩不低于85分可以参加第二轮比赛，请估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 【答案】(1)见解析(2)80；90(3)48；八(4)人 【详解】（1）解：将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87，92，94，94，98，数据整理如下： 成绩 年级 七年级 2 5 4 4 八年级 1 2 6 6 即，，补全频数分布直方图为： （2）解：对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80，所以． 对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以． （3）解：八年级成绩在这一组的有2人，对应的扇形圆心角为． 由于八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，因此本次竞赛成绩更整齐的是八年级． （4）解：（人） 答：估计七年级能参加第二轮比赛的有350人． 1．（2025·成都·一模）下列说法正确的是（   ） A．旅客上高铁列车前的安检应选择抽样调查 B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件 C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图 D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定 【答案】C 【详解】A．旅客上高铁列车前的检查应选择全面调查，原说法错误； B．“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，原说法错误； C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图，原说法正确； D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩较稳定，原说法错误． 故选C． 2．（2025·四川成都·三模）有一组数据为3，2，4，4，2，则下列说法中错误的是（   ） A．中位数为4 B．众数为2和4 C．平均数为3 D．方差为0.8 【答案】A 【详解】解：将数据按从小到大排列为， 中位数为3，众数是2和4，平均数， 方差；∴A说法错误；故选：A． 3．（2025·四川成都·二模）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（   ）个 A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【详解】解：∵红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球， ∴袋子的红球概率为，∴（个），故选：A． 4．（2026·成都·模拟预测）某文具店推出三种笔记本：“车缝本”（5元）、“胶套本”（6元）和“活页本”（7元）．根据某月销售统计，三种笔记本的销量占比分别为：车缝本占、胶套本占、活页本占．则该月笔记本的平均售价为（    ） A．5.6元 B．5.7元 C．5.8元 D．5.9元 【答案】B 【详解】解：∵平均售价为各单价乘对应销量占比的和， ∴平均售价（元）． 5．（2026·成都·一模）化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略） ①② ③④ 小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一共有4张卡片，随机抽取时每个结果是等可能的，∴所有等可能的结果总数为4． ∵四个卡片中，只有卡片④的生成物带有沉淀，∴符合条件的结果数为1． ∴抽到生成物带有沉淀的实验的概率为． 6．（2025·成都·三模）小贤是一名观鸟爱好者，他想用折线统计图反映每年到都阳湖湿地公园过冬的东方白鹤的数量变化情况，以下是他打乱顺序的统计步骤： ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势； ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ④整理每年到公园过冬的东方白鹅的数量，并制成统计表。 正确的统计步骤的顺序应是________． 【答案】②→④→③→① 【详解】解：统计步骤应为： ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ④整理每年到公园过冬的东方白鹅的数量，并制成统计表； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势． 则统计步骤正确的是②→④→③→①． 故答案为：②→④→③→①． 7．（2025·成都·模拟预测）某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对3000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度（单位：），则估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好（树苗中高度不低于）的有________棵． 【答案】1410 【详解】解：∵随机抽测的100棵树苗中高度不低于的占比为：， ∴估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：（棵），故答案为：1410． 8．（2025·成都·模拟预测）如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并连续停留天．则此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率是______． 【答案】 【详解】解：由图可知，当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量均为优；当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率为．故答案为：． 9．（2024·四川成都·二模）现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为______． 【答案】 【详解】解：由分式方程，可得， ∵分式方程的解是负数，且，∴，且，∴且， 由不等式组可得：， ∵关于x的不等式组无解，，解得:； 由上可得，a的取值范围为，且， ∴从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的a的值为，0，1，2，有4个数， ∴现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为，故答案为：． 10．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）小洛和他的伙伴们设计了一个摸球试验：将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋，每次搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．在老师的帮助下，小洛和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 2000 4000 6000 7000 8000 9000 10000 摸到黑球的次数 478 1027 1460 1728 2017 2234 2509 摸到黑球的频率 0.239 0.257 0.243 0.247 0.252 0.248 0.251 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是_____；(保留两位小数) (2)估算袋中白球的个数；(3)按照（2）的估算结果，若小洛同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【答案】(1)；(2)个；(3) 【详解】（1）解：由表格数据可知，随着摸球次数增多，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右， ∴估计从袋中摸出一个黑球的概率是；故答案为：． （2）解：设袋中白球有个， ∵摸出黑球的概率估计为，袋中总球数为个， ∴，解得，经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：袋中白球的个数为3个． （3）解：设黑球为，三个白球分别为、、，画树状图如下： 由树状图可以看出，共有种等可能的结果，其中摸出一个黑球一个白球的结果有种， ∴(摸出一个黑球一个白球)． 11.（2025·江苏淮安·中考真题）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题：(1)填空： ， ， ； (2)请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 【答案】(1)14，13，14(2)建议多进B型号扫地机器人．理由见解析 【详解】（1）解：A型号平均数：； 将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11， 12，14，14，15，17， 第4位和第5位的平均数为：， B型号中位数； B型销量中14出现了2次，出现的次数最多， B型号众数；故答案为：14，13，14； （2）解：建议多进B型号扫地机器人． 理由：B 型销量从年初的较低水平逐渐上升，八月份已高于 A 型；基于这一走势，商场可适当增加 B 型的进货量以满足需求． 12.（2025·成都·模拟预测）年是中国共产主义青年团建团周年，为迎接党的二十大胜利召开，进一步传承五四精神．某中学组织了一面向全校的党团知识竞赛，有名学生参加的书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了份答卷进行分析统计，发现测试结果（分）的最低分为分，最高分为满分分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题： 分数段（分） 频数 频率 (1)填空：______，______，______，并将频数分布直方图补充完整； (2)校团委打算让全校位于分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排个座位，则估计需要安排多少个补测的考室？（列式说明） (3)校团委计划对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为，请你估算全校获得二等奖的学生人数． 【答案】(1)，，，补充完整的频数分布直方图见解析； (2)需要安排个补测的考室；(3)全校获得二等奖的学生人数为人． 【详解】（1）解：；，， 补充完整的频数分布直方图如图， 故答案为：，，； （2）解：全校位于分数段的同学有：（个）， ∴校团委需安排补考的考室为：（个），答：需要安排个补测的考室； （3）解：（人），答：全校获得二等奖的学生人数为人． 1．（2025·成都·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字 (1)小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是 ；(2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；若差为负数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1)(2)这个游戏对双方不公平，理由见解析 【详解】（1）解：小明转动一次A盘，则指针指向数字为2的概率是故答案为： （2）解：这个游戏对双方不公平， 理由如下：列表如下： 被减数 减数 1 2 4 5 3 1 2 4 0 1 4 0 1 由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果， 则小明胜的概率是，小春胜的概率是，，这个游戏对双方不公平． 2．（2026·成都·一模）近年来，学生体质健康情况受到广泛关注．国际上常用握力体重指数（，缩写）来综合评价上肢肌肉力量与身体协调性，该指数不仅是体质健康评估的核心项目之一，更被多项权威研究证实与心血管健康和寿命密切相关．握力体重指数计算公式是，例如：某人握力为35公斤，体重为50公斤，则他的．《国家学生体质健康标准》．对初中男生的参考标准为：为优秀；为良好；为及格；为不及格． 某中学为了解九年级男生的握力体重指数（）情况，从该校九年级男生中随机抽取了21名男生进行测试，通过计算得到他们的，并绘制了不完整的条形统计图． 根据以上信息回答下列问题：(1)补全条形统计图； (2)这21名男生的中位数属于______水平；（填序号） ①优秀；    ②良好；    ③及格；    ④不及格． (3)基于上述统计结果，学校建议小于60的男生进行针对性训练．学生小刚体重为70公斤，为48．接下来他需要通过科学训练，使得能达到“良好”水平，那么小刚的握力至少需要增加______公斤．（假设体重保持不变） 【答案】(1)见解析(2)②(3) 【详解】（1）解：不及格人数为，补全条形统计图如下： （2）解：∵21名男生进行测试，∴中位数为第11名男生， 根据条形统计图可知第11名男生为良好； （3）解：由题意可知握力（公斤），小刚的原握力为（公斤）， ∵能达到“良好”水平，∴小刚训练后的握力至少为（公斤）， ∴小刚的握力至少需要增加（公斤）． 3．（2026·成都·模拟预测）从“河南制造”向“河南智造”跨越，到“智能红利”惠及千万百姓，河南正迎来发展人工智能（）的重要机遇．河南某教育集团举办技术比赛．为了解各校区参赛效果，随机从甲乙两个校区各抽取35名学生参加比赛，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，数据（成绩）分成五组： ，，，，． 下面给出了部分信息：（任何一组的数据都不是完全相同） 信息一：甲校区成绩的频数分布直方图，如图所示； 信息二：甲校区成绩在的数据如下： （单位：分）88，85，88，92，88，88，90，88，88，86，88，88，91； 信息三：甲乙两个校区各抽取的35名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 校区 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 82.6 m n 125.32 乙 82.6 89 88 78.56 根据以上信息，回答下列问题：(1)表中_______，________；(2)补全频数分布直方图； (3)比赛成绩85分及以上记为优秀，甲校区有315名学生参加比赛，请估计甲校区成绩优秀学生的总人数； (4)综合以上信息，分析甲乙两个校区哪个校区技术掌握得更好？ 【答案】(1)88，88；(2)见解析(3)估计甲校区成绩优秀学生的总人数是189人(4)见解析 【详解】（1）解：∵总共有35个数据，∴中位数是排序后第个数据， ∵前三组频数和为，∴第18个数据落在组，是该组第个数据， ∵将该组数据排序后，第4个数据为88，∴中位数； ∵88在甲校区成绩中出现次数最多，∴众数． （2）解：甲校区成绩在的人数为（人），补全频数分布直方图： （3）解： （人）， 答：估计甲校区成绩优秀学生的总人数是189人； （4）解：因为两个校区成绩的平均数、众数均相等，乙校区成绩的中位数（89）高于甲校区（88），方差（78.56）小于甲校区（125.32），说明乙校区成绩整体更集中、更稳定，所以乙校区技术掌握得更好． 4．（2026·成都·一模）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 (1)小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） 由上表填空：_________，_________； (4)【判断决策】结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】(1)，补图见解析(2)(3)，(4)选择型号的纯电动汽车 【详解】（1）解： 辆，（辆），补全条形统计图为： （2）解： （3）解：由题意得，． （4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 1．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为，故选：D． 2．（2025·江苏南京·中考真题）已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________． 【答案】10 【详解】解：依题意，数据之和为， ∵数据的个数为，∴平均数为．故答案为：10． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 【答案】 【详解】解：从7张扑克牌中随机抽取张，共有种等可能结果， 其中抽到红桃的有种结果，抽取红桃的概率为．故答案为：． 4．（2025·四川甘孜州·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为______． 【答案】 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种， 则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为．故答案为：． 5．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：(1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】(1)10%，30%，见解析(2)4(3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【详解】（1）解：抽取的学生人数为人，则， ，，，补全频数分布直方图如下： （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内，故答案为：4； （3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题：(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】(1)60(2)85，36(3)900 【详解】（1）解：由题意得：（名）．答：一共抽取60名学生． （2）解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85，；故答案为85，36． （3）解：由题意得：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 7．（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题：(1)补全条形图；(2)表中的 ， ， ； (3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 【答案】(1)见解析(2)27；；；(3)6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 【详解】（1）解：根据题意得，合格的人数为：人， ∴优秀的人数为：人，补全统计图如下： （2）根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多，∴， ∵优秀：；∴3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人， ∴，，故答案为：27；；； （3）6月份达到“优秀”的人数为：人， 3月份达到“优秀”的人数为：人，∴人， ∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 8．（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】(1)93.2；96.5；(2)七年级，理由见解析(3)256人 【详解】（1）解：依题意，， 把八年级的成绩从大到小排序：，位于中间位置的数分别为， 观察七，八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差， ∴； （2）解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可） （3）解：依题意，， 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）． (1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果． ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”） ②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势． (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图． ①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号） ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视． 【答案】(1)①抽样调查；②见解析(2)①B；②见解析 【详解】（1）解：①∵图1中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果， ∴疾控中心收集数据，采用的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查； ②根据统计图可以看到，从七年级到高二年级，近视率随年级升高呈整体上升趋势，高二年级到高三年级有所下降； （2）解：①观察条形统计图可以看到，B选项长时间连续用眼的有887人，人数最多， ∴从图2中可知，影响视力的最主要因素是B选项长时间连续用眼．故答案为：B； ②观察条形统计图可以看到，影响视力的主要因素有：不认真做眼保健操，长时间连续用眼，课间只在教室休息，饮食不均衡，睡眠时间不足，所以预防近视从以下入手：认真做眼保健操，避免长时间连续用眼，用眼一段时间要适当休息，课间到室外活动或者作适当远眺，保持饮食均衡，保证充足的睡眠时间． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题：(1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；(2)补全频数分布直方图；(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 【答案】(1)105；110(2)图象见解析(3)480 【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数； 中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110， 故答案为：105，110； （2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本，由（1），可知这一组共有15个样本， 由题意可知，样本总量为50，故这一组共有个样本， 补全频数分布直方图如下： （3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次， ∴（人） 故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $