专题01 三角（期中复习知识清单，6题型4易错3技巧）高一数学下学期沪教版

专题01 三角 思维导图 串 考点清单 理 任意角与弧度制 1. 任意角相关概念 定义：平面内一条射线绕端点旋转形成的图形；正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角（不旋转） 象限角：角的终边落在第几象限，就是第几象限角；终边在坐标轴上的角为轴线角，不属于任何象限 终边相同角：与角终边相同的角集合：（弧度制）；（角度制） 易错警示：忽略、轴线角判断失误、终边相同角范围漏解 2. 弧度制换算与公式 核心换算：，， 弧长公式：（为弧度制圆心角，为半径） 扇形面积公式： 重点：计算时统一单位，弧度制无角度符号，角度制不可直接代入公式三角函数定义与同角关系 1. 单位圆三角函数定义 设角终边与单位圆交于，则：，，， 非单位圆：终边上任一点，，则，， 定义域：定义域为；定义域 2. 同角三角函数基本关系 平方关系： 商数关系：， 倒数关系： 易错警示：开方运算需根据角的象限判断符号；忽略定义域限制导致增根诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 释义：的奇数倍，函数名互换（）；偶数倍，函数名不变；符号由原函数在原角所在象限的符号决定 常用公式： ， ， ， ， 重点：快速将任意角转化为锐角三角函数，简化求值、化简三角恒等变换公式 1. 两角和与差公式 （） 易错：公式符号混淆、忽略定义域 2. 二倍角公式 降幂公式：，（化简求值必考） 3. 辅助角公式 asinx+bcosx= ​sin(x+φ) 用途：求三角函数最值、周期、单调性正弦定理 定理内容：（为外接圆半径） 边角互化：，， 适用题型：已知两角一边、两边一对角 易错警示：两边一对角需判断解的个数（0解、1解、2解），忽略内角和定理余弦定理 定理内容：，， 推论（求角）： 适用题型：已知三边、两边及夹角、判断三角形形状 特殊情况：直角三角形中，余弦定理即为勾股定理三角形面积公式 核心公式：（夹角正弦必考） 拓展公式：，海伦公式（选学） 综合易错点+答题技巧 高频易错：诱导公式符号、三角公式定义域、解的个数、角范围判断 答题技巧：化简先统一角、统一函数名；解三角形先判断定理选型，结合内角和约束 知识关联：衔接函数性质（周期、最值）、平面向量、实际测量问题 题型清单 解 用和、差角的余弦公式化简、求值（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把已知等式两边平方相加可求得的值. 【详解】由，可得①， 由，可得②， ①+②得，， 所以，所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得. 【详解】因为， 解得. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足，则______. 【答案】 【分析】首先求出，再由及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以 . 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，若，，则________． 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系,再利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由，， 则， 故， 由，所以 故答案为： 用和、差角的正切公式化简、求值（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海·期中）若方程的两根为与，则_____. 【答案】/ 【分析】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可. 【详解】由题设，，， 所以. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则_________. 【答案】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 【答案】 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．    (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2)当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大 【分析】（1）先在直角三角形中和直角三角形中，求出,，再利用两角差的正切公式求出； （2）点距离底线米，过点作，垂足为，计算出和，，求出，利用基本等式求出最大值. 【详解】（1），，， ， ，，    （2）设点距离底线米，过点作，垂足为，，则，   ，， ，， 当时，即时，等号成立， 此时取得最大值， 又因为函数在上严格增，所以对应的取得最大值, 所以当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大. 二倍角的余弦公式（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）若，则________. 【答案】 【分析】利用诱导公式求出，再由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆O相交于点. (1)求，的值； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据题意，由单位圆中三角函数的定义即可得到结果； （2）根据题意，由二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由单位圆中三角函数的定义可得，. （2）由二倍角公式可得， . 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义直接求得的值，再利用二倍角公式求出； （2）将表示为展开求解即可. 【详解】（1）由题：， . （2）因为且，所以， 又， 所以 ， 即. 辅助角公式（共4小题） 【例4】（24-25高一下·上海宝山·期中）设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（     ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式整理函数解析式，根据正弦的差角公式化简等式，由题意建立方程组，求解，可得答案. 【详解】由，则，其中， 可得 ， 由题意可得，若，由①可得，显然③不成立， 故，则，解得，，易知， 当时，显然①③矛盾；故，可得，解得， 所以. 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为______. 【答案】 【分析】根据题意，由辅助角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由辅助角公式可得， 其中，则， 由可知，在第一象限，且， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则__________. 【答案】 【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海青浦·期中）设函数. (1)若.求的值； (2)议在处取得最大值.求； (3)关于的方程在区间上恰有12个不同的实数解.求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由得，又即可解出，即可求解； （2）利用辅助角公式有，其中，最后利用二倍角公式即可求解； （3）由得周期为，原问题等价于关于的方程在区间上恰有4个不同的实数解，又得关于对称，得关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，在即可求解. 【详解】（1）因为. 所以. 又因为.可得：. 解得：或（舍去）. 所以所以.所以 （2），其中. 所以存在.使得为函数在区间上的最大值. 所以，所以.. （3）因为. 所以函数为周期函数.周期为. 所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有4个不同的实数解. 又由有关于对称， 可知关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解. 当时，， 所以.因为，所以. 因为.所以，解得. 所以的取值范围为. 正弦定理解三角形（共4小题） 【例5】（24-25上海奉贤·期中）在中，角的对边分别为，若，则角__________． 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以为锐角，则， 所以， 故答案为：． 【变式1】（24-25上海·期中）在△ABC中，若，，，则_____________. 【答案】 【分析】由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】由正弦定理得，故， 即，解得. 故答案为： 【变式2】（24-25上海·期中）中，已知，，，则边的长为______. 【答案】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由正弦定理，即，解得. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 【答案】(1)无解 (2)或 【分析】（1）由正弦定理进行求解； （2）由正弦定理进行求解． 【详解】（1）由正弦定理得，，得， 故无解． （2）由正弦定理得，，得， 因为，所以或． 余弦定理解三角形（共4小题） 【例6】（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 【答案】 【分析】连接，易得，，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，求出扇形OBC的面积为，然后由图中阴影区域的面积为求解. 【详解】连接， 因为，所以，， ， 在中，由余弦定理得 因，则，得， 所以， ， 扇形OBC的面积为， 所以图中阴影区域的面积为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海·期中） 中，若 ，则该三角形的最大角为_____ 【答案】 【分析】由题意可得，可得最大，利用余弦定理可求最大角. 【详解】在中，由正弦定理可得， 设，所以在中，最大， 由余弦定理可得， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由正弦定理求得，再根据大边对大角判断角的范围，即可求得角； （2）先由三角形面积公式得，再由余弦定理求得，然后联立方程即可求得的值. 【详解】（1）由正弦定理，，即， 因，故，即是锐角，故； （2）因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以，解得或，所以或. 角度弧度混用（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海嘉定·期中）化为弧度是______弧度. 【答案】/ 【分析】根据条件，利用角度与弧度的转化，即可求解. 【详解】因为， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海长宁·期中）3弧度是第_____象限角． 【答案】二 【分析】判断角的终边在第几象限即可. 【详解】1弧度，3弧度， 3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角. 故答案为：二. 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 【答案】 【分析】将角度化为弧度，结合弧长公式运算求解即可. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，即为弧度， 且半径，所以扇形的弧长为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是__________. 【答案】/ 【分析】根据弧度制和角度制的互化求值即可. 【详解】由题意，手表的分针转过10分钟，即顺时针旋转，即顺时针旋转弧度， 因此，分针转过的弧度数是. 故答案为：. 诱导公式不变名 / 符号错（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知点 在第二象限，则 是第（   ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】利用第二象限点的特征求出，，再利用诱导公式和象限角的特征求解即可. 【详解】因为点 在第二象限，所以，， 由诱导公式得，， 则 是第三象限的角，故C正确. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若，则__． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简即得. 【详解】. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】由，得， . 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由商数关系得，再应用诱导公式求函数值； （2）应用齐次式得到关于的表达式，即可求值. 【详解】（1）由，则，得， 所以； （2）. 和差角公式符号错（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______. 【答案】 【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】由，结合两角差的正弦公式可得答案； 【详解】因则. 又，则， . 则 ； 故答案为：. 【变式3】（2024高一下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义和同角三角函数的关系可求得结果； （2）先求出，再根据的范围可求得答案. 【详解】（1）由三角函数的定义可知，，， 因为，为锐角， 所以， ； （2）因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以． 二倍角公式记错（共4小题） 【例4】（24-25高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由角的终边与角的终边关于轴对称，可得， 因为，可得， 所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________． 【答案】 【分析】应用任意角三角函数定义及二倍角正弦公式计算求解. 【详解】因为终边过点， 所以 则． 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海松江·月考）已知，则___________ 【答案】/ 【分析】由，根据二倍角公式即可求解. 【详解】由，所以 ， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为________． 【答案】 【分析】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为，利用诱导公式与二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为，由题意可知， 又，所以， 所以. 故答案为：. 扇形弧长与面积（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有，即可得出结论. 【详解】对于A选项，，可以度量； 对于B选项，，可以度量； 对于C选项，，无比值，无法度量； 对于D选项，，可以度量， 故选：C. 【变式1】（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的半径为________. 【答案】 【分析】根据扇形面积公式直接可得解. 【详解】由已知扇形圆心角， 则扇形面积， 解得扇形半径， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）圆心角为，面积为的扇形的周长是________cm． 【答案】 【分析】根据条件，利用扇形的弧长和面积公式得，解出，即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 由题有，解得，所以扇形的周长为， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形弧长为，弧所对的圆心角为弧度，则该扇形的面积为________. 【答案】 【分析】由条件结合弧长公式求半径，再利用扇形面积公式求结论. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 由已知，， 由弧长公式可得， 所以，故， 所以该扇形的面积. 故答案为：. 齐次式（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海·期中）若，则__________. 【答案】2 【分析】观察所求式子为齐次式，故可以采用弦化切，即分子分母同时除以即可得到答案. 【详解】由，可知，故. 故答案为：2. 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期中）若，则_____. 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数之间的关系以及诱导公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 可得，所以； 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期中）（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）、；（2） 【分析】（1）根据题意可得，结合任意角三角函数的定义运算求解即可； （2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以、； （2）因为， 所以 . 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系，求出，再利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 又，所以. （2）因为， 所以，， 则. 诱导公式速算（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海嘉定·期中）下列定义在上的函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】，，所以为奇函数，故A对； ，，所以为偶函数，故B错； ，，所以为偶函数，故C错； ，，所以为偶函数，故D错. 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若角满足，则__________． 【答案】4 【分析】利用诱导公式和同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】. 故答案为：4. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）化简__________. 【答案】 【分析】根据诱导公式和同角的商数关系化简计算即可求解. 【详解】. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积S； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）在直角三角形中利用半径与分别表示出和，进而可得矩形面积表达式，利用二倍角公式及辅助角公式将化简变形，将代入即可求解； （2）由（1）可知矩形的面积为，其中结合角的范围及正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，，， ，，其中. 在中，，， ，， ∴矩形的面积为 当时， ， 即矩形的面积为 . （2）由（1）知：矩形的面积为，其中. ， ∴当，即时，取得最大值，最大值为. 学科网（北京）股份有限公29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角 思维导图 串 考点清单 理 任意角与弧度制 终边相同角集合：弧度制__________，角度制__________ 角度弧度互化：______rad，______° 弧长公式______，扇形面积______=______ ______角不属于任何象限，终边相同角的取值范围是______三角函数定义与同角关系 单位圆定义：______，______，______ 同角平方关系：__________；商数关系：__________ 定义域：____________________；已知求需判断______诱导公式 诱导公式口诀：__________，__________ ______，______，______ 的奇数倍，函数名______；偶数倍，函数名______三角恒等变换公式 两角差余弦：____________________ 二倍角余弦：______=______=______ 降幂公式：______，______ 辅助角公式：__________正弦定理 正弦定理：__________ 边化角：______，角化边：______ 两边一对角需判断__________，三角形内角和为______余弦定理 余弦定理求角：____________________ ____________________ 已知三边求角用______定理，已知两边一对角用______定理三角形面积公式 三角形面积______ 综合易错点+答题技巧 三角化简核心思路：统一______、统一__________ 解三角形需满足：两边之和______第三边，内角和为______ 题型清单 解 用和、差角的余弦公式化简、求值（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知，则________． 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足，则______. 【变式3】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，若，，则________． 用和、差角的正切公式化简、求值（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海·期中）若方程的两根为与，则_____. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则_________. 【变式2】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 【变式3】（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．    (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 二倍角的余弦公式（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则________． 【变式1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）若，则________. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆O相交于点. (1)求，的值； (2)求，的值. 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 辅助角公式（共4小题） 【例4】（24-25高一下·上海宝山·期中）设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（     ） A．-2 B．2 C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为______. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则__________. 【变式3】（24-25高一下·上海青浦·期中）设函数. (1)若.求的值； (2)议在处取得最大值.求； (3)关于的方程在区间上恰有12个不同的实数解.求实数的取值范围. 正弦定理解三角形（共4小题） 【例5】（24-25上海奉贤·期中）在中，角的对边分别为，若，则角__________． 【变式1】（24-25上海·期中）在△ABC中，若，，，则_____________. 【变式2】（24-25上海·期中）中，已知，，，则边的长为______. 【变式3】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 余弦定理解三角形（共4小题） 【例6】（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中） 中，若 ，则该三角形的最大角为_____ 【变式3】（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 角度弧度混用（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海嘉定·期中）化为弧度是______弧度. 【变式1】（24-25高一下·上海长宁·期中）3弧度是第_____象限角． 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是__________. 诱导公式不变名 / 符号错（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知点 在第二象限，则 是第（   ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若，则__． 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________． 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 和差角公式符号错（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______． 【变式3】（2024高一下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 二倍角公式记错（共4小题） 【例4】（24-25高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________． 【变式1】（24-25高一下·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________． 【变式2】（24-25高一下·上海松江·月考）已知，则___________ 【变式3】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为________． 扇形弧长与面积（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的半径为________. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）圆心角为，面积为的扇形的周长是________cm． 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形弧长为，弧所对的圆心角为弧度，则该扇形的面积为________. 齐次式（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海·期中）若，则__________. 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期中）若，则_____. 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期中）（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 诱导公式速算（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海嘉定·期中）下列定义在上的函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若角满足，则__________． 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）化简__________. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积S； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 学科网（北京）股份有限公11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $