25.3 第4课时 一次函数、一次方程与一次不等式（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数与一次方程、不等式的关系及两直线交点问题，通过问题引入（如求函数与x轴交点）和图像分析，搭建从具体函数实例到抽象关系的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数形结合为主线，通过典例分析（如用函数图像求不等式解集）和变式练习，培养几何直观与推理意识，结合模型意识帮助学生建立知识联系。学生能深化理解，教师可提升教学系统性与效率。

25.3 第4课时 一次函数、一次方程 与一次不等式 第二十五章 一次函数 学 习 目 标 1 2 3 理解一次函数与一次方程的关系； 理解一次函数与一次不等式的关系； 理解一次函数图像的交点与一次方程组解的关系． 问题引入 一次函数、一次方程与一次不等式 提问： 1.一次函数 y=-x+3 与 x 轴交点为A，则点 A 坐标为_________; 【解析】当 y=0 时, 0=-x+3，解之得 x=3,所以 A(3,0); (3,0) 【点睛】把函数表达式 y=-x+3 看成一个二元一次方程，求图像与x 轴交点坐标,相当于已知 y=0 时求方程 0=-x+3 的解. 问题引入 一次函数、一次方程与一次不等式 提问： 2.一次函数 y=kx+b 的图像如图所示，思考: (1)不等式 kx+b<0 的解集是_________; (2)不等式 kx+b>3 的解集是_________; 【解析】(1)求不等式 kx+b<0 的解集，就是当函数值 y<0 时，求自变量 x 的取值范围，由图像可知 y<0 的部分是函数图像与 x 轴交点下方的部分. 3 -1 所以，不等式 kx+b<0 的解集是 x<-1. x<-1 所以，自变量 x 的取值范围是 ________ (2)不等式 kx+b>3 的解集，就是当函数值 y>3 时，求自变量 x 的取值范围，由图像可知 y>3 的部分是函数图像与 y 轴交点右边的部分. 所以，自变量 x 的取值范围是______ 所以，不等式 kx+b>3 的解集是 x>0. x>0. x<-1. x>0. 新知探究 一次函数、一次方程与一次不等式 课本P108问题3 问题3：直线l 是函数 y=x-1的图像，如图所示.根据图像回答： ( 1 ) 当x 取何值时，y=0? ( 2 ) 当x 取何值时，y>0? ( 3 ) 当x 取何值时，y<0? A -1 l 【解析】(1) y=0 ⟺ . B 2 2    直线l 与x  轴的交点. 因此，当x=___时 ，y=0. (2) y>0 ⟺ 其横坐标的取值范围是_________因此，当x_____时 ，y>0. 直线l  与x  轴交点上方的图像. x>2 >2 (3) y<0 ⟺ 直线l  与x  轴交点下方的图像. 其横坐标的取值范围是_________因此，当x_____时 ，y>0. x<2 <2 新知讲解 一次函数、一次方程与一次不等式 相互关系 B m 设一次函数 y=kx+b(k≠0 )的图像所表示的直线为 l ，l交 x 轴与点B（m，0），则： 1.关于x 的一元一次方程kx+b=0 其解是__________________________________ 直线l 与x 轴交点的横坐标.即: 2.关于x 的一元一次不等式kx+b>0 其解是____________________________________ 其解集是____________________________________________________ 直线l 上,且位于x 轴 上方的点的横坐标. x=m x<m 3.关于x 的一元一次不等式kx+b<0 其解是_____________________________________ 其解集______________________________________________________ 直线l 上且位于x 轴 下方的点的横坐标. x>m l 直线l 上,且位于x 轴 上方的所有点的横坐标组成集合. 直线l 上,且位于x 轴 上方的所有点的横坐标组成集合. 典例分析 一次函数、一次方程与一次不等式 利用方程、不等式解决函数问题（课本P109例9） 例9 已知函数 y=x+1 (1)当 x 取何值时，y=5? (2)当 x 取何值时，y>5? (3)位于 x 轴下方函数 y=x+1 的图像，它们的横坐标的取值范围是什么? 【解析】 1.当y=5时，＿＿＿＿＿解之得，＿＿＿＿＿＿. x=6 2.当y>5时，＿＿＿＿＿＿解之得，＿＿＿＿＿＿. x>6 3.因为所求的点在x 轴下方函数 y= x+1的图像上，所以它们的纵坐标 y 应小于0， 即＿＿＿＿＿，解得＿＿＿＿． x<－ x=6 x>6 x<－ 典例分析 一次函数、一次方程与一次不等式 利用函数图像来解决问题（课本P109例9） 例9 已知函数 y=x+1 (1)当 x 取何值时，y=5? (2)当 x 取何值时，y>5? (3)位于 x 轴下方函数 y=x+1 的图像， 它们的横坐标的取值范围是什么? x=6 x>6 x<－ 【分析】 １.画草图：①确定大方向、②截距、③画出大致图像 一 三 (1)在图像上找纵坐标为5的点； 1 5 P 6 (2)在图像上找出纵坐标 y>5 部分； 再求这部分点所对应的横坐标的取值范围. 再求它的横坐标. (3)在图像上找到 x 轴下方部分； 再求这部分点所对应的横坐标的取值范围. x<－ B x>6 变式练习 一次函数、一次方程与一次不等式 利用方程、不等式解决函数问题（课本P1１0练习） 1. 1. 已知一次函数 y=3x+2. (1) 当 x 取何值时，y=1? (2) 当 x 取何值时，y>1? (3) 当 x 取何值时，y<1? 【解析】 1.当 y=1 时，＿＿＿解之得,＿＿＿. 2.当 y>１时，＿＿＿解之得，＿＿＿. x=－ x＞－ ３.当 y<１时，＿＿＿解之得，＿＿＿. x<－ 一 三 1 2 P － x<－ x>－ 变式练习 一次函数、一次方程与一次不等式 利用函数图像来解决问题（课本P110练习） 2. 如图，已知一次函数y=kx+b 的图像经过点 A(-3,0) 、B(0,-2). (1)求这个一次函数的表达式； (2)当 x 取何值时，y>-2? 【分析】 １.由待定系数法求表达式 y=－ x<0 -2 B A -3 0 2.方法一:列出不等式－ 方法二: 观察图像 x<0 变式练习 一次函数、一次方程与一次不等式 利用函数图像来解决问题（课本P110练习） 【分析】 １.画出草图（先确定与坐标轴的两个交点） x<6 B 6 A 3 观察图像 x<6 3. 已知一次函数 y=－x+3 求在这个一次函数的图像上且位于x 轴上方的所有点的横坐标的取值范围. 拓展提升 一次函数、一次方程与一次不等式 两条直线交点问题（课本P110思考题） 思考. 在同一平面直角坐标系中，分别画出的一次函数 y=-x+4 与 y=3x 的图像。这两个函数的图像有交点吗?如果有交点，怎样求它的坐标? 【分析】１.画出的图像如图所示,因为两条直线不平行所以肯定有交点； A（x，y） 2.从方程的角度看，一次函数 y=-x+4 ① 和正比例函数 y=3x ② 的表达式就是两个二元一次方程； 所以，两个表达式联立成方程组 解之得 所以交点为A（1，3）. y=-x+4 y=3x 变式练习 一次函数、一次方程与一次不等式 两条直线的交点问题（补充练习） 1. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x-点 A(2,m) ，交 y 轴于点C ，过点 A 的直线交 y 轴于点 B(0,3)。 求m 的值和直线AB 的表达式。 【解析】直线的表达式 y=2x- 可以看成一个二元一次方程，点 A 在直线上⟺ x=2, y=m是该方程的一组解. A(2,m) B 3 ∵直线 y=2x- 经过点 A(2,m) , 由题意得，m=2-，解之得，m= 由待定系数法可求出AB的表达式为：y=- 【点睛】待定系数法本质上也是用方程的思想解决函数问题. 拓展提升 一次函数、一次方程与一次不等式 两条直线的交点问题（补充练习） 2. 如图，一次函数y₁=-2x-2 与 y₂=x-m 的图像相交于点A(n,-4)。 (1)求点A 的坐标及m 的值。 (2)结合图像，直接写出当 y₁<y₂时，x 的取值范围。 【解析】 (1)因为点 A(n,-4) 在函数 y=－ 可求得，n=1，由点 A（1,-4）在函数 y=x-m 的图像上，可求得 m=5. A(n,-4) (2)由图像可知当 x=1时，两个函数的值相等； y₁=-2x-2 y₂=x-m x=1 在直线 x=1 的右边（x>1时） ，x 取任意值 a 时对应的函数值 y1 总小于函数值 y2. x=a (a,y1) (a,y2) 所以当 y1<y2 时，x 的取值范围是 x>1. 课堂小结 一次函数、 一次方程与 一次不等式 用方程、不等式来解决函数问题 借助图像求方程和不等式的解（集） 两条直线的交点问题 反馈练习 一次函数、一次方程与一次不等式 1.如图，直线y=mx+n 过点A、B, 则关于 x 的方程 mx+n=0 的解是( )。 A. x=3 B. x=0 C.x=-4 D. x=-1 【解析】方程 mx+n=0 的解就是直线与 x 轴交点的横坐标. 故选C 3 -4 C 反馈练习 一次函数、一次方程与一次不等式 2.一次函数y=-2x+2 的图像如图所示，则不等式-2x+2≥2 的解集为( ） A. x B. x C.x D. x 【解析】不等式-2x+2≥2 的解集就是函数值 y 时的图像所对应点的横坐标的取值范围， 2 1 C 由图像可知，x 故选 C. 反馈练习 一次函数、一次方程与一次不等式 3.已知函数 y=2x 和 y=kx+2(k≠0) 的图像相交于点 A(t,-4), 则方程 2x=kx+2 的解为_________________ 【解析】由点 A(t，-4)是函数 y=2x 图像上的一点，可求得 t=-2， 因为方程 2x=kx+2 的解就是两个函数图像交点的横坐标，所以方程的解为 x=-2. x=-2 反馈练习 一次函数、一次方程与一次不等式 4. 如图，直线 y₁=x-4 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交 于点 B, 直线y₂=kx+b 与 x 轴交于点 D(1,0), 与 y 轴交于点 C(0,3), 两直线交于点 E. (1)k 的值为______,b的值为______; (2)请根据图象直接写出不等式 x-4>kx+b 的 解集. (3)求△ACE的面积； 【解析】(1)由待定系数法求出 k=-3，b=3; A B C D E (2)由两个表达式联立方程组求出交点E的坐标( ), 不等式 x-4>kx+b 的解集就是交点 E 右侧的部分图像所对应的 x 的取值范围，故 x> (3)△ACE的面积可由△ABC的面积减去△ECB的面积求得，S△ACE=; -3 3 拓展练习 一次函数、一次方程与一次不等式 5. 已知直线 y₁=mx+3n-1 与直线 y₂=(m-1)x-2n+2. (1)如果 m=-1，n=1,当x 取何值时，y₁>y₂? (2)如果两条直线相交于点 A，点 A 的横坐标 x 满足 -2<x<13,取 求整数 n. 【解析】(1)当 m=-1,n=1 两个函数为 y=-x+2 和 y=-2x,联立成方程组可求得两直线的交点为（-2，4）；结合图像可知在交点右侧的部分，y1>y2,所以 x>-2. (2)两个表达式联立成方程组 可解得 x=-5n+3，由已知条件 -2<x<13 列出关于 n 的不等式求出 -2<n<1 ,整数 n 的值为0和-1. 2 感谢聆听！ $