专题04 三角形（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 三角形 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 线段、角、平行线及相交线 题型二 三角形（含相似） 题型三 解直角三角形及其应用 必备知识 知识1 线段与角 知识2 相交线与平行线 知识3 三角形 知识4 全等三角形 知识5 等腰三角形 知识6 相似三角形 命题预测 预测1 平行线的性质及判定［2025年6题］ 预测2 命题 预测3 三角形的边、角关系 预测4 三角形中的重要线段 预测5 等腰三角形的性质及相关计算 预测6 直角三角形的性质及相关计算 预测7 相似三角形的性质及判定［2024年13题］ 预测8 解直角三角形的实际应用［两年必考，2024年为解答题，2025年改为填空题考查］ 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 推理能力、模型观念、运算能力、几何直观 热考角度 考点 2025年 2024年 线段、角、平行线及相交线 T6．平行线的性质 在四边形的相关计算中涉及 三角形（含相似） 在几何图形的相关计算中涉及 T13．相似三角形的性质 解直角三角形及其应用 T14．解直角三角形的应用 T20．解直角三角形的应用 命题预测 1. 考情预测 · 结合辽宁近年中考规律与2026年命题趋势，三角形板块预计占20–28分，覆盖选择、填空、解答全题型。 · 难度：基础不偏、中档常规、压轴重旋转/折叠/动点 · 核心命题方向：全等判定、相似应用、解直角三角形、几何变换（旋转/折叠），强调数形结合与逻辑推理 2. 备考建议 · 基础必拿分：三角形三边关系、内角和180°、外角性质；等腰/等边/直角三角形核心性质（直角三角形斜边中线=斜边一半、30°对边=斜边一半）；全等5大判定定理、相似3大判定定理及性质；特殊角三角函数值、勾股定理及逆定理。 · 中档突破点：解直角三角形双直角模型、公共边模型；全等证明常用辅助线（倍长中线、截长补短、作高）；相似三角形A字/8字模型、母子相似模型应用。 · 压轴冲刺点：三角形旋转（等腰/等边/直角）与全等、相似综合；折叠问题中勾股方程+相似结合解题；等腰/直角三角形存在性分类讨论（结合坐标系/动点）。 题型一 线段、角、平行线及相交线 线段相关题型：抓 “和差倍分”+“中点 / 分点”，用代数法求解 角相关题型：和线段 “完全类比”，加 “余角 / 补角 / 角平分线”，注意 “度分秒换算” 相交线题型：抓 “对顶角 + 邻补角 + 垂线”，记 “垂直的性质” 平行线题型：核心是 “三线八角”+“判定定理 + 性质定理”，这是重中之重 1. （2025•辽宁中考•6题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由条件可知，， ； 故选：． 2. （2025•铁东区三模）如图，已知，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ， 又， ． 故选：． 题型二 三角形（含相似） 做三角形的题目，核心是吃透三角形的核心性质 + 熟记全等 / 相似判定定理 + 掌握边 / 角计算的核心公式 + 学会作辅助线，三角形是几何的基础，题型虽多但规律极强，从基础的边角计算到复杂的证明，都能按 “定题型→套定理→找条件→推结论” 的思路解决。 3. （2024•辽宁中考•13题）如图，，与相交于点，且△与△的面积比是，若，则的长为 　 　 ． 【解答】解：， △△， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 4. （2024•立山区四模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示： 由图形可得：， 三个全等三角形， ， 又， ， 的度数是． 故选：． 题型三 解直角三角形及其应用 解直角三角形及其应用的题，核心是吃透锐角三角函数的定义 + 熟记特殊角的三角函数值 + 掌握 “建直角三角形” 的技巧，这类题分纯计算的解直角三角形和实际应用（如仰角俯角、坡度坡角、方向角）两类，本质都是在直角三角形中，已知 2 个元素（至少 1 个边），求其余 3 个元素，实际应用只是多了一步 “把实际问题转化为直角三角形问题”，按固定步骤做就能轻松解 5. （2025•辽宁中考•14题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为　 　 （结果精确到．参考数据：，，． 【解答】解：由题意得，，， 在△中，，即， ， 故答案为：7.4． 6. （2024•辽宁中考•20题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到． （参考数据：，，， 【解答】解：（1）如图2，在△中，，， ， ， 则的长为； （2）在△中，，， 根据勾股定理得：， 在△中，，，， ，即， ， ， ， ， 则物体上升的高度约为． 知识1 线段与角 一、线 1．基本概念： （1）直线：能够向两端无限延伸的线叫做直线． 表示方法：①直线可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序； ②直线也可以用一个小写字母来表示． 【例】如图1：可以记为直线AB或直线BA； 如图2：记为直线l． 图1 图2 （2）射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点． 表示方法：①射线可以用两个大写字母来表示，第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点； ②射线也可以用一个小写字母来表示． 【例】如图3：记为射线OA，但不能记为射线AO； 如图4：记为射线l． 图3 图4 （3）线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫做线段的端点．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． 表示方法：①线段可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，不分先后顺序； ②线段也可以用一个小写字母来表示． 【例】如图5：可以记为线段AB或线段BA； 如图6：记为线段l． 图5 图6 （4）中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点． 【例】如图7：点O是线段AB的中点，此时． 图7 2．公理： （1）两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线； （2）两点之间，线段最短：两点之间的连线中，线段最短． 二、角 1．定义： （1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸． （2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角．处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边． 表示方法：①通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间． ②用一个大写字母来表示：这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个． ③用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（，，，，, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。 【例】 或 2．角的相关换算： ①1度分（），1分秒（）； ②1周角，1平角，1直角； ③1周角平角，1平角直角． 3．相关概念 补角：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，简称互补．等角或同角的补角相等． 如果，则与互补；反之，如果与互补，则． 余角：如果两个角的和是，那么这两个角互为余角，简称互余．等角或同角的余角相等． 如果，则与互余；反之，如果与互余，则． 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 射线OC是的角平分线，． 知识2 相交线与平行线 一、直线的相交 1．两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行． 【注】两条直线：①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线． 2．直线的相交——两线四角 （1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角． 【例】如图1，和，和，和，和互为邻补角． 【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角． （2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角． 【例】如图1，和，和，互为对顶角． 【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角． 图1 图2 图3 二、垂直 1．垂直：一条直线与另一条直线相交成，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 【例】如图2，，垂足为O，可记为“于点O”． 2．性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 三、三线八角 1．同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同侧），叫做同位角． 【例】如图3，和，和，和，和都是同位角． 2．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角． 【例】如图3，和，和都是内错角． 3．同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角． 【例】如图3，和，和都是同旁内角． 四、平行线 1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a外一点A作b//a，c//a，则b与c重合． 3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a，c//a，则b//c． 图1 图2 图3 4．平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b，则． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b，则． （3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b，则． 5．平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b． （3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若，则a//b． 知识3 三角形 一、三角形中的基本概念 定 义 示例剖析 三角形的定义： 由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性. 表示法及读法： 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”．的三边有时也用a，b，c表示． 顶点A的对边a（BC） 顶点B的对边b（AC） 顶点C的对边c（AB） 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）． 锐角三角形 直角三角形 锐角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 二、三角形的边和角 1．三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边． 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． 2．三角形的角 定 义 示例剖析 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 三、三角形中三条重要的线段 定 义 示例剖析 三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②性质：三角形的三条角平分线交于一点． 线段AD为的一条角平分线 三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． ②性质：三角形的三条中线交于一点． 线段AD为BC边上的中线 三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 线段AD为BC边上的高 知识4 全等三角形 一、全等三角形的定义和性质 1．定义： 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 完全重合时，互相重合的点为对应点； 互相重合的角为对应角； 互相重合的边为对应边． 2．性质： （1）全等三角形的对应边相等． 若，则，，． （2）全等三角形的对应角相等． 若，则，，． （3）全等三角形的周长相等，面积相等． 若，则，． 二、全等三角形的判定 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边 (HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 知识5 等腰三角形 一、等腰三角形 等腰三角形 解 释 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边． 性质 （1）两腰相等、两底角相等． （2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形． 二、等边三角形和等腰直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形 1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形． 2．性质：三边都相等，三角都是． 3．判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是的三角形叫做等腰直角三角形． 2．性质：两个底角为． 3．判定：有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． 知识6 相似三角形 一、比例的性质： 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 二、成比例线段的概念： 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 3．黄金分割： 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 2．平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形 ①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换． ②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形的定义 定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．对应边的比例叫做相似比．全等三角形是特殊的相似三角形，全等三角形的相似比是1． 如图，与相似，记作，符号读作“相似于”． 注意：如果写成“”，则前后的字母一定对应；如果写成文字，则可以不对应． 3．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 4．相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 命题预测1：平行线的性质及判定［2025年6题］ 1. （2025•开原市一模）如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ， 故不符合题意； ， ， 故符合题意； ， ， 故不符合题意； ， ， 故不符合题意； 故选：． 2. （2025•石楼县一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：延长交于点， ， ， 由题意得：， ， 是△的一个外角， ， 故选：． 3. （2023•凌河区校级三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，使得点在三角板的一边上，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 命题预测2：命题 4. （2025•大连一模）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【解答】解：、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； 、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； 、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：． 5. （2024•皇姑区校级模拟）下列命题中为真命题的是（　　） A．16的平方根是4 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补 D．若，则 【解答】解：16的平方根是，故是假命题，不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故是真命题，符合题意； 两直线平行，同旁内角互补，故是假命题，不符合题意； 若，则，故是假命题，不符合题意； 故选：． 6. （2024•兴隆台区校级三模）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项中的图形，满足两个角相等，但是不是对顶角，故符合题意； 选项中的图形是对顶角，故不符合题意； 选项中的图形两个角不相等，故不符合题意； 选项中的图形两个角不相等，故不符合题意； 故选：． 命题预测3：三角形的边、角关系 7. （2024•沙河口区一模）若某三角形的三边长分别为3，4，，则的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：， 解得：， 即符合的只有5， 故选：． 8. （2023•顺城区模拟）已知△中，，，所对的边为，则满足已知条件的三角形的第三边长为 　 　 ． 【解答】解：如图所示，，，，作于， ， ， ，， 在△中，由勾股定理得， ，， 故答案为：或． 9. （2023•海城市校级三模）已知，，是三角形的三边长，化简：　 　． 【解答】解：、、是三角形的三边长， ，，， ，，， ． 故答案为：． 10. （2023•鞍山一模）三角形的两条边长分别为4和，若第三条边长为整数，则第三条边长的最大值为 　 　． 【解答】解：由题意可得，设第三边为，， ， ，， 第三条边长为整数， 可能为：1，2，3，4，5，6，7，8， 则第三边长的最大值为8． 故答案为：8． 命题预测4：三角形中的重要线段 11. （2023•清原县模拟）如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 　 　． 【解答】解：是的中线， ， 的周长为8， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 命题预测5：等腰三角形的性质及相关计算 12. （2025•兴隆台区模拟）如图，△中，，，将△绕点逆时针旋转，得到△，连结，则的长是（　　） A． B． C． D．3 【解答】解：如图，连接， 由题意得：，， △为等边三角形， ，； ，， ， ，， 垂直平分， ，， ，， ． 故选：． 13. （2024•振兴区校级三模）如图，在等边中，，作射线，垂足为，点是射线上一点．点是边上一点，连接，以为边向上构造等边，的延长线与射线交于点，连接．当，时，的面积为 　 　． 【解答】解：为等边三角形，且，射线于， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， 点是射线上一点， 有以下两种情况： ①当点在线段上时，过点作于，连接，过点作于，如图1所示： ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 在中，，则，， 为等边三角形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ，， 由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ； ②当点在的延长线上时，延长交的延长线于，连接，在上取一点，使，如图2所示： ，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， 为直角三角形，即， ， △为等边三角形， ，， ， 为等腰直角三角形，即， 由勾股定理得：， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ． 综上所述：的面积为或． 故答案为：或． 14. （2023•振兴区校级二模）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为 　 　． 【解答】解：作交于点， ，． 是的中点， ， ， ． ， ． 平分， ． ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. （2024•大连一模）如图，在四边形中，，，，，现给出以下结论：①可能是等腰三角形，②可能是等腰三角形，③可能是直角三角形，④线段，不可能互相垂直，其中正确的是 　 ．（写出所有正确结论的序号） 【解答】解：①在中与中设长为， 在中，，，， ，解得：， 在中，，，， ，解得：， ， 当时，，为等腰三角形，故①正确，符合题意； ②在中与中，设长为， 在中，，，， ，解得：， 在中，，，， ，解得：， ， 且， 不可能为等腰三角形，故②错误，不符合题意； ③由①得，， 当时，， ， ，舍去， 当时，， ， ，舍去， 不可能为直角三角形，故③错误，不符合题意； ④假设，且交点为点， 设，，，，则 在中，， 在中，， ，， ， 在中，， 在中，， ，， ， 线段，不可能互相垂直，假设不成立，故④正确，符合题意； 正确的结论有①④， 故答案为：①④． 16. （2025•朝阳县二模）如图，在△中，的平分线为，交于点，若，，则的值是　 　 ． 【解答】解：的平分线为，， ， ， 设， 交于点， △△， ，， 即， 解得或（舍去）， ， ． 故答案为：2． 17. （2023•灯塔市一模）在△中，，，是△的角平分线，于点． （1）如图1，连接，求证：△是等边三角形； （2）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系； （3）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：如图1所示： 在△中，，， ，． 平分， ． ． 于点． ． ． △是等边三角形； （2）结论：． 证明： 如图2所示：延长使得，连接， ，，是△的角平分线，于点， ，， 又， △是等边三角形， ， 在△和△中， △△， ， ． （3）结论：． 证明：延长至，使得． 由（1）得，． 于点． ． ． △是等边三角形． ，． ． ， ． 即． 在△和△中， △△． ． ， ． ． 命题预测6：直角三角形的性质及相关计算 18. （2025•辽宁模拟）如图，△是等边三角形，点是的中点，于点．若，则的长为（　　） A．12 B．9 C．8 D．6 【解答】解：△是等边三角形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， 故选：． 19. （2025•新宾县校级模拟）如图，在等腰三角形中，，，将△沿其底边中线向下平移，使点的对应点满足，则平移前后的两个三角形重叠部分的面积是 　 　 ． 【解答】解：，， ， 是△的中线， ， ， ， ， ， 由平移的性质得到，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平移前后的两个三角形重叠部分的面积． 故答案为：． 20. （2025•新宾县校级模拟）如图，把一张△纸片沿折叠，若，，则的度数为 ． 【解答】解：把一张△纸片沿折叠， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21. （2023•皇姑区模拟）如图，将边长为4的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，　 　． 【解答】解：①当时． ，为中点． ． ，点是线段的中点． ． 即向右平移4． ． ②当时． ． ． ． 为中点，． ． 在中，，． ． ． 点是线段的中点． 即向右平移8． 故答案为：4或8． 命题预测7：相似三角形的性质及判定［2024年13题］ 22. （2025秋•丹东校级月考）如图，在正方形中，△是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【解答】解：△为等边三角形， ，， 正方形，， △△， ， ， ， ，正方形中，， ， 在△中， ， ， 又， ， 故①正确； 正方形中，，， ，， ， ， 故②正确； ， △△， ， 又△与△同高， ， 又，， ， ， 故③正确； 正方形中， ， ， △△， ， ， 又，， ， 故④错误， 故选：． 23. （2025秋•庄河市期末）如图，在△中，，点在上，于点． （1）求证：△△； （2），且，求的长． 【解答】（1）证明：， ， ， ， 又， △△； （2）解：由（1）得，△△， ， ，，， ， ． 24. （2025秋•甘井子区期末）如图，在△和△中，，，，，，，求的长． 【解答】解：，，，， ，， ， ， △△， ， ，即， ， 的长为6． 25. （2025秋•昌图县期末）如图，在△中，，点是的中点，点在的延长线上，点在边上，连接，，． （1）求证：△△； （2）当，，求的值． 【解答】（1）证明：， （等边对等角）， ，， ， △△（两角分别相等的两个三角形相似）． （2）解：连接， 点是的中点，， ，， ，， ， 由（1）可知，△△， ， 命题预测8：解直角三角形的实际应用［两年必考，2024年为解答题，2025年改为填空题考查］ 26. （2025•大洼区校级三模）小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面上，底座的高为，长度均为的连杆、与始终在同一平面上． （1）转动连杆、，使成平角，如图2，求连杆端点离桌面的高度； （2）为了让光线更佳，他将（1）中的连杆再绕点逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当时，台灯光线最佳．求此时连杆端点离桌面的高度比原来降低了多少厘米？ 【解答】解：（1）如图2中，作于． ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即连杆端点离桌面的高度为； （2）过点作于，过点作于，于，如图3所示： 由题意得：，，，， 在△中，， ， ， ， ， 在△中，， ， ， 即连杆端点离桌面的高度比原来降低了． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 线段、角、平行线及相交线 题型二 三角形（含相似） 题型三 解直角三角形及其应用 必备知识 知识1 线段与角 知识2 相交线与平行线 知识3 三角形 知识4 全等三角形 知识5 等腰三角形 知识6 相似三角形 命题预测 预测1 平行线的性质及判定［2025年6题］ 预测2 命题 预测3 三角形的边、角关系 预测4 三角形中的重要线段 预测5 等腰三角形的性质及相关计算 预测6 直角三角形的性质及相关计算 预测7 相似三角形的性质及判定［2024年13题］ 预测8 解直角三角形的实际应用［两年必考，2024年为解答题，2025年改为填空题考查］ 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 推理能力、模型观念、运算能力、几何直观 热考角度 考点 2025年 2024年 线段、角、平行线及相交线 T6．平行线的性质 在四边形的相关计算中涉及 三角形（含相似） 在几何图形的相关计算中涉及 T13．相似三角形的性质 解直角三角形及其应用 T14．解直角三角形的应用 T20．解直角三角形的应用 命题预测 1. 考情预测 · 结合辽宁近年中考规律与2026年命题趋势，三角形板块预计占20–28分，覆盖选择、填空、解答全题型。 · 难度：基础不偏、中档常规、压轴重旋转/折叠/动点 · 核心命题方向：全等判定、相似应用、解直角三角形、几何变换（旋转/折叠），强调数形结合与逻辑推理 2. 备考建议 · 基础必拿分：三角形三边关系、内角和180°、外角性质；等腰/等边/直角三角形核心性质（直角三角形斜边中线=斜边一半、30°对边=斜边一半）；全等5大判定定理、相似3大判定定理及性质；特殊角三角函数值、勾股定理及逆定理。 · 中档突破点：解直角三角形双直角模型、公共边模型；全等证明常用辅助线（倍长中线、截长补短、作高）；相似三角形A字/8字模型、母子相似模型应用。 · 压轴冲刺点：三角形旋转（等腰/等边/直角）与全等、相似综合；折叠问题中勾股方程+相似结合解题；等腰/直角三角形存在性分类讨论（结合坐标系/动点）。 题型一 线段、角、平行线及相交线 线段相关题型：抓 “和差倍分”+“中点 / 分点”，用代数法求解 角相关题型：和线段 “完全类比”，加 “余角 / 补角 / 角平分线”，注意 “度分秒换算” 相交线题型：抓 “对顶角 + 邻补角 + 垂线”，记 “垂直的性质” 平行线题型：核心是 “三线八角”+“判定定理 + 性质定理”，这是重中之重 1. （2025•辽宁中考•6题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2. （2025•铁东区三模）如图，已知，，，则等于（　　） A． B． C． D． 题型二 三角形（含相似） 做三角形的题目，核心是吃透三角形的核心性质 + 熟记全等 / 相似判定定理 + 掌握边 / 角计算的核心公式 + 学会作辅助线，三角形是几何的基础，题型虽多但规律极强，从基础的边角计算到复杂的证明，都能按 “定题型→套定理→找条件→推结论” 的思路解决。 3. （2024•辽宁中考•13题）如图，，与相交于点，且△与△的面积比是，若，则的长为 　 　 ． 4. （2024•立山区四模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型三 解直角三角形及其应用 解直角三角形及其应用的题，核心是吃透锐角三角函数的定义 + 熟记特殊角的三角函数值 + 掌握 “建直角三角形” 的技巧，这类题分纯计算的解直角三角形和实际应用（如仰角俯角、坡度坡角、方向角）两类，本质都是在直角三角形中，已知 2 个元素（至少 1 个边），求其余 3 个元素，实际应用只是多了一步 “把实际问题转化为直角三角形问题”，按固定步骤做就能轻松解 5. （2025•辽宁中考•14题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为　 　 （结果精确到．参考数据：，，． 6. （2024•辽宁中考•20题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到． （参考数据：，，， 知识1 线段与角 一、线 1．基本概念： （1）直线：能够向两端无限延伸的线叫做直线． 表示方法：①直线可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序； ②直线也可以用一个小写字母来表示． 【例】如图1：可以记为直线AB或直线BA； 如图2：记为直线l． 图1 图2 （2）射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点． 表示方法：①射线可以用两个大写字母来表示，第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点； ②射线也可以用一个小写字母来表示． 【例】如图3：记为射线OA，但不能记为射线AO； 如图4：记为射线l． 图3 图4 （3）线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫做线段的端点．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． 表示方法：①线段可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，不分先后顺序； ②线段也可以用一个小写字母来表示． 【例】如图5：可以记为线段AB或线段BA； 如图6：记为线段l． 图5 图6 （4）中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点． 【例】如图7：点O是线段AB的中点，此时． 图7 2．公理： （1）两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线； （2）两点之间，线段最短：两点之间的连线中，线段最短． 二、角 1．定义： （1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸． （2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角．处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边． 表示方法：①通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间． ②用一个大写字母来表示：这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个． ③用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（，，，，, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。 【例】 或 2．角的相关换算： ①1度分（），1分秒（）； ②1周角，1平角，1直角； ③1周角平角，1平角直角． 3．相关概念 补角：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，简称互补．等角或同角的补角相等． 如果，则与互补；反之，如果与互补，则． 余角：如果两个角的和是，那么这两个角互为余角，简称互余．等角或同角的余角相等． 如果，则与互余；反之，如果与互余，则． 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 射线OC是的角平分线，． 知识2 相交线与平行线 一、直线的相交 1．两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行． 【注】两条直线：①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线． 2．直线的相交——两线四角 （1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角． 【例】如图1，和，和，和，和互为邻补角． 【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角． （2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角． 【例】如图1，和，和，互为对顶角． 【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角． 图1 图2 图3 二、垂直 1．垂直：一条直线与另一条直线相交成，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 【例】如图2，，垂足为O，可记为“于点O”． 2．性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 三、三线八角 1．同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同侧），叫做同位角． 【例】如图3，和，和，和，和都是同位角． 2．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角． 【例】如图3，和，和都是内错角． 3．同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角． 【例】如图3，和，和都是同旁内角． 四、平行线 1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a外一点A作b//a，c//a，则b与c重合． 3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a，c//a，则b//c． 图1 图2 图3 4．平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b，则． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b，则． （3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b，则． 5．平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b． （3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若，则a//b． 知识3 三角形 一、三角形中的基本概念 定 义 示例剖析 三角形的定义： 由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性. 表示法及读法： 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”．的三边有时也用a，b，c表示． 顶点A的对边a（BC） 顶点B的对边b（AC） 顶点C的对边c（AB） 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）． 锐角三角形 直角三角形 锐角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 二、三角形的边和角 1．三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边． 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． 2．三角形的角 定 义 示例剖析 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 三、三角形中三条重要的线段 定 义 示例剖析 三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②性质：三角形的三条角平分线交于一点． 线段AD为的一条角平分线 三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． ②性质：三角形的三条中线交于一点． 线段AD为BC边上的中线 三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 线段AD为BC边上的高 知识4 全等三角形 一、全等三角形的定义和性质 1．定义： 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 完全重合时，互相重合的点为对应点； 互相重合的角为对应角； 互相重合的边为对应边． 2．性质： （1）全等三角形的对应边相等． 若，则，，． （2）全等三角形的对应角相等． 若，则，，． （3）全等三角形的周长相等，面积相等． 若，则，． 二、全等三角形的判定 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边 (HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 知识5 等腰三角形 一、等腰三角形 等腰三角形 解 释 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边． 性质 （1）两腰相等、两底角相等． （2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形． 二、等边三角形和等腰直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形 1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形． 2．性质：三边都相等，三角都是． 3．判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是的三角形叫做等腰直角三角形． 2．性质：两个底角为． 3．判定：有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． 知识6 相似三角形 一、比例的性质： 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 二、成比例线段的概念： 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 3．黄金分割： 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 2．平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形 ①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换． ②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形的定义 定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．对应边的比例叫做相似比．全等三角形是特殊的相似三角形，全等三角形的相似比是1． 如图，与相似，记作，符号读作“相似于”． 注意：如果写成“”，则前后的字母一定对应；如果写成文字，则可以不对应． 3．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 4．相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 命题预测1：平行线的性质及判定［2025年6题］ 1. （2025•开原市一模）如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2. （2025•石楼县一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 3. （2023•凌河区校级三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，使得点在三角板的一边上，且，则等于（　　） A． B． C． D． 命题预测2：命题 4. （2025•大连一模）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 5. （2024•皇姑区校级模拟）下列命题中为真命题的是（　　） A．16的平方根是4 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补 D．若，则 6. （2024•兴隆台区校级三模）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（　　） A． B． C． D． 命题预测3：三角形的边、角关系 7. （2024•沙河口区一模）若某三角形的三边长分别为3，4，，则的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 8. （2023•顺城区模拟）已知△中，，，所对的边为，则满足已知条件的三角形的第三边长为 　 　 ． 9. （2023•海城市校级三模）已知，，是三角形的三边长，化简：　 　． 10. （2023•鞍山一模）三角形的两条边长分别为4和，若第三条边长为整数，则第三条边长的最大值为 　 　． 命题预测4：三角形中的重要线段 11. （2023•清原县模拟）如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 　 　． 命题预测5：等腰三角形的性质及相关计算 12. （2025•兴隆台区模拟）如图，△中，，，将△绕点逆时针旋转，得到△，连结，则的长是（　　） A． B． C． D．3 13. （2024•振兴区校级三模）如图，在等边中，，作射线，垂足为，点是射线上一点．点是边上一点，连接，以为边向上构造等边，的延长线与射线交于点，连接．当，时，的面积为 　 　． 14. （2023•振兴区校级二模）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为 　 　． 15. （2024•大连一模）如图，在四边形中，，，，，现给出以下结论：①可能是等腰三角形，②可能是等腰三角形，③可能是直角三角形，④线段，不可能互相垂直，其中正确的是 　 ．（写出所有正确结论的序号） 16. （2025•朝阳县二模）如图，在△中，的平分线为，交于点，若，，则的值是　 　 ． 17. （2023•灯塔市一模）在△中，，，是△的角平分线，于点． （1）如图1，连接，求证：△是等边三角形； （2）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系； （3）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由． 命题预测6：直角三角形的性质及相关计算 18. （2025•辽宁模拟）如图，△是等边三角形，点是的中点，于点．若，则的长为（　　） A．12 B．9 C．8 D．6 19. （2025•新宾县校级模拟）如图，在等腰三角形中，，，将△沿其底边中线向下平移，使点的对应点满足，则平移前后的两个三角形重叠部分的面积是 　 　 ． 20. （2025•新宾县校级模拟）如图，把一张△纸片沿折叠，若，，则的度数为 ． 21. （2023•皇姑区模拟）如图，将边长为4的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，　 　． 命题预测7：相似三角形的性质及判定［2024年13题］ 22. （2025秋•丹东校级月考）如图，在正方形中，△是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 23. （2025秋•庄河市期末）如图，在△中，，点在上，于点． （1）求证：△△； （2），且，求的长． 24. （2025秋•甘井子区期末）如图，在△和△中，，，，，，，求的长． 25. （2025秋•昌图县期末）如图，在△中，，点是的中点，点在的延长线上，点在边上，连接，，． （1）求证：△△； （2）当，，求的值． 命题预测8：解直角三角形的实际应用［两年必考，2024年为解答题，2025年改为填空题考查］ 26. （2025•大洼区校级三模）小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面上，底座的高为，长度均为的连杆、与始终在同一平面上． （1）转动连杆、，使成平角，如图2，求连杆端点离桌面的高度； （2）为了让光线更佳，他将（1）中的连杆再绕点逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当时，台灯光线最佳．求此时连杆端点离桌面的高度比原来降低了多少厘米？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $