第01讲 多边形与平行四边形（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第五章 四边形 第01讲 多边形与平行四边形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 多边形 题型01 多边形的内角和 题型02 多边形的外角和 题型03 平面镶嵌 题型04 多边形的其他计算问题 命题点二 平行四边形的性质与判定 题型01 平行四边形的基本性质 题型02 平行四边形的性质（求角度、长度、面积、坐标） 题型03 平行四边形的判定 题型04 平行四边形的性质与判定综合运用 命题点三 中位线 题型01 中位线的性质 题型02 中位线的综合运用 05·重难突破·思维进阶难 36 突破一 平行四边形的与几何变换（平移、折叠、旋转）问题 突破二 坐标系（函数）与平行四边形综合压轴 突破三 平行四边形为背景的最值问题 突破四 平行四边形为背景的综合压轴问题 06·优题精选·练能提分 51 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 多边形 成都卷 T11 （多边形内角和） / / 掌握多边形内角和公式 (n−2)×180°，外角和恒为360°；及正多边形的相关概念与性质。 平行四边形 成都卷 T25 （性质） 成都卷 T8 （性质） 成都卷 T18 （性质） 成都卷T5 （性质） 掌握平行四边形的性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）；会用判定定理（边、角、对角线）判定平行四边形。 中位线 / 成都卷 T22 成都卷 T26 / 掌握三角形的中位线的相关定义；利用中位线的平行性和长度关系进行线段长度计算、位置关系判断及图形证明。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查平行四边形的基本性质与判定，多边形的内角和、外角和，中位线的相关计算、证明等，分值在10分左右。多边形内角和、外角和公式方面进行边数与角度的计算，关注正多边形的中心角、边心距等概念，为后续与圆的结合题打好基础。平行四边形（含多边形）是中考几何的基础核心内容，考查覆盖面广，难度中等。整体命题会注重知识的综合应用，例如：在坐标系中探究平行四边形的存在性，或结合函数图像考查动态平行四边形的性质，着重考查学生的知识迁移与数形结合能力。 考点一 多边形 1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形 。 2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的 对角线 。  3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引 （n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了 (n－2) 个三角形，n边形的对角线条数为 。 4）多边形内角和定理：n边形的内角和为 (n−2)∙180°（n≥3） 。 5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 360° ，与多边形的形状和边数无关。 6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做 正多边形 。 7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360°；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形、正方形、正六边形。如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。 1．（2026·成都·校考一模）一个正多边形，它的每一个外角都等于，则该正多边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【答案】D 【详解】解：根据题意可知该多边形是正多边形，∴它的每一个外角都相等， ∵多边形的外角和是，每个外角是，∴这个正多边形的边数是．故选：D． 2.（2025·成都·模拟预测）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________． 【答案】6 【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为， ，解得．故答案为：． 3.（2025·成都·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，这三种边长相等的正多边形的内角和为， 则， ∴，∴，故答案为：． 4．（2025·成都·一模）如图，某同学探究n边形的内角和公式，首先将以顶点为端点的对角线、、、、、连接，将此n边形分割成个三角形，然后由每个三角形的内角和为，可得n边形的内角和为．该同学的上述探究方法所体现的数学思想是（   ） A．分类讨论 B．公理化 C．类比 D．转化 【答案】D 【详解】解：探究多边形内角和公式时，从n边形的一个顶点出发引出条对角线，将n边形分割成个三角形，这个三角形的所有内角之和即为n边形的内角和，这一探究过程运用的数学思想是转化思想．故选D． 5．（2025·成都·模拟预测）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么十边形的对角线有（　　） A．27条 B．30条 C．35条 D．44条 【答案】C 【详解】解：十边形的对角线的条数为．故选：C． 6．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ． 【答案】2 【详解】解：连接， ∵正六边形，∴，， ∴，∴， ∵正六边形为轴对称图形，∴， ∴，∴；故答案为：2． 考点二 平行四边形 1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形 。 2）平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分； （4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。 4）补充性质： （1）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积和周长。 （2）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE。 （3）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。 （4）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD。 5）平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 1．（2025·四川成都·二模）在平行四边形中，如果，那么的度数是 【答案】/60度 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，解得：，∴，故答案为：． 2．（2025·成都·校考一模）如图，在平行四边形中，与交于点，则下列结论中不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形，∴，，， ∴，而对角线不一定相等，故不成立，故选D． 3．（2025·四川成都·二模）如图，四边形是平行四边形，，若对角线的长为，的长为，则边的长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】解：如图设交于点， ∵四边形是平行四边形，，，∴，， ∵，则，∴，故选：D． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，两弧在直线上方交于点D，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，∴四边形是平行四边形， ∴，故选：D． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E，F分别是，中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形：(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，E是中点，，∴， ∵，∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，，， ，，∴， ∵点E，F分别是，中点，∴​​​​​​​． 考点三 中位线 1）三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。 2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 3）三角形中位线定理的作用：（1）证明位置关系：可以证明两条直线平行；（2）证明数量关系：可以证明线段的倍分关系。 4）常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 1．（2025·四川成都·二模）如图，点和分别是边和的中点．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为 ． 【答案】/ 【详解】解：点和分别是边和的中点， 是的中位线，，，， ，针尖落在区域内的概率为；故答案为：． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，交于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线交于点P．若的中点为点M，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：由作图知，平分，∴， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵的中点为点M，∴是的中位线，∴，故答案为：2． 3．（2025·成都·一模）如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵，分别为，的中点，∴，且， 要使最小，只要最小，当时，最小，∵的最小值为3，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵四边形是菱形，∴．故答案为：． 命题点一 多边形 ►题型01 多边形的内角和 【典例】1．（2026成都·模拟预测）若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【详解】解：设正多边形的边数为，则每个内角为， ∵正多边形的一个内角是，∴，解得：，即该多边形的边数是，故选：D． 【典例】2．（2025·成都·一模）如图，在正五边形中，点F在边上（不与端点重合），点G在边上，，连接交于点H，则 °． 【答案】72 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，每个内角的度数为，如图所示，连接 ， 在中，，，∴， ∴，同理，在中，，， 在中，，， ∴，，∴， ∵，∴，即， 又，∴，∴， ∴， ∵，，∴， ∴，故答案为： ． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝ ． 【答案】18° 【详解】解：如图连接BD．∵ABCDE是正五边形，∵∠E＝∠EAB＝108°，ED＝EA， ∴∠EAD＝∠EDA＝36°，∴∠DAB＝108°﹣36°＝72°， ∵四边形ABFG是正方形，∴∠GAB＝90°，∴∠GAD＝∠GAB﹣∠DAB＝90°﹣72°＝18°．故答案为18°． 【变式】2．（2025·成都·三模）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，如图是采用六边形窗格，其轮廓是正六边形，则这个正六边形的一个内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正六边形的内角和为：， 正六边形的每个内角的度数为：，故选：B． ►题型02 多边形的外角和 【典例】1．（2025·成都·一模）如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（   ） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 【答案】D 【详解】解：，所以这个多边形是正十边形，故选：D． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是 ． 【答案】36 【详解】解：由题意可得中间的五边形为正五边形，∴等腰三角形的底角， ．故答案为：36． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）若一个多边形的每个外角等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：∵多边形的外角和等于，每个外角为，∴边数．故选：B． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）若某个正多边形的一个内角是其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】10 【详解】解析：设该正多边形的一个外角为，则其相邻的一个内角为．由题意，可得，解得．该正多边形的一个外角为，这个正多边形的边数为． ►题型03 平面镶嵌 【典例】1．（2025·成都·二模）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：∵正五边形一个内角的度数为， ∴正m边形的一个内角的度数为，∴，解得．故选：C． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，由题意，，，， ∴，， ∴，∴；答案为： 【变式】2．（2025·成都·一模）如图，这是儿童玩具底板的一幅图案，供小朋友拼图用的是正方形的木块和正n边形木块．由于小朋友只选了正方形的木块，导致没有拼成．老师鼓励他选取正n边形的木块试试，他试了几次终于成功了．这里的 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得正边形的一个内角为， 则，解得，故答案为：． ►题型04 多边形的其他计算问题 【典例】1．（2025·四川成都·二模）如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正六边形，是正三角形， ∴，，， ∴，∴是等边三角形，∴， 同理，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴，同理， ∴正六边形的面积是，故选：D． 【典例】2．（2025·成都·三模）若正多边形的一个顶点出发有条对角线，则该正多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该正多边形的边数是，∵正多边形的一个顶点出发有15条对角线， ∴，解得：，故选：D． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）边长为的正六边形中，较短的那条对角线的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过作于， ，，，∵， ，，较短的那条对角线的长为．故答案为： 【变式】2．（2025·成都·一模）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：每个外角都是，这个多边形的边数为：， 这个正多边形的对角线是条．故选：B． 命题点二 平行四边形的性质与判定 ►题型01 平行四边形的基本性质 【典例】1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；故选：B． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）下列说法中错误的是（   ） A．平行四边形两邻角的平分线相交所成的角是直角 B．平行四边形两条对角线将四边形分成的四个小三角形的面积相等 C．平行四边形的邻角互补 D．在中，可能等于 【答案】D 【详解】解：A、平行四边形的邻角互补，和为，两邻角的平分线分别将角分为原角的一半，两平分线相交形成的角为，故A正确； B、 平行四边形的对角线互相平分，分成的四个小三角形底边相等、高相同，面积相等，故B正确； C、平行四边形的对边平行，邻角为同旁内角，互补，故C正确； D、平行四边形对角相等，若为，则，，与对角相等矛盾，故D错误．故选：D． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期末）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由尺规作图可知，平分， ，故A选项一定成立，不符合题意；， 四边形为平行四边形，，，， ，，故B选项一定成立，不符合题意； ，，，故C选项一定成立，不符合题意； 根据已有条件推不出，故D选项不一定成立，符合题意；故选：D． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）如图，过平行四边形对角线的交点O的一条直线，分别交边于点E，F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．与全等 D．四边形与四边形的面积相等 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， 即：四边形与四边形的面积相等，故D正确； A、B、C根据现有条件，均不能推导出；故选：D ►题型02 平行四边形的性质（求角度、长度、面积、坐标） 【典例】1．（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴；∵平行四边形，∴，∴， ∴，故选：C． 【典例】2．（24-25九年级上·四川成都·期末）在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则 ． 【答案】 【详解】解：由作图可知，平分，， 四边形是平行四边形，，， ．故答案为：． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可得，是的平分线，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∴，∴，∴，故选：. 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平行四边形中，．利用尺规在上分别截取，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内，交于点G；作射线交于点H．若，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：在中，，∴，，， 由作图知，平分，∴， ∵，∴，∴，∴，过B作于P，    ∴，∴，， ∴，∴， 故答案为：． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图，的对角线相交于点O，且，，则的周长是（    ） A．18 B．29 C．36 D．47 【答案】B 【详解】解：∵，∴，， ∴的周长为，故选：B． ►题型03 平行四边形的判定 【典例】1．（2025·四川成都·中考模拟预测）如图所示，在四边形中， ，要使四边形成为平行四边形还需要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故A选项错误； B、∵AD∥BC，∴∠1=∠2， ∵∠B=∠D，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项正确． C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误； D、根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故D选项错误；故选B 【典例】2．（2025·浙江杭州·二模）如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，，∴，，， ∵，∴，在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，在中，要对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有①，②，③三种方案，①只需要满足；②只需要满足，；③只需要满足AE，CF分别平分，，则正确的方案是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【详解】解：如下图，连接AC与BD相交于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO， ∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠ABD=∠BDC， ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∴和①一样了，故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=DCB，∠ABD=∠BDC，AB=CD， ∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF， ∴BE=DF，∴和①一样了，故③正确，故选：A． 【变式】2．（2025·成都·三模）如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，， 又，四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵，∴，，，， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵，∴，不能判断四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、∵，，又，四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在平行四边形中，连接对角线，点在边上，平分，请完成以下作图和填空： (1)如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：四边形是平行四边形，连接对角线，点在边上，平分，平分，交于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形，，_____①______．． 平分，____②_______． 平分，______③______．． ，___④_____，四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析(2)①；②；③；④ 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）证明：四边形是平行四边形，，．． 平分，． 平分，；．． ，，四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． ►题型04 平行四边形的性质与判定综合运用 无理数的估计大多采用两端逼近法。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）如图，在四边形中，； ，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，四边形是平行四边形，，， ，，， ，，， ，，，， ，，，， ，， ，．故选：C． 【典例】2．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点分别为上的两点．(1)如图1，若，且，求证：； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)． 【详解】（1）证明：∵，，，∴， ∵，四边形是平行四边形，∴四边形是矩形， ∴，∴； （2）证明：在的延长线上取点M，使， ∵平行四边形，∴，∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴； （3）解：延长至N，使，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴． 【变式】1．（2025·成都·一模）由两个宽相等的矩形按如图方式摆放，夹角为，若矩形宽为，则重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于点，过点作边垂线，∵两矩形宽度均为∴ 由题可知重叠部分为两矩形重叠而成∴，∴四边形为平行四边形， 在中，，，则,， 则平行四边形面积为．故选C． 【变式】2.（2025·四川成都·三模）如图，在平行四边形中，，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，        ∵在中，，∴，∴是等边三角形， ∴，，∴∴， ∴；∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为， 当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∵∴四边形是矩形，∴即是直角三角形， 综上所述，旋转角的度数为或或，故答案为：或． 【变式】3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，线段，，点在线段上方绕点转动．以，为邻边作平行四边形，是的中点，是上一点，连接，． (1)如图1，当四边形为矩形，时，求的长； (2)如图2，当时，求的长． (3)如图3，当时，连接交于点，在点旋转过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)的长为(2)的长为(3)的值为定值，定值为 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴，，． ∵是的中点，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴，∴． ∴，即，解得； （2）解：延长，交的延长线于点． ∵四边形为平行四边形，∴，，． ∵是的中点，∴．∵，∴设，则，． ∵，∴，解得，∴．∵，∴． 在和中，，∴． ∴，，∴． ∴，，∴． ∵，∴．∴，即，解得； （3）解：在点旋转过程中，的值为定值，这个定值为．理由如下： 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点． ∵四边形为平行四边形，∴，． ∵是的中点，∴．∵，∴． ∴，．∴， 设，则．∵，∴，∴． ∵，∴．∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，． ∵，∴，∴，∴，∴．设， ∵，∴，即，解得． ∴，∴． ∴在点旋转过程中，的值为定值，这个定值为． 命题点三 中位线 ►题型01 中位线的性质 【典例】1．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，点D，E，F分别是的中点，则四边形的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【详解】解：点D，E，F分别是的中点， 、均为的中位线，，， 四边形的周长．故选：B． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，点D，E分别在边和上，连接，若是的中位线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的中位线∴，∴， ∴，∴，故选B． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，在中，点D是边中点，点E是边中点，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点D是边中点，点E是边中点，∴是的中位线， ∴，∴， ∵，，∴，∴；故选：C． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在中，平分交于点M，，连接，E，F分别是，的中点，若，则的长为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【详解】解：在中，，，∴， ∵平分交于点M，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵E，F分别是，的中点，∴是的中位线，∴，故选：A 【变式】3．（2025·成都·一模）如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 【答案】A 【详解】解：延长交于点F， ∵平分，∴， 在与中，，∴，∴， 又∵D是中点，∴，∴是的中位线， ∴∴，故选：A． ►题型02 中位线的综合运用 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，取的中点，连接，作于． ∵四边形是平行四边形，，，， ，∴是等边三角形，， ，，， 在 中，∵，， ，，则的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为，∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为．故选：C． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如图，四边形中，，，是的中点，连接并延长交于点，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于点， ，是的中点，，，， ， ，，，， ，是的中位线，， ，，，，， ，，， ，，，， ，．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，矩形中，，，点在边（不包含端点）上运动，点在边（包含端点）上运动，连接，，分别为，的中点，则长度的最大值与最小值的差为 ． 【答案】2 【详解】解：连接、． ∵，分别为，的中点，∴是的中位线，∴． 在矩形中，，．当与重合时，，此时最小，； 当与重合时，，此时最大，． ∴长度的最大值与最小值的差为．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在四边形中，，，，F为上一点，连接，使，若E为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过点D作于点G，取的中点H，连接， ∵，∴，∴，∴四边形是矩形， 又∵，∴四边形是正方形，∴， 又∵，∴， ∴，∴， ∵H为的中点，∴∴， ∵E为的中点，，∴，，∴， ∴，故答案为：． 【变式】3．（2025·成都·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 【答案】（1）（2）见解析（3）见解析（4）见解析（5）见解析 【详解】解：（1）∵是三边的中点，∴， ∴，∴，∴； （2）如图所示，即为所求； （3）如图，连接，分别是的中点，，． 同理：，．，．四边形是平行四边形． （4）方法一：连接，，．又为中点，． ，即．同理，，， ，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点． ，． 又为中点，．，． 又，，四边形为平行四边形．． ．同理：． ． （5）如图所示，四边形即为所求．（画出一种即可） 突破一 平行四边形的与几何变换（平移、折叠、旋转）问题 【典例】（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为 ；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】解：若与重合，在上，且，则， ，．． ，．由勾股定理得，． ，． ．． 与四边形的面积的比为． 若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为， 如图，取的中点，的中点，连接， 四边形是平行四边形，，． ，，，． 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形． 平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为． 连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合，∴此时，四边形的面积与四边形的面积的比为， 四边形的面积与四边形的面积的比为． 当时，取最小值，由可知，的最小值为， 作，交延长线于点，则， ，．，． ．． ，，．． ．． 如图，取的中点，的中点，连接， 四边形是平行四边形，，． ，，，． 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形． ，，平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为． 连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合，四边形的面积与四边形的面积的比为，     四边形的面积与四边形的面积的比为． 作，交延长线于点，作于点，则，， ．．，，． ．．，． ．四边形为矩形．，． ，，，． ．∴折痕长的取值范围是或． 故答案为：；或． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：延长与交于点M， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，∵∴是等腰直角三角形，∴， ∵，则即∴，由折叠知， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∴，故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，，，．将沿着线段方向平移一定的距离得到，连接，． 【尝试初探】（1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】（2）如图，连接，当时，求的值； 【拓展延伸】（3）在点平移到与点重合的过程中，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【详解】解：（1）在平行四边形中，，，∵，∴， ∵将沿着线段方向平移一定的距离得到，点和点重合， ∴，，∴四边形是平行四边形． 又∵，∴四边形是矩形，∴， 在中，，，∴， ∴，∴； （2）如图，连接，设与交于点， ∵将沿着线段方向平移一定的距离得到， ∴，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，，∴，又∵，∴， ∴，即，∴，， 又∵，，∴，∴， 又∵，∴，∴，即， ∴，，∴，， 在中，，∴的值是； （3）①当时，如图，连接，交AC于，由（2）知：四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，∴，， ∵在平行四边形中，，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴； ②当时，如图，作射线， ∵将沿着线段方向平移一定的距离得到， ∴，当时，最小，此时四边形仍为菱形， 由①知：，∴， ∴，∴不成立； ③当时，点在CD的垂直平分线上，如图，过点作于点，∴， ∵，∴，∵，∴四边形是矩形，∴点在上， ∴，即，∴，∴， 综上所述，的长为或． 突破二 坐标系（函数）与平行四边形综合压轴 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点和点的坐标；(2)点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若的面积为，求；(3)在（2）的条件下，点在图象上，点是轴上的一动点，是否存在以、、、为顶点的四边为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 【答案】(1)，(2)5(3)存在，或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，∴当时，，∴， 联立一次函数与反比例函数解析式得：，解得：，， ∵，∴； （2）解：如图，过点作轴于点，交于，过作轴于，设，设直线的解析式为， ∵，，∴，解得：， ∴直线的解析式为：，∵，∴点和点横坐标相等， 当时，，∴，， ∵的面积为，∴，即， 整理得：，解得：，，由题可得：， ∴，∴，直线的解析式为：，∴， ∵轴，轴，∴，∴，∴， ∵，∴； （3）解：存在，理由如下：假设存在以、、、为顶点的四边为平行四边形， ∵点在图象上，点是轴上的一动点，∴设，， ∵，， 当平行四边形以为对角线时，得，解得：，∴； 当平行四边形以为对角线时，得，解得：，∴； 当平行四边形以为对角线时，得，解得：，∴； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边为平行四边形，或. 【变式】1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式；(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或或 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得，； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且，． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为，把，代入中得， ，解得，直线的解析式为． 点的横坐标为，把代入得，； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，，，，解得， 把代入，； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，，，，解得， 把代入，； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，，，，解得， 把代入，； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 突破三 平行四边形为背景的最值问题 【典例】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 ．    【答案】//4.8 【详解】如图，设，交于点，过点作于点，连接    四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点，∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小， 即当重合时，最小，∴ ，∴ ∵，即 ∴，∴故答案为： 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若，，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，分别是，的中点，∴， 当为直径时，长最大，∵为直径，∴，且，， ∴，∴，∴长的最大值为．故选：A． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在中，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接，分别取的中点，连接， ∵点G为的中点，∴是的中位线，是的中位线，∴， ∵点F在上运动，∴，∴三点共线， ∴点G在线段上运动，∴当时，的值最小， 在中，，，，，， ，，， 为的角平分线，，∵，， ，即，的最小值为， ，，，，，故选：B． 突破四 平行四边形为背景的综合压轴问题 【典例】（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】（1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图2，当时，点在边上，若，求值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）4；（3） 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，又∵，∴； （2）∵，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∴，由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∴，∴，解得：，∴，∴； （3）解：如图，延长交于点，设， ∵，∴，，∴， ∵折叠，∴∵，即∴ ∴即∴ ∵四边形是平行四边形，∴ 又∵折叠，∴∵∴∴ ∵∴；∵∴∴ 又∵∴∴即∴ ∵∴∴；∴解得： ∴ 又∵∴∴． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）菱形中，点E为边上一动点，射线与的延长线交于点F，连接，射线与交于点G． (1)如图1，E为中点，．①求证：；②若，求线段的长； (2)如图2，点H在边AD上，若，，线段的长为________． 【答案】(1)①见解析；②(2)或 【详解】（1）证明：①证明：∵四边形是菱形，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； ②解：如图，延长与交于点， ∵四边形是菱形，∴，，∴， ∵为中点，∴，由①得，，∴， ∵，，，∴， ∴，，∴，同理可得，， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴线段的长为； （2）解：如图，延长与交于点，连接， ∵四边形是菱形，∴，，， ∴和是等边三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∴；∵，，， 设，则，，，，， ，，， ， ，，，，解得：，， ①当时，，， 设，则，作于点，则， ，， ，在中，，， 解得：，（舍去），，， ， ②当，，， 同理①的方法可得，，，， 综上所述，线段的长为或． 【变式】2．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时，①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 【答案】(1)①见解析；②(2) 【详解】（1）解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵是边中点，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②如图所示，延长交于M，∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，，∴，，∴， ∵是边中点，∴，设，则， ∴，∴， ∵，∴；∴，， 设，则，∴，∴； （2）解；如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，又∵，∴； ∵，， ∴，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，设， ∵，∴，即∴， ∵，即，∴，∴； ∵，∴，即， ∴，解得或（舍去），∴． 1．（2025·成都·模拟预测）关于多边形，下列说法中正确的是（　　） A．过七边形一个顶点可以将其分割为6个三角形 B．凸多边形的外角和随着边数增加而增加 C．凸多边形若各边相等则为一个正多边形 D．凸多边形的内角和不一定大于它的外角和 【答案】D 【详解】解：A，过七边形一个顶点可以作4条对角线，将其分割为5个三角形，故此选项说法错误，不符合题意；B，凸多边形的外角和是360°，与边数无关，故此选项说法错误，不符合题意； C，凸多边形若各边相等，但各内角不相等，这个凸多边形不是正多边形，故此选项说法错误，不符合题意； D，三角形的内角和小于它的外角和，四边形内角和等于它的外角和，其他多边形内角和大于它的外角和，故此选项说法正确，符合题意．故选：D． 2．（2025·成都·三模）如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：如图：连接CE,GF ∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝4∴AF=EF=AB=4，每个内角： ∵点G是AE的中点∴，则， ∴，∵∴（同理） ∴∴故选B． 3．（2025·四川成都·二模）如图，中，的平分线交于E，，，则的长（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：如图所示，中，，，，∴， 又∵平分，∴，∴，∴， ∴，故选：A． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知，为的角平分，∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形，∴， ∵∴，∴， ∴，∴，故B正确； ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，，故D错误； ∵，∴，故C正确，故选：D． 5．（2025·成都·模拟预测）如图，平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点，点恰好落在边上，则为(    ) A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点，，， ，．故选：A． 6．（2025·成都·模拟预测）已知在▱中，，设，则下列选项中，为定值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，作于点． ∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，∵，∴． ∵，∴． ∵四边形为平行四边形，且，， ∴，，∴．故选：． 7．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形∴∴ 又∵∴在上，∵四边形是平行四边形， ∴，，∴， ∵，∴∴．故选：B． 8．（2025·成都·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】A 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．由尺规作图可知，所作的四边形两组对边分别平行，根据此判定定理可直接判定其为平行四边形，故该选项符合题意； B、题干中未明确体现所作四边形两组对边分别相等这一判定条件，故该选项不符合题意； C、题干中未提及所作四边形的对角线情况，故该选项不符合题意； D、题干中未明确体现所作四边形一组对边平行且相等这一判定条件，故该选项不符合题意； 故选：A． 9.（2025·四川成都·二模）在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接；②以A为圆心，以的长为半径作弧，以为圆心，以的长为半径作弧，两弧在右侧交于点；③连接，连接交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由步骤②可知，，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，，，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，∴,，∴，∴， 又∵，∴，故C选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，∴，故D选项错误，符合题意．故选：D． 10．（2025·成都·二模）如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为、的中点，若，则的长（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：分别为、的中点，，，． 在中，，是斜边上的中线，，．故选：D． 11．（2025·成都 模拟预测）如图，正六边形由3个全等的五边形无缝隙、不重叠地拼接而成，已知，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵正六边形由3个全等的五边形无缝隙、不重叠地拼接而成 ∴，， ∵，∴故答案为：． 12．（2025·四川德阳·二模）凸六边形的对角线条数为 条． 【答案】9 【详解】解：凸六边形的对角线条数为条，故答案为：9． 13．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：为线段的中点；(2)若，，求平行四边形面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)平行四边形面积为． 【详解】（1）证明：∵是的中点，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， 在和中，，∴ ∴，∴，∴为线段的中点； （2）解：由（）知， ∵，∴，过点作于，∴， 在和中，， 即解得，∴ ∴，∴平行四边形面积． 14．（2026·成都·模拟预测）【猜想探究】如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】（2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】（3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度． 【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；（2）；（3）5 【详解】解：（1）操作1：将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，则，，，∴，即， ∵D是的中点，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； 操作2．延长到点F，使，连接． ∵E分别为的中点，∴，又， ∴,∴，，∴，即， ∵D是的中点，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半， 故答案为：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 （2）∵四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，∴，，，， ∴四边形为平行四边形；∵，，∴，， ∵，，，∴， 过H作于M，则， ∴四边形的面积为； （3）连接，取的中点M，连接，， ∵点P和点Q分别为边和边的中点，，， ∴，，，，∴，， ∵，∴， ∴，即小路的长度为5． 1．（2025·成都·模拟预测）在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C． 或 D．或 【答案】C 【详解】解：当在之间时，如图， 根据，不妨设，，， ∴，由翻折的性质知：， ∵沿直线l翻折至所在直线，∴， ∴，∴，过F作的垂线交于点E， ∴，∴， 当在的延长线上时，如图， 根据，不妨设，，，同理知：， 过点F作的垂线交于E，∴，∴，故选：C． 2．（2025·成都·模拟预测）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形，的面积的面积， 四边形是平行四边形，， ，，的面积的面积，， 四边形是平行四边形，的面积的面积，的面积的面积， ∵四边形面积为，的面积为，故选：B． 3．（2025·四川成都·一模）如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，即，故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，沿过点的直线翻折，使点的对应点刚好落在边的延长线上，折痕交线段于点，连接交边于点，连接，若，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴设，则，∴， 由轴对称的性质可得：，， ∵四边形是平行四边形，∴，，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∵， ∴，∴，而，∴， ∴，∴，∴；故答案为： 5．（2025·成都·一模）阅读与思考 下面是某小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行四边形准中点四边形”的研究报告 研究对象：平行四边形的“准中点四边形”． 定义：如图1，分别是各边的中点，连接交于点，连接，交于点，则四边形称为的“准中点四边形”． 性质：四点共线． 结论：1．四边形为平行四边形；2．当满足什么条件时，其“准中点四边形”为菱形？ 任务一：（1）写出结论1的证明过程． 任务二：（2）直接写出结论2中满足的条件：______． 任务三：（3）如图2，已知矩形为某平行四边形的准中点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，， 分别是的中点，，， 又，∴四边形为平行四边形，， 同理，四边形为平行四边形． （2）解：当平行四边形满足时，准中点四边形是菱形， 由（1）得四边形是平行四边形， ∵，∴，∴准中点四边形是菱形，故答案为：； （3）解：连接，作直线，与交于点O，然后作，，然后连接、、、，如图所示，即为所求， 证明：矩形，∴， ∵，∴，∴四边形为平行四边形； 分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示： ∵矩形，∴，∴，∴， 由作图得，∴，∴，∴点F为的中点， 同理得：点E为的中点，点G为的中点，点H为的中点． 1．（2025·四川凉山·中考真题）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（    ）条对角线 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得，，解得， ∴这个多边形是十边形，∴从这个多边形一个顶点可以引条对角线，故选：B． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形中，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴；故选B． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，即为中点， ∵是的中点，∴是中位线，∴， ∵，点P是的中点，∴，即，故选：． 4．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：根据作图可知：，∵，∴为等边三角形， ∴，∴；故选D． 5．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【答案】C 【详解】解：连接，在中，，分别为，中点， 且，，，且， 四边形是平行四边形，，同理，且． ∴四边形是平行四边形，则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误．选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值，故选：． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于 ． 【答案】 【详解】解：如图，由题意和图（2）可知：， 可得 ∴故答案为：． 7．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：1． 8．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ． 【答案】2 【详解】解：连接， ∵正六边形，∴，， ∴，∴， ∵正六边形为轴对称图形，∴， ∴，∴；故答案为：2． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③，理由见解析 【详解】解：添加②为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵∴∴四边形是平行四边形． 添加③为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形； 选择①无法得出四边形是平行四边形． 10．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析(2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵点为的中点∴， ∵∴，， 在和中∴，∴ ∵∴四边形是平行四边形； （2）证明：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵ ，点是边上的中点，∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形，∴ 四边形是矩形. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 四边形 第01讲 多边形与平行四边形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 多边形 题型01 多边形的内角和 题型02 多边形的外角和 题型03 平面镶嵌 题型04 多边形的其他计算问题 命题点二 平行四边形的性质与判定 题型01 平行四边形的基本性质 题型02 平行四边形的性质（求角度、长度、面积、坐标） 题型03 平行四边形的判定 题型04 平行四边形的性质与判定综合运用 命题点三 中位线 题型01 中位线的性质 题型02 中位线的综合运用 05·重难突破·思维进阶难 36 突破一 平行四边形的与几何变换（平移、折叠、旋转）问题 突破二 坐标系（函数）与平行四边形综合压轴 突破三 平行四边形为背景的最值问题 突破四 平行四边形为背景的综合压轴问题 06·优题精选·练能提分 51 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 多边形 成都卷 T11 （多边形内角和） / / 掌握多边形内角和公式 (n−2)×180°，外角和恒为360°；及正多边形的相关概念与性质。 平行四边形 成都卷 T25 （性质） 成都卷 T8 （性质） 成都卷 T18 （性质） 成都卷T5 （性质） 掌握平行四边形的性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）；会用判定定理（边、角、对角线）判定平行四边形。 中位线 / 成都卷 T22 成都卷 T26 / 掌握三角形的中位线的相关定义；利用中位线的平行性和长度关系进行线段长度计算、位置关系判断及图形证明。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查平行四边形的基本性质与判定，多边形的内角和、外角和，中位线的相关计算、证明等，分值在10分左右。多边形内角和、外角和公式方面进行边数与角度的计算，关注正多边形的中心角、边心距等概念，为后续与圆的结合题打好基础。平行四边形（含多边形）是中考几何的基础核心内容，考查覆盖面广，难度中等。整体命题会注重知识的综合应用，例如：在坐标系中探究平行四边形的存在性，或结合函数图像考查动态平行四边形的性质，着重考查学生的知识迁移与数形结合能力。 考点一 多边形 1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形 。 2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的 对角线 。  3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引 （n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了 (n－2) 个三角形，n边形的对角线条数为 。 4）多边形内角和定理：n边形的内角和为 (n−2)∙180°（n≥3） 。 5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 360° ，与多边形的形状和边数无关。 6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做 正多边形 。 7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360°；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形、正方形、正六边形。如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。 1．（2026·成都·校考一模）一个正多边形，它的每一个外角都等于，则该正多边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 2.（2025·成都·模拟预测）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________． 3.（2025·成都·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为 ． 4．（2025·成都·一模）如图，某同学探究n边形的内角和公式，首先将以顶点为端点的对角线、、、、、连接，将此n边形分割成个三角形，然后由每个三角形的内角和为，可得n边形的内角和为．该同学的上述探究方法所体现的数学思想是（   ） A．分类讨论 B．公理化 C．类比 D．转化 5．（2025·成都·模拟预测）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么十边形的对角线有（　　） A．27条 B．30条 C．35条 D．44条 6． （2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ． 7． 考点二 平行四边形 1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形 。 2）平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分； （4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。 4）补充性质： （1）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积和周长。 （2）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE。 （3）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。 （4）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD。 5）平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 1．（2025·四川成都·二模）在平行四边形中，如果，那么的度数是 2．（2025·成都·校考一模）如图，在平行四边形中，与交于点，则下列结论中不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·二模）如图，四边形是平行四边形，，若对角线的长为，的长为，则边的长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，两弧在直线上方交于点D，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·成都·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E，F分别是，中点，连接、．(1)求证：四边形是平行四边形：(2)若，求的长． 考点三 中位线 1）三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。 2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 3）三角形中位线定理的作用：（1）证明位置关系：可以证明两条直线平行；（2）证明数量关系：可以证明线段的倍分关系。 4）常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 1．（2025·四川成都·二模）如图，点和分别是边和的中点．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为 ． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，交于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线交于点P．若的中点为点M，则的长为 ． 3．（2025·成都·一模）如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为 ． 命题点一 多边形 ►题型01 多边形的内角和 【典例】1．（2026成都·模拟预测）若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 【典例】2．（2025·成都·一模）如图，在正五边形中，点F在边上（不与端点重合），点G在边上，，连接交于点H，则 °． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝ ． 【变式】2．（2025·成都·三模）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，如图是采用六边形窗格，其轮廓是正六边形，则这个正六边形的一个内角为（    ） A． B． C． D． ►题型02 多边形的外角和 【典例】1．（2025·成都·一模）如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（   ） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）若一个多边形的每个外角等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）若某个正多边形的一个内角是其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数为 ． ►题型03 平面镶嵌 【典例】1．（2025·成都·二模）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为 ． 【变式】2．（2025·成都·一模）如图，这是儿童玩具底板的一幅图案，供小朋友拼图用的是正方形的木块和正n边形木块．由于小朋友只选了正方形的木块，导致没有拼成．老师鼓励他选取正n边形的木块试试，他试了几次终于成功了．这里的 ． ►题型04 多边形的其他计算问题 【典例】1．（2025·四川成都·二模）如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·三模）若正多边形的一个顶点出发有条对角线，则该正多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）边长为的正六边形中，较短的那条对角线的长为 ． 【变式】2．（2025·成都·一模）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 命题点二 平行四边形的性质与判定 ►题型01 平行四边形的基本性质 【典例】1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）下列说法中错误的是（   ） A．平行四边形两邻角的平分线相交所成的角是直角 B．平行四边形两条对角线将四边形分成的四个小三角形的面积相等 C．平行四边形的邻角互补 D．在中，可能等于 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期末）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）如图，过平行四边形对角线的交点O的一条直线，分别交边于点E，F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．与全等 D．四边形与四边形的面积相等 ►题型02 平行四边形的性质（求角度、长度、面积、坐标） 【典例】1．（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（24-25九年级上·四川成都·期末）在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则 ． 【变式】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平行四边形中，．利用尺规在上分别截取，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内，交于点G；作射线交于点H．若，则的长为 ．    【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图，的对角线相交于点O，且，，则的周长是（    ） A．18 B．29 C．36 D．47 ►题型03 平行四边形的判定 【典例】1．（2025·四川成都·中考模拟预测）如图所示，在四边形中， ，要使四边形成为平行四边形还需要条件（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·浙江杭州·二模）如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，求四边形的面积． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，在中，要对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有①，②，③三种方案，①只需要满足；②只需要满足，；③只需要满足AE，CF分别平分，，则正确的方案是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【变式】2．（2025·成都·三模）如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在平行四边形中，连接对角线，点在边上，平分，请完成以下作图和填空： (1)如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：四边形是平行四边形，连接对角线，点在边上，平分，平分，交于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形，，_____①______．． 平分，____②_______． 平分，______③______．． ，___④_____，四边形是平行四边形． ►题型04 平行四边形的性质与判定综合运用 【典例】1．（2025·四川成都·二模）如图，在四边形中，； ，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点分别为上的两点．(1)如图1，若，且，求证：； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含的代数式表示）． 【变式】1．（2025·成都·一模）由两个宽相等的矩形按如图方式摆放，夹角为，若矩形宽为，则重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式】2.（2025·四川成都·三模）如图，在平行四边形中，，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ． 【变式】3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，线段，，点在线段上方绕点转动．以，为邻边作平行四边形，是的中点，是上一点，连接，． (1)如图1，当四边形为矩形，时，求的长； (2)如图2，当时，求的长． (3)如图3，当时，连接交于点，在点旋转过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 命题点三 中位线 ►题型01 中位线的性质 【典例】1．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，点D，E，F分别是的中点，则四边形的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，点D，E分别在边和上，连接，若是的中位线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，在中，点D是边中点，点E是边中点，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在中，平分交于点M，，连接，E，F分别是，的中点，若，则的长为（   ） A． B．5 C． D．6 【变式】3．（2025·成都·一模）如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 ►题型02 中位线的综合运用 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如图，四边形中，，，是的中点，连接并延长交于点，若，，则 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，矩形中，，，点在边（不包含端点）上运动，点在边（包含端点）上运动，连接，，分别为，的中点，则长度的最大值与最小值的差为 ． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在四边形中，，，，F为上一点，连接，使，若E为的中点，连接，则的长为 ． 【变式】3．（2025·成都·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 突破一 平行四边形的与几何变换（平移、折叠、旋转）问题 【典例】（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为 ；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，，，．将沿着线段方向平移一定的距离得到，连接，． 【尝试初探】（1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】（2）如图，连接，当时，求的值； 【拓展延伸】（3）在点平移到与点重合的过程中，当是等腰三角形时，求的长． 突破二 坐标系（函数）与平行四边形综合压轴 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点和点的坐标；(2)点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若的面积为，求；(3)在（2）的条件下，点在图象上，点是轴上的一动点，是否存在以、、、为顶点的四边为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 【变式】1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式；(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 突破三 平行四边形为背景的最值问题 【典例】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 ．    【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若，，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在中，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D． 突破四 平行四边形为背景的综合压轴问题 【典例】（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】（1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图2，当时，点在边上，若，求值．（用含的代数式表示） 【变式】1．（2025·四川成都·二模）菱形中，点E为边上一动点，射线与的延长线交于点F，连接，射线与交于点G． (1)如图1，E为中点，．①求证：；②若，求线段的长； (2)如图2，点H在边AD上，若，，线段的长为________． 【变式】2．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时，①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 1．（2025·成都·模拟预测）关于多边形，下列说法中正确的是（　　） A．过七边形一个顶点可以将其分割为6个三角形 B．凸多边形的外角和随着边数增加而增加 C．凸多边形若各边相等则为一个正多边形 D．凸多边形的内角和不一定大于它的外角和 2．（2025·成都·三模）如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·四川成都·二模）如图，中，的平分线交于E，，，则的长（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·成都·模拟预测）如图，平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点，点恰好落在边上，则为(    ) A． B． C． D．不确定 6．（2025·成都·模拟预测）已知在▱中，，设，则下列选项中，为定值的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 8．（2025·成都·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 9.（2025·四川成都·二模）在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接；②以A为圆心，以的长为半径作弧，以为圆心，以的长为半径作弧，两弧在右侧交于点；③连接，连接交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·成都·二模）如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为、的中点，若，则的长（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025·成都 模拟预测）如图，正六边形由3个全等的五边形无缝隙、不重叠地拼接而成，已知，则的度数为 ． 12．（2025·四川德阳·二模）凸六边形的对角线条数为 条． 13．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：为线段的中点；(2)若，，求平行四边形面积． 14．（2026·成都·模拟预测）【猜想探究】如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】（2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】（3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度． 1．（2025·成都·模拟预测）在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C． 或 D．或 2．（2025·成都·模拟预测）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 3．（2025·四川成都·一模）如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，，，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，沿过点的直线翻折，使点的对应点刚好落在边的延长线上，折痕交线段于点，连接交边于点，连接，若，且，则的值为 ． 5．（2025·成都·一模）阅读与思考 下面是某小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行四边形准中点四边形”的研究报告 研究对象：平行四边形的“准中点四边形”． 定义：如图1，分别是各边的中点，连接交于点，连接，交于点，则四边形称为的“准中点四边形”． 性质：四点共线． 结论：1．四边形为平行四边形；2．当满足什么条件时，其“准中点四边形”为菱形？ 任务一：（1）写出结论1的证明过程． 任务二：（2）直接写出结论2中满足的条件：______． 任务三：（3）如图2，已知矩形为某平行四边形的准中点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 1．（2025·四川凉山·中考真题）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（    ）条对角线 A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形中，的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 4．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 6．（2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于 ． 7．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 8．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 10．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，试判断四边形的形状，并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $