10.3 几个三角恒等式课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.3 几个三角恒等式 忆一忆：写出所有的和(差)角公式! sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ sin (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ cos (α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ tan (α + β) = tan (α – β) = 思考：如果已知，，你能求出以及的值吗？ cos (α + β) = cos α·cos β – sin α·sin β，① cos (α – β) = cos α·cos β + sin α·sin β，② 公式推导： cos (α + β) + cos (α – β) = 2cos α·cos β ①＋② cos α·cos β = [cos (α+β) + cos (α – β)] ∴cos α·cos β = ×(+)= cos (α + β) = cos α·cos β – sin α·sin β，① cos (α – β) = cos α·cos β + sin α·sin β，② ①−② cos (α + β) cos (α – β) = 2sin α·sinβ sinα·sin β = [cos (α+β) cos (α – β)] ∴sinα·sin β =-×( - )=- 追问：如果已知，的值，如何求以及的值呢？ 公式推导： sin (α + β) = sin α·cos β – cos α·sin β，① sin (α – β) = sin α·cos β + cos α·sin β，② sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ①＋② sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)] sin (α + β) = sin α·cos β – cos α·sin β，① sin (α – β) = sin α·cos β + cos α·sin β，② ①−② sin (α + β) sin (α – β) = 2cos α·sinβ cosα·sin β = [sin (α+β) sin (α – β)] 积化和差公式 ①cos α·cos β = [cos (α+β) + cos (α – β)] ②sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)] ③sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)] ④cosα·sin β = [sin (α+β) sin (α – β)] α = ，β = ①sin θ + sin φ = 2sin cos；  ②sin θ – sin φ = 2cos sin； ③cos θ + cos φ = 2cos cos； ④cos θ – cos φ = –2sin sin.  和差化积公式 例1 (1)求 的值； (2)求 的值； (3)已知，，求 的值. 解：(1) . (2) . (2)求 的值； (3)已知，，求 的值. (3)因为，所以 . 因为，所以 . 因为，所以由①②得 ，即 ， 所以 . (3)已知，，求 的值. 问题1：试以 cos α 表示 sin2，cos2，tan2 . α 是 的二倍角，在倍角公式 cos 2α = 1 − 2sin2α 中， 以 α 代替 2α，以 代替 α 得：cos α = 1 − 2sin2 ，所以 sin2 = ①； 同理：根据倍角公式 cos 2α = 2cos2α − 1得：cos2 = ②； 将①②两个等式的左右两边分别相除得：tan2 = . 已知：sin2 = ，cos2 = ，tan2 = ； 问题2：已知 cos α = ，求出 sin ，cos ，tan 的值. 由上式可得：sin =±，cos =±，tan =± ； 将 cos α = 分别带入即可求出 sin ，cos ，tan 的值. 下列公式称为半角公式，符号由角 的象限决定. sin = ±，cos =±，tan =± 思考：若 = β，你能表示出 sin β ，cos β ，tan β 的半角公式吗？ 半角公式 思考：半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择? 不能. ①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号； ②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号. 讨论：半角公式对α∈R都成立吗? 半角的正弦、余弦公式对α∈R都成立, 但正切公式要求α≠(2k+1)π(k∈Z). 例2 已知 sin α＝－ ， ＜α＜2π，求 sin ， cos ，tan 的值. 解：∵ ＜α＜2π， sin α＝－ ，∴ cos α＝ 且 ＜ ＜π， ∴ sin ＝ ＝ ， cos ＝－ ＝－ ， tan ＝ ＝－ . (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 归纳总结 利用半角公式求值的思路 例3 化简： 解：原式 ∴原式=cos α. 例4 求证：tan－tan＝ . 证：左边＝ － ＝ ＝ ＝ ＝ ＝右边. 所以原等式成立. 根据今天所学，回答下列问题： （1）写出积化和差与和差化积公式公式； （2）说说你对倍角公式和半角公式间相互转化关系的理解. B B D 4.sin 15°sin 30°sin 75°的值是　　　　　.  1.sincos化为和差形式为(　　) A.sin(α+β)+cos(α-β) B.cos(α+β)+sin(α-β) C.sin(α+β)+sin(α-β) D.cos(α+β)+cos(α-β) 2.cos-cos化为积的形式是(　　) A.cos x B.sin x C.-sin x D.-cos x 3.下列各式与tan α相等的是(　　) A.eq \r(\f(1－cos 2α,1＋cos 2α)) B.eq \f(sin α,1＋cos α) C.eq \f(sin α,1－cos 2α) D.eq \f(1－cos 2α,sin 2α) $