第1讲 寻找规律-四年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

知途引航 导航知识——科学提分 第1讲 寻找规律 📋 核心方法论与知识体系构建 1 1.知识体系全景梳理 1 2. 专题核心记忆法 1 3.奥数思维提升 1 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：数列规律 2 📌 考点二：图形规律 3 📌 考点三：周期规律（乘方个位数字） 4 📌 考点四：算式规律 4 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 5 📚 分层进阶专题精练 --- 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 6 🌱 基础夯实篇（8 题） 6 🚀 能力进阶篇（6 题） 6 🧠 思维跃迁篇（6 题） 7 🔍 精准解析---思路拆解・知识点睛 8 🌱 基础夯实篇（8 题） 8 🚀 能力进阶篇（6 题） 9 🧠 思维跃迁篇（6 题） 10 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 1.知识体系全景梳理 寻找规律是小学奥数逻辑推理模块的核心内容，围绕数列规律→图形规律→算式规律→周期规律展开，核心是观察共性→提炼特征→验证规律→应用求解，需精准掌握以下知识点： 规律类型 解题方法 核心技巧 关键注意事项 数列规律 观察相邻/间隔数的差、和、积、商关系 差递增/递减、倍数关系、奇偶项分开看、平方立方数 注意双重规律叠加、隐藏的间隔数列 图形规律 观察形状、数量、位置、颜色、旋转变化 顺时针/逆时针旋转、数量增减、对称关系、叠加去同存异 注意图形拆分和组合规律 算式规律 观察数的组合、运算符号、结果的共性特征 凑整关系、个位数字循环、数位和规律、运算优先级调整 注意括号和运算顺序的隐藏规律 周期规律 找循环周期长度，用总个数÷周期算余数定结果 数列周期、日期星期周期、乘方个位数字周期、图形排列周期 注意周期起点和余数为0的特殊情况 2. 专题核心记忆法 规律类型 解题核心 记忆技巧 数列 差和积商找关系 相邻差，间隔看，倍数平方记心间 图形 形状位置变不变 看旋转，数数量，叠加对称找共性 乘方个位 个位数字找循环 2、3、7、8循环4，4、9循环2，5、6固定不变 周期 找周期算余数 周期长度先确定，余几对应第几个 3.奥数思维提升 ① 有序观察：从左到右、从上到下按固定顺序观察，避免遗漏特征； ② 归纳验证：找到初步规律后，代入所有数据验证，确保普遍适用； ③转化迁移：将陌生的规律问题转化为熟悉的数列、图形规律，用已知方法拆解求解； ④逆向验证：根据推导的规律反向推导前项，验证规律的合理性。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：数列规律 ✨ 典型例题 1（填空题） 按规律填数：1，4，7，10，（ ），16，19 ✅ 解题步骤 ① 计算相邻两数的差：4-1=3，7-4=3，10-7=3，差均为3，是公差为3的等差数列； ② 括号内的数=10+3=13； ③ 验证：16-13=3，符合规律。 答案：13 🔄 方法总结 等差数列是最基础的数列规律，优先计算相邻两数的差，差相等即为等差数列，用前一个数加公差即可得到下一个数。 ✨ 典型例题 2（填空题） 按规律填数：1，2，4，7，11，（ ），22 ✅ 解题步骤 ① 计算相邻差：2-1=1，4-2=2，7-4=3，11-7=4，差依次为1，2，3，4，呈递增1的规律； ② 下一个差为5，括号内的数=11+5=16； ③ 验证：22-16=6，符合差递增规律。 答案：16 🔄 方法总结 差呈递增/递减规律是高频考点，差本身也是一个等差数列，需两步观察，先算原数列相邻差，再分析差的规律。 ✨ 典型例题 3（填空题） 按规律填数：23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12 ✅ 解题步骤 ① 观察奇偶项分开的规律：奇数项：23，20，17，（ ），11，差为-3，括号内为17-3=14；偶数项：4，6，8，（ ），12，差为+2，括号内为8+2=10； ② 验证：14-3=11，10+2=12，符合规律。 答案：14，10 🔄 方法总结 数列忽大忽小时，优先考虑奇偶项分开找规律，分别分析奇数位置和偶数位置的数的规律，再分别求解。 📌 考点二：图形规律 ✨ 典型例题 1（填空题） 观察图形变化规律，下一个图形应该是（ ）（图：□→△→○→□→△→？） ✅ 解题步骤 ① 图形按□、△、○循环出现，周期长度为3； ② 位置为第6个，6÷3=2，余数为0，对应周期最后一个图形○； 答案：○ 🔄 方法总结 图形循环排列规律，先确定周期长度，用总个数除以周期，余数对应周期内的第几个，余数为0对应最后一个。 ✨ 典型例题 2（填空题） 观察图形旋转规律，下一个图形是（ ）（图：△开口向上→向右→向下→？） ✅ 解题步骤 ① 三角形每次顺时针旋转90°； ② 下一个旋转90°后开口向左； 答案：△开口向左 🔄 方法总结 图形旋转规律，注意旋转方向（顺时针/逆时针）和旋转角度（通常90°/180°），根据前几个图形的变化推导下一个。 📌 考点三：周期规律（乘方个位数字） ✨ 典型例题 1（填空题） 2³的个位是8，2⁴的个位是6，2²⁰的个位数字是（ ） ✅ 解题步骤 ① 2的乘方个位数字周期为4：2¹=2（2）、2²=4（4）、2³=8（8）、2⁴=16（6）、2⁵=32（2），周期为4，循环为2、4、8、6； ② 20÷4=5，余数为0，对应周期最后一个数字6； 答案：6 🔄 方法总结 乘方个位数字周期规律：2、3、7、8周期为4，4、9周期为2，5、6个位固定不变，先找周期再算余数求解。 📌 考点四：算式规律 ✨ 典型例题 1（填空题） 观察算式规律：1×9+2=11，12×9+3=111，123×9+4=1111，1234×9+5=（ ） ✅ 解题步骤 ① 规律：第一个因数依次为1、12、123、1234，乘9加的数依次为2、3、4、5，结果依次为2个1、3个1、4个1、5个1； ② 结果为5个1，即11111； 答案：11111 🔄 方法总结 算式规律观察数字变化、运算符号和结果的对应关系，找到每部分的递增/递减规律，推导下一个算式的结果。 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 数列规律只看相邻差 间隔数列1，3，2，5，3，7，误判差为2,-1,3,-2，实际奇偶项分别为1,2,3和3,5,7 数列忽大忽小时先拆分奇偶项，分别找规律 周期计算余数对应错误 2的20次方，周期4，20÷4=5余0，误对应第一个数2，实际对应最后一个数6 余数为0时对应周期最后一个数，不是第一个数 图形旋转方向判断错误 三角形顺时针旋转90°，误判为逆时针，得到相反结果 标记图形特征点（如顶点位置），跟踪特征点的位置变化判断旋转方向 乘方周期记错 3的乘方周期误记为2，实际周期为4 熟记常考数字的乘方周期：2/3/7/8周期4，4/9周期2，5/6固定 📚 分层进阶专题精练 --- 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 按规律填数：2，6，10，14，（ ），22 2． 按规律填数：1，3，9，27，（ ），243 3． 按规律填数：1，2，5，10，17，（ ），37 4． 图形按△○□△○□排列，第18个图形是（ ） 5． 3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3¹⁰的个位数字是（ ） 6． 按规律填数：2，5，7，12，19，（ ），50 二、选择题 7． 观察数列1，4，9，16，25，（ ），括号内应填（ ） A.30 B. 36 C. 49 D.64 8． 下图绕o点按顺时针旋转90°，下一个图形是（ ） 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 按规律填数：1，1，2，3，5，8，（ ），21 10． 按规律填数：3，6，5，10，9，18，17，（ ），（ ） 11． 2024年1月1日是星期一，2024年1月31日是星期（ ） 12． 7²⁰的个位数字是（ ） 13． 观察算式：1×1=1，11×11=121，111×111=12321，1111×1111=（ ） 二、选择题 14． 数列2，3，5，8，13，（ ），括号内应填（ ） A.18 B. 21 C. 23 D.24 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 按规律填数：1，4，3，8，5，12，7，（ ），（ ） 16． 一串珠子按2红3蓝1白排列，第100颗珠子是（ ）色 17． 1×2×3×…×10的结果的个位数字是（ ） 18． 一列数：1，3，2，4，3，5，4，6，…，第20个数是（ ） 19． 观察图形变化规律，第20个图形中有（ ）个小正方形 20． 1²+2²+3²+…+10²的个位数字是（ ） 🔍 精准解析---思路拆解・知识点睛 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 【答案】18 ✅ 解题步骤：相邻差为4，14+4=18。 【知识点睛】公差为4的等差数列，相邻差相等直接加公差即可。 2． 【答案】81 ✅ 解题步骤：后一个数是前一个数的3倍，27×3=81。 【知识点睛】等比数列，公比为3，前一个数乘3得到下一个数。 3． 【答案】26 ✅ 解题步骤：相邻差依次为1,3,5,7,9,11，17+9=26。 【知识点睛】差为连续奇数，平方数数列，第n个数为(n-1)²+1，第6个数为5²+1=26。 4． 【答案】□ ✅ 解题步骤：周期为3，18÷3=6余0，对应周期最后一个图形□。 【知识点睛】周期问题，余数为0对应周期最后一个。 5． 【答案】9 ✅ 解题步骤：3的乘方个位周期为4：3,9,7,1，10÷4=2余2，对应第二个数9。 【知识点睛】3的乘方周期为4，余数对应周期内位置。 6． 【答案】31 ✅ 解题步骤：从第三项开始，后一个数是前两个数的和，12+19=31。 【知识点睛】斐波那契数列变形，前两项和等于第三项。 二、选择题 7． 【答案】B ✅ 解题步骤：数列是平方数：1²,2²,3²,4²,5²,6²=36。 【知识点睛】平方数数列，第n个数为n²。 8． 【答案】B ✅ 解题步骤：旋转:在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。与时针转动方向相同的是顺时针旋转，反之就是逆时针旋转。 【知识点睛】顺时针旋转90°，跟踪涂黑部分的位置变化。 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 【答案】13 ✅ 解题步骤：斐波那契数列，前两项和等于第三项，5+8=13。 【知识点睛】斐波那契数列，从第三项开始每一项是前两项的和。 10． 【答案】34，33 ✅ 解题步骤：奇偶项分开，奇数项3,5,9,17，差为2,4,8,16，下一个为17+16=33；偶数项6,10,18，差为4,8,16，下一个为18+16=34。 【知识点睛】双重数列，奇偶项分别为等比数列，公比2。 11． 【答案】三 ✅ 解题步骤：从 1 月 1 日到 1 月 31 日，间隔 30 天，30÷7=4 周……2 天，以星期一为起始，向后推 2 天，1 月 31 日是星期三。 【知识点睛】日期周期问题，总天数除以7，余数加起始星期数。 12． 【答案】1 ✅ 解题步骤：7的乘方个位周期为4：7,9,3,1，20÷4=5余0，对应最后一个数1。 【知识点睛】7的乘方周期为4，余数为0对应周期最后一个。 13． 【答案】1234321 ✅ 解题步骤：n个1相乘结果为对称数，从1递增到n再递减到1，4个1相乘为1234321。 【知识点睛】回文数算式规律，因数位数为n，结果从1到n再回到1。 二、选择题 14． 【答案】B ✅ 解题步骤：该数列为斐波那契数列，从第三项开始前两项和等于第三项，8+13=21，对应选项 B。 【知识点睛】前两项和等于第三项，8+13=21。 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 【答案】16，9 ✅ 解题步骤：奇数项1,3,5,7,9，公差2；偶数项4,8,12,16，公差4。 【知识点睛】双重数列，奇数项连续奇数，偶数项4的倍数。 16． 【答案】蓝 ✅ 解题步骤：周期为2+3+1=6，100÷6=16余4，第4个是蓝色。 【知识点睛】周期长度为6，余数4对应周期内第4个珠子蓝色。 17． 【答案】0 ✅ 解题步骤：乘法中有因数2和5，乘积个位为0。 【知识点睛】乘法中只要有2和5，个位一定是0。 18． 【答案】12 ✅ 解题步骤：偶数位置的数为位置÷2 + 2，第20个是20÷2+2=12。 【知识点睛】拆分奇偶项，偶数项为位置半值加2。 19． 【答案】400 ✅ 解题步骤：第n个图形有n²个小正方形，第20个为20²=400。 【知识点睛】正方形数，第n个是n的平方。 20． 【答案】5 ✅ 解题步骤：平方数个位依次为1,4,9,6,5,6,9,4,1,0，和的个位为1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45，个位为5。 【知识点睛】只计算个位数字的和，取个位即可。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $