专题25.4 一次函数（性质及与一次方程、一次不等式的关系）（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

本初中数学讲义聚焦一次函数性质及与一次方程、不等式的关系，系统梳理k>0时直线过一、三象限且y随x增大而增大，k<0时过二、四象限且y随x增大而减小的性质，以及函数图像与方程解、不等式解集的关联，搭建从概念到应用的学习支架。 资料通过即学即练、典例与变式训练，引导学生从图像观察中抽象k、b对函数的影响（数学眼光），通过方程与函数图像关系培养推理意识（数学思维），结合图像分析解集提升模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题25.4 一次函数(性质及与一次方程、一次不等式的关系) 教学目标 1. 理解一次函数的性质，当k>0时，直线必过第一、三象限，y随x增大而增大； 当k<0时，直线必过第二、四象限，y随x增大而减小； 2. 理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系，会用方程的思想求直线上点以及两条直线的交点坐标，反之会根据函数来解答特殊的方程（组）、不等式； 教学重难点 1.重点 理解一次函数的性质，一次函数与一次方程一次不等式的关系； 2.难点 利用一次函数的性质解答有关方程、不等式的问题. 知识点01 一次函数的性质 1.直线经过的象限 （1）k>0 直线y=kx+b必过第一、三象限，若b>0,则与y轴交于正半轴，若b<0,则与y轴交于负半轴； （2）k<0 直线y=kx+b必过第一、三象限，若b>0,则与y轴交于正半轴，若b<0,则与y轴交于负半轴； 【即学即练】 例1填空 （1）直线y=+2经过第一、二、三象限； （2）直线y=-+2经过第一、二、四象限； （3）直线y=--2经过第一、三、四象限； （4）直线y=--2经过第二、三、四象限； 【点睛】直线经过的象限类型较多，不要死记硬背，只要理解正比例函数性质及直线上下平移规律即可. 2.一次函数的增减性 （1）k>0 函数的图像从左往右看图像是上升的，y随着x的增大而增大； （2）k<0 函数的图像从左往右看图像是下降的，y随着x的增大而减小； 3.拓展：斜率k对直线的影响 （1）在一次函数中，k叫作一次函数的斜率，它不经决定了函数的增减性和直线的走向，还决定了直线与y轴夹角的大小.|k|越大，图像越“陡”与y轴的夹角越小；|k|越小，图像越“平缓”与y轴的夹角越大； 其中，当k=1时，直线y=x为一、三象限的角平分线，直线y=x+b与y轴夹角为45，如图中的 l1与l2. （2） k相等 如果两条直线的k相等，意味着斜率相同，所以这两条直线是平行的或重合. （3） k相反 如果两条直线的k相反，b相等，意味着这两条直线关于y轴成轴对称.如图中的l1与l2，l3与l4，,l5与l6。 4.b对直线的影响 b叫作一次函数的截距，它决定了直线与y轴交点的纵坐标. 知识点02 一次函数与一次方程、一次不等式的关系 1.与一次方程和一次不等式的关系 如图所示，直线y=kx+b与x轴交于点P，则 （1） P点的横坐标x=m就是方程kx+b=0的解； （2） 直线y=kx+b在x轴上方的部分（图中红线）它所对应的x的范围（x>m）就是不等式kx+b>0的解集; （3） 直线y=kx+b在x轴下方的部分（图中蓝线）它所对应的x的范围（x<m）就是不等式kx+b<0的解集; 2.两条直线相交（与一次方程组和不等式组的关系） 如图所示， （1） 两条直线交于点P（m,n），表示方程组的解是； （2） 直线x=m右侧部分的图像表示，当自变量x>m时，无论x取何值，一定大于； （3） 直线x=m左侧部分的图像表示，当自变量x<m时，无论x取何值，一定小于； 说明： 我们可以利用一次函数的图像来解答一次方程（组）和一元一次不等式，反之也可以利用方程和不等式来帮助解答函数的有关问题. 例2 如图所示，已知一次函数和的图象分别是直线l₁和l₂,根据图象填空： (1)方程k₁x+b₁=0的根是____;不等式k₁x+b₁>0的解集是________; (2)不等式k₂x+b₂<0的解集是____________； (3)求l1与l2的交点坐标； (4)如果<，自变量的取值范围是多少？ 解：(1)方程k₁x+b₁=0的解是 x=2；不等式k₁x+b₁>0的解集是x>2； (2)不等式k₂x+b₂<0的解集是下x<3； (3)因为直线经过（2，0）、（0，-2） 所以由题意得,解之得,所以l1的表达式为y=x-1; 因为直线经过（-3，0）、（0，-2） 所以由题意得,解之得,所以l2的表达式为y= x-2; 由l1与l2的表达式联立成方程组，得，解之得 所以l1与l2的交点坐标为（，）； (4)由图像可知，当<时，所对应的图像部分是在两直线交点左边的部分，所以自变量x的取值范围是x<. 题型01 一次函数的图像经过的象限 【典例1】在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象与y轴的正半轴相交， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴图象经过第一、二、四象限． 故选B． 【变式1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点，据此求解即可． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴一次函数经过第一，三，四象限． 故选：C． 故选：B． 【变式2】如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知， ∵随的增大而减小， ∴， ∴ ∵直线与轴交于负半轴， ∴， 则函数的图象，随的增大而减小，直线与轴交于正半轴， 故选：A． 【变式3】一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵一次函数，， ∴图象经过一二四象限，不经过第三象限， 故选C． 【变式4】一次函数 （是常数，）的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查一次函数的图象与系数关系． 根据一次函数的性质，当时图象经过第一、三象限，时图象与轴正半轴相交，因此图象不经过第四象限． 【详解】解：∵，， ∴函数图象经过第一、二、三象限， ∴不经过第四象限． 故答案为：四． 题型02 一次函数的增减性 【典例1】函数中，图象经过第 象限，图象自左向右呈 （填“上升”或“下降”）趋势，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】 一、二、四 下降 减小 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握k，b的作用． 一次函数，当 时，图象经过一、二、三象限；当时，图象经过一、三、四象限；当时，图象经过一、二、四象限；当时，图象经过二、三、四象限，当时，图象自左向右上升，y随x的增大而增大；当 时，图象自左向右下降，y随x的增大而减小． 【详解】解：函数，因为，， 所以图象经过第一、二、四象限，图象自左向右呈下降趋势，y随x的增大而减小， 故答案为：一、二、四；下降；减小． 【变式1】一次函数的图象和性质，说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．截距为2 C．与x轴交于点 D．函数图象不经过第一象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，正确掌握一次函数图象的增减性和一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【详解】解：A．一次函数的图象随着的增大而减小，即A项错误， B．把代入得：，即在轴的截距为，即B项错误， C．把代入得：，解得：，即与轴交于点，，即C项错误， D．函数图象经过第二三四象限，不经过第一象限，即D项正确， 故选：D． 【变式2】一次函数，当满足时，的最大值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象的性质：当，y的值随x的值增大而增大；当，y的值随x的值增大而减小是解题的关键．由一次函数中，可以确定y随x的增大而减小，然后利用解析式即可求出在时函数y的最大值． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y的值随x的值增大而减小， ∴在范围内， 当时，函数值y最大，此时． 故答案为：7． 【变式3】关于函数下列说法不正确的是（   ） A．图象是一条直线 B．当直线经过两点，且时， C．图象不经过第三象限 D．与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，包括与坐标轴交点、增减性及象限分布．逐一分析各选项，即可解题． 【详解】解：A. 函数是一次函数，图象为直线，说法正确，不符合题意； B. ， 随的增大而减小， 当直线经过两点，且时，，说法正确，不符合题意； C. ，， 图象经过第二、三、四象限，故选项C说法错误，符合题意； D. 当时，， 与y轴的交点坐标为，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式4】已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，由直线方程可知，，因此随增大而减小．由，得，再逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵直线，， ∴随增大而减小． ∵， ∴． A，若，因为，所以或； 当时，由于，无法确定和的符号，例如，若直线与x轴交点在和之间，则，故不能确定的正负 故选项A不符合题意； B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意； 故选：C． 题型03 已知一次函数的性质求参数字母的取值范围 【典例1】一次函数的图象不经过第二象限，则m的范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的性质：时图象经过第一，二，三象限；时图象经过第一，三，四象限；时图象经过第一，二，四象限；时经过第二，三，四象限．根据一次函数经过的象限得到，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数经过的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据一次函数的图象过第一、三、四象限，得到，求不等式组的解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得； 故答案为：． 【变式2】若点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，，则k的值可能是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确理解一次函数的增减性是关键．由题意可知y随着x的增大而增大，即得，所以，即可判断答案． 【详解】解：点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，， 随着x的增大而增大， ， ， 的值可能是1． 故选：D． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，分和两种情况，判断函数与图象所经过的象限，即可求解． 【详解】解：当时，函数的图象经过第一、二、四象限，的图像经过第一、三象限， 选项C满足条件； 当时，函数的图象经过第二、三、四象限，的图像经过第二、四象限， 四个选项均不满足； 故选：C． 【变式4】1．已知一次函数的图象经过点，． (1)求一次函数的表达式； (2)若点，在一次函数的图象上，．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，解一元一次不等式． ()设一次函数解析式为，然后用待定系数法求解； ()根据函数的增减性列出关于的不等式求解； 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，把代入， 得 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 题型04 一次函数与一次方程 【典例1】如图，一次函数的图象过点，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系， 根据一次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程的解解答即可． 【详解】解：∵一次函数与x轴的交点坐标是， ∴方程的解是． 故选：A． 【变式1】已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．正确理解题意是解题的关键. 方程的解即为函数的值为时对应的值. 由点在直线上，直接可得解. 【详解】解：∵ 直线 过点， ∴ 当时，，即方程 的解为 ， 故选：D． 【变式2】如图，这是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是知道通过图象怎么求方程的解． 关于x的一元一次方程的解就是一次函数当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：由图知，一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为． 故选：D． 【变式3】一次函数中，x与y的部分对应值如下表：那么一元一次方程的解为（    ）                                            A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解即为一次函数中时对应的x值，理解两者的关系是关键；根据表格，找出函数值为0时的自变量的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∴方程的解为； 故选：D． 【变式4】45．在平面直角坐标系中，直线与（为常数，）交于点，则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，先求出交点的坐标，再根据两条直线的交点坐标即为一次函数解析式对应的二元一次方程组的解即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴交点坐标， ∴ 二元一次方程组的解是， 故选：． 题型05 一次函数与一次不等式 【典例1】一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是理解不等式的解集就是函数的图象在轴上方时的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点横坐标为2， ∴当时，， 又∵由图象可知该一次函数随的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为； 故选：C． 【变式1】如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据函数图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为． 故选：A． 【变式2】如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，及一次函数与不等式．熟悉结合一次函数的图像，及其在某一点的函数值，求自变量的取值范围是解题的关键．本题中根据已知点的坐标，和图像中随的增大而减小，即可得出所求的的取值范围． 【详解】解：由图像可知当时，，且随的增大而减小， ∴当时，． 故选：． 【变式3】一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，的取值范围是； 故选A． 【变式4】如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数图象求不等式组的解集． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 故选：B． 题型06 两条直线的交点问题 【典例1】如图，直线与（为常数，）交点的横坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线的交点的横纵坐标为两直线解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∵直线与（为常数，）交点的横坐标为2， ∴直线与（为常数，）交点的坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故选：B． 【变式1】如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图一次函数经过点，与轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．P为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可． 【详解】解：A、根据图象可知，， ∴，原选项不符合题意； B、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴为的中点，原选项符合题意； C、方程的解是，原选项不符合题意； D、当时，，原选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】如图，以两条直线的交点坐标为解的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两直线交点与二元一次方程组的解，二元一次方程组的解等知识，数形结合是解题的关键；由图知两直线的交点为，即为对应二元一次方程组的解，由解可得，即可作出判断． 【详解】解：由图知两直线的交点为，即为对应二元一次方程组的解， 由两个解得：， 由四个选项知，只有选项D满足题意，其它三个选项中，至少有一个方程不满足． 故选：D． 【点睛】本题还可以由图像辨别出正比例函数表达式为y=-2x,一次函数表达式为y=x+3，从而确定选D. 【变式4】如图，直线（是常数且）分别交轴，轴于两点，直线（是常数）分别交轴，轴于两点，直线相交于点． (1)直接写出方程组的解为___________； (2)求直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）直接根据函数图象作答即可； （2）将分别代入、得：，求出，，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，方程组的解为两直线交点，即． 故答案为：； （2）解：将代入得：，解得，即； 将代入得：，解得，即； 当时，解得：，即； 当时，解得：，即； ． 1．关于 x 的一次函数和（其中 ）的图象可能是（  ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数中的正负与图象的关系是关键． 根据题意，分别分析的正负，结合选项判定即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，A，B，C，D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，此时，B选项符合题意； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限，A，B，C，D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，A，B，C，D选项不符合题意； 故选：B ． 2．已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的图象不经过第 象限. 【答案】三 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 由一次函数的增减性得出，再根据图象与轴的交点位置判断所经象限． 【详解】解：∵随的增大而减小， ∴． 当时，， ∴一次函数的图象与轴交于点，位于轴正半轴上． 又∵， ∴图象经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 3．如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握根据函数图象解不等式的方法．由直线过第二、三、四象限可知，然后画出草图，根据一次函数和一元一次不等式的关系，结合函数图象求不等式的解集． 【详解】解：∵直线过第二、三、四象限， ∴， 又直线与x轴的交点为， ∴草图如下： 不等式表示一次函数图象在x轴下方的部分， 根据图象，当，函数图象在x轴下方， 故不等式的解集是． 故答案是：． 4．如果一次函数（为常数，）的图象经过点，那么的值随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性．将点坐标代入函数解析式求出k，再根据一次函数的比例系数k的符号，即可判断增减性． 【详解】解：∵一次函数（为常数，）的图象经过点， ∴， 解得， ∴y 的值随 x 的增大而减小． 故答案为：减小 5．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与x轴的交点坐标为 D．可由向左平移2个单位得到 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移，一次函数图像上点的坐标特征，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断图象的增减性、所过象限即可判断A，B选项；通过求与x 轴的交点坐标即可判断C选项；根据平移规律判断平移即可判断D选项． 【详解】解：∵一次函数，，， ∴y随x的增大而减小，图象经过第一、二、四象限，故A，B错误； 当时，， 解得， ∴与x轴交点坐标为，故C正确； 将向左平移2个单位得，故D错误． 故选：C． 6．已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解一元一次不等式，掌握一次函数图象与系数的关系是解题关键． 将一次函数变形，再根据一次函数图象与y轴的交点和增减性，得到，，解不等式求解即可． 【详解】解：， 一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小， ，， ，， 故选：D． 7．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，，则的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系相关知识点．解题关键在于熟练掌握一次函数的图象与轴交点的横坐标和方程的解之间的对应关系．已知一次函数的图象与轴的交点坐标，根据一次函数与一元一次方程的关系，直接得出方程的解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点．对于一元一次方程，它的解就是使得时的值，也就是一次函数图象与轴交点的横坐标． ∴当时，对应的，即方程的解为． 故选：D． 8．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 9．如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数图象求不等式组的解集． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 故选：B． 10．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（   ） ①；②函数的图象经过一、三、四象限；③；④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解，根据图象判断一次函数系数符号及交点信息，逐一验证各结论． 【详解】解：∵图象显示经过第一、二、四象限，经过第一、三、四象限， ∴，，，． ① ∵，，∴，正确． ② 函数，∵，，∴ 图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，错误． ③ ∵两直线交于点，∴，即，正确． ④ ∵交点，且，，∴当 时 ，故时 ，正确． ∴正确结论有3个， 故选：C． 11．在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象； (2)求方程组 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组． （1）求出两直线与坐标轴的交点，连接即可； （2）由图象可知两直线的交点即可确定方程组的解． 【详解】（1）解：对于函数， 当，， 当，，解得：， ∴直线与两坐标轴交点为， 同理可求直线与两坐标轴交点为， ∴图象如图所示： （2）解：由图象可知：两直线的交点为， ∴方程组即的解为：． 12．已知函数与． (1)画这两个函数的图象； (2)求这两个函数的图象交点的坐标； (3)当时，x的范围为________．（直接写结果） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组、画一次函数图象以及利用函数图象确定不等式解集，解题的关键是掌握函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，方程组的解是两函数图象的交点坐标． （1）根据画函数图象的方法即可； （2）解二元一次方程组即可； （3）比较两个函数图象的位置，根据图象在上方时函数值比较大确定自变量的范围．； 【详解】（1）解：列表： 0 2 1 4 3 描点；连线；如图， （2）解：， 解得：， ∴两个函数的图象交点的坐标为； （3）解：∵一次函数与相交于交点， 观察图像可知，当时，， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先联立得方程组，再解方程组即可； （2）先求出点和，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意联立，得， 解得， 所以点D的坐标为． （2）解：直线，令，则， 所以点． 直线，令，则， 所以点， 所以， 所以． 14.如图，二元一次方程组中的两个方程对应的两个一次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点． (1)两个一次函数图象的交点坐标为______，二元一次方程组的解是______； (2)若点为轴上一点，连接，当为等腰三角形时，请求出点的横坐标； 【答案】(1)， (2)2或或或3 【分析】本题考查一次函数图象交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用代数消元法解二元一次方程组，方程组的解对应交点的横、纵坐标； （2）分四种情况：且点D在点A左侧；且点D在点A右侧；；，分别计算即可； 【详解】（1）解： 将代入得：， 解得， 将代入得：， 的解是， 两个一次函数图象的交点坐标为， 故答案为：，； （2）解：令，得， 令，得， ，， 由（1）知， ，， 当且点D在点A左侧时，， 点的横坐标为：； 当且点D在点A右侧时，， 点的横坐标为：； 当时， ， ， 点的横坐标为：2； 当时，如图，取中点M，连接， ，，中点为M， ， 设， 则，， ， ，， ， 由勾股定理得， ， 解得， 点的横坐标为：3； 综上可知，点的横坐标为2或或或3； 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.4 一次函数(性质及与一次方程、一次不等式的关系) 教学目标 1. 理解一次函数的性质，当k>0时，直线必过第一、三象限，y随x增大而增大； 当k<0时，直线必过第二、四象限，y随x增大而减小； 2. 理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系，会用方程的思想求直线上的点以及两条直线的交点坐标，反之会根据函数的图像和性质来解答特殊的方程（组）与不等式； 教学重难点 1.重点 理解一次函数的性质，一次函数与一次方程一次不等式的关系； 2.难点 利用一次函数的性质解答有关方程、不等式的问题. 知识点01 一次函数的性质 1.直线经过的象限 （1）k>0 直线y=kx+b必过第______________象限，若b>0,直线y=kx+b与y轴交于_______半轴，若b<0,与y轴交于_______半轴； （2）k<0 直线y=kx+b必过第______________象限，直线y=kx+b与y轴交于_______半轴，若b<0,与y轴交于_______半轴； 【即学即练】 例1填空 （1）直线y=+2经过第______________象限； （2）直线y=-+2经过第______________象限； （3）直线y=--2经过第______________象限； （4）直线y=--2经过第______________象限； 【点睛】直线经过的象限类型较多，不要死记硬背，只要理解正比例函数性质及直线上下平移规律即可. 2.一次函数的增减性 （1）k>0 函数的图像从左往右看图像是__________的，y随着x的增大而__________； （2）k<0 函数的图像从左往右看图像是__________的，y随着x的增大而__________； 3.延伸：斜率k对直线的影响 （1）在一次函数中，k叫作一次函数的斜率，它不经决定了函数的增减性和直线的趋势，还决定了直线与y轴夹角的大小.|k|越大，图像越“陡”与y轴的夹角越小；|k|越小，图像越“平缓”与y轴的夹角越大； 其中，当k=1、k=-1时，直线y=x为一、三象限的角平分线，直线y=-x为二、四象限的角平分线，直线y=x+b和直线y=-x+b与y轴夹角都为45，如图中的l1与l2. （2） k相等 如果两条直线的k相等，意味着斜率相同，所以这两条直线是____________或重合的. （3） k相反 如果两条直线的k相反，b相等，意味着这两条直线关于y轴成轴对称.如图中的l1与l2，l3与l4，,l5与l6。 4.b对直线的影响 b叫作一次函数的______，它决定了直线与______轴交点的______. 【即学即练】 例2 已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 解：， 一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小， ，， ，， 故选：D． 知识点02 一次函数与一次方程、一次不等式的关系 1.与一次方程和一次不等式的关系 如图所示，直线y=kx+b与x轴交于点P，则 （1） P点的横坐标x=______就是方程kx+b=0的解； （2） 直线y=kx+b在x轴上方的部分（图中红线）它所对应的x的范围________就是不等式kx+b>0的解集; （3） 直线y=kx+b在x轴下方的部分（图中蓝线）它所对应的x的范围________就是不等式kx+b<0的解集; 2.两条直线相交（与一次方程组和不等式组的关系） 如图所示， （1） 两条直线交于点P（m,n），表示方程组的解是； （2） 直线x=m右侧部分的图像表示，当自变量x>m时，无论x取何值，(比较大小)________； （3） 直线x=m左侧部分的图像表示，当自变量x<m时，无论x取何值，(比较大小)_________； 说明： 我们可以利用一次函数的图像来解答一次方程（组）和一元一次不等式（组），反之也可以利用方程和不等式来帮助解答函数的有关问题. 例2 如图所示，已知一次函数和的图象分别是直线l₁和l₂,根据图象填空： (1)方程k₁x+b₁=0的根是____;不等式k₁x+b₁>0的解集是________; (2)不等式k₂x+b₂<0的解集是____________； (3)l1与l2的交点坐标是_____________； (4)如果<，自变量的取值范围是___________. 题型01 一次函数图像经过的象限 【典例1】在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【变式1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【变式2】如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】一次函数 （是常数，）的图象不经过第 象限． 题型02 一次函数的增减性 【典例1】函数中，图象经过第 象限，图象自左向右呈 （填“上升”或“下降”）趋势，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【变式1】一次函数的图象和性质，说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．截距为2 C．与x轴交于点 D．函数图象不经过第一象限 【变式2】一次函数，当满足时，的最大值是 ． 【变式3】关于函数下列说法不正确的是（   ） A．图象是一条直线 B．当直线经过两点，且时， C．图象不经过第三象限 D．与y轴的交点坐标为 【变式4】已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型03 已知一次函数的性质求参数字母的取值范围 【典例1】一次函数的图象不经过第二象限，则m的范围是 ． 【变式1】一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【变式2】若点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，，则k的值可能是（   ） A． B． C． D．1 【变式3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ） A．B．C． D． 【变式4】1．已知一次函数的图象经过点，． (1)求一次函数的表达式； (2)若点，在一次函数的图象上，．求的取值范围． 题型04 一次函数与一次方程 【典例1】如图，一次函数的图象过点，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，这是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式3】一次函数中，x与y的部分对应值如下表：那么一元一次方程的解为（    ）                                            A． B． C． D． 【变式4】45．在平面直角坐标系中，直线与（为常数，）交于点，则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 题型05 一次函数与一次不等式 【典例1】一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式3】一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型06 两条直线的交点问题 【典例1】如图，直线与（为常数，）交点的横坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【变式2】如图一次函数经过点，与轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．P为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【变式3】如图，以两条直线的交点坐标为解的方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图，直线（是常数且）分别交轴，轴于两点，直线（是常数）分别交轴，轴于两点，直线相交于点． (1)直接写出方程组的解为___________； (2)求直线与轴围成的三角形的面积． 1．关于 x 的一次函数和（其中 ）的图象可能是（  ） A．B．C． D． 2．已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的图象不经过第 象限. 3．如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是 ． 4．如果一次函数（为常数，）的图象经过点，那么的值随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 5．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与x轴的交点坐标为 D．可由向左平移2个单位得到 6．已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，，则的解为（　　） A． B． C． D． 8．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 9．如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（   ） ①；②函数的图象经过一、三、四象限；③；④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象； (2)求方程组 12．已知函数与． (1)画这两个函数的图象； (2)求这两个函数的图象交点的坐标； (3)当时，x的范围为________．（直接写结果） 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的面积． 14. 如图，二元一次方程组中的两个方程对应的两个一次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点． (1)两个一次函数图象的交点坐标为______，二元一次方程组的解是______； (2)若点为轴上一点，连接，当为等腰三角形时，请求出点的横坐标； 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $