第02讲 解直角三角形 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 第02讲 解直角三角形 （新教材北师大版） 知识点一： 解直角三角形 2 知识点二： 解直角三角形的常见类型 2 【题型1 解直角三角形的相关计算】 3 【题型2 解非直角三角形】 4 【题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长】 5 【题型4 构造直角三角形求不规则图形的面积】 6 【题型5 直角三角形中锐角函数相互转化问题】 8 【题型6 网格中解直角三角形】 12 【题型7 直角三角形与相似结合】 13 【题型8 直角三角形与圆结合】 15 【题型9 直角三角形与勾股定理】 17 【题型10 直角三角形与全等结合】 19 【探究式学习】 21 【课后检测】 23 【复盘笔记】 29 知识点一： 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 知识点二： 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切. 【题型1 解直角三角形的相关计算】 【例1】如图，在中，，于，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，、分别是斜边上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，中，，，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图，若，则斜梁从变为时，增加部分的长为（     ） A． B． C． D． 【题型2 解非直角三角形】 【例2】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，则的长为___________． 【变式2-2】如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【变式2-3】如图，在中，，，，则AB的长为__________． 【题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长】 【例3】如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【变式3-1】已知在四边形中，，，． （1）的长是______； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是______． 【变式3-2】如图，为等边三角形，点、分别在、上，，连接，，，点、分别在、上，连接，，若，，，则线段的长为______．    【变式3-3】如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度______米． 【题型4 构造直角三角形求不规则图形的面积】 【例4】如图，边长为6的正六边形，点、分别在、上，且，点为正六边形边上一动点，则的面积最大值为_______． 【变式4-1】已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为______________． 【变式4-2】一题多解法 如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）． 【变式4-3】如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成． (1)求加宽部分横断面的面积． (2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 【题型5 直角三角形中锐角函数相互转化问题】 【例5】类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． (1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请求出的值． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接． 请直接写出： ①若，则 ； ②延长交于点F，交于点G，则的值为 ． 【变式5-1】【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，垂足为B，且．求证：．    ①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与，之间的数量关系转化为与之间的数量关系．    ②如图3，小亮同学从这个条件出发给出另一种解题思路：作的垂直平分线，分别与，交于F，E两点，连接，将转化为与之间的数量关系．    请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在中，，过点A作（点D与点C在同侧），若．求证：．    【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，求四边形的面积．    【变式5-2】转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题： 如图1，在中，，． 【基础巩固】 （1）将图1中绕点B按顺时针方向旋转60°得到（如图2），连结OC．求证：． 【思考探究】 （2）将图1中绕点B按顺时针方向旋转60°并缩小得到（如图3），使，连结OC，AD． ①求证： ②用等式表示AD与AB之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）将图1中绕点B按顺时针方向旋转某个角度（小于180°）并缩小得到（如图4），使，连结OC，AC，AD．当时，求的值． 【变式5-3】【问题初探】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，在和中，，且为锐角，若，求证：． ①如图2，小锋同学从，这个条件出发，想到根据“”构造全等，给出如下解题思路：在上截取，连接，将与的数量关系转化为它们所在的三角形的关系． ②如图3，小慕同学从，这个条件出发，想到作双垂直，可构造出“”全等条件，给出如下解题思路：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，先证明垂线段相等，将垂线段作为中间过渡量证明与所在的三角形全等，从而证明． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）赵老师发现上面两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段的数量关系转化为证明两条线段所在三角形的关系．为了帮助同学们更好地感悟和运用转化思想，赵老师将上面的例题和解题思路进行变换，提出了下面的问题，请你解答： 如图4，在中，点E，D分别在边，上，连接，，延长至点F，使，连接，延长交于点H，若，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【题型6 网格中解直角三角形】 【例6】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的两个端点均在小正方形的顶点上（仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形）： (1)在图中画出，其面积为3，且； (2)在线段上取一点，连接，使点满足，并直接写出线段的长． 【变式6-1】如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，画出点，使得四边形为平行四边形； (2)在图②中，在上找点，使得的面积是面积的一半； (3)在图③中，在上找点，使得． 【变式6-3】图①、图②均为正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，分别在指定的网格中按要求作图．      (1)在图①中找出一个点，连接使； (2)在图②中找一点，连接，使； (3)直接写出图②中的长为________． 【题型7 直角三角形与相似结合】 【例7】系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以为基础，通过等比例缩放的方式衍生出、等规格．日常生活普遍使用的规格的打印纸，就是其中一种．系列纸张形状为矩形，有如下特点：将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似．如图1，矩形表示某系列纸张． (1)求； (2)若点为边的中点． （i）如图2，求； （ii）若，如图3，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点在线段上，点为点的对应点，求线段的长． 【变式7-1】如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点H． (1)【尝试初探】在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． (2)【深入探究】若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段中点时，求的值． (3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含n的代数式表示）． 【变式7-2】在中，， 在中，． 如果和相似，且边是的最短边，那么__________． 【变式7-3】已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． (1)求过点的直线的函数表达式； (2)若动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．连接，设运动的时间为t秒，问是否存在这样的时间t，使得与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型8 直角三角形与圆结合】 【例8】如图，在中，，以上一定点O，为半径作圆，与，分别交于点D，E，连接，，，若，，求． 【变式8-1】如图，平面直角坐标系中，，直线交y轴、x轴于A、B两点，P为直线上一动点． (1)求证：以为直径的圆过定点，并求定点坐标； (2)记（1）中的定点为D，把绕点Q顺时针旋转，得到射线交x轴于E，作于，求的最小值． 【变式8-2】如图，是的直径，点，为圆上两点，，连接交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式8-3】如图，是的内接三角形，是直径，点在圆上，，连接，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，则________，则的长为________． 【题型9 直角三角形与勾股定理】 【例9】如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点．若，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 【变式9-2】【初步发现】 如图，的内切圆与斜边相切于点D，与、相切于点E、F，，，求的面积． 解：设线段的长为x， 根据切线长定理，得，，， 在中，根据勾股定理，得， 整理，得， 所以 请同学们想一想，，的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】 已知：如图，的内切圆与相切于点D，与、相切于点E、F，，． （1）若，求证：的面积等于； （2）若，求证：． 【拓展延伸】 （3）已知：的内切圆与、、相切于点D、E、F，，，．请直接写出的面积． 【变式9-3】如图①，在中，，两条直角边边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与全等的四个直角三角形拼成一个正方形． (1)利用图②证明勾股定理即在中证明：； (2)若的两直角边之比为，现随机向图②内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？ (3)如图③所示，过点D作的垂线交小正方形对角线的延长线于点G，连接，延长交于点M，交于点H，若，求的值． 【题型10 直角三角形与全等结合】 【例10】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（   ）    A． B． C． D． 【变式10-1】初中几何学习一般路径为：线——三角形——四边形——多边形，线的学习依据位置关系又分为相交线、平行线．三角形、四边形的学习都是由一般到特殊，从一般三角形、四边形到特殊三角形、四边形，且研究了其特殊性质．学习过程中，同学们发现两个全等的特殊三角形即拼成一个特殊四边形．特殊三角形与特殊四边形之间有很多联系．因此在探究特殊四边形中一些线段之间关系时往往和特殊三角形结合起来．下面是数学翱翔社的同学在课后探究特殊三角形与特殊四边形一些重要线段之间关系的过程： 探究发现 （1）等腰直角三角形与正方形中特殊线段之间的关系． 如图1，在中，，，点D在边的延长线上，以为边作正方形（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接．发现，． 证明思路如下： 延长交于点H，连接．证明，点G为的中点，即可证明结论． 依据提供思路写出规范的推理过程． 类比猜想 （2）等边三角形与有一个角为的菱形中的特殊线段之间的关系． 如图2，在等边三角形中，点D在边的延长线上，以为边作菱形，（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接．猜想的数量关系以及位置关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）一般等腰三角形与有一个角和等腰三角形顶角度数相等的菱形中特殊线段之间的关系． 如图3，当为等腰三角形，，四边形为菱形，且时，其他条件不变，请直接写出的数量关系． 【变式10-2】如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点P是该平面内一点（与点O不重合），且，若以点P，A，B为顶点组成的直角三角形与全等，则点P的横坐标为_________ ． 【探究式学习】 1．和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 2．综合探究 (1)【问题解决】如图，点在线段上，点在同侧，．求证：． (2)【探究应用】如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且､､分别经过点，则边的长为______． (3)【拓展延伸】如图，在中，，点是边的中点，点分别在边上，．若，，则的长为______． 【课后检测】 1．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 2．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 4．在中，，如果，，那么的值是（       ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（   ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 6．如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，F是边的中点，H为边上一点，过点H作于点E．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．如图，小明在楼顶点处测得对面大楼楼顶点处的仰角为，楼底点处的俯角为．若两座楼与相距米，则大楼的高度为_____________米． 10．如图，在中，，，，则⁠___________． 11．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则________． 12．如图，边长为的正方形截取一个角后成为五边形，其中，．是边上的任意一点，过点作于点，于点，则矩形的最大面积为______． 13．如图，在中，，点在边上，若，则的值为___________． 14．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺完成作图，并回答问题． (1)如图①，点、、均在格点上，则 ．请在网格中找到格点，连接，使得，且点和点在的两侧．由图可知， 度； (2)如图②，点在格点上，已知，，以点为顶点作，使得，并在图中标出和，此时 ． 15．在中，，，．求． 16．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使与的位似比为且点A、B、C的对应点分别是，，； (2)写出各顶点的坐标（______）；（______）；（______） (3)直接写出的值为______． (4)在边上有一点，在位似变换后对应点的坐标（______）． 17．平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点 和点，与 轴交于点． (1)求的值； (2)如图 1，是抛物线上一点，，求点的坐标； (3)如图 2，将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为．设的顶点横坐标为．与轴围成的区域（包含边界）记为，与内部重合的区域（不含边界）记为 ．如果内恰好有且只有两个横、纵坐标均为整数的点， 时，直接写出的取值范围． 18．如图，在中，连接，分别以点，为圆心，大于的相同长度为半径作弧，两弧交于点，，连接分别交、、于点、、，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为中点，，，求的面积． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 91 页 第 1 页 共 91 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第02讲 解直角三角形 （新教材北师大版） 知识点一： 解直角三角形 2 知识点二： 解直角三角形的常见类型 2 【题型1 解直角三角形的相关计算】 3 【题型2 解非直角三角形】 6 【题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长】 10 【题型4 构造直角三角形求不规则图形的面积】 17 【题型5 直角三角形中锐角函数相互转化问题】 22 【题型6 网格中解直角三角形】 35 【题型7 直角三角形与相似结合】 39 【题型8 直角三角形与圆结合】 46 【题型9 直角三角形与勾股定理】 54 【题型10 直角三角形与全等结合】 63 【探究式学习】 70 【课后检测】 74 【复盘笔记】 91 知识点一： 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 知识点二： 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切. 【题型1 解直角三角形的相关计算】 【例1】如图，在中，，于，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，得，将代入求值即可． 【详解】解：∵在中，，于， ∴，， ∴， ∵，， ∴即， ∴， ∴，， ∴． 【变式1-1】如图，在中，，、分别是斜边上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得，结合，即可判断D选项． 【详解】解：，， ， ，故A选项正确，不符合题意； 、分别是斜边上的高和中线， ，即， ， ，故B选项不正确，符合题意； ， ，即， ，故C选项正确，不符合题意； ， ，即， ，故D选项正确，不符合题意． 【变式1-2】如图，中，，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出，的长即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴在中，， 则， 在中，， ， 又∵， ∴， 则． 【变式1-3】如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图，若，则斜梁从变为时，增加部分的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直平分得到，进而得到，因此，通过解直角三角形在中求出，在中求出，从而根据求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． ∵在中，， ∴． 【题型2 解非直角三角形】 【例2】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 【变式2-1】如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，，，，则AB的长为__________． 【答案】14 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=CD=3x，则BD=4x，根据勾股定理计算出x的值计算即可． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D， ∵，＜1=tan45°， ∴∠B＜45°， ∵tan45°=tanA=，， 设AD=CD=3x，则BD=4x， ∴， 解得x=2，x=-2舍去， ∴AB=AD+BD=7x=14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，熟练化斜三角形为直角三角形是解题的关键． 【题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长】 【例3】如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 【变式3-1】已知在四边形中，，，． （1）的长是______； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是______． 【答案】 / 【分析】（1）连接，根据条件易知是等腰直角三角形，所以求得，再利用求得，在中即可求出的长； （2）连接，过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小． 【详解】（1）解：连接， 在中，，， ， ， ， 在中，； 故答案为：4 （2）在中，易得， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ， ， 点P是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接，得， 是等腰直角三角形， ， 过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小， 当点O、P、G共线时，， ， 是等边三角形，， 过点P作于点H， ∴四边形是矩形， ， ， 则， 故点P到的距离是． 故答案为： 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和面积最小问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 【变式3-2】如图，为等边三角形，点、分别在、上，，连接，，，点、分别在、上，连接，，若，，，则线段的长为______．    【答案】 【分析】过点作，垂足为点，过点作，垂足为，过点作，过点作，延长与交于点，过点作与的延长线交于点，在上确定一点，使得，连接，根据等边三角形的性质和平行线的性质可推得，，根据等边三角形的判定和性质可得，结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和定理可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，设，则，根据勾股定理列方程求解得到，求得，设，则，，根据锐角三角函数和勾股定理可求得，，，推得，根据等边三角形三线合一的性质可得，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式列方程求解得到，即可求得． 【详解】解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为，过点作，过点作，延长与交于点，过点作与的延长线交于点，在上确定一点，使得，连接，如图： ∵为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，等边对等角 在中，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵是等边三角形， ∴，即， 在中，， ∵，∴， 在中，， 即 解得：， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，等边三角形三线合一的性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据等边三角形的性质和锐角三角函数作出辅助线构建直角三角形． 【变式3-3】如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度______米． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据坡度的定义、勾股定理求出的长，从而可得的长，再根据解直角三角形可得的长，然后根据可得的长，从而可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，延长相交于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 坡度， 设米，则米， 在中，， 解得， 米，米， 米， 米， 由题意得：， 在中，米， 米， 米， 米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 【题型4 构造直角三角形求不规则图形的面积】 【例4】如图，边长为6的正六边形，点、分别在、上，且，点为正六边形边上一动点，则的面积最大值为_______． 【答案】 【分析】设，由图可得当在上时，点到的距离最大，即边的高的最大值为，再利用，从而得出点在上时，的面积关于的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】解：连接、，分别交于、，过点作，垂足为； ∵边长为6的正六边形， ∴，， ∴，， 同理：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴ 设，则在中，， 同理可求， ∴，， ∵，， ∴， ∴点到的距离小于等于， 当在上时，点到的距离最大，最大值为，此时的面积最大， 的面积最大值， 当时，的面积最大值为． 【变式4-1】已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用旋转性质，根据旋转性质可知，，，从而利用解三角形求出，，，再由两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ∴两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为， 故答案为． 【变式4-2】一题多解法 如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）． 【答案】这块土地的面积为 【分析】解法一：延长，交于点，先求出，，再根据三角函数求出，，最后根据即可求解；解法二：过点作，交的延长线于点，作于点，先求出，，再根据三角函数求出，，结合题意可得四边形为矩形，则，进而得到，根据三角函数求出，最后根据即可求解． 【详解】解：解法一： 如图①，延长，交于点， ，，， ，， 在中，， ． 在中，， ， ； 故这块土地的面积为． 解法二： 如图②，过点作，交的延长线于点，作于点， ， ， ， ，． ， 四边形为矩形， ， ． ，，， ， ， 故这块土地的面积为． 【变式4-3】如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成． (1)求加宽部分横断面的面积． (2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 【答案】(1)加宽部分横断面的面积为平方米 (2)完成这一工程需要立方米的土 【分析】（1）过点作于，过点作于，易得， 然后在和中， 解直角三角形可求得与的长，继而求得加宽部分横断面的面积； （2）根据坝长米，即可求得完成这一工程需要多少方土． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，则． ∵，则， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在和中， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 答：加宽部分横断面的面积为平方米； （2）解：完成这一项工程需要的土方：， 答：完成这一工程需要立方米的土． 【题型5 直角三角形中锐角函数相互转化问题】 【例5】类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． (1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请求出的值． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接． 请直接写出： ①若，则 ； ②延长交于点F，交于点G，则的值为 ． 【答案】(1) ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3)①10；② 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，继而可得答案； （2）利用等腰直角三角形性质证明，继而利用相似性质得； （3）①先证明，继而得到，再得到；②利用得，继而得，再得本题结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10； ②由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形性质，全等三角形判定及性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定及性质． 【变式5-1】【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，垂足为B，且．求证：．    ①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与，之间的数量关系转化为与之间的数量关系．    ②如图3，小亮同学从这个条件出发给出另一种解题思路：作的垂直平分线，分别与，交于F，E两点，连接，将转化为与之间的数量关系．    请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在中，，过点A作（点D与点C在同侧），若．求证：．    【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，求四边形的面积．    【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路，利用垂直平分线的性质、三角形外角的性质，可得，进而可证；选择小亮同学的解题思路，先证，，推出，再根据等腰三角形“三线合一”证明，进而可证； （2）过点A作交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，推出，，，在上截取，同（1）可证； （3）延长交的延长线于点E，作于点H，作于点F，先通过导角证明，，同（1）可得．再利用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形，求出，的底和高，根据四边形的面积即可求解． 【详解】解：（1）选择小鹏同学的解题思路，证明如下： 如图，   ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； 选择小亮同学的解题思路，证明如下： 如图，   是线段的垂直平分线， ， ， ， 又， ， ， ． ，， ， ； （2）证明如下： 如图，过点A作交的延长线于点E，在上截取，连接，   ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 又， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）如图，延长交的延长线于点E，作于点H，作于点F，    ，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， 同（1）可证． ，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ， ， 解得，（舍）， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，注意应用前两问的结论． 【变式5-2】转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题： 如图1，在中，，． 【基础巩固】 （1）将图1中绕点B按顺时针方向旋转60°得到（如图2），连结OC．求证：． 【思考探究】 （2）将图1中绕点B按顺时针方向旋转60°并缩小得到（如图3），使，连结OC，AD． ①求证： ②用等式表示AD与AB之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）将图1中绕点B按顺时针方向旋转某个角度（小于180°）并缩小得到（如图4），使，连结OC，AC，AD．当时，求的值． 【答案】（1）证明：由旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴． （2）① 证明：∵和都为等腰直角三角形 ∴， ∴． ②，理由如下：作于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． （3） ． 【分析】（1）利用旋转的性质可证得结论； （2）①利用等腰直角三角形的性质和旋转的性质即可证得结论；②作于点F，只要证得，再利用余弦函数即可求解； （3）延长AC交BD于点E，证得，进一步得到，利用勾股定理求得，可求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长AC交BD于点E． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ 设，，则，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用以及勾股定理的知识，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键． 【变式5-3】【问题初探】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，在和中，，且为锐角，若，求证：． ①如图2，小锋同学从，这个条件出发，想到根据“”构造全等，给出如下解题思路：在上截取，连接，将与的数量关系转化为它们所在的三角形的关系． ②如图3，小慕同学从，这个条件出发，想到作双垂直，可构造出“”全等条件，给出如下解题思路：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，先证明垂线段相等，将垂线段作为中间过渡量证明与所在的三角形全等，从而证明． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）赵老师发现上面两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段的数量关系转化为证明两条线段所在三角形的关系．为了帮助同学们更好地感悟和运用转化思想，赵老师将上面的例题和解题思路进行变换，提出了下面的问题，请你解答： 如图4，在中，点E，D分别在边，上，连接，，延长至点F，使，连接，延长交于点H，若，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）选小锋同学的解题思路， 证明：在上截取，连接． ∵，， ∴． ∴，． ∵，， ∴， ∴． 选小慕同学的解题思路． 证明：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N， 则， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接． ∵，，， ∴ 又∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴，即； （3） 【分析】（1）对于小锋同学的解题思路，证明得到，再证明得到即可；对于小慕同学的解题思路，先证，得，再证可得； （2）在上截取，连接，利用三角形的外角性质得到，证明得到，，利用等角对等边可证得即可； （3）先利用三角形的内角和定理证明得到 ．再证明，根据等腰三角形的三线合一求得．利用锐角三角函数关系和勾股定理分别求得 ，，设，则，，， 由求得x，则．证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在中，， 在中，， 又∵， ∴． 由（2）知，， ∴，∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，∴． ∵，∴， ∴，， 设，由得， ∴，． ∵，∴， 解得，∴． ∵， ∴，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，结合图形，得到角之间的关系是解答的关键． 【题型6 网格中解直角三角形】 【例6】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的两个端点均在小正方形的顶点上（仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形）： (1)在图中画出，其面积为3，且； (2)在线段上取一点，连接，使点满足，并直接写出线段的长． 【答案】(1)如图所示： (2)点如图所示： 的长为． 【分析】（1）根据面积公式算出点竖直高度，结合确定格点的位置，连接，画出满足条件的． （2）构造平行线得到相似三角形，在上确定分点使，再构造另一组相似三角形，先算出长度，由相似比求出的长． 【详解】（1）解：取格点，连接，如图所示，理由如下： 取格点，连接， 的面积为， 在中，． （2）解：取格点，连接交于点，则点即为所求的点，理由如下： ， ， ， ，即， 与同高， ． 令每个小正方形的边长为1， 在中，， 由，可得， ． 取格点，连接, 在与中， ，， ， ， 在中，， ，解得． 【变式6-1】如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，，，进而可证，代入数值到即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，画出点，使得四边形为平行四边形； (2)在图②中，在上找点，使得的面积是面积的一半； (3)在图③中，在上找点，使得． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可； （2）利用网格特征在线段上取一点，使得即可； （3）取格点，连接,，延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）如图①中，四边形即为所求； （2）如图②中，点即为所求； （3）如图③中，点即为所求． 【变式6-3】图①、图②均为正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，分别在指定的网格中按要求作图．      (1)在图①中找出一个点，连接使； (2)在图②中找一点，连接，使； (3)直接写出图②中的长为________． 【答案】(1)解：如图，点C即为所求 (2)解：如图，点即为所求 (3) 【分析】（1）结合网格图的特点，构造以为直角，为直角边的等腰直角三角形，即可求解； （2）先作以为直角，为直角边的等腰直角三角形，交点右侧第一列网格线于点，利用“平行线分线段成比例”可得，从而，即； （3）根据勾股定理，计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所作， ， ， 又 ， 在中，； （3）解：由图可得，， ， ， 在中，， 即的长为． 【题型7 直角三角形与相似结合】 【例7】系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以为基础，通过等比例缩放的方式衍生出、等规格．日常生活普遍使用的规格的打印纸，就是其中一种．系列纸张形状为矩形，有如下特点：将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似．如图1，矩形表示某系列纸张． (1)求； (2)若点为边的中点． （i）如图2，求； （ii）若，如图3，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点在线段上，点为点的对应点，求线段的长． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设，则对折后纸张长宽分别为，再利用相似矩形的性质建立方程求解即可； （2）（i）过点作，垂足为．设，由（1）知，可得，结合点为边的中点，求解．设，则．再进一步求解即可； （ii）证明，可得，可得与的交点就是点，如图，证明，，可得，结合，且，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设，则对折后纸张长宽分别为． ∵对折前后的矩形相似， ∴， ∴， ∴，（负根舍去） 即． （2）解：（i）过点作，垂足为． 设，由（1）知， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴． 设，则． 由得： ， 解得， ∴， ∴； （ii）∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴与的交点就是点，如图， ∵由旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴． ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用相似三角形的性质解题是关键． 【变式7-1】如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点H． (1)【尝试初探】在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． (2)【深入探究】若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段中点时，求的值． (3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) 根据题意得：， ， ， (2)或 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质易得，，易证； （2）根据题意可得，设，则，，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据相似多边形的性质可得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得：， ， 设，则， ， ， ， ，解得：或， 或， 或； （3）解：矩形矩形， ， 如图，， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的相似的性质、矩形的性质、直角三角形的性质、解直角三角形等知识点，注意运用参数表示线段的长，并结合方程解决问题，还要注意分类讨论的思想的应用． 【变式7-2】在中，， 在中，． 如果和相似，且边是的最短边，那么__________． 【答案】或 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质，过点作，解非直角三角形，求出的长，得到三边的比，根据相似的性质，得到三边的比，分为最长边，和为第二长边，两种情况进行求解即可． 【详解】解：过点作，如图： 在中，， ∴设，，则：， 在中，， ∴，， ∴， ∴的三边比：， ∵和相似， ∴中的三边比也为：， ∵且是的最短边， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 【变式7-3】已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． (1)求过点的直线的函数表达式； (2)若动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．连接，设运动的时间为t秒，问是否存在这样的时间t，使得与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，秒或秒 【分析】（1）根据题意可得，结合三角函数得，可知点B坐标，利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）依题意得：，分类讨论当和分别求解即可． 【详解】（1）解： 点， ，又 ， 点坐标为， 设过点的直线的函数表达式为：， 则，解得 直线的函数表达式为：； （2）解：存在．理由如下： 依题意得： ①当时， ，即 解得：； ②当时， ，即 解得： 综上，存在这样的时间，当秒或秒时，使得与相似． 【点睛】本题主要考查直角坐标系和图形的结合，涉及三角函数、点坐标、待定系数法求一次函数和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉点坐标和相似三角形的性质，以及分类思想的应用． 【题型8 直角三角形与圆结合】 【例8】如图，在中，，以上一定点O，为半径作圆，与，分别交于点D，E，连接，，，若，，求． 【答案】 【分析】根据直径得出直角，证明，得出，然后利用锐角三角函数和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由图可知，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 由勾股定理得，， ∴． 【变式8-1】如图，平面直角坐标系中，，直线交y轴、x轴于A、B两点，P为直线上一动点． (1)求证：以为直径的圆过定点，并求定点坐标； (2)记（1）中的定点为D，把绕点Q顺时针旋转，得到射线交x轴于E，作于，求的最小值． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 在直线中，当时，， 解得， ∴，， 当时，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 取的中点，连接，则， ∴以为直径的圆过定点， ∵，， ∴定点； (2) 【分析】（1）连接，先求出，，，，从而可得，，即，取的中点，连接，则，即可推出以为直径的圆过定点，再由中点坐标公式计算即可得解； （2）先求出，由旋转的性质可得，从而得出，即，过点作轴，交轴于，过作于，证明，得出，设，则，求出，即可得出，从而得出点在直线上，进而可得的最小值即是点到直线的距离，过点作轴于，解直角三角形得出，再求出的长即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，，， ∴， ∴, ∴， ∵把绕点Q顺时针旋转，得到射线交x轴于E， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴，交轴于，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∴的最小值即是点到直线的距离，如图，过点作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式8-2】如图，是的直径，点，为圆上两点，，连接交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接、、， 则， ， ，， ， 中，， 是的切线， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）连接、、，由圆的性质得，由等边对等角可得，结合三线合一可得，再由是的切线可证，由对顶角相等得后即可证，最后根据等角对等边即可得证； （2）作交于点，连接、，则，可证，由可得，，设，则，，求得、、后，最后由，求出后即可得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：作交于点，连接、， 是的直径， ， ， ， ，， 设，则，， ， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质、切线的性质、解直角三角形的相关运算、同弧所对的圆周角相等，解题关键是正确地添加辅助线． 【变式8-3】如图，是的内接三角形，是直径，点在圆上，，连接，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，则________，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质与定理是解题的关键．先利用，，得出，再由，，得出；连接，过点作于点，先利用，，得出，得出，则，求出，由，得出，则，设，则，，得，再证明，得出，利用，求出，即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，连接，过点作于点， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【题型9 直角三角形与勾股定理】 【例9】如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点．若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质，由大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，在中使用勾股定理可求出，过点M作于点N，由为等腰直角三角形可证得也为等腰直角三角形，设，则，由，可解得．进而可得． 【详解】解：由图可知，， ∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：（舍去）． 过点M作于点N，如图所示． ∵四边形为正方形，为对角线， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形． 设，则， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 【变式9-1】小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由折叠可知，再根据三角函数得到，，再根据折叠即可解答． （2）由矩形的性质得，由三角函数得到，再根据垂直平分线和中位线得，，再根据即可解答． （3）如图③，在矩形中，，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，由折叠设，则，得，解得；如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，设，由折叠得，得，解得即可解答． 【详解】解：（1）如图①，是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 在中，， ， ， 由折叠得，； （2）如图②，由（1）得， 在矩形中，， ， 在中，， 是的垂直平分线，， ， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ； （3）如图③，在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 由折叠设，则， 在中，，解得， ； 如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时， 在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 设，由折叠得， 在中，，解得， ； 综上得，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 【变式9-2】【初步发现】 如图，的内切圆与斜边相切于点D，与、相切于点E、F，，，求的面积． 解：设线段的长为x， 根据切线长定理，得，，， 在中，根据勾股定理，得， 整理，得， 所以 请同学们想一想，，的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】 已知：如图，的内切圆与相切于点D，与、相切于点E、F，，． （1）若，求证：的面积等于； （2）若，求证：． 【拓展延伸】 （3）已知：的内切圆与、、相切于点D、E、F，，，．请直接写出的面积． 【答案】 （1）由题意得，， 在中，根据勾股定理，得， 整理，得， 所以； （2）证明：由，得， 整理，得， ∴ ． 根据勾股定理逆定理可得； （3） 【分析】对于（1），先设，根据切线长定理得，，，再根据勾股定理，得，整理，得，然后根据，整体代入可得答案； 对于（2），先由，得，整理，得， 再求出，最后根据勾股定理逆定理可得答案； 对于（3），作，在中，根据特殊角三角函数值分别表示出，， 再根据，然后根据勾股定理得，最后根据整体代入可得答案． 【详解】设，根据题意，． （1）略 （2）略 （3）过点A作于点G． 在中，，， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 整理，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理及其逆定理，解直角三角形，求三角形的面积，整体代入思想等，理解题目中给出的解题方法是解题的关键． 【变式9-3】如图①，在中，，两条直角边边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与全等的四个直角三角形拼成一个正方形． (1)利用图②证明勾股定理即在中证明：； (2)若的两直角边之比为，现随机向图②内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？ (3)如图③所示，过点D作的垂线交小正方形对角线的延长线于点G，连接，延长交于点M，交于点H，若，求的值． 【答案】(1)证明见解答； (2)针尖落在四个直角三角形区域的概率是； (3)的值是． 【分析】（1）根据题意证明四边形是正方形，再根据即可证明； （2）分别求出四个直角三角形面积和正方形的面积，根据概率公式求解即可； （3）先根据题意求出，作交的延长线于点I，得到四边形是矩形，根据三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：如图②，∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 整理得； （2）解：如图②，∵， ∴， ∴四个直角三角形面积的和为，正方形的面积为5， ∵四个直角三角形面积的和与正方形的面积的比为， ∴针尖落在四个直角三角形区域的概率是， （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴正方形的边长为， 如图③，作交的延长线于点I， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，几何概率，锐角三角函数等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 【题型10 直角三角形与全等结合】 【例10】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解直角三角形的应用，设，，则，，解直角三角形可得，化简可得，即得，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得，进而可求解的值，利用解直角三角形求得，是解题的关键． 【详解】解：如图，设，，则，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 【变式10-1】初中几何学习一般路径为：线——三角形——四边形——多边形，线的学习依据位置关系又分为相交线、平行线．三角形、四边形的学习都是由一般到特殊，从一般三角形、四边形到特殊三角形、四边形，且研究了其特殊性质．学习过程中，同学们发现两个全等的特殊三角形即拼成一个特殊四边形．特殊三角形与特殊四边形之间有很多联系．因此在探究特殊四边形中一些线段之间关系时往往和特殊三角形结合起来．下面是数学翱翔社的同学在课后探究特殊三角形与特殊四边形一些重要线段之间关系的过程： 探究发现 （1）等腰直角三角形与正方形中特殊线段之间的关系． 如图1，在中，，，点D在边的延长线上，以为边作正方形（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接．发现，． 证明思路如下： 延长交于点H，连接．证明，点G为的中点，即可证明结论． 依据提供思路写出规范的推理过程． 类比猜想 （2）等边三角形与有一个角为的菱形中的特殊线段之间的关系． 如图2，在等边三角形中，点D在边的延长线上，以为边作菱形，（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接．猜想的数量关系以及位置关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）一般等腰三角形与有一个角和等腰三角形顶角度数相等的菱形中特殊线段之间的关系． 如图3，当为等腰三角形，，四边形为菱形，且时，其他条件不变，请直接写出的数量关系． 【答案】（1）证明：延长交于点H，连接，如图所示： ∵G为的中点， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，， ∴； （2），； （3）， 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形、菱形及等边三角形的性质，根据题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）延长交于点H，连接，根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质得出，再由各角之间的关系确定，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，再由等腰三角形的判定和性质即可证明； （2）方法同（1）类似，证明，，再由等腰三角形的判定和性质及三角函数即可求解； （3）方法同（1）类似，证明，，再由等腰三角形的判定和性质及三角函数即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）延长交于点H，连接，如图所示： ∵G为的中点， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，， ∴ ∴； （3）延长交于点H，连接，如图所示： 同理得：， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，， ∴ ∴． 【变式10-2】如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ 故选：B． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点P是该平面内一点（与点O不重合），且，若以点P，A，B为顶点组成的直角三角形与全等，则点P的横坐标为_________ ． 【答案】1或或 【分析】先作出图形，然后分类讨论，根据全等三角形的性质以及解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：如图， 当时，则 ∴轴， ∴； 当时， 则， ∴， 过点作轴于点， 则 ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴ ∴ ∴ 综上：点P的横坐标为1或或． 【探究式学习】 1．和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设， ． 两边同时除以得， ， ，， ． (3)16 【分析】（1）根据三角形面积公式，然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算； （2）根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义，，再等量代换推导出两角和正弦公式； （3）根据与，求出，再利用勾股定理求出高，最后用三角形面积公式算出面积． 【详解】（1）解： ． （2）证明：略 （3）解：过点作，垂足为． ， ． 设，． 在中， ，，． ，． ． 2．综合探究 (1)【问题解决】如图，点在线段上，点在同侧，．求证：． (2)【探究应用】如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且､､分别经过点，则边的长为______． (3)【拓展延伸】如图，在中，，点是边的中点，点分别在边上，．若，，则的长为______． 【答案】(1)证明：， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由推出，即可证明； （2）过点作，交于，交于，证明，运用相似三角形的性质可得出，然后在中运用勾股定理可求出，进而求出，再在中，根据勾股定理求出的值； （3）根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作，交于，交于， 在中，，， ， 直线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，； （3）解：，， ，， ， ， ， 点是边的中点，，， ， ， ． 【课后检测】 1．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系． 【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面平行， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 2．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ∴米． 3．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 4．在中，，如果，，那么的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： ∵ ，，， ∴ 由勾股定理得 ， ∵ ， ∴ ． 5．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（   ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】A 【详解】解：由图可知： ， ∴， ∴平分，， 故①对②错． 6．如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形、正方形的性质可得，再根据勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ，四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 7．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，，的长，利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，或利用面积法求出的值． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 如图，在图中取格点D，连接， 由勾股定理得：，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴． 8．如图，在菱形中，F是边的中点，H为边上一点，过点H作于点E．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别延长，两线交于点G，则可证明，从而得，再由正弦定义即可求解． 【详解】解：如图，分别延长，两线交于点G， ∵F是边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴． 9．如图，小明在楼顶点处测得对面大楼楼顶点处的仰角为，楼底点处的俯角为．若两座楼与相距米，则大楼的高度为_____________米． 【答案】 【分析】过点作于点，构造矩形和两个直角三角形，利用三角函数分别求出和的长，相加即可得到的高度． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，四边形为矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 即大楼的高度为米． 10．如图，在中，，，，则⁠___________． 【答案】 【分析】根据平行四边形对边相等的性质得出 ，，过点作于点，利用锐角三角函数定义求出高，最后根据平行四边形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在直角三角形中，， ∴， ∴． 11．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则________． 【答案】 【分析】结合光的反射，利用等角的余角相等推导出，再在直角三角形中借助余弦的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意，法线垂直于平面镜， ，． ， ， ． 在中，， ，即， 解得． 12．如图，边长为的正方形截取一个角后成为五边形，其中，．是边上的任意一点，过点作于点，于点，则矩形的最大面积为______． 【答案】 【分析】延长交于点，可证四边形和四边形均是矩形，得到，，，进而得到，设，则，利用正切的定义可得，即得，得到，即得到，由此得到，最后根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形和四边形均是矩形， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为． 13．如图，在中，，点在边上，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据已知条件利用勾股定理求出三角形各边的长，再根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 14．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺完成作图，并回答问题． (1)如图①，点、、均在格点上，则 ．请在网格中找到格点，连接，使得，且点和点在的两侧．由图可知， 度； (2)如图②，点在格点上，已知，，以点为顶点作，使得，并在图中标出和，此时 ． 【答案】(1)；45 (2) 【分析】（1）在上取格点E，连接，使，可求得．要满足，只需找到上方格点D，使，即可使． （2）作水平线段，向上倾斜线段，向下倾斜线段，则，，所以．可得，所以是直角三角形，，． 【详解】（1） 解：在上取格点E，连接，使， ∴． 要满足，只需找到上方格点D，使，满足． 理由：在上取点F，使， 则，格点D符合要求． 连接，则，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 即． （2） 作水平线段，向上倾斜线段，向下倾斜线段， 则． 理由：在上取格点E，使，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ． 15．在中，，，．求． 【答案】 【分析】因为题目给出直角三角形的斜边和直角边的长度，所以首先利用勾股定理求出另一条直角边的长度，所以代入对边和邻边的长度，即可计算得到的值． 【详解】∵在中，，，， ∴． ∴ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使与的位似比为且点A、B、C的对应点分别是，，； (2)写出各顶点的坐标（______）；（______）；（______） (3)直接写出的值为______． (4)在边上有一点，在位似变换后对应点的坐标（______）． 【答案】(1) (2)；；； (3)； (4)． 【分析】（1）根据位似的定义确定对应点，然后顺次连接即可； （2）直接根据（1）的作图写出坐标即可； （3）过点作延长线于点，然后根据正切的定义求解即可； （4）如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作延长线于点，则，， ； （4）略． 17．平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点 和点，与 轴交于点． (1)求的值； (2)如图 1，是抛物线上一点，，求点的坐标； (3)如图 2，将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为．设的顶点横坐标为．与轴围成的区域（包含边界）记为，与内部重合的区域（不含边界）记为 ．如果内恰好有且只有两个横、纵坐标均为整数的点， 时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，作轴于点，构造直角三角形，利用锐角三角函数建立关于的方程求解即可； （3）将抛物线沿水平方向平移，则纵坐标不变为4，求得L的解析式为，由，，得中含，，三个整点（不含边界），根据题目要求内恰好有且只有两个横、纵坐标均为整数的点，，列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：与x轴交于点， ， 解得； （2）解：， ， 令，， 解得或， ，， ，， 令，得， ， ， 设，作轴于点，连接， 当点在第一象限时， ， ，即， ， 解得或（舍去）， 当时，， 的坐标为； 当点在第四象限时，， ， ，即， ， 解得或（舍去）， 当时，， 的坐标为； （3）解：将抛物线沿水平方向平移，则纵坐标不变为4， 新抛物线L的解析式为， ，，， 中含，，三个整点（不含边界）， 当W内恰有2个整数点，时， 即时，，时，， ， 解得， 的取值范围为． 18．如图，在中，连接，分别以点，为圆心，大于的相同长度为半径作弧，两弧交于点，，连接分别交、、于点、、，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为中点，，，求的面积． 【答案】(1)证明：由作图可知，垂直平分， ，， 为平行四边形， ， ， ，， ， ， ， 为平行四边形， ， 是菱形． (2)48 【分析】（1）根据垂直平分线的性质和角角边证明，推出，再利用对边平行且相等的四边形是平行四边形和对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明四边形是菱形． （2）利用菱形的性质和斜边上的中线等于斜边的一半去证明为直角三角形，利用正弦即可求出边长，从而结合勾股定理求出长，即可求出的面积，最后推出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知四边形为菱形， ， 为中点， ， 为直角三角形， ， ， ， ， 在中， ， 为平行四边形， ． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 91 页 第 1 页 共 91 页 学科网（北京）股份有限公司 $