25.3 第3课时一次函数的性质（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

25.3 第3课时 一次函数的性质 第二十五章 一次函数 学 习 目 标 1 2 3 借助一次函数与正比例函数的关系理解一次函数的增减性； 借助图像理解k、b对一次函数图像所经过象限的影响； 运用一次函数的性质解决问题． 复习引入 一次函数的性质 提问 1.正比例函数的性质有哪些？ 2.一次函数和正比例函数有何关系？ 1.正比例函数的性质 (1)当k>0 时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值 y 随着自变量x 的增大而增大； (2)当k<0 时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值 y 随着自变量x 的增大而减小. 2.正比例函数是特殊的一次函数 新知讲解 一次函数的性质 一次函数的增减性 思考：1.一次函数y=x+2图像有何特征？ 2.借助一次函数y=x+2的图像讨论，当自变量x增大时，函数值y随之怎样变化？ 直线y=x+2 直线y=x 【解析】1.因为一次函数y=x+2的图像是由正比例函数y=x的图像向上平移两个单位得到，所以一次函数y=x+2的图像平行于直线y=x； ①经过第一、二、三象限； ②与坐标轴的夹角为45； ③图像从左往右看是上升的. 2.因为一次函数y=x+2图像从左往右看是上升的，所以当自变量x增大时，函数值y随之也增大. 简称，y随x增大而增大. 新知讲解 一次函数的性质 深度理解一次函数的增减性 思考：一次函数y=x+2，当自变量x增大时，函数值y随之怎样变化？ A（x1，y1） B（x2，y2） x增大 y增大 一次函数 y=x+2 的图像上有一个动点A， 点A沿着直线自左向右移动，在移动过程中 自变量 x 增大了， 函数值 y 增大了， 这叫作 y 随着 x 的增大而增大. 若点A沿着直线自上向下移动呢？ y 随着 x 的减小而减小. 所以：增大而增大⟺减小而减小. 新知讲解 一次函数的性质 一次函数的增减性 思考：3.一次函数 y=-x+2，当自变量x增大时，函数值y随之怎样变化？ 直线y=-x+2 直线y=-x 【解析】1.因为一次函数 y=-x+2 的图像是由正比例函数 y=-x 的图像向上平移两个单位得到，所以一次函数 y=-x+2 的图像平行于直线 y=-x； 因为一次函数 y=-x+2 图像从左往右看是下降的，所以当自变量x增大时，函数值y随之减小. 简称，y随x增大而减小. 新知讲解 一次函数的性质 一次函数 y=kx+b(k≠0)的性质： 一次函数的增减性 k>0 k<0 (1)当k>0 时，函数值y 随着自变量x 的增大而增大； (2)当k<0 时，函数值y 随着自变量x 的增大而减小. 上面这两个性质的逆命题也是成立的. 如果一次函数y=kx+b的函数值y 随x 的增大而增大，那么k>0； 如果一次函数y=kx+b的函数值y 随x 的增大而减小，那么k<0； 典例分析 一次函数的性质 例题讲解（课本P106例6） 例6 已知一次函数y=kx+2 的图像经过点A(-1,1). (1)求常数k 的值； (2)当自变量x 增大时，函数值y 随之增大还是减小?. (2)因为k>0,所以y 随着x 的增大而增大. 【解析】(1)因为一次函数 y=kx+2 的图像经过点 A(-1,1), 所以 1=-k+2. 解得 k=1. 【点睛】一次函数 y=kx+b 中的“k”值决定函数的增减性. 变式练习 一次函数的性质 （课本P108练习） 1.已知函数：①y=-3x+1; ②y=2x; ③y=x-1; ④y=x-5. 在这些函数中，y 随着 x 的增大而增大的函数有___________(填序号). . 【解析】一次函数 y=kx+b(k≠0)，当k>0 时，函数值y 随着自变量x 的增大而增大；所以符合要求的函数有②、③、④. ②、③、④. 典例分析 一次函数的性质 例题讲解（课本P106例7） 例7 已知一次函数y=(1-2m)x+m+1,且 y 随着x 的增大而减小. (1)求常数m 的取值范围； (2)在平面直角坐标系xOy 中，这个函数的图像与 y 轴的交点M 位于y 轴的正半轴还是负半轴? 【解析】(1)由已知条件，得 1-2m<0,解得 m> . 所以，m 的取值范围是 m>的一切实数. (2)函数y=(1-2m)x+m+1 的图像在y 轴上的截距是m+1, 由 m> , 得m+1>0 ,可知点M(0,m+1) 位于y 轴的正半轴. 【点睛】一次函数 y=kx+b 中的“k”值决定函数的增减性.截距”b”决定与图像与y轴的交点位置. 一 三 变式练习 一次函数的性质 （课本P108练习） 2.已知一次函数 y=(2-a)x-3, 且 y 随着 x 的增大而增大. (1)求常数 a 的取值范围； (2)指出这个函数的图像所经过的象限. . 【解析】(1)一次函数 y=kx+b(k≠0)，当函数值y 随着自变量x 的增大而增大时 k>0. 所以由题意可知，2-a>0 ，所以a的取值范围是 a<2. a<2 (2)一次函数 y=(2-a)x-3 的图像是由直线 y=(2-a)x 向下平移 3 个单位得到的. y=(2-a)x y=(2-a)x-3 又因为 2-a>0 ,所以直线y=(2-a)x经过第一、三象限， 四 所以一次函数y=(2-a)x-3的图像经过第一、三、四象限. 典例分析 一次函数的性质 例题讲解（课本P107例8） 例8 已知一次函数 y=kx+b(k) 的图像可以由函数y=4x 的图像平移得到. (1)随着自变量x 的增大，函数值y 是增大还是减小? (2)当 b=2 时，函数 y=kx+b 的图像经过哪几个象限? (3)当 b≠0 时，函数 y=kx+b(k0) 的图像经过哪几个象限? 【解析】(1)因为函数y =kx+b 的图像可以由函数y=4x 的图像平移得到， 所以k=4，从而这个一次函数的表达式为 y=4x+b. 由 k>0, 可知 y 随着 x 的增大而增大. (2)当 b=2 时，函数y=4x+2的图像可由函数y=4x 的图像向上平移2个单位得到，因此经过 第一、二 、三象限. (3)当 b>0 时，函数y =4x+b 的图像可由 函数 y=4x 的图像向上平移 b 个单位长度得到， 因此经过第一、二、三象限； 当 b<0 时，函数 y=4x+b 的图像可由函数y=4x 的图像向下平移 |b| 个单位长度得到，因此经过第一、三、四象限 典例分析 一次函数的性质 例题讲解（课本P107例8） 例8 已知一次函数 y=kx+b(k) 的图像可以由函数y=4x 的图像平移得到. (1)随着自变量x 的增大，函数值y 是增大还是减小? (2)当 b=2 时，函数 y=kx+b 的图像经过哪几个象限? (3)当 b≠0 时，函数 y=kx+b(k0) 的图像经过哪几个象限? 一 三 四 y=4x y=4x+b(b>0) 二 y=4x+b(b<0) 总结： 直线 y=4x 经过第____________象限 一、三 一、二、三 当b <0 时， 直线 y=4x+b 经过第____________象限 一、三、四 直线 y=4x+b 一定经过第 一、三 象限 当b >0 时， 直线 y=4x+b 经过第____________象限 变式练习 一次函数的性质 （课本P108练习） 3.已知一次函数 y=(1-3m)x+(2m-1) 的图像经过原点，求常数 m 的值. . 【解析】一次函数 y=(1-3m)x+(2m-1) 在y 轴上的截距是（2m-1） 因为图像经过原点，所以截距 2m-1=0 , 所以 m=. 新知讲解 一次函数的性质 【解析】一次函数 y=kx+b 的图像平行直线 y=kx . 当 k>0 时，直线必过第 一、三 象限； 当 b>0 时，直线向上平移经过第 一、二、三 象限； 当 b<0 时，直线向上平移经过第 一、三、四 象限； 当 k<0 时，直线必过第 二、四 象限； 当 b>0 时，直线向上平移经过第 一、二、四 象限； 当 b<0 时，直线向上平移经过第 二、三、四 象限； b>0 k>0 b<0 b>0 k<0 b<0 新知讲解 一次函数的性质 一次函数y=kx+b k>0 k<0 经过象限 增减性 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 从左往右看，图像是上升的 y 随着 x 的增大而增大 （减小而减小） 从左往右看，图像是下降的 y 随着 x 的增大而增大减小 （减小而增大） 课堂小结 一次函数 y=kx+b 的性质 一次函数图像的增减性 一次函数的截距 一次函数图像经过的象限 反馈练习 一次函数的性质 1.关于一次函数 y=-3x+2 下列说法正确的是（ ）. A. 函数图象与x 轴的交点为(0,2) B. 当x<0 时 y<0 C. 点 A(x₁,y₁),B(x₂,y₂) 在该函数图象上，若 x₁>x₂, 则 y₁<y₂ D. 函数图象经过第二、第三、第四象限 【解析】(1)一次函数中 b 叫作截距，决定与y 轴的交点，故 A 错误. (2)一次函数中 k=-3<0 所以图像从左往右是下降的，所以当x<0 时，y>0 ,故 B 错误. (3)一次函数中 k=-3<0 所以y 随着x 的增大而减小，故 C 正确. (4)因为 k=-3<0 图像必过第一、三象限，因为截距b >0,所以图像是上移的，故还经过第二象限，故 D 错误. C 反馈练习 一次函数的性质 2.已知直线y=kx+b 经过第一、二、三象限，则k,b 的取值范围是（ ）. A.k<0,b<0 B.k<0,b>0 C.k>0,b<0 D.k>0,b>0 【解析】已知直线 y=kx+b 平行于直线 y=kx.因为直线 y=kx 必经过第一、三象限，所以 k>0； 又因为直线y=kx+b 还经过第二象限，所以截距 b>0; 故选D; D 反馈练习 一次函数的性质 3.在一次函数y=-5ax+b(a≠0) 中，y 的值随 x 值的增大而增大，且 ab>0, 则点A(a,b) 在 ( ) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【解析】由y 的值随 x 值的增大而增大，可知 -5a>0，所以 a<0 ; 又因为 ab>0, 所以b<0; 故选B; B 反馈练习 一次函数的性质 4.若直线y=x 向上平移3个单位长度后经过点(2,m), 则 m 的值为_______ ; 【解析】设平移后的直线表达式是 y=kx+b 又因为直线点(2,m) 所以，m=2+3 所以 m=5 由题意可知，k=1、b=3， 所以 y=x+3 5 拓展提升 一次函数的性质 5.(1)将直线 y=2x+1 向右平移2个单位长度后所得直线的表达式是___________; (2)将直线 y=-x+1 向左平移 m(m>0) 个单位长度后，经过点(1,-3),则m=______. 【解析】(1)设平移后直线表达式为 y=2x+b， 令 y=0 ，则0=2x+1,∴ x= ∴直线 y=2x+1 与x 轴交于点A（，0）， 将A右移2个单位得到点（，0） 则有题意得，0=2，解之得 b=-3，故答案为 y=2x-3. (2)设平移后直线表达式为 y=-x+b， 则有题意得，-3=-1，解之得 b=-2，所以y=-x-2 因为，直线y=-x-2与x 轴交于点（-2，0），直线 y=-x+1 与x 轴交于点（1，0）， 所以 m=1-(-2)=3. y=2x-3 3 感谢聆听！ $