专题10.2 二倍角的三角函数与三角恒等式重难点题型讲义（4个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题10.2 二倍角的三角函数与三角恒等式重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 二倍角的正弦公式 题型二 二倍角的余弦公式 题型三 二倍角的正切公式 题型四 sin2x的降幕公式及应用 题型五 cos2x的降幕公式及应用 题型六 辅助角公式 题型七 给角求值型问题 题型八 给值求值型问题 题型九 给值求角型问题 题型十 三角形中的三角恒等式 题型十一 三角恒等变换的实际应用 题型十二 半角公式 题型十三 积化和差公式 题型十四 和差化积公式 拓展训练一 二倍角的相关公式 拓展训练二 三角恒等式相关求解 知识点一： 二倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、倍角公式的变形应用 （1）倍角公式的逆用 ：，，． ：． ：，． （2）配方变形：． （3）因式分解变形：． （4）升幂公式：；． （5）降幂公式：；；；． 【即时训练】 1．（2026·陕西咸阳·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 由得， 所以． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式对等式进行化简，然后结合角的取值范围求出的值，最后根据二倍角公式求出即可. 【详解】由二倍角公式可得，即， ，，故上式化为， . 故答案为：. 知识点二： 辅助角公式及其应用 1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、辅助角公式应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【即时训练】 1．（24-25高三上·江苏扬州·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的余弦公式，以及辅助角公式，即可化简求值. 【详解】 ， 即. 故选：D 2．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知函数，，，则=______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式可得，进一步判断得到，最后计算即可. 【详解】由题可知：， 又，，所以为函数的最大值， 所以，则，所以 故答案为： 知识点三： 积化和差与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 3、应用和差化积公式时的注意事项 （1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。 （3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式，如． 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差可求三角函数式的值. 【详解】原式． 故选：B. 2．（24-25高三下·全国·强基计划）已知，则________． 【答案】， 【分析】利用和差化积公式化简求解即可，注意集合的互异性. 【详解】∵ ∴ 由和差化积公式得： ∴ ∴ ∴或 当时，或，， 此时，不满足集合的互异性，故舍去， 当时，，， ∴，，满足题意 ∴， 故答案为：，. 知识点四： 半角公式及万能公式 1、半角公式 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 【即时训练】 1．（25-26高一·全国·课堂例题）已知，，则（    ）（是的半角） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用半角公式求解即可 【详解】∵，∴， ∴． 故选：A 2．（2026·湖北襄阳·一模）已知，若，且，则_______． 【答案】 【分析】利用，根据和差化积公式得，即可由万能公式求解. 【详解】．∵ ∴ ∴, 由于，故，则， ∴ ∴. 【经典例题一 二倍角的正弦公式】 【例1】（25-26高三上·云南昭通·期末）已知，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判定角范围，再利用二倍角公式将三角函数变形，最后结合角的范围确定正弦值. 【详解】因为，所以，所以， 有，所以. 故选：A 【例2】（25-26高一·上海·课堂例题）若，求． 【答案】或 【分析】利用二倍角公式分和两种情况求解即可． 【详解】， 当时，，， ， 当时， ， ， ． 1．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）计算（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由诱导公式，二倍角公式及两角和余弦公式求解即可． 【详解】 故选：C 2．（多选）（2025·广东深圳·二模）已知函数，则（   ） A．的最大值为1 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的图象关于对称 【答案】AB 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，再由余弦函数相关性质检验各项即可求解. 【详解】, ∴，故A正确； 最小正周期，故B正确； 时，， ∵在单调递减， ∴在上单调递减，故C错； ，不是函数的对称轴，故D错； 故选：AB. 3．（25-26高三上·江西·期中）已知，则__________. 【答案】 【分析】求出,两边平方即可求解. 【详解】由已知，所以， 即. 故答案为： 4．（2025高一上·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】利用三角函数的二倍角公式求解. 【详解】因为. 所以， ， ， ， 当时，原式无意义； 当，即， 即，即， 时， 原式=， ， ，. 【经典例题二 二倍角的余弦公式】 【例1】（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式化简可得结果. 【详解】因为，则. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由二倍角的余弦与正弦公式证明； （2）右边由两角和与差的正弦公式变形后，弦化切可得到左边． 【详解】（1）左边右边， ∴原等式成立． （2）右边，分子，分母同除以， 得右边左边， 1．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式计算即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：B. 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）若，且为第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由，且为第一象限角, 利用同角三角函数间的基本关系求出与的值, 利用二倍角公式化简后, 将各自的值代入计算即可求出值. 【详解】因为,且为第一象限角，所以，且是第一或第三象限角. 当是第一象限角时，； 当是第三象限角时，, 故. 故选：CD 3．（25-26高一上·上海·期末）若，化简的结果是______. 【答案】 【分析】先利用二倍角公式将转化，再结合的取值范围判断的正负，最后化简根式. 【详解】， 因为，所以， 所以. 故答案为： 4．（2025·吉林·模拟预测）已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由二倍角公式求解即可. (2)求出，由二倍角公式即可求解； (3)由,,可得,从而求出，再利用求解即可. 【详解】（1）因为,所以, （2）因为,,所以, 则， 所以， （3）因为,,,所以, 则， 所以                      即 【经典例题三 二倍角的正切公式】 【例1】（25-26高一上·福建厦门·期末）若是第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角正切公式得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，解得或， 又是第一象限角，所以. 故选：C 【例2】（24-25高一下·广东中山·月考）求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用二倍角正余弦及正切公式分别化简各式求值即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 1．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知为第三象限角， 若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由为第三象限角，得, 由， 得，解得，则， 故选：B 2．（多选）（25-26高一上·湖南益阳·期末）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式逐一判断即可. 【详解】对于A，由诱导公式得，故A错误； 对于B，由二倍角的正弦公式得，故B正确； 对于C，由二倍角的正切公式得，故C正确； 对于D，由辅助角公式得，故D错误； 故选：BC 3．（2025·河南·模拟预测）已知为第一象限角，，则______． 【答案】 【分析】结合已知利用两角和的正切公式解得或，又为第一象限角，所以，再利用二倍角正切公式得，进而利用两角差的正切公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 又为第一象限角，所以，所以， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由结合两角差正切公式求出，再由倍角公式即可求解； （2）法一：由和诱导公式以及正切的倍角公式即可求解；法二：先由求出，再由正切的倍角公式即可求解. 【详解】（1）因为 所以， （2）法一：， 所以有，即，解得． 法二：， 则有，即，解得． 【经典例题四 sin2x的降幕公式及应用】 【例1】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式得到答案. 【详解】因为为三角形的内角，， 所以 . 故选：B 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知为钝角，为锐角，且，，求与的值. 【答案】 【解析】由已知利用同角三角函数的基本关系可求出，然后根据两角差的余弦公式可求得，根据角的范围以及降幂公式即可求解. 【详解】因为为钝角，为锐角，， 所以， 所以. 因为，所以，所以. 所以. 由，得. 所以. 1．（24-25高三上·山东淄博·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【详解】 . 故选：A. 2．（2025·广西钦州·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式可求得的值. 【详解】由题意可得， 因此，. 故选：A. 3．（24-25高一下·江西宜春·期末）计算______． 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正弦公式化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 4．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数. (1)求函数在区间上的最大值及相应的的值； (2)在中，若，且，求的值. 【答案】（1）,；（2） . 【详解】试题分析：利用三角恒等变换的应用可化简，再利用正弦函数的单调性可求出函数在区间上的最大值代入， 求出结果 解析：（1） 由于，，所以当即时， 取得最大值，最大值为1. （2）由已知，、是的内角，,且， 可解得，，所以， 得 【经典例题五 cos2x的降幕公式及应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由二倍角余弦公式有，即可得；法二：由及二倍角余弦公式，即可得. 【详解】法一：由，则， 法二：由，则， . 故选：A． 【例2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知平面向量满足. (1)若，求向量与的夹角； (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据数量积的概念以及运算律即可得结果； （2）将向量的模长表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可得最值. 【详解】（1）设向量与的夹角为， 由题意，可得 ， 则，由于，故. （2）由题意，则 ， 即 ，其中. 即函数的最小值为. 1．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 2．（2025·重庆·三模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角的余弦公式求出、的值，代入计算即可得解. 【详解】因为，则， ， 因此，. 故选：B. 3．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】利用半角公式结合已知条件求解. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求角A的值； （2）求函数（）的值域． 【答案】（1）（2） 【分析】(1)利用正弦定理代入即可求得,再利用锐角三角形求解即可. (2)利用降幂公式化简,再利用代入求值域即可. 【详解】(1)由正弦定理 ,可得, 则,得, 又为锐角,故； (2),因,故, 于是,因此,即的值域为. 【经典例题六 辅助角公式】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知为第二象限角，且，那么的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得，然后由辅助角公式即可求解. 【详解】已知为第二象限角，即，所以， 又，所以，， 所以，， 所以，所以的范围是， 的取值范围是. 故选：D. 【例2】（25-26高一·上海·课堂例题）把下列各式化成的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)其中 【分析】（1）利用辅助角公式：，易将其化为正弦型函数的形式； （2）利用辅助角公式：进行求解． 【详解】（1） ； （2） （其中，） 1．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角换元，令，再根据三角恒等变形求最值即可． 【详解】由题意知：点位于第一象限， 设点在角的终边上，则， 由三角函数的定义知 ， ，， ，， 即的取值范围为． 故选：C． 2．（多选）（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知函数，则（ ） A．函数的图象关于点对称 B．的最小值为-2 C．直线是函数的一条对称轴 D．函数步骤正确 【答案】BCD 【分析】将函数化简，再根据三角函数的性质逐一分析选项. 【详解】对于选项D，正确 对于选项B，，B正确； 对于选项A，将代入函数的解析式，得，函数的图象不关于点对称，A错误， 对于选项C，因为，C正确； 故选：BCD. 3．（24-25高一下·上海宝山·月考）将代数式化为形式___________． 【答案】 【分析】利用两角差的正弦公式变形求解. 【详解】， 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）将下列各式化为的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简； （2）利用两角和的正弦公式和辅助角公式求解. 【详解】（1） ． （2） ． 【经典例题七 给角求值型问题】 【例1】（24-25高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【详解】原式. 故选：A 【例2】（24-25高三上·江苏宿迁·月考）已知，，且，，求的值. 【答案】 【分析】求出的取值范围以及的值，即可求得的值. 【详解】因为，，则， 由已知条件可得， 因此，. 1．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖北·期中）年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题中定义结合三角恒等变换化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C． 3．（24-25高一下·江苏苏州·月考）求值：______． 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的基本关系及降幂公式、诱导公式求解. 【详解】 ， 故答案为：1 4．（25-26高一·全国·课后作业）求值． 【答案】. 【解析】先根据诱导公式得，再根据辅助角公式计算即可得答案. 【详解】解： ． 所以 【经典例题八 给值求值型问题】 【例1】（2024·云南曲靖·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两角差的正弦公式、两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值. 【详解】因为 ， 因此，. 故选：A. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，均为锐角且，求的值． 【答案】 【分析】利用简单的三角恒等变换公式求出，再利用二倍角的正切公式即可求解. 【详解】，， ，. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，因为，两式平方相加，得①，，由三角恒等变换得，将①式代入，计算出答案. 【详解】设，因为，两式平方相加，得， 即①，由得，则， 又，， 于是， 又 ， 所以，将①式代入，得，解得或， 又，则． 故选：C. 2．（多选）（24-25高一上·浙江温州·月考）记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据两角和的正切公式、倍角公式，结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】 故选：ACD 3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知，则的值是________． 【答案】 【分析】先通过正切差角公式建立方程求出，再利用余弦和角公式与二倍角公式，将目标表达式转化为的函数，代入计算得结果. 【详解】， ， 解得或. ， 将、代入， 得：， 当时，； 当时，. 因此. 故答案为： 4．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，其中 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可． （2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解． 【详解】（1）由题意得： ，， ， （2），， ， . 【经典例题九 给值求角型问题】 【例1】（24-25高三下·重庆·月考）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）求下列方程的解集：. 【答案】或. 【分析】依题意化简为，再根据正弦（余弦）函数的性质计算可得. 【详解】 ， ∴或， 由解得，由解得或， ∴方程的解集为或. 1．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论. 【详解】解法1：由得，， 又因为，所以，则或， 整理得或（舍去）. 故选：C． 解法2：因为，所以， 又因为，所以，则， 整理得. 故选：C． 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为_____. 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，其中，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用倍角公式可得，再结合两角和差公式运算求解； （2）根据同角三角关系可得，利用两角和差公式求，并结合角的范围分析求解. 【详解】（1）因为，可得， 又因为，则，可得， 所以. （2）因为，则，且，可得， 所以， 可得， 又因为，可得，所以. 【经典例题十 三角形中的三角恒等式】 【例1】（24-25高一·上海·假期作业）在中，若，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得； 【详解】解：因为 所以 所以 所以 因为，所以，即 所以三角形为等腰三角形； 故选：D 【例2】（25-26高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 (4)证明见详解 【分析】（1）左边直接使用和差公式化简，右边用二倍角公式展开，然后化简可证； （2）对左边先用余弦二倍角公式，然后再使用正弦二倍角公式化简即可证明； （3）对左边配方后，使用平方关系式和正弦二倍角公式化简即可得证； （4）对左边使用和差公式展开，然后通分化简，再由正切二倍角公式可证. 【详解】（1）因为左边， 右边， 所以左边=右边，原等式成立. （2）因为左边右边， 所以，原等式成立. （3）因为左边右边， 所以，原等式成立. （4）因为左边右边， 所以，原等式成立. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和两边平方并分别相加和相减，利用三角函数公式化简可得结果. 【详解】由题意，，， 则， 化简可得，所以， 又， 则， ， 即， 所以， 所以， 由，可得. 故选：A. 2．（多选）（2025·山东聊城·模拟预测）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出和，再根据两角和差的正余弦公式进行判断. 【详解】由A，B，C成等差数列，得. 因为，所以，则，所以，A正确. 又，由， 得， 所以，B正确. ，C错误. ，D正确. 故选：ABD 3．（2025高三·全国·专题练习）在 中， ，则 ______． 【答案】2 【分析】由两角和的正切公式变形得恒等公式：，将题中已知条件代入恒等公式并化简即可得，求得值，结合在 中，角的正切的范围即可从而得出结论. 【详解】解：由两角和的正切公式变形得： ， ∴ 将 代入恒等公式并化简：   解得 ，或 因为在中，故角的正切不为0，舍去； 有正切的负值最多有一个，否则角度和超过π，舍去．故 故答案为：2 4．（24-25高一上·河南周口·期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村一矩形空地进行绿化，如图所示，.点是中点，F，G分别是线段和线段上的动点（足够长），.    (1)当时，求的面积； (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，进而可得，再求解； （2）设，根据可得，再根据三角函数范围求解即可. 【详解】（1）由，，故，故. 又，故，， 所以. （2）设，由题意，则，，，，， ， 所以 . ，， ，， ，当时取等号， 的面积的最小值. 【经典例题十一 三角恒等变换的实际应用】 【例1】（24-25高一下·四川成都·月考）把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，再计算面积即可. 【详解】解：由题知，，， 所以，在中，， 所以，其矩形木料的面积为. 故选：D 【例2】（24-25高一上·安徽安庆·期末）如图，在扇形OAB中，，半径.在上取一点M，连接，过M点分别向半径OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF. （1）设，将四边形MEOF的面积S表示成的函数，并写出的取值范围； （2）求四边形MEOF的面积S的最大值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）由，利用直角边表示面积即可； （2）根据第一问，利用三角函数知识求最值即可. 【详解】（1）， ， 由题意要得到四边形MEOF，则. （2）由（1）知：，因为，所以， 所以当，即时，四边形MEOF的面积S的最大值为. 1．（24-25高三上·湖北襄阳·期中）某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（    ） A．10cm B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直角三角形中锐角函数，结合勾股定理及三角函数的性质即可求解. 【详解】过O点作，分别交BC，AD于E，F两点，如图所示 设，则，， 由，，得， 则，， ， 当，即时，OB取得最大值， 此时 故选：B. 2．（2025·新疆·二模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆弧所在圆心为O，半径为r，连接，由题意得可得，且，根据三角函数定义，可得的值，根据二倍角公式，即可得答案. 【详解】设圆弧所在圆心为O，连接，可知， 设圆的半径为r，依题意，有，即， 所以 所以． 故选：A 3．（24-25高一下·上海徐汇·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角________来截. 【答案】或 【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得的，结合可求得的值. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的边长为， 由题意可得，即，可得， 因为，则，所以，或，解得或. 故答案为：或. 4．（24-25高一上·河北唐山·期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令． (1)当时，求梯形BCNM的面积S； (2)求的周长l的最小值，并求此时角的值． 【答案】(1) (2)当时，. 【分析】（1）在中，由直角三角形的边角关系得出，进而得出梯形BCNM的面积S； （2）由直角三角形的边角关系以及勾股定理得出，再由换元法结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1） ，， （2）由（1）可知， ，， 令，则，即 当，即时，. 【经典例题十二 半角公式】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果. 【详解】因为是第一象限角，所以， 则，所以是第一象限角或第三象限角. 又知，， 所以， 故选：D. 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据半角公式证明即可． 【详解】证明：因为，所以，， 所以，， 所以左边右边， 所以等式成立． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 2．（多选）（2024·全国·模拟预测）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由二倍角公式及诱导公式求解． 【详解】由， 得，故A，B两项正确； ，故C项正确； ，故D项错误， 故选：ABC 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）若，，则__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再利用半角的正切公式求出. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，，且，，求、的值. 【答案】， 【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系可求得、，利用两角和的余弦公式可求得的值，再利用半角公式可求得的值. 【详解】因为，，则， 因为，，则， 所以，， ， ， ，. 【经典例题十三 积化和差公式】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【答案】D 【分析】利用积化和差求解, 【详解】解：， ， ， ， 故选：D. 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦的积化和差公式即可求解， （2）根据余弦的积化和差公式即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式 1．（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两次利用积化和差公式即可求解. 【详解】 . 故选：A. 2．（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可. 【详解】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A 3．（2025高三·全国·专题练习）若，则______． 【答案】 【分析】根据积化和差公式求解即可. 【详解】因为 ，所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明下列恒等式. (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用和差化积公式化简整理即可得到结果； （2）利用积化和差、二倍角公式化简整理得到结果. 【详解】（1）左边右边，所以原式得证. （2）左边右边，原式得证. 【经典例题十四 和差化积公式】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【详解】． 故选：A. 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）将下列各式化成积的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和差化积可求三角函数式积的形式； （2）把化为后可利用和差化积将三角函数式化为积的形式. 【详解】（1） . （2）. 1．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】使用和差化积公式化简分子即可代值求解． 【详解】， ， 代入，． 故选：A． 2．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）（多选）下列等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先证明和差化积公式，然后验证各选项． 【详解】因为， ， 从而有，， 对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D．． 故选：ABC． 3．（25-26高一·全国·课后作业）________． 【答案】 【分析】利用和差化积公式即可求解． 【详解】由． 故答案为：． 4．（2024高一下·江苏·专题练习）证明下列恒等式. (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用和差化积公式化简整理即可得到结果； （2）利用和差化积、二倍角公式化简整理得到结果. 【详解】（1） ； （2） . 【拓展训练一 二倍角的相关公式】 【例1】（25-26高二上·浙江绍兴·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换，化简得出，由正切函数性质可得，结合所给角的范围，即可得解. 【详解】因为, 所以， 由可知，，即， 化简可得， 故选：D 【例2】（2026高三·全国·专题练习）化简： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式与二倍角的正弦公式与降幂公式计算化简即可； （2）利用二倍角的正切公式，结合切化弦通分运算，利用二倍角的正弦公式化简即可. 【详解】（1）. （2） . 1．（2026·四川绵阳·二模）已知，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据正切的二倍角公式计算即可. 【详解】， 故选：D. 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用降幂扩角公式及诱导公式化简判断即可. 【详解】依题意，，AB正确； ，CD错误. 故选：AB 3．（25-26高一下·全国·课后作业）若是方程的两根，则等于______，______. 【答案】 【分析】由题意得，结合二倍角公式求解即可. 【详解】由题意得，， 所以， 所以. 故答案为：； 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式求解即可. （2）利用二倍角的余弦公式求解即可. （3）利用二倍角的正切公式结合诱导公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式． 【拓展训练二 三角恒等式相关求解】 【例1】（2025高三·北京·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式即得. 【详解】由二倍角公式可得，. 故选：A. 【例2】（24-25高一下·湖南株洲·月考）（1）求的值； （2）若，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1） （2）（3） 【分析】利用诱导公式和三角恒等变换分析运算. 【详解】（1）原式 ， 故. （2）原式， ∵，则. （3）∵， ∵，则， 可得，则， 且 故. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 2．（多选）（24-25高三上·福建宁德·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据得到，计算，再利用二倍角公式得到和，对比选项得到答案. 【详解】，则，，故，， ， ，得到，A错误； ，得到，C正确； ，B正确； ，D错误. 故选：BC. 3．（2025高三·全国·专题练习）的值为_____. 【答案】 【分析】根据降幂公式，结合和差化积公式，即可化简求值. 【详解】 而， ， 所以原式. 故答案为： 4．（25-26高三上·山东临沂·月考）（1）化简：； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用三角恒等变换公式进行变换即可求解； （2）利用三角恒等变换公式求出的值，再开平方即可求解； （3）利用三角函数基本等式解出的值，再利用三角恒等变换公式即可求解． 【详解】（1） ． （2）由，得， 解得，则． （3）因为①，所以， 即，所以. 故， 因为，所以， 又因为，所以， 所以, 所以②， 由①②解得， 所以，， 故． 1．（25-26高三上·重庆·月考）已知 ，满足 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式及诱导公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 又， 所以， 所以， 故选：A. 2．（2025·广东惠州·模拟预测）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设图中直角三角形较短的直角边长为，可得出直角三角形较长的直角边长为，由勾股定理可得，求出，再由正切的二倍角公式可得答案. 【详解】由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为1， 设图中直角三角形较短的直角边长为，可得出直角三角形较长的直角边长为， 由勾股定理可得， 解得，，所以， 因此. 故选：D. 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 . 故选：D 4．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知函数，在锐角三角形中，，且，则的值为 A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据得到，根据得到，利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】，即. 锐角三角形，故，故，. ，，故. ，故或（舍去）. 故选：. 5．（24-25高一下·四川南充·月考）如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数先表示出，再利用二倍角公式及辅助角公式进行化简求最值，由取最值时的条件，结合和差公式求出，然后由二倍角公式和平方关系可得. 【详解】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 6．（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知sin α＝－，且180°<α<270°，则下列结论正确的是（    ） A．sin 2α＝－ B．sin ＝ C．cos ＝－ D．tan ＝－2 【答案】BCD 【详解】 因为180°<α<270°，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－)×(－)＝，故A错误；因为90°<<135°，所以sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，则tan＝＝－2.故选BCD. 7．（多选）（24-25高一下·江西·月考）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据和差化积公式判断A，根据正切的半角公式判断B，根据积化和差公式判断C，根据特殊值判断D. 【详解】由和差化积公式，得，故A错误； 根据半角公式，得，故B正确； 由积化和差公式，得，故C正确； 当时，等式左边有意义，右边无意义，故D错误. 故选：BC. 8．（多选）（24-25高三上·广东江门·月考）已知，则的可能取值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由，得，即，所以或，即或， 当时，或， 故选：AD 9．（多选）（24-25高一下·四川巴中·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用半角公式，辅助角公式得到，结合，得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】， 即，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 故或，解得或， 经检验，均满足要求. 故选：AC 10．（多选）（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】选项A：由二倍角公式求解判断；选项B，由二倍角公式求解判断；选项C：由求解判断；选项D：由求解判断. 【详解】因为为锐角，所以，所以， 选项A：，所以选项A正确； 选项B:，正确； 选项C：，因为，所以， 因为，所以 ， ，所以选项C正确； 选项D：因为，所以，所以，D错误， 故选：ABC. 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）______． （2）______． （3）若，且，则______． 【答案】 /0.25 【分析】(1)根据二倍角公式可得； (2)根据二倍角公式和诱导公式可得； (3)根据二倍角公式及两角差的正弦公式可得. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）由， 可得， 即． 上式可化为， 两边平方可得．． 12．（2025·重庆涪陵·模拟预测）若是第四象限角，且25cos2θ＋cosθ－24＝0，则＝___________ 【答案】/0.2 【分析】先解关于的一元二次方程可得，然后由降幂公式可得. 【详解】解方程25cos2θ＋cosθ－24＝0，得或 因为是第四象限角，所以 所以. 故答案为： 13．（2026·陕西西安·一模）已知，则___________. 【答案】 【分析】先化简，把 当成一个整体，然后用二倍角公式展开，最后代入计算. 【详解】因为， 所以 即 故答案为： 14．（24-25高一下·湖北·月考）在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】根据几何关系得，利用即可求出其最小值. 【详解】，，∴，， ， ∵，∴，∴当时，x＋y的最小值为. 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）_____.(用数字作答) 【答案】0 【分析】首先将原式加上，再乘以，再根据积化和差公式，化简求值. 【详解】 （）① 因为，， ，，，， ， 所以①式为， 原式. 故答案为：0 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通分、逆用正切二倍角公式进行求解即可； （2）运用正弦和余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）； （2） ． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】（1）利用正弦二倍角公式求解即可； （2）利用余弦二倍角公式求解即可； （3）利用正切二倍角公式求解即可； （4）原式结合辅助角公式以及二倍角公式化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . （4）原式 . 18．（2026高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化简，再代入求解即可； （2）根据列出关于的等式求解即可． 【详解】（1） ， 所以． （2）由，得，整理得， 由，得， 所以，即． 19．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 【答案】最小值为；最大值为. 【分析】连接AP，设，通过三角函数将PQCR面积表示出来，再根据θ取值范围找出面积最值. 【详解】如图，连接AP，设，延长RP交AB于M， 则，. 所以，. 所以 ， 令，则. 所以. 故当时，有最小值； 当时，有最大值. 20．（24-25高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【分析】（1）①由，，再结合余弦的和差公式即可得证； ②由题意得，由（1）的结论和二倍角公式化简得，再用和差化积公式计算得，结合即可证明； （2）同理①可计算得，由题意得，，两式相除可得，再运用化弦为切得即可求解. 【详解】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 二倍角的三角函数与三角恒等式重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 二倍角的正弦公式 题型二 二倍角的余弦公式 题型三 二倍角的正切公式 题型四 sin2x的降幕公式及应用 题型五 cos2x的降幕公式及应用 题型六 辅助角公式 题型七 给角求值型问题 题型八 给值求值型问题 题型九 给值求角型问题 题型十 三角形中的三角恒等式 题型十一 三角恒等变换的实际应用 题型十二 半角公式 题型十三 积化和差公式 题型十四 和差化积公式 拓展训练一 二倍角的相关公式 拓展训练二 三角恒等式相关求解 知识点一： 二倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、倍角公式的变形应用 （1）倍角公式的逆用 ：，，． ：． ：，． （2）配方变形：． （3）因式分解变形：． （4）升幂公式：；． （5）降幂公式：；；；． 【即时训练】 1．（2026·陕西咸阳·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知，，则______． 知识点二： 辅助角公式及其应用 1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、辅助角公式应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【即时训练】 1．（24-25高三上·江苏扬州·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知函数，，，则=______． 知识点三： 积化和差与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 3、应用和差化积公式时的注意事项 （1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。 （3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式，如． 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·全国·强基计划）已知，则________． 知识点四： 半角公式及万能公式 1、半角公式 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 【即时训练】 1．（25-26高一·全国·课堂例题）已知，，则（    ）（是的半角） A． B． C． D． 2．（2026·湖北襄阳·一模）已知，若，且，则_______． 【经典例题一 二倍角的正弦公式】 【例1】（25-26高三上·云南昭通·期末）已知，满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·上海·课堂例题）若，求． 1．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）计算（    ） A． B． C． D．1 2．（多选）（2025·广东深圳·二模）已知函数，则（   ） A．的最大值为1 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的图象关于对称 3．（25-26高三上·江西·期中）已知，则__________. 4．（2025高一上·全国·专题练习）化简：． 【经典例题二 二倍角的余弦公式】 【例1】（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）证明： (1)； (2)． 1．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）若，且为第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期末）若，化简的结果是______. 4．（2025·吉林·模拟预测）已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【经典例题三 二倍角的正切公式】 【例1】（25-26高一上·福建厦门·期末）若是第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·广东中山·月考）求下列各式的值： (1) (2) (3) 1．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知为第三象限角， 若， 则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·湖南益阳·期末）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·模拟预测）已知为第一象限角，，则______． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题四 sin2x的降幕公式及应用】 【例1】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知为钝角，为锐角，且，，求与的值. 1．（24-25高三上·山东淄博·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西钦州·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西宜春·期末）计算______． 4．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数. (1)求函数在区间上的最大值及相应的的值； (2)在中，若，且，求的值. 【经典例题五 cos2x的降幕公式及应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知平面向量满足. (1)若，求向量与的夹角； (2)若，求函数的最小值. 1．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·三模）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，则的值为______． 4．（2025高三·全国·专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求角A的值； （2）求函数（）的值域． 【经典例题六 辅助角公式】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知为第二象限角，且，那么的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·上海·课堂例题）把下列各式化成的形式： (1)； (2)． 1．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知函数，则（ ） A．函数的图象关于点对称 B．的最小值为-2 C．直线是函数的一条对称轴 D．函数步骤正确 3．（24-25高一下·上海宝山·月考）将代数式化为形式___________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）将下列各式化为的形式： (1)； (2)． 【经典例题七 给角求值型问题】 【例1】（24-25高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·江苏宿迁·月考）已知，，且，，求的值. 1．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·期中）年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏苏州·月考）求值：______． 4．（25-26高一·全国·课后作业）求值． 【经典例题八 给值求值型问题】 【例1】（2024·云南曲靖·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，均为锐角且，求的值． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·浙江温州·月考）记，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知，则的值是________． 4．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，其中 (1)求； (2)求． 【经典例题九 给值求角型问题】 【例1】（24-25高三下·重庆·月考）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）求下列方程的解集：. 1．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为_____. 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，其中，． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题十 三角形中的三角恒等式】 【例1】（24-25高一·上海·假期作业）在中，若，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【例2】（25-26高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·山东聊城·模拟预测）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在 中， ，则 ______． 4．（24-25高一上·河南周口·期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村一矩形空地进行绿化，如图所示，.点是中点，F，G分别是线段和线段上的动点（足够长），.    (1)当时，求的面积； (2)求面积的最小值. 【经典例题十一 三角恒等变换的实际应用】 【例1】（24-25高一下·四川成都·月考）把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·安徽安庆·期末）如图，在扇形OAB中，，半径.在上取一点M，连接，过M点分别向半径OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF. （1）设，将四边形MEOF的面积S表示成的函数，并写出的取值范围； （2）求四边形MEOF的面积S的最大值. 1．（24-25高三上·湖北襄阳·期中）某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（    ） A．10cm B． C． D． 2．（2025·新疆·二模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海徐汇·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角________来截. 4．（24-25高一上·河北唐山·期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令． (1)当时，求梯形BCNM的面积S； (2)求的周长l的最小值，并求此时角的值． 【经典例题十二 半角公式】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）已知，求证：． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024·全国·模拟预测）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）若，，则__________． 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，，且，，求、的值. 【经典例题十三 积化和差公式】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 1．（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若，则______． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明下列恒等式. (1)； (2). 【经典例题十四 和差化积公式】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）将下列各式化成积的形式： (1)； (2)． 1．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）（多选）下列等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·课后作业）________． 4．（2024高一下·江苏·专题练习）证明下列恒等式. (1); (2). 【拓展训练一 二倍角的相关公式】 【例1】（25-26高二上·浙江绍兴·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026高三·全国·专题练习）化简： (1) (2)． 1．（2026·四川绵阳·二模）已知，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）若是方程的两根，则等于______，______. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【拓展训练二 三角恒等式相关求解】 【例1】（2025高三·北京·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·湖南株洲·月考）（1）求的值； （2）若，求的值； （3）已知，求的值. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·福建宁德·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）的值为_____. 4．（25-26高三上·山东临沂·月考）（1）化简：； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 1．（25-26高三上·重庆·月考）已知 ，满足 ，则 （    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东惠州·模拟预测）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为，那么（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知函数，在锐角三角形中，，且，则的值为 A．1 B． C． D． 5．（24-25高一下·四川南充·月考）如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知sin α＝－，且180°<α<270°，则下列结论正确的是（    ） A．sin 2α＝－ B．sin ＝ C．cos ＝－ D．tan ＝－2 7．（多选）（24-25高一下·江西·月考）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高三上·广东江门·月考）已知，则的可能取值为（    ） A．0 B． C． D． 9．（多选）（24-25高一下·四川巴中·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）______． （2）______． （3）若，且，则______． 12．（2025·重庆涪陵·模拟预测）若是第四象限角，且25cos2θ＋cosθ－24＝0，则＝___________ 13．（2026·陕西西安·一模）已知，则___________. 14．（24-25高一下·湖北·月考）在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为_________. 15．（2025高三·全国·专题练习）_____.(用数字作答) 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 18．（2026高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 19．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 20．（24-25高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $