专题10.5 几个三角恒等式（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本高中数学讲义聚焦三角恒等式核心知识点，以二倍角公式为基础推导半角公式，通过和差角公式延伸出积化和差、和差化积公式，构建“公式推导-特征分析-即时应用”的学习支架，系统梳理三角恒等变换的知识脉络。 资料设计突出数学思维与表达，通过“知识点+即学即练+题型分类”结构，如半角公式推导训练培养推理能力，三角恒等式证明题强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后学生可通过变式练习巩固公式应用，有效查漏补缺。

专题10.5 几个三角恒等式 教学目标 1.能推导出积化和差、和差化积公式用二倍角公式导出半角公式. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用 教学重难点 1.重点 半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练；三角变换的内容、思想和方法, 在与代数变换相比 较中, 体会三角变换的特点. 2.难点 认识三角变换的特点, 并能运用数学思想方法指导变 换过程的设计, 不断提高从整体上把握变换过程的能力. 知识点01 积化和差公式 积化和差公式： 公式特征：等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式。 注：将三角函数的乘积化成和差，便于计算，在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号.把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算. 【即学即练】 1．等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件利用诱导公式、积化和差公式化简所给的式子，可得结果. 【解析】由题意， . 故选：A. 2．若，则等于_____________ 【答案】 【分析】利用积化和差公式结合诱导公式即可得到答案. 【解析】因为 ，所以. 故答案为： 知识点02 和差化积公式 和差化积公式： 公式特征：等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式。 注：应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致；一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简. 【即学即练】 1．（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【解析】． 故选：A. 2．已知锐角满足，则的取值范围为____________- 【答案】 【分析】先利用和差化积公式得到，再结合余弦函数性质求解不等式即可. 【解析】由和差化积公式得， 欲求，则求即可， 因为是锐角，所以，且， 故求即可，解得， 则，当时，， 而，得到，故B正确. 故答案为： 知识点03 半角公式 半角公式： 公式特征：当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”. 注：半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 【即学即练】 1．已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【解析】，故，故， 所以. 故选：D. 2．已知，，则____________. 【答案】 【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【解析】因为，，则， 则由半角公式，得. 故答案为：. 题型01 积化和差公式的应用 【典例1】的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可. 【解析】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A. 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为与的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为与的和或差． 注：易漏系数、符号写错，角度拆分混乱。注意公式结构统一，优先化简特殊角，避免盲目展开，计算后核对正负与系数。 【变式1】若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由积化和差公式化简即可求解. 【解析】因为 ，所以. 故选：C. 【变式2】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由积化和差公式及余弦二倍角公式化简即可求解. 【解析】由， 可得：， 即，又， 结合平方差公式可得：. 故选：C. 【变式3】的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由积化和差公式化简即可求解. 【解析】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A 【变式4】已知，则等于___________ 【答案】m 【分析】由积化和差公式化简即可求解. 【解析】. 故答案为：m 题型02 和差化积公式的应用 【典例1】在中，若，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题及和差化积公式可得，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案. 【解析】由和差化积公式： ，又注意到， 则. 故选：A. 和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式． 注：系数、角度拆分、正负号，先统一函数再套公式。 【变式1】可化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和差化积公式化简即可求解. 【解析】． 故选：C. 【变式2】的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和差化积公式化简即可求解. 【解析】原式 . 故选：C. 【变式3】若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和差化积公式化简即可求解. 【解析】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 【变式4】已知，，，则_________ 【答案】 【解析】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以. 故答案为： 题型03 半角公式的应用 【典例1】已知为锐角，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【解析】， 是锐角，则， ， 故选：B． 利用半角公式求值的思路： （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用，计算． （4）下结论：结合（2）求值． 注：先确定角所在象限，判断正负号，再选公式。优先用已知余弦计算，避免根号嵌套，别混淆分子分母与系数。 【变式1】若且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【解析】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 【变式2】已知，则__________． 【答案】或 【解析】方法一：因为，所以． 由，可得，， 则，，所以． 故， 将代入可得， 将代入可得， 故或； 方法二：因为，所以． 若，则； 若，则． 故答案为：或 【变式3】在中，，则________. 【答案】 【分析】由半角公式即可求解. 【解析】 故答案为： 题型04 给角求值 【典例1】的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 【变式1】计算（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用诱导公式以及正弦差角公式运算求解. 【解析】由题意可得： . 故选：A. 【变式2】（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值. 【解析】 . 故选：C. 【变式3】=______________． 【答案】 【分析】根据二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得. 【解析】原式 故答案为： 【变式4】_____． 【答案】 【分析】解法一：利用诱导公式、两角和的正弦公式及平方关系，将角度往方向转化求解即可； 解法二：利用诱导公式及和差化积与积化和差公式化简求解即可. 【解析】解法一：原式 ． 解法二：原式 . 故答案为：. 【变式5】求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据积化和差公式化简计算即可； （2）根据积化和差公式化简计算即可； （3）根据和差化积公式化简计算即可. 【解析】（1） ． （2） ． （3） ． 题型05 给值求值 【典例1】已知角，满足，，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将拆成并用正弦差角公式，结合已知条件化简得到与的倍数关系，从而先求，再利用正切和角公式解出，最后计算的值. 【解析】由可得： 代入条件， 得 移项整理 则 ，代入 可得 即 ， 代入可得： 故选：A 【变式1】已知，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】进一步缩小角的范围，并根据同角三角函数关系求出，利用诱导公式和正弦二倍角公式进行求解. 【解析】因为，所以， 又，所以，故， 所以， 故 . 故选：B. 【变式2】已知，且，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【解析】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 【变式3】已知，，且，则的最大值为________. 【答案】 【分析】利用和差公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系化简得到，然后利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可. 【解析】由，得， 则， 则. 因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立， 从而， 此时， 又因为， 所以当取得最大值时，也取得最大值， 此时，平方得：， 解得：，又因为，所以. 故最大值为. 故答案为： 【变式4】已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由角范围分析依次求得、即可由结合两角和余弦公式求解； （2）由（1）和结合两角差的正切公式求解. 【解析】（1）因为，，所以， 又因，， 故， 因为， ，则， 则． 又因为， 所以 （2）由1知：， ， 因为，所以 题型06 给值求角 【典例1】已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，先求，，再由余弦的差角公式计算； （2）根据三角恒等变形结合同角三角函数的关系可求，进而求即可求． 【解析】（1）由题可得，，， ∴，， 又 ． （2）． 由，则， 由，则， ∴，， 又，，则， ∴， 而， 故． 【变式1】若，且，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【解析】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C. 【变式2】，，且，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【解析】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 【变式3】已知、，且，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【解析】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 【变式4】已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）先根据求出，利用齐次化求值的处理方法转化为即可求解； （2）结合（1）的结果，先缩小的范围，得到的范围，然后分别算出，的值进一步缩小的范围，然后结合其正弦值得出答案. 【解析】（1）根据两角差的正切公式，，解得， （2）注意到，则，，于是， 结合（1）结果，则， ，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，，则， 于是. 题型07 三角恒等式的证明 【典例1】学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 【答案】证明见解析 【解析】（1）利用余弦的和角、差角公式： ， ， 将两式相加： 两边同时除以2，得： . （2）已知， 利用（1）的恒等式，令，则： 结合已知条件，得； . （3）， 由，得， 故． 因为， 令，则： . 化简角，左边 令， . 化简得 再处理，用公式： . 将两部分代入右边： 右边. 左边与右边表达式完全相同，故： . 三角恒等式证明的常用方法： （1）执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 注：符号、定义域、约分漏项，证明从繁到简，不跳步。 【变式1】已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【解析】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 【变式1】证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【解析】（1）； （2）； （3） 2．（20-21高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】化简得到，利用正余弦平方和关系化简得到，再次利用正余弦平方和关系得到证明. 【解析】因为，所以． 即． 去分母，得． 又 ， 所以， 即， 所以， 于是， 故． 【变式2】求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；(3)证明见解析； 【解析】（1）因为左边， 右边， 所以左边=右边，原等式成立. （2）因为左边右边， 所以，原等式成立. （3）因为左边右边， 所以，原等式成立. （4）因为左边右边， 所以，原等式成立. 【变式3】（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【解析】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 题型08 三角恒等变换的化简求值 【典例1】计算等于（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据诱导公式将化为 ,再利用降幂公式和积化和差公式变形,然后利用和差化积公式变形后化简可得. 【解析】 + , . 故选：A. 【变式1】已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解． 【解析】由得， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 【变式2】的值为_____. 【答案】 【分析】根据降幂公式，结合和差化积公式，即可化简求值. 【解析】 而， ， 所以原式. 故答案为： 【变式3】化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【解析】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 1．等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由积化和差公式化简即可求解. 【解析】原式． 故选：B. 2．设，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由和差化积公式化简即可求解. 【解析】， ， 代入，． 故选：A． 3．若 则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系与降幂公式计算，或借助和差化积公式计算即可得. 【解析】法一：因为，所以， 即， 即，即，即. 法二： . 故选：D. 4．若是第三象限角，且，则的值为（  ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦公式、平方关系依次得，，由半角公式即可求解. 【解析】由已知及正弦公式得，， 是第三象限角，． ． 故选：A. 5．（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得. 【解析】 . 故选：A. 6．已知、，且，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【解析】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 7．（多选）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可. 【解析】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD 8．（多选）下列各式中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，而选项C的右边，与左边不相等，所以C错误； 对于D，，D正确. 故选：C. 9.（多选）已知函数且是它的最大值（其中为常数，），给出以下命题，正确的是（  ） A．为偶函数 B．函数的图像关于点对称 C．是函数的最小值 D． 【答案】ACD 【解析】对于A，（其中）， 又是的最大值，， . 为偶函数，故A正确； 对于B，的图像的对称中心的横坐标为， 无法取到，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10．若，，则__________． 【答案】 【分析】由半角公式即可求解. 【解析】由，，得， 所以. 故答案为： 11．已知，，，，则的值为_____________． 【答案】/ 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出和，进而根据两角差的正弦公式，求出结果. 【解析】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 12．已知的值为____________. 【答案】. 【分析】根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案；利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【解析】由题意知，故， 由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 13．（1）化简： （2）证明恒等式： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）从右边开始变形，利用倍角公式及两角和的正切公式变形证明即可. 【解析】（1）； （2）右边 左边. . 14．已知，其中 (1)求； (2)求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可． （2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解． 【解析】（1）由题意得： ，， ， （2），， ， . 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.5 几个三角恒等式 教学目标 1.能推导出积化和差、和差化积公式用二倍角公式导出半角公式. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用 教学重难点 1.重点 半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练；三角变换的内容、思想和方法, 在与代数变换相比 较中, 体会三角变换的特点. 2.难点 认识三角变换的特点, 并能运用数学思想方法指导变 换过程的设计, 不断提高从整体上把握变换过程的能力. 知识点01 积化和差公式 积化和差公式： 公式特征：等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式。 注：将三角函数的乘积化成和差，便于计算，在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号.把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算. 【即学即练】 1．等于（  ） A． B． C． D． 2．若，则等于_____________ 知识点02 和差化积公式 和差化积公式： 公式特征：等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式。 注：应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致；一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简. 【即学即练】 1．（  ） A． B． C． D． 2．已知锐角满足，则的取值范围为____________- 知识点03 半角公式 半角公式： 公式特征：当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”. 注：半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 【即学即练】 1．已知，，则（  ） A． B． C． D． 2．已知，，则____________. 题型01 积化和差公式的应用 【典例1】的值为（  ） A． B． C． D． 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为与的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为与的和或差． 注：易漏系数、符号写错，角度拆分混乱。注意公式结构统一，优先化简特殊角，避免盲目展开，计算后核对正负与系数。 【变式1】若，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】的值为（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知，则等于___________ 题型02 和差化积公式的应用 【典例1】在中，若，且，则（  ） A． B． C． D． 和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式． 注：系数、角度拆分、正负号，先统一函数再套公式。 【变式1】可化简为（  ） A． B． C． D． 【变式2】的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若，，则（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知，，，则_________ 题型03 半角公式的应用 【典例1】已知为锐角，且，则（  ） A． B． C． D． 利用半角公式求值的思路： （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用，计算． （4）下结论：结合（2）求值． 注：先确定角所在象限，判断正负号，再选公式。优先用已知余弦计算，避免根号嵌套，别混淆分子分母与系数。 【变式1】若且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则__________． 【变式3】在中，，则________. 题型04 给角求值 【典例1】的值为（  ） A． B． C． D． 【变式1】计算（  ） A． B． C． D． 【变式2】（  ） A． B． C． D． 【变式3】=______________． 【变式4】_____． 【变式5】求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型05 给值求值 【典例1】已知角，满足，，则（） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，且，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，且，则的最大值为________. 【变式4】已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 题型06 给值求角 【典例1】已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1);(2) 【变式1】若，且，，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】，，且，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知、，且，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 题型07 三角恒等式的证明 【典例1】学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 三角恒等式证明的常用方法： （1）执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 注：符号、定义域、约分漏项，证明从繁到简，不跳步。 【变式1】已知，且，证明： (1)； (2). 【变式1】证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 2．（20-21高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【变式2】求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 题型08 三角恒等变换的化简求值 【典例1】计算等于（  ） A． B． C． D．2 【变式1】已知，，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】的值为_____. 【变式3】化简求值 (1) (2) 1．等于（  ） A． B． C． D． 2．设，则（  ） A．1 B． C． D． 3．若 则（  ） A． B． C． D． 4．若是第三象限角，且，则的值为（  ） A． B．5 C． D． 5．（  ） A． B． C． D． 6．已知、，且，，则的值是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）下列各式中不正确的是（  ） A． B． C． D． 9.（多选）已知函数且是它的最大值（其中为常数，），给出以下命题，正确的是（  ） A．为偶函数 B．函数的图像关于点对称 C．是函数的最小值 D． 10．若，，则__________． 11．已知，，，，则的值为_____________． 12．已知的值为____________. 13．（1）化简： （2）证明恒等式： 14．已知，其中 (1)求； (2)求． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $