25.3 第1课时 一次函数的概念（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数概念，通过弹簧伸长、汽车耗油等实际问题引入，引导学生从具体情境抽象出y=kx+b（k≠0）的表达式，搭建从现实问题到数学模型的学习支架，衔接正比例函数与一次函数的联系。 其亮点在于以问题驱动教学，通过弹簧、蜡烛燃烧等实例培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，典例与变式练习层层递进，强化推理意识与运算能力，实际问题应用环节提升模型观念与应用意识。教师可高效备课，学生能在情境中理解概念、掌握方法，提升数学思维与表达能力。

25.3 第1课时 一次函数的概念 第二十五章 一次函数 学 习 目 标 1 2 3 理解一次函数的概念,及一次函数与正比例函数的联系； 会用待定系数法求一次函数的表达式； 能写出实际问题中的一次函数表达式． 问题引入 一次函数的概念 问题1 弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长.弹簧的长度y(单位：cm)是所挂重物质量x(单位：kg)的函数.已知一根弹簧在不挂重物时长6 cm.在一定的弹性限度内，每挂1 kg重物弹簧伸长0.3 cm.试写出y关于x的函数表达式. 又因不挂重物时弹簧的长度为___cm,所以挂x kg重物时弹簧的长度为_____________ cm,从而相应函数的表达式为 _____________ 分析 因为每挂1kg重物弹簧伸长0.3 cm, 所以挂x kg重物时弹簧伸长_______ cm. 0.3x 其中自变量x的取值范围由弹簧的“弹性限度”确定. 6 (0.3x+6) y=0.3x+6, 问题引入 一次函数的概念 问题2 一辆汽车行驶在国道上，汽车油箱里原有汽油60L,每行驶10 km耗油1 L,当汽车行驶600km后油箱里的油就耗尽了.设汽车行驶的路程为x km,油箱里剩余的油量为yL,试写出y关于x的函数表达式. 分析 因为每行驶 10 km耗油1L, 即 又因汽车油箱里原有汽油60L, 所以剩余的油量为____________L, 每行驶1km耗油______L, 0.1 所以汽车行驶x km需耗油_______ L. 0.1x (60-0.1x) 从而相应函数的表达式为_________________ y=-0.1x+60, 其中自变量x的取值范围是________________. 0≤x≤600 新知讲解 一次函数的概念 概念讲解 函数的表达式y=0.3x+6与y=—0.1x+60的一个共同点是： 形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的函数叫作____________. 表达式的右边都是关于自变量x的一次式. 一次函数 一次函数自变量x的取值范围是___________. 一切实数 特别地，当b=0时，y=kx+b(k≠0)即为___________________y=kx(k≠0), 正比例函数 即正比例函数是一种特殊的一次函数. 当k=0时，y=b也是一个函数，称为_______函数. 常值 【点睛】 常值函数不属于一次函数 典例分析 一次函数的概念 例1 根据下列变量x、y之间的关系式，判断y是不是x的一次函数： (1) y=2x(2) y=1-x (3) y= 解(1)因为y=2x 是正比例函数，所以y 也是x 的一次函数. (2)因为1-x 是关于x的一次式，所以y 是x 的一次函数. (3)因为不是关于x的一次式，所以y 不是x 的一次函数. 概念辨析 典例分析 一次函数的概念 例2 已知变量x、y 之间的关系式是y=(a+1)x+a(a 是常数),那 么y 是 x 的一次函数吗? 解 当 a+1≠0,即 a≠-1 时 ，(a+1)x+a 是关于x 的一次式， 这时 y 是 x 的一次函数； 概念辨析 但当 a+1=0,即a=-1 时，得y=-1, 这时y 不是x 的-次函数. y=-1是一个________函数. 常值 变式练习 一次函数的概念 1.下列函数：①y=-x;②y=1;③y=；④y=（m为常数）； ⑤y=-1;⑥y=x²-1. 其中， 一次函数有_______.正比例函数有________ , (填序号) 如果是一次函数，请指出它的一次项系数 K 和常数项 b 的值. 分析： ① y=-x是一次函数也是正比例函数，比例系数k=-,b=0； ②因为是一次函数; ③y=是一次函数，比例系数k=，b=； ④因为当m=1时，y=(m-1)x即y=0,是一个常值函数. 所以不能确定y是x的一次函数，也不能确定它是正比例函数. ⑤因为是一次函数; ⑥因为x²-1是一次函数; ①③ ① 变式练习 一次函数的概念 2.已知函数y=( m-2)x+5-m 若此函数是一次函数， 则m 满足的条件是______ ; 若此函数是正比例函数，则 m 的值为________ ,此时函数的解析式为_____________; 解 若此函数是一次函数， 则m-2 满足的条件是m; 若此函数是正比例函数， 则5-m=m=5, 此时y=3x ; m m y=3x 典例分析 一次函数的概念 例3 已知y 是x 的一次函数，当 x=2 时 ，y=-1; 当x=5 时 ，y=8. 求这个一次函数的表达式. 解 设所求一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0). 待定系数法 【点睛】 这里求一次函数表达式的方法是待定系数法. 因为当x=2 时，y=-1, 当 x=5 时，y=8, 所以 解二元一次方程组，得 所以，这个一次函数的表达式为y=3x-7. 表达式中k 、b 是待定系数，利用两个已知条件列出关于k 、b 的方程组，可确定它们的值. 变式练习 一次函数的概念 3.已知y 是关于x 的一次函数，且当x=1 时，y=-4; 当 x=2 时 ，y=-6 (1)求y 关于x 的函数表达式。 (2)分别求当x=-2 和x=4 时 ，y 的值. 解 (1)设所求一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0). 因为当x=1 时，y=-4, 当 x=2 时，y=-6, 所以 解二元一次方程组，得 所以，这个一次函数的表达式为y=-2x-2. (2)当x=-2时，y=2;当x=4时，y=-10. 待定系数法的解题步骤 1.设解析式； 2.代入x、y的值，列出关于比例系数的方程（组）； 3.解方程（组），求出比例系数； 4.写出函数表达式. 变式练习 一次函数的概念 4. 已知y=y₁+y₂, 且y₁-3与x 成正比例，y₂与x-2成正比例,当x=2时 ，y= 7;当x=1时，y=0。 (1)求出y 与x 之间的函数表达式。 (2)当x=4 时，求y 的值。 (3)当y=6 时，求x 的值。 (2)当x=4时，y=21; 当x=2时 ，y= 7;当x=1时，y=0。 所以 解之得，k1= 所以y= 解 (1)设y1-3=k1x(k≠0)，y2=k2(x-2)， 所以y1=k1x+3，y=k1x+k2(x-2)=(k1+k2)x-2k2 (3)当y=6时，x=; 【点睛】 y₁-3与x 成正比例，是把y1-3看成一个整体，事实上y1是关于x的 一次函数 y₂与x-2成正比例，是把（x-2）看成一个整体，事实上y2是关于x的 一次函数 y与x之间的函数y=(k1+k2)x-2k2也是属于 一次函数 当x=4 时，求y的值是 属于 已知自变量的值求函数的值； 当y=6 时，求x的值是 属于 已知函数的值求自变量的值； 典例分析 一次函数的概念 【分析】 蜡烛原长_____cm 实际问题中的一次函数 例3 点燃一根蜡烛后，蜡烛均匀燃烧.蜡烛的高 度h 与燃烧时间t 之间关系如下表，则这根蜡烛最多能燃烧的时间为      min.   t/min 0 2 4 6 8 10 … h/cm 30 29 28 27 26 25 … 30 每____分钟烧掉_____cm 2 1 即，每分钟烧掉_____cm 所以蜡烛剩余长度h (cm)和燃烧时间t (min)之间的函数关系式是 ____________________ (或 h=+30) 因为当h =0时，t =60,所以t 的取值范围是_____________, 0 所以蜡烛最多能燃烧_____分钟. 60 【点睛】 每分钟烧掉cm，就是蜡烛燃烧的速度；函数表达式中的比例系数（K=-） 就体现了这个燃烧速度； 表示蜡烛燃烧掉的长度与燃烧的时间成正比例. 实际问题中的自变量取值范围一定要符合实际意义. 变式练习 一次函数的概念 5. 根据记录，从地面向上11 km 以 内，每升高1 km, 气温降低6℃;又知在距离 地面11 km 以上的高空，气温几乎不变. (1)若地面气温为15(℃), 设距地面的高度为x(km) 处的气温为y(℃).写出距地面的高度在11 km 以内的y 与 x 之间的函数解析式. (2)飞机外气温为-26℃时，飞机距离地面的高度为7 km,求当时地面的气温. 因为当x=7时，y=-26， y= 所以x=16(℃); 【分析】(1)由飞机每升高1km，气温下降6℃可知： (2)由题意可知飞机外的气温与地面气温之间是一次函数，设地面气温为b℃,则y 关于x 的函数关系式为： y=-6x+b 【点睛】 飞机飞得越高气温越低，气温降低的幅度与飞行高度成正比，比例系数就是-6，表示飞机每升高1 km,温度降低6 度； 课堂小结 一次函数 的概念 一次函数的表达式y=kx+b(kk、b为常数) 待定系数法 实际问题中 的一次函数 当场反馈 一次函数的概念 1. 下列函数中，哪些是一次函数? (1) y= (2)y=-2x; (3)y=x²+2; (4)y=kx+b(k 、b是常数). 解 （1）因为是一次函数； （2）因为是一次函数； （3）因为x²+2是一次函数； （4）因为当k=0时，kx+b是一次函数； 当场反馈 一次函数的概念 2. 已知一次函数 y=x-2 (1)当自变量x 分别等于-1、2时，求函数值； (2)如果自变量为a 时的函数值为4,求自变量a 的值 . 解 (1)当x=-1时，y==-; (2)由题意得，4=a-2，解之得a=12; 当x=2时，y==-; 变式练习 一次函数的概念 3. 已知y 是x 的-次函数，当 x=-3 时，y=11;当 x=5 时， y=-5.求这个一次函数的表达式. 解 (1)设所求一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0). 因为当x=-3 时，y=11, 当 x=5 时，y=-5, 所以 解二元一次方程组，得 所以，这个一次函数的表达式为y=-2x+5. 拓展提升 一次函数的概念 1.已知y+a 与x-b 成正比例(其中a、b 都是常数)。 (1)试说明y 是 x 的一次函数。 (2)如果x=-1 时 ，y =-15;x=7 时，y=1,求这个一次函数的表达式。 解 (1)设y+a=k(x-b)(k≠0). 所以y=kx-kb-a 因为k、b、a是常数，且k0 所以kx-kb-a是关于x的一次式， 所以y是关于x的一次函数. (2)设-kx-a=m 由题意得. 解之得， 所以，这个一次函数的表达式为y=2x-13. 拓展提升 一次函数的概念 2.某商家到梧州市一茶厂购买茶叶，购买茶叶质量为x kg(x>0),总费用为 y 元，现有两种购买方式. 方式一：若商家赞助厂家建设费11500元， 则所购茶叶价格为130元/kg;(总费用=赞 助厂家建设费+购买茶叶费) 方式二：总费用y(元)与购买茶叶质量x(kg)满足下列解析式： 请回答下面问题： (1)写出购买方式一的y 与 x 的函数解析式. (2)如果购买茶叶超过150 kg,说明选择哪种方式购买更省钱. （1）y=130x+11500. 分析（2）因为(150x+7500)-(130x+11500)=20x-4000. 当20x-4000=0，x=200 20x-4000>0，x>200 20x-4000<0，x<200 . 所以当x=200（kg）时，两种购买方式花费一样多； . 所以当x>200（kg）时，第二种购买方式更省钱； . 所以当x<200（kg）时，第一种购买方式更省钱； 感谢聆听！ $