第01讲 圆（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第六章 圆 第01讲 圆 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 圆的基本概念与性质 题型01 弧、弦、圆心角的关系 题型02 垂径定理及推论 题型03 圆周角定理及推理 命题点二 点、直线与圆的位置关系 题型01 点和圆的位置关系 题型02 直线与圆的位置关系 题型03 三角形的外接圆与确定圆的条件 题型04 切线的判定定理 题型05 切线的性质定理 题型06 切线长定理与三角形的内切圆 命题点三 正多边形与圆、扇形的弧长与面积 题型01 正多边形与圆 题型02 扇形的弧长与面积 题型03 不规则图的面积计算 题型04 扇形与圆锥的关系（计算） 05·重难突破·思维进阶难 45 突破一 圆与几何最值 突破二 圆中的新定义问题 突破三 圆的综合问题 06·优题精选·练能提分 56 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 圆的基本概念与性质 成都卷 T17 （圆周角定理） 成都卷 T17 （圆周角定理及推论） 成都卷 T17 （圆周角定理及推论） 了解圆的相关概念；理解圆心角、弧、弦之间的关系定理；能熟练运用垂径定理、圆周角定理及推论解决相关问题。 点、线与圆的位置关系 成都卷 T17 （切线的性质） 成都卷 T17 成都卷 T17 理解点和圆、直线和圆的三种位置关系；掌握切线的性质定理和判定定理，并能熟练运用于证明和计算；掌握切线长定理、内切圆、外接圆相关知识。 正多边形与圆、扇形的弧长与面积 成都卷 T （不规则图形的面积） 成都卷 T （扇形的弧长） 成都卷T （不规则图形的面积） 了解正多边形与圆的相关概念与运算；理解扇形的弧长和面积的公式，能在具体图形（含不规则图形）中进行运算；掌握圆锥的侧面展开的相关计算。 命题预测 本讲内容近几年成都中考在解答题中主要考查圆的基本性质、直线与圆的位置关系（切线性质判定等），选填题主要考查正多边形与圆、扇形的弧长与面积等，分值在14分左右。从2022年成都中考改革后圆的解答题从A卷最后一题调整到A卷倒数第二题，虽然难度有所下降，但是也不可轻视。毕竟圆的解答题还包含综合我们之前学过的所有几何知识（如：全等、相似、勾股、三角函数等）。 考点一 圆的基本概念与性质 1．与圆有关的概念 1）圆：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。 3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，符号：；小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧。 4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。 6）弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。 7）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。 2.圆的相关性质及推理 1）圆的对称性:圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。 2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3）推论:如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。 若已知上述五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。 注意：若③作为条件时，一定要强调CD不是直径。 4）弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 5）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆的内接四边形对角互补。 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的直径，是上的两点，连接．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接；∵是的直径， ；， ∴．故选：D． 2．（2025·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【详解】解：根据垂径定理，得， 根据勾股定理，得，故．故选：C． 3．（2026·四川成都·校考一模）如图，四边形内接于圆O，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵对的圆周角是，圆心角是，，∴， ∵A、B、C、D四点共圆，∴，∴，故选：C． 4．（2025·成都·模拟预测）下列命题是假命题的是（　　） A．等弧就是能够完全重合的弧 B．弦的垂直平分线经过圆心 C．在同圆中，同弧所对应的圆周角是圆心角的2倍 D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 【答案】C 【详解】解：A、弧就是能够完全重合的弧，是真命题，不符合题意； B、弦的垂直平分线经过圆心，是真命题，不符合题意； C、在同圆中，同弧所对应的圆周角是圆心角的，故原选项错误，是假命题，符合题意； D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是真命题，不符合题意；故选：C ． 5．（2025·四川成都·校考一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴，则A正确，C正确； ∵，∴，∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 考点二 点、直线与圆的位置关系 1.点、直线与圆的位置关系类 1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 图1 图2 (1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3． 2）直线和圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下： 图1 图2 图3 (1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。 2.切线的性质与判定 1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。 2）切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）； （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）； （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。 切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。 3）切线长定理 定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 3.三角形的外接圆与内切圆 1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 2）三角形的外心：三角形三边中垂线的交点，叫该三角形的外心。 3）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 4）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，叫该三角形的内心。 5）常见结论 （1）三角形内切圆半径： ，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长； （2）直角三角形内切圆半径： ，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。 1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，与相交于点，点为下方半圆上一点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，在中，，，， 圆与相切于点，，，，， ，，， 又，， （同弧所对的圆周角相等）．故选：B． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，与四边形各边都相切，切点分别为，，，，四边形的周长为，则______． 【答案】 【详解】解：四边形的周长为，， 与四边形各边都相切，切点分别为，，，，，，，， ，，故答案为：18． 3．（2025·四川成都·二模）如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且． (1)求证：是的切线；(2)若，，，求的半径及线段的长 【答案】(1)见解析(2)的半径为3，． 【详解】（1）证明：连接，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵为的直径，∴，∴， ∴且为的半径，∴是的切线； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴，，， ∵，，∴， ∴，即，∴，∴的半径为3， ∵，∴，∴，即，解得． 4．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：；(2)若，，求半圆O的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)半圆O的半径为2， 【详解】（1）解：连接，则：，∴， ∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，∴，∴， ∵为直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴； （2）设半圆O的半径为，则，∵，∴， ∵，∴，∴，即：半圆O的半径为2； ∴，连接，则：，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴平分，∴到的距离相等，都等于的长， ∴，∴，∴，∴． 考点三 正多边形与圆、扇形的弧长与面积 1.正多边形的相关概念与计算 1）正多边形的相关概念 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 2）正多边形的常用公式 （Rn为正多边形外接圆的半径） 边长：；周长：；边心距： ；面积： ； 内角度数：；外角/中心角度数：；边长、半径、边心距的关系： 。 注意：正多边形的内切圆与外接圆为同心圆. 2.弧长、扇形面积、圆锥的相关计算 设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 （1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： 或。 扇形与圆锥的核心关系：圆锥的底面周长=扇形的弧长；圆锥的母线=扇形的半径。 3.不规则图形的面积的计算 求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积。常用的方法有：割补法、等积变换法、图形变换法等。 1．（2025·四川成都·二模）如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：①∵是正六边形的外接圆，∴，故①正确； ②∵，，∴是等边三角形，∴，故②正确； ③∵于点，∴，∴，故③错误； ④，故④正确； ⑤的长，故⑤错误；综上，正确的结论是①②④，故选：． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形中，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得的长为，故答案为： 3．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，，∴四边形为菱形， ∴，，∴为等边三角形，∴，∴， ∴阴影部分的面积；故答案为：． 4．（2025·成都·二模）已知圆锥的母线长为3，圆锥的高为，则这个圆锥的侧面积为________． 【答案】 【详解】解：圆锥的底面半径是：，圆锥的底面周长是：，则． 故答案为：． 命题点一 圆的基本概念与性质 ►题型01 弧、弦、圆心角的关系 【典例】1．（2025·成都·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】/35度 【详解】解：∵，∴， ∴， 又∵，∴，故答案为：． 【典例】2．（24-25九年级上·成都·期中）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∴，故选：B． 【变式】1．（2026·成都·一模）如图，AB，为的直径，点E为的中点，连接，若，则的度数为______． 【答案】/63度 【详解】解：连接，如下图， ∵，，∴，∴，∴， ∵点E为的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴．故答案为：． 【变式】2．（2022·成都·三模）如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为___． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴．∵，∴． ∵是的直径，∴，∴． ∵四边形内接于，∴，∴．故答案为：． ►题型02 垂径定理及推论 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，中，点C为弦的中点，连接，，，则的值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】∵点C为弦的中点，连接，∴，∴， ∵，，∴，∴，故选C． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知的半径为13，弦，则上到弦所在直线的距离为1的点有______个． 【答案】3 【详解】解：如图，中，弦， 过作半径于，连接，， ，，，在上只有点到弦所在直线的距离为1， ，在有两个点到弦所在直线的距离为1， 上到弦所在直线的距离为1的点有3个．故答案为：3． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）下列命题中，假命题是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．过圆心且垂直弦的直线，平分这条弦以及弦所对的弧 C．两平行线间的距离处处相等 D．过圆心且平分弦（弦非直径）的直线，平分并垂直这条弦其所对的弧 【答案】A 【详解】解：A.相等圆心角所对弧相等的前提是同圆或等圆，选项未说明该前提，，故A为假命题． B．过圆心且垂直弦的直线，平分这条弦以及弦所对的弧，故B为真命题． C．两平行线间的距离处处相等，故C为真命题． D．过圆心且平分弦（弦非直径）的直线，必垂直于弦，并平分弦所对的弧，故D为真命题，故选：A． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图，中，为弦，为半径，且于点．若，则的度数为（    ） A．28° B．26° C．25° D．24° 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴ ∵，∴，∵∴，故选：B． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·期末）水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：如图，作、交于点、，作于点， 设，，，，， 四边形是矩形，，， 点到水面的距离为，，则， 圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， ，， 又，即，， 在和中，，，， 在中，，则， 即，解得，，或， ，点是的中点，即，或．故选：D． ►题型03 圆周角定理及推理 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，A，B，C是上的点，，，交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，∴， ∵，．故选：D． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，为直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图，是的直径，， ，，．故选：C． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，内接于，为直径，半径，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵为直径∴∵∴ ∵∴∴．故选：B． 【变式】2．（2025·四川成都·三模）如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，， ，，由圆周角定理得，，故选：A． 命题点二 点、直线与圆的位置关系 ►题型01 点和圆的位置关系 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：的半径长为4，，由可知，点在的内部，故选：A． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为______，的最小值为______． 【答案】 225 121 【详解】圆心到原点的距离， 的半径为2，当点P位于线段的延长线上且远离O时， 取得最大值，故的最大值为； 当点P位于线段上且靠近O时， 取得最小值，故的最小值为．故答案为225，121． 【变式】1．（24-25九年级下·成都·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在_____． 【答案】外 【详解】解：如图，令与的交点为，为半径，为弦，且，， ，在中，，，， ，，即的半径为4， ，点在外，故答案为：外． 【变式】2．（24-25九年级下·成都·期中）若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵点P在内，点P到圆心O的距离为5，∴．故选：D． ►题型02 直线与圆的位置关系 【典例】1．（2025·成都·一模）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为______． 【答案】4 【详解】解：的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，， 、是方程的两个根，方程有两个相等的实数根， ，解得，故答案为：4． 【典例】2．（2025·成都·一模）在中，，，O是上一点，，的半径为2，与的关系是__________． 【答案】相交 【详解】解：如图，过O作于D，则， ∵在中，，，∴， 在中，，，∴， ∵的半径为2，，∴与相交，故答案为：相交． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（  ） ①相交；②相切；③相离 A．①②③ B．② C．①③ D．①② 【答案】D 【详解】设圆心O到直线l的距离为d，根据题意，在直线l上存在一点P，使得， 因为垂线段最短，所以圆心O到直线l的距离，即， 又因为圆的半径，所以，当时，直线l与相切；当时，直线l与相交， 故直线l和的位置关系可能是相切或相交故选：D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即．故选：D ►题型03 三角形的外接圆与确定圆的条件 【典例】1．（2025·成都·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为____． 【答案】 【详解】如图，连接、，过点作于， ∵为等边三角形，∴，由圆周角定理得：， ，， ，故答案为：． 【典例】2．（2025·成都·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是_____． 【答案】 【详解】的外接圆如下图，∵∠∴．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·二模）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【答案】C 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线，，， ，，． ，，B正确，C错误； ，，，点为的外心，故D正确； ，，，故A正确．故选：C． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确；故选：B． ►题型04 切线的判定定理 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，点在的延长线上，连接，作于点，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线；(2)，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，，如图， ，，，，． ，．，， 是的半径，是的切线； （2）解：由（1）知：，，，． ．．．，，， ．．． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线；(2)若A，，则的半径是__________． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：过O点作于点E，∵与相切于点A，∴ 又∵，∴，∵，∴， 又∵，，∴，∴是的切线； （2）解：∵，，∴， 在和中，，∴，∴，∴， 在中，，即，解得：．故答案为：。 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点为斜边上一点，连接，以为直径作，分别交，于，两点，连接交于点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析(2)的半径， 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，，∴，∴，∴ ∵是的直径，∴是的切线． （2）解：连接、，如图 ∵，∴，， ∵为直径，，∴， ∴，∴，∴ 即， ∴，∴， ∴，∴．即的半径为． 过点作于点， ∴， ∵，∴，即， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，，解得． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)， 【详解】（1）证明：连接， ∵C是的中点，∴，∴， ∵，∴， ∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵是的半径，∴是的切线； （2）解：∵是的直径，，∵，∴，∴， ∵，∴，在中，， ∴，∴． ►题型05 切线的性质定理 【典例】1．（25-26九年级上·成都·期末）如图，是的内切圆，切点分别为，连接．，，则______°． 【答案】65 【详解】解：如图所示，连接，．，，． 是圆的切线，，同理， ．．，故答案为：65． 【典例】2．（2025·成都·二模）如图，，是的切线，，为切点，若，，则的周长是______． 【答案】 【详解】解：、是的切线，、是切点，，，， ，， 是等边三角形，，， ，，， 的周长.故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：连接、，如图，四边形内接于，， ，，、为的切线，，， ，，．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·三模）如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为_______． 【答案】 【详解】解：，，， 为的直径，与相切于点，，， ，，故答案为：． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，为外一点，、为的切线，切点分别为、，直线交于点、，交于点． (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，如图，为的切线，，． 是的直径，，．，，； （2）解：设，则， ，，． 、为的切线，，平分，． 为的切线，，，，， 即：．解得：或（不合题意，舍去），． ►题型06 切线长定理与三角形的内切圆 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点， 则    ，∵，∴， ∵分别与的外接圆相切，为切点，∴，， ∴，∴，即，∴， ∵，，∴，， ∵，∴，∴， 即，∴，∴，故选：． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】解：连接，， ，，，， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，，， ，， ，，四边形是正方形，， 的半径长为2，故选：B． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，周长为的三角形纸片，其中．小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的直线DE剪下一个三角形纸片．则三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可得，，，，， ∵，，∴，， ∴， ∴三角形的周长是．故选：A． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）如图，的直径和是它的两条切线，切点分别为切于E，交于，交于C，设，则与的函数图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：过点D作，垂足为F，和与相切于点A、B，，    ，四边形是矩形，， 切于E，，， 在中，由勾股定理得，化简得，，， 结合选项可知，B选项符合题意，故选：B． 命题点三 正多边形与圆、扇形的弧长与面积 ►题型01 正多边形与圆 【典例】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接、， ∵正五边形内接于，∴， ∵P为上一点，∴，故选：B． 【典例】2．（2022·四川成都·中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：连接OB，OC，∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径为：3， ∵∠BOC360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，故选：C． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，与边相切于点，连接， 则：，，， ∴为等边三角形，∴，， ∴，∴；故选A． 【变式】2．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于，∴，∴的度数为， ∵点为的中点，∴的度数为，∴， 由圆周角定理得：，故选：C． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，正八边形内接于，连接，若，则的半径为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：连接，过点A作于点M，设的半径为r， 在正八边形中，， ∵，在中，， ∵是的直径，∴，∴， 解得或（舍），故选：D． ►题型02 扇形的弧长与面积 【典例】1．（2025·四川成都·三模）中国对滑轮的应用历史悠久．明代《天工开物》详细记录了盐井中滑轮的使用，通过牛力驱动实现高效的井盐开采．如图所示，物理课上同学们研究滑轮作用，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点P转过的角度为___________． 【答案】/90度 【详解】解：设滑轮上点P转过的角度为，由题意得，解得， ∴滑轮上点P转过的角度为，故答案为： ． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，在扇形中，，，则扇形的面积为______． 【答案】/ 【详解】解：由题意，该扇形的面积为，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将绕着点A逆时针旋转得到，已知A，，C在同一直线上的格点上，则的长为______． 【答案】 【详解】解：由题意可知：，， 则的长为：，故答案为： 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，、是的两条弦，连接、，若的半径为2，，则扇形的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【详解】解：∵、是的两条弦，，∴， ∵的半径为2，∴扇形的面积为；故答案为：． ►题型03 不规则图的面积计算 【典例】1．（2023·四川成都·中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73）    【答案】184 【详解】解：如图，过点O作的垂线段，交于点，      圆心O到栏杆的距离是5米，米， ，，米， ， ，， 可容纳的观众阴影部分面积（人）， 最多可容纳184名观众同时观看演出，故答案为：184． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为_____． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接、、、、， ， 由题意可得：，，， ∴、均为等边三角形，，∴的长为， ∵“玫瑰三叶形”的周长为，∴，∴， 作于，则，∴， 由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成， ∴“玫瑰三叶形”的面积为，故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是__________． 【答案】 【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为， 设正方形的边长为2，， 则有，半圆的半径，， ∵为直径，∴切半圆于点，切半圆于点， ∵切半圆于点，∴，，∴，， ∴在中，可有，即，解得，∴， ∵正方形的边长为2，∴正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率．故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图，在等腰中，，．以点为圆心，的长为半径作；再以为直径作，向该图形随机投掷飞镖，每次飞镖都落在图形上，则飞镖落在阴影部分的概率为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：作于点，，，， 设，则，， ，， ，，， 飞镖落在阴影部分的概率为．故答案为：． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【详解】如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N， 则 ∵，∴，，四边形是矩形 ∵，D是的中点，∴，∴ 同理，∴四边形是正方形 ∴， 由题可知，，∴ 在与中，，∴ ∴ ∵∴故答案为 ►题型04 扇形与圆锥的关系（计算） 【典例】1．（25-26九年级上·成都·期中）已知一个圆锥的底面半径为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B．20 C． D．40 【答案】A 【详解】解：∵ ，，∴ ．故选：A． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）若一个圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥的母线与其底面圆的半径之比为，则这个圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得：， ∴（负值舍去），∴母线长为；故选：D． 【变式】1．（2026·成都·模拟预测）把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 【答案】 【详解】解：设扇形半径为，圆锥底面半径为，则底面周长为， 扇形圆心角为，弧长为，由题意得，解得．故答案为：． 【变式】2．（24-25九年级上·成都·校考期末）小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径是，依题意，，解得， 如图：过点分别作 ∵，∴四边形是矩形，∵，∴， ∴四边形是正方形，∴ ∴正方形的对角线的长 则正方形的边长是，故选：B 突破一 圆与几何最值 【典例】（2025·成都·二模）如图，在△ABC中，AB=AC=，∠B=30°，点O为BC上一点，以点O为圆心，圆与△ABC交于A、B、D三点，点E为直径BD下方半圆上一动点，连接AE、DE 图中阴影部分面积的最大值为________． 【答案】 【详解】解：如图，过作 垂足为M，延长MO交圆O于F，连接AF，DF，过作 垂足为H，由弓形AD的面积是定值，所以阴影部分的面积最大，则的面积最大即可，当E，F重合时，三角形的面积最大，即阴影部分的面积最大， AB=AC=，∠B=30°，OA=OB， 为直径， 而OA=OD，是等边三角形， 故答案为： 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，如图所示：根据题意得：， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵点H为的中点，∴，∴， 当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 过点H作于点F，连接，如图所示： ∵，，∴，∴， ∴，∴，， ∴，∴，∴， ∴则的最小值是，故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结． （1）当D为弧的中点时， _______；（2）当D在弧上运动时，的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：（1）连接， ∵D为的中点，∴，∴F为中点． ∵为直径，∴，∴，∴． ∵O为中点，F为中点，∴，∴，∴． ∵，∴．∵，∴． ∴，∴，∴． （2）过B作垂线交延长于G，设以为直径的圆的圆心为H，连接， ，∴，， ，， ， 点四点共圆，则可得E在以为直径的一段圆弧上． 当点三点共线时，有最小值， ∵，，，，， ，∴． ，∴．∴，∴． ∵点O，点H分别是中点，∴是的中位线， ∴，∴的最小值为，故答案为：，． 突破二 圆中的新定义问题 【典例】（2025·四川成都·三模）平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为d，d的取值范围为_____________．    【答案】 【详解】点A的坐标为，， 线段的位置变换，可以看做是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在内找到与之平行，且长度为1的弦即可，如图，当点在线段上时，取最小值，    如图，当点在线段的延长线上时，取最大值， 综上可知，d的取值范围为：，故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”．当矩形的长和宽分别为3和2时，其“加倍矩形”的外接圆半径为 ________________． 【答案】 【详解】解：设“加倍矩形”的长为，则宽为，依题意得：， 整理得：，解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 即“加倍”的长为，宽为，“加倍矩形”的外接圆如图： 矩形的对角线即为外接圆的直径，四边形是矩形，， ， “加倍矩形”的外接圆半径为，故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）对于平面直角坐标系中的圆和点P给出如下定义：对于圆上的动点Q，若点P到动点Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的3倍，则称点P为圆的“三分点”．已知，，以坐标原点O为圆心，r为半径画圆，以坐标原点为圆心，为半径画圆，若线段上存在的“三分点”，则r的取值范围是________． 【答案】或 【详解】解：如图，设半径为的圆与轴交，两点，半径为的圆与轴交点，半径为的圆与轴交点，半径为的圆与轴交点， ∵线段上存在的“三分点”，∴上存在的“三分点”， 点，，，， 设，，，，．由题意：，， ∴，，，，， ∵在上，．或．或． 故答案为：或． 【变式】3．（2025·四川成都·二模）平面内，对于图形与点，给出如下定义：图形绕点逆时针旋转得到图形，若图形与图形有重叠，则称图形关于点“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点分别是，．若以为圆心，为半径的上存在点，使线段关于点“逆垂相关”，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：根据题意画图可得， 线段关于点“逆垂相关”，P在A时， 线段 对应线段， P在B时， 线段 对应线段，P在时， 线段 对应线段， P在时， 线段 对应线段，要证与其对应线段有交有点， 则A在以为边的左侧正方形内，B在以为边的右侧正方形内， P在正方形内，则当过点A时，r取得最大值，连接， ∵，，∴，此时， 当与相切时，r取得最小值，记切点为，交于点，作于点， ，．，， ，即，由正方形性质可知，即为等腰直角三角形， ，，，， ，， ，即，，解得， 综上所述，的取值范围是．故答案为：． 突破三 圆的综合问题 【典例】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：；(2)若，，，求的长和的直径． 【答案】(1)见详解；(2)，． 【详解】（1）是的直径。 又；；； （2）由（1）可知，； ； ；；；；； ；；；不妨设，那么 ；；；， 不妨设，那么 在中，，， ；； 在中，，； ；；；； ；的直径是． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点 (1)求证：是的切线；(2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图1所示： ，，是线段的垂直平分线， 根据垂径定理得：经过的圆心O，是的半径， ，，是的切线； （2）解：过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径，，， 平分，，， 是的切线，为的直径，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，，， 在中，，， ，，，， 在和中，，，， ，；， ，，，， ，根据圆周角定理得：， ，，， ，，，，，解得： 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，点G在线段上，，点B是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，． (1)如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整． 探究1 假设，求的长． 探究2 设，求的长． 解：… 解：… (2)过点A，F，G的交边于点H．①连接，，若是等腰三角形，求的长． ②当与边有两个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)①是等腰三角形，的长为2或；② 【详解】（1）解：探究1：∵，，∴， ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，，∴，∴． 探究2：∵，，∴， ∵四边形是正方形，，∴，∵是等腰直角三角形，， ∴，∴； （2）解：①是等腰三角形， Ⅰ．当时，如图，则，∴，∴． ∵，∴，∴四边形为矩形，∴．∴； Ⅱ．当时，则，此种情形不存在． Ⅲ．当时，过点H作于点M，于点N，如图， ∵，∴．∴．∴． ∵，，，∴四边形为矩形， ∴，．连接， ∵四边形为圆的内接四边形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴． ∴．∴． 综上，是等腰三角形，的长为2或； ②当点D在上时，连接，，如图， 设，则，，，∴， ∵四边形为圆的内接四边形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．∵，∴， ∴，∴，解得：或（舍去）， 当与边相切于点H时，连接，，作交于点R，作，，如图， ∵，∴为的直径，∵，∴， ∵，，，∴四边形为矩形，∴，． 设，则．∵，， ∴，．∴， ∵与相切，∴．∵，∴， ∴为等腰直角三角形，∴．在中，． ∵，∴，∴，解得：． ∵，，∴，∵，∴．∴． ∵与边有两个交点，∴的取值范围为． 1．（2025·四川成都·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为1米，∴，，∴， 在中，，∴，解得：，∴的半径长为米．故选：D． 2．（2025·成都·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【详解】解：点D是的中点，， ，，，，， ，，如图，连接，设的半径为r，设， 在中，由勾股定理得，，解得，故选：A． 3．（2025·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 正五边形内接于，，的长，故选：A． 4．（2025·成都·一模）下列结论说法正确的是（    ） ①的内切圆半径为，周长为，则的面积是； ②有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，若这个圆锥的侧面展开图是半圆，则它的母线长；③以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆面积四等分，则这三个圆、、的半径比为． A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】B 【详解】解：①如图：的内切圆半径为r，的周长为L，则 ，故①正确，符合题意； ②设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，根据题意得，则， ∵圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，∴， ∴， ∵，即，则，即它的母线长是，故②错误，不符合题意； ③根据题意，得，解得，， ∴，故③正确，符合题意；故选：B． 5．（2025·四川成都·一模）如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，，由题意可知平分，∴， ∵，，∴，∴，故此选项成立，不符合题意； B、∵内接于，∴，∴， 又∵，∴，∴，故此选项成立，不符合题意； C、∵点，，，四点共圆，∴四边形为圆内接四边形， ∵圆内接四边形对角互补，∴，故此选项成立，不符合题意； D、假设，∴， ∵，∴，而根据已知条件无法推出， ∴假设不成立，故此选项符合题意；故选：D． 6．（2025·四川成都·一模）如图，，在射线上取一点C，使，以点O为圆心，的长为半径作，交射线于点D，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（不与点C重合），连接．以下结论错误的是（　　）    A． B． C．的长为π D．扇形的面积为12π 【答案】C 【详解】解：连接，由题意可知， ，是等边三角形，， 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，， ，是等边三角形，，，故A正确，不合题意； ，，故B正确，不合题意； ，，的长为：，故C错误，符合题意； ，，扇形的面积为：，故D正确，不合题意．故选：C．    7．（2025·四川成都·三模）魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为__________． 【答案】3 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，    过作于，在正十二边形中，， ，，正十二边形的面积为， ，，的近似值为3，故答案为：3． 8．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知圆锥的侧面展开图的圆心角为，半径长为6，则该圆锥的主视图的周长为________．    【答案】16 【详解】解：设圆周的底面半径为，由题意得：，解得： 圆锥的主视图为腰长6，底边长4的等腰三角形，该圆锥的主视图的周长为，故答案：16． 9．（2025·四川成都·模拟预测）如图，内接于，是的直径，若，则劣弧长度为________． 【答案】 【详解】解：如解图，连接，是的直径，， ，，， ，，劣弧的长为．故答案为：． 10．（2025·成都·三模）以下命题中，正确的有___________．（填序号） ①过三点一定有一个圆；②同弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两段弧； ④三角形的外心是三个内角的角平分线交点．⑤等边三角形的内心与外心重合；⑥长度相等的弧是等弧 【答案】②⑤ 【详解】①过共线的三点不存在圆，只有过不共线三点有且只有一个圆，故错误； ②根据圆周角定理，同弧所对的圆周角，故正确； ③若弦为直径，则平分它的直径不一定垂直于弦，故错误； ④三角形的外心是三边垂直平分线的交，故错误； ⑤等边三角形的内心、外心、重心等均重合，故正确； ⑧等弧需在同圆或等圆中，仅长度相等不满足条件，故错误．故答案为②⑤． 11．（2025·四川成都·模拟预测）我国古代直至世纪六七十年代，民间航海主要依靠海图指引航行，海图上有详尽数据，包括岛屿，灯塔，暗礁，水深等，船长结合灯塔的位置，通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，表示灯塔，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，是有触礁危险的临界点，就是“危险角”，船与暗礁在的同侧，若，，，当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：过点作于，设与相交于点，连接，则， 设，则，∵，∴，∴，∴， ∵，∴，即，∴， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：． 12．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是上一点，连接，，平分，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线；(2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是的外接圆，是的直径，是上一点， ，，根据圆周角定理得：，， 平分，，，， ，，又是的半径，是的切线； （2）解：如图所示，过点作于点，于点，于点，过点作于，是的外接圆，是的直径，，是直角三角形， 的半径为，，，， 在中，由勾股定理得：， ，，在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：，， ，，，四边形是矩形，， 在中，由勾股定理得：， 平分，，，，， 在中，由勾股定理得：，． 1.（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 【详解】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，；故选项A正确； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确； 若是的内心，即是内切圆的圆心， 如图， ∵， ， ∵是的内心， ， ， ，故选项C正确； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， ，故选项D错误． 故选：D． 1．（2025·成都·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为______． 【答案】 【详解】解：作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，如图所示： ∵的高，相交于点F，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵为的直径，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴的外接圆半径为．故答案为：． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，、分别平分和，延长交的外接圆于点E，交边于点F，连结．给出下面五个结论： ①；②；③；④当为外接圆的直径时，点D为圆心； ⑤当为外接圆的直径时，若，，则的面积为． 上述结论中，一定正确的序号有______． 【答案】②③/③② 【详解】解：①连接．∵平分，∴，∴，∴． 若，又，∴，∴， ∴是直径，而由题意可知，不一定是直径，故①不正确； ②∵，∴∵∴，故②正确； ③∵平分，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴，故③正确； ④连接，∵平分，∴，∴，∴垂直平分，∴， 若点D为圆心，同理可证，∴， ∴是等边三角形，由题意可知不一定是等边三角形，故④不正确； ⑤∵为外接圆的直径，∴． ∵，，∴，， ∴，∴，∴，， ∴在中，，， ∴，故⑤不正确． 综上，一定正确的序号有②③．故答案为：②③． 3．（2025·四川成都·一模）如图，内接于，，是的直径交于点，设，，若，则 ______．    【答案】 【详解】解：如图，连接，，延长交于点，    是的直径，，，， ，，，，， ，，， ，，， ，，，设，，， ，，是的中位线，， ，，，，．故答案为：． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径作弧，与正方形各边相交形成如图所示的阴影．向正方形区域内掷飞镖，假设飞镖每次都落在正方形区域中（落在阴影边线处忽略不计），则飞镖击中阴影区域的概率等于________． 【答案】 【详解】如图，设正方形的边长为，则对角线长为，圆弧的半径为， 分别取边的中点，连接， 其中与交于点，则与交于点 ， 由对称性知阴影图形的面积为， 飞镖击中阴影区域．故答案为： 5．（2025·四川成都·三模）如图，在中，点D是上一点，经过B，C，D三点的与相交于点E，点F为上一点，与点C在直线异侧，连接与相交于点G，．(1)求证：；(2)若点F是的中点，为的直径，，，求和的长． 【答案】(1)见解析(2)的长是，的长是． 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∵，且，∴，∴； （2）解：连接、，作于点L，则， ∵为的直径，∴， ∵点F是的中点，∴，∴， ∴，由（1）得， ∴，，∴，， ∴，， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∵，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴或（不符合题意，舍去）， ∴，∴，∴的长是，的长是． 1．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：则所需铁皮面积故选B 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：正方形ABCD，，， ，，， ，设，则， 在中，，，解得：或，，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，内切于，， ，，，解得：，即的内切圆半径为2，故选：B． 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以，则，即， 解得，，又，所以．故选：B． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形，∴， ∴∴， ∴四边形的周长为．故答案为：48． 5．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 【答案】 【详解】解：延长交圆O于点C，连接，如图所示： ∵扇形的圆心角为∴圆心角，根据圆周角定理得：， 当点在扇形内部延长线上时，则；当点在扇形内部线段上时，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴故答案为：． 6．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：连接，∵，∴为的中点，∴，∴， ∴，∴；故答案为：． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 【答案】/70度 【详解】解：设扇形的圆心角为．由题意得：，解得：．故答案为：． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为_____． 【答案】/80度 【详解】解：连接．∵，，∴，， ∵，∴ ∵，∴．故答案为：． 9．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分；(2)设，求的值；(3)求的值． 【答案】(1)证明过程见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图，连接，由题意，得与相切于点E，∴， 又，∴，∴，∵和都是的半径，∴， ∴，∴，∴平分； （2）解：由（1），得，∵点F在上，∴，∴， 在中，，即，解得， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，即，∴， 在中，，即，设，则， 解得（负值已舍去），∴，∴； （3）解：由圆周角定理，得，如图，过点O作平分，交于点M，连接 由（2），得，∵平分，∴， 又，∴，∴，，∴， 在中，，即，解得， ∴在中，，∴， ∴． 10．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接．(1)设，则 ；（用含的式子表示）(2)求证：；(3)若，求的长． 【答案】(1)或(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵点D是的内心，∴， ∵∴，∵，∴，故答案为：． （2）证明：连接，∵点D是的内心，∴，， ∵，，，∴，∴． （3）解：设，根据题意， ∵，∴，∴， ∵，，∴，解得．故的长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆 第01讲 圆 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 圆的基本概念与性质 题型01 弧、弦、圆心角的关系 题型02 垂径定理及推论 题型03 圆周角定理及推理 命题点二 点、直线与圆的位置关系 题型01 点和圆的位置关系 题型02 直线与圆的位置关系 题型03 三角形的外接圆与确定圆的条件 题型04 切线的判定定理 题型05 切线的性质定理 题型06 切线长定理与三角形的内切圆 命题点三 正多边形与圆、扇形的弧长与面积 题型01 正多边形与圆 题型02 扇形的弧长与面积 题型03 不规则图的面积计算 题型04 扇形与圆锥的关系（计算） 05·重难突破·思维进阶难 45 突破一 圆与几何最值 突破二 圆中的新定义问题 突破三 圆的综合问题 06·优题精选·练能提分 56 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 圆的基本概念与性质 成都卷 T17 （圆周角定理） 成都卷 T17 （圆周角定理及推论） 成都卷 T17 （圆周角定理及推论） 了解圆的相关概念；理解圆心角、弧、弦之间的关系定理；能熟练运用垂径定理、圆周角定理及推论解决相关问题。 点、线与圆的位置关系 成都卷 T17 （切线的性质） 成都卷 T17 成都卷 T17 理解点和圆、直线和圆的三种位置关系；掌握切线的性质定理和判定定理，并能熟练运用于证明和计算；掌握切线长定理、内切圆、外接圆相关知识。 正多边形与圆、扇形的弧长与面积 成都卷 T （不规则图形的面积） 成都卷 T （扇形的弧长） 成都卷T （不规则图形的面积） 了解正多边形与圆的相关概念与运算；理解扇形的弧长和面积的公式，能在具体图形（含不规则图形）中进行运算；掌握圆锥的侧面展开的相关计算。 命题预测 本讲内容近几年成都中考在解答题中主要考查圆的基本性质、直线与圆的位置关系（切线性质判定等），选填题主要考查正多边形与圆、扇形的弧长与面积等，分值在14分左右。从2022年成都中考改革后圆的解答题从A卷最后一题调整到A卷倒数第二题，虽然难度有所下降，但是也不可轻视。毕竟圆的解答题还包含综合我们之前学过的所有几何知识（如：全等、相似、勾股、三角函数等）。 考点一 圆的基本概念与性质 1．与圆有关的概念 1）圆：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。 3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，符号：；小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧。 4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。 6）弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。 7）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。 2.圆的相关性质及推理 1）圆的对称性:圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。 2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3）推论:如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。 若已知上述五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。 注意：若③作为条件时，一定要强调CD不是直径。 4）弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 5）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆的内接四边形对角互补。 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的直径，是上的两点，连接．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 3．（2026·四川成都·校考一模）如图，四边形内接于圆O，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·成都·模拟预测）下列命题是假命题的是（　　） A．等弧就是能够完全重合的弧 B．弦的垂直平分线经过圆心 C．在同圆中，同弧所对应的圆周角是圆心角的2倍 D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 5．（2025·四川成都·校考一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 考点二 点、直线与圆的位置关系 1.点、直线与圆的位置关系类 1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 图1 图2 (1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3． 2）直线和圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下： 图1 图2 图3 (1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。 2.切线的性质与判定 1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。 2）切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）； （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）； （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。 切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。 3）切线长定理 定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 3.三角形的外接圆与内切圆 1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 2）三角形的外心：三角形三边中垂线的交点，叫该三角形的外心。 3）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 4）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，叫该三角形的内心。 5）常见结论 （1）三角形内切圆半径： ，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长； （2）直角三角形内切圆半径： ，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。 1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，与相交于点，点为下方半圆上一点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，与四边形各边都相切，切点分别为，，，，四边形的周长为，则______． 3．（2025·四川成都·二模）如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且． (1)求证：是的切线；(2)若，，，求的半径及线段的长 4．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：；(2)若，，求半圆O的半径及的长． 考点三 正多边形与圆、扇形的弧长与面积 1.正多边形的相关概念与计算 1）正多边形的相关概念 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 2）正多边形的常用公式 （Rn为正多边形外接圆的半径） 边长：；周长：；边心距： ；面积： ； 内角度数：；外角/中心角度数：；边长、半径、边心距的关系： 。 注意：正多边形的内切圆与外接圆为同心圆. 2.弧长、扇形面积、圆锥的相关计算 设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 （1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： 或。 扇形与圆锥的核心关系：圆锥的底面周长=扇形的弧长；圆锥的母线=扇形的半径。 3.不规则图形的面积的计算 求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积。常用的方法有：割补法、等积变换法、图形变换法等。 1．（2025·四川成都·二模）如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形中，，，则的长为 ． 3．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2025·成都·二模）已知圆锥的母线长为3，圆锥的高为，则这个圆锥的侧面积为________． 命题点一 圆的基本概念与性质 ►题型01 弧、弦、圆心角的关系 【典例】1．（2025·成都·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【典例】2．（24-25九年级上·成都·期中）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2026·成都·一模）如图，AB，为的直径，点E为的中点，连接，若，则的度数为______． 【变式】2．（2022·成都·三模）如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为___． ►题型02 垂径定理及推论 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，中，点C为弦的中点，连接，，，则的值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知的半径为13，弦，则上到弦所在直线的距离为1的点有______个． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）下列命题中，假命题是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．过圆心且垂直弦的直线，平分这条弦以及弦所对的弧 C．两平行线间的距离处处相等 D．过圆心且平分弦（弦非直径）的直线，平分并垂直这条弦其所对的弧 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图，中，为弦，为半径，且于点．若，则的度数为（    ） A．28° B．26° C．25° D．24° 【变式】3．（25-26九年级上·成都·期末）水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（    ） A． B． C．或 D．或 ►题型03 圆周角定理及推理 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，A，B，C是上的点，，，交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，为直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，内接于，为直径，半径，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·四川成都·三模）如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 命题点二 点、直线与圆的位置关系 ►题型01 点和圆的位置关系 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为______，的最小值为______． 【变式】1．（24-25九年级下·成都·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在_____． 【变式】2．（24-25九年级下·成都·期中）若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ►题型02 直线与圆的位置关系 【典例】1．（2025·成都·一模）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为______． 【典例】2．（2025·成都·一模）在中，，，O是上一点，，的半径为2，与的关系是__________． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（  ） ①相交；②相切；③相离 A．①②③ B．② C．①③ D．①② 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型03 三角形的外接圆与确定圆的条件 【典例】1．（2025·成都·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为____． 【典例】2．（2025·成都·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是_____． 【变式】2．（2025·成都·二模）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ►题型04 切线的判定定理 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，点在的延长线上，连接，作于点，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线；(2)，，求线段的长． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线；(2)若A，，则的半径是__________． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点为斜边上一点，连接，以为直径作，分别交，于，两点，连接交于点，交于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径及的长． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长． ►题型05 切线的性质定理 【典例】1．（25-26九年级上·成都·期末）如图，是的内切圆，切点分别为，连接．，，则______°． 【典例】2．（2025·成都·二模）如图，，是的切线，，为切点，若，，则的周长是______． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为______． 【变式】2．（2025·成都·三模）如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为_______． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，为外一点，、为的切线，切点分别为、，直线交于点、，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的长． ►题型06 切线长定理与三角形的内切圆 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，周长为的三角形纸片，其中．小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的直线DE剪下一个三角形纸片．则三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）如图，的直径和是它的两条切线，切点分别为切于E，交于，交于C，设，则与的函数图象是（    ） A．B．C． D． 命题点三 正多边形与圆、扇形的弧长与面积 ►题型01 正多边形与圆 【典例】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2022·四川成都·中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（    ） A． B． C．3 D． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式】2．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，正八边形内接于，连接，若，则的半径为（    ） A．1 B． C． D．2 ►题型02 扇形的弧长与面积 【典例】1．（2025·四川成都·三模）中国对滑轮的应用历史悠久．明代《天工开物》详细记录了盐井中滑轮的使用，通过牛力驱动实现高效的井盐开采．如图所示，物理课上同学们研究滑轮作用，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点P转过的角度为___________． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，在扇形中，，，则扇形的面积为______． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将绕着点A逆时针旋转得到，已知A，，C在同一直线上的格点上，则的长为______． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，、是的两条弦，连接、，若的半径为2，，则扇形的面积为__________．（结果保留） ►题型03 不规则图的面积计算 【典例】1．（2023·四川成都·中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73）    【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为_____． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是__________． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图，在等腰中，，．以点为圆心，的长为半径作；再以为直径作，向该图形随机投掷飞镖，每次飞镖都落在图形上，则飞镖落在阴影部分的概率为________（用含的代数式表示）． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为______． ►题型04 扇形与圆锥的关系（计算） 【典例】1．（25-26九年级上·成都·期中）已知一个圆锥的底面半径为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B．20 C． D．40 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）若一个圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥的母线与其底面圆的半径之比为，则这个圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2026·成都·模拟预测）把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 【变式】2．（24-25九年级上·成都·校考期末）小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　） A． B． C． D． 突破一 圆与几何最值 【典例】（2025·成都·二模）如图，在△ABC中，AB=AC=，∠B=30°，点O为BC上一点，以点O为圆心，圆与△ABC交于A、B、D三点，点E为直径BD下方半圆上一动点，连接AE、DE 图中阴影部分面积的最大值为________． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是________． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结．（1）当D为弧的中点时， _______；（2）当D在弧上运动时，的最小值为_______． 突破二 圆中的新定义问题 【典例】（2025·四川成都·三模）平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为d，d的取值范围为_____________．    【变式】1．（2025·四川成都·三模）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”．当矩形的长和宽分别为3和2时，其“加倍矩形”的外接圆半径为 ________________． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）对于平面直角坐标系中的圆和点P给出如下定义：对于圆上的动点Q，若点P到动点Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的3倍，则称点P为圆的“三分点”．已知，，以坐标原点O为圆心，r为半径画圆，以坐标原点为圆心，为半径画圆，若线段上存在的“三分点”，则r的取值范围是________． 【变式】3．（2025·四川成都·二模）平面内，对于图形与点，给出如下定义：图形绕点逆时针旋转得到图形，若图形与图形有重叠，则称图形关于点“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点分别是，．若以为圆心，为半径的上存在点，使线段关于点“逆垂相关”，则的取值范围是_____． 突破三 圆的综合问题 【典例】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．(1)求证：；(2)若，，，求的长和的直径． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点 (1)求证：是的切线；(2)若，，求和的长． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，点G在线段上，，点B是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，．(1)如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整． 探究1 假设，求的长． 探究2 设，求的长． 解：… 解：… (2)过点A，F，G的交边于点H．①连接，，若是等腰三角形，求的长． ②当与边有两个交点时，求的取值范围． 1．（2025·四川成都·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 2．（2025·成都·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 3．（2025·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·成都·一模）下列结论说法正确的是（    ） ①的内切圆半径为，周长为，则的面积是； ②有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，若这个圆锥的侧面展开图是半圆，则它的母线长；③以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆面积四等分，则这三个圆、、的半径比为． A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 5．（2025·四川成都·一模）如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川成都·一模）如图，，在射线上取一点C，使，以点O为圆心，的长为半径作，交射线于点D，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（不与点C重合），连接．以下结论错误的是（　　）    A． B． C．的长为π D．扇形的面积为12π 7．（2025·四川成都·三模）魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为__________． 8．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知圆锥的侧面展开图的圆心角为，半径长为6，则该圆锥的主视图的周长为________．    9．（2025·四川成都·模拟预测）如图，内接于，是的直径，若，则劣弧长度为________． 10．（2025·成都·三模）以下命题中，正确的有___________．（填序号） ①过三点一定有一个圆；②同弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两段弧； ④三角形的外心是三个内角的角平分线交点．⑤等边三角形的内心与外心重合；⑥长度相等的弧是等弧 11．（2025·四川成都·模拟预测）我国古代直至世纪六七十年代，民间航海主要依靠海图指引航行，海图上有详尽数据，包括岛屿，灯塔，暗礁，水深等，船长结合灯塔的位置，通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，表示灯塔，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，是有触礁危险的临界点，就是“危险角”，船与暗礁在的同侧，若，，，当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角的取值范围是______． 12．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是上一点，连接，，平分，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为，，求的长． 1.（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 2．（2025·成都·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为______． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，、分别平分和，延长交的外接圆于点E，交边于点F，连结．给出下面五个结论： ①；②；③；④当为外接圆的直径时，点D为圆心； ⑤当为外接圆的直径时，若，，则的面积为． 上述结论中，一定正确的序号有______． 4．（2025·四川成都·一模）如图，内接于，，是的直径交于点，设，，若，则 ______．    5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径作弧，与正方形各边相交形成如图所示的阴影．向正方形区域内掷飞镖，假设飞镖每次都落在正方形区域中（落在阴影边线处忽略不计），则飞镖击中阴影区域的概率等于________． 6．（2025·四川成都·三模）如图，在中，点D是上一点，经过B，C，D三点的与相交于点E，点F为上一点，与点C在直线异侧，连接与相交于点G，．(1)求证：；(2)若点F是的中点，为的直径，，，求和的长． 1．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 5．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 6．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为_____． 9．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分；(2)设，求的值；(3)求的值． 10．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接．(1)设，则 ；（用含的式子表示）(2)求证：；(3)若，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $