第8讲 简单列举-四年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第8讲 简单列举 📋 核心方法论与知识体系构建 1 1. 知识体系全景梳理 1 2. 专题核心图表记忆法 1 3. 奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：数字组数问题 2 📌 考点二：路线搭配问题 3 📌 考点三：物品组合问题 4 📌 考点四：取币/换币问题 4 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 5 📚 分层专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 6 🌱 基础夯实篇（8 题） 6 🚀 能力进阶篇（6 题） 6 🧠 思维跃迁篇（6 题） 7 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 9 🌱 基础夯实篇（8 题） 9 🚀 能力进阶篇（6 题） 10 🧠 思维跃迁篇（6 题） 11 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 1. 知识体系全景梳理 简单列举是小学奥数计数模块的基础内容，围绕枚举所有符合条件的情况展开，核心解题思想是按顺序列举→分类整理→排除不符合→统计总数，需精准掌握以下知识点： 列举类型 解题方法 核心思路 关键注意事项 数字组数 按数位从高到低列举，固定高位变低位 优先考虑特殊限制（如0不能在首位，奇偶要求） 注意数字不能重复的约束，不要遗漏特殊位置要求 路线搭配 按起点到终点的顺序列举，标步数累加 不走回头路，不重复走同一段路 注意单向通行、最短路径等限制条件 物品组合 按分类有序列举，固定一个选其他 相同物品不重复计数，不同物品按顺序组合 注意组合和排列的区别，组合不计顺序，排列计顺序 取币/换币 按面值从大到小列举，固定大面值变中小面值 优先选大面值，再凑小面值，避免重复组合 注意总金额的限制，不要超过目标金额 周期列举 先找周期长度，再按周期分组列举 余数对应周期内位置，不用全部列举完 注意周期起点和余数为0的情况 2. 专题核心图表记忆法 列举类型 解题核心口诀 数字组数 高位先定，依次变低，特殊位置优先考虑 路线搭配 标数累加，从起点到终点，不回头不重复 物品组合 分类有序，固定一个选其他，不重复不遗漏 取币换币 大面优先，依次减小，凑足金额不重复 周期列举 先找周期，分组计算，余数定位不用全列 不重不漏 有序列举，分类整理，排除不符合，总数要算清 3. 奥数思维提升 ① 有序思维：按固定顺序列举，避免跳步，确保不重复不遗漏； ② 分类思维：复杂问题按特征分类，每类单独列举再相加； ③ 排除思维：列举后排除不符合条件的情况，缩小计数范围； ④ 优化思维：找规律简化列举，比如周期问题不用全部列举，用周期计算更高效。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：数字组数问题 ✨ 典型例题 1（填空题） 用1、2、3三个数字，可以组成多少个不同的三位数？（数字不重复使用） ✅ 解题步骤 ① 按百位固定列举：百位是1时，十位和个位可以是2、3，组成123、132，共2个；百位是2时，十位和个位可以是1、3，组成213、231，共2个；百位是3时，十位和个位可以是1、2，组成312、321，共2个； ② 总数=2+2+2=6个； ③ 验证：所有数字都用到，没有重复，符合要求。 答案：6个。 🔄 方法总结 数字组数按高位到低位顺序列举，固定高位后变化低位，每类数量相加得总数，注意0不能在首位的限制。 ✨ 典型例题 2（填空题） 用0、1、2三个数字，可以组成多少个不同的两位数？（数字不重复） ✅ 解题步骤 ① 十位不能为0，只能是1或2：十位是1时，个位可以是0、2，组成10、12，共2个；十位是2时，个位可以是0、1，组成20、21，共2个； ② 总数=2+2=4个； ③ 验证：没有0开头的两位数，符合要求。 答案：4个。 🔄 方法总结 包含0的数字组数问题，优先考虑首位不能为0的限制，先列举首位可能的数字，再列举其他位。 📌 考点二：路线搭配问题 ✨ 典型例题 1（填空题） 从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丙地不经过乙地有1条路，从甲地到丙地一共有多少种不同的走法？ ✅ 解题步骤 ① 分两类：经过乙地和不经过乙地；经过乙地的走法：2×3=6种；不经过乙地的走法：1种； ② 总走法=6+1=7种； ③ 验证：所有路线都不重复，符合要求。 答案：7种。 🔄 方法总结 路线问题用乘法原理（分步走用乘法）和加法原理（分类走用加法），分步乘分类加。 📌 考点三：物品组合问题 ✨ 典型例题 1（填空题） 有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，从中选2个，有多少种不同的选法？ ✅ 解题步骤 ① 按顺序列举：选红球时，可以搭配黄球、蓝球，2种；选黄球时，可以搭配蓝球（和红球已经算过），1种； ② 总数=2+1=3种； ③ 验证：红+黄、红+蓝、黄+蓝，没有重复。 答案：3种。 🔄 方法总结 组合问题不计顺序，按顺序列举时，已经搭配过的不再重复计算，避免重复计数。 📌 考点四：取币/换币问题 ✨ 典型例题 1（填空题） 用1元、5元纸币凑10元，有多少种不同的凑法？ ✅ 解题步骤 ① 按5元的数量从多到少列举：5元2张：2×5=10，1元0张，1种；5元1张：5元，剩下5元用1元，需要5张1元，1种；5元0张：10张1元，1种； ② 总数=1+1+1=3种； ③ 验证：金额都是10元，没有重复组合。 答案：3种。 🔄 方法总结 取币问题按大面值从大到小列举，固定大面值数量，再凑小面值，避免重复组合。 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 重复计数 选两个球时算红+黄和黄+红为两种，实际是同一种 组合问题不计顺序，列举时固定一个选其他，已经选过的不再重复 遗漏限制条件 0在首位组成两位数，如01、02，不符合两位数要求 优先考虑特殊位置限制，比如0不能在首位，奇偶位要求等 跳步列举漏项 列举三位数时直接从123跳到321，漏了中间的数 按固定顺序（从小到大、从大到小）列举，不要跳步 加法乘法原理搞混 分步走用加法，分类走用乘法，搞反算错结果 分步完成用乘法，分类选择用加法，分清分步和分类 📚 分层专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 用1、3、5三个数字（不重复），可以组成（ ）个不同的三位数 2． 用0、3、5三个数字（不重复），可以组成（ ）个不同的两位数 3． 从甲到乙有3条路，乙到丙有2条路，甲到丙经过乙有（ ）种走法 4． 有红、黄、蓝、绿四个小球，选2个，有（ ）种不同选法 5． 用1元和2元凑5元，有（ ）种不同凑法 二、选择题 6． 用2、0、9三个数字（不重复），可以组成（ ）个不同的三位数 A.6 B. 4 C. 2 D.3 7． 有3种水果和2种饮料，选1种水果和1种饮料，有（ ）种搭配 A.3 B. 5 C. 6 D.2 8． 从1到3三个数字中选两个相加，和有（ ）种不同的结果 A.2 B. 3 C. 4 D.5 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 用1、2、3、4四个数字（不重复），可以组成（ ）个不同的两位数 10． 从甲地到乙地有2条路，乙地到丙地有2条路，丙地到丁地有3条路，甲到丁经过乙、丙有（ ）种走法 11． 有1元、5元、10元纸币，凑20元，有（ ）种不同凑法 12． 有5个同学见面，每两人握一次手，一共要握（ ）次手 二、选择题 13． 用1、0、4、7四个数字（不重复），可以组成（ ）个不同的四位数 A.6 B. 12 C. 18 D.24 14． 一条铁路线上有3个站点，一共要准备（ ）种不同的车票（往返不同） A.3 B. 6 C. 9 D.12 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 用1、2、3、4四个数字，可以组成多少个没有重复数字且个位是双数的两位数？ 16． 把5个相同的苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少1个，有多少种不同的分法？ 17． 从1到10的10个数中，任取两个数相加，和大于10的有多少种不同的取法？ 18． 用1角、2角、5角硬币凑1元，有多少种不同的凑法？ 19． 有1到6六个数字，能组成多少个没有重复数字且大于4000的四位数？ 20． 从甲地到乙地的最短路径（只能向右或向下走），网格是3行3列，有多少种不同的走法？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 【答案】6 ✅ 解题步骤：百位3种选择，十位2种，个位1种，3×2×1=6个。 【知识点睛】无0的三位数排列，总数=3×2×1=6种。 2． 【答案】4 ✅ 解题步骤：十位只能是3或5，各2种个位，共2×2=4个。 【知识点睛】两位数首位不能为0，先定十位再定个位。 3． 【答案】6 ✅ 解题步骤：分步走用乘法，3×2=6种。 【知识点睛】分步完成的路线，用乘法原理计算。 4． 【答案】6 ✅ 解题步骤：3+2+1=6种。 【知识点睛】n个物品选2个，组合数=n(n-1)/2，4×3/2=6。 5． 【答案】3 ✅ 解题步骤：2元0张5张1元、1张2元3张1元、2张2元1张1元，共3种。 【知识点睛】按大面值数量从多到少列举。 二、选择题 6． 【答案】B ✅ 解题步骤：百位只能是2或9，各2种十位个位，共2×2=4个。 【知识点睛】三位数首位不能为0，2种百位选择，剩下两个数字排列。 7． 【答案】C ✅ 解题步骤：3×2=6种搭配。 【知识点睛】选1种水果和1种饮料，分步用乘法。 8． 【答案】B ✅ 解题步骤：1+2=3，1+3=4，2+3=5，共3种不同和。 【知识点睛】列举所有组合，去掉重复的和。 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 【答案】12 ✅ 解题步骤：十位4种选择，个位3种，4×3=12个。 【知识点睛】两位数排列，无0限制，十位4种个位3种。 10． 【答案】12 ✅ 解题步骤：2×2×3=12种。 【知识点睛】三步分步走，乘法原理连乘。 11． 【答案】9 ✅ 解题步骤：10元2张；10元1张，5元0-2张，剩下1元凑；10元0张，5元0-4张，剩下1元凑，共1+3+5=9种。 【知识点睛】按10元数量从大到小列举，再列5元数量，最后1元凑。 12． 【答案】10 ✅ 解题步骤：4+3+2+1=10次。 【知识点睛】n人握手次数=n(n-1)/2，5×4/2=10。 二、选择题 13． 【答案】C ✅ 解题步骤：千位3种选择（1、4、7），剩下3个数字排列，3×3×2×1=18个。 【知识点睛】四位数首位不能为0，3种千位，剩下3位全排列。 14． 【答案】B ✅ 解题步骤：3个站点，往返车票3×2=6种。 【知识点睛】车票有往返方向，属于排列问题，3×2=6种。 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 【答案】6 ✅ 解题步骤：个位是双数（2、4），个位2种选择，十位3种选择，2×3=6个。 【知识点睛】特殊位置优先考虑，先定个位，再定十位。 16． 【答案】6 ✅ 解题步骤：列举分法：(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)，共6种。 【知识点睛】相同物品分给不同人，按数量分配列举，注意顺序不同是不同分法。 17． 【答案】25 ✅ 解题步骤：1+10（1种），2+9/10（2种），3+8/9/10（3种），4+7/8/9/10（4种），5+6/7/8/9/10（5种），6+7/8/9/10（4种），7+8/9/10（3种），8+9/10（2种），9+10（1种），总和1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种。 【知识点睛】按第一个数从小到大列举，避免重复。 18． 【答案】10 ✅ 解题步骤：5角0-2张，对应2角0-5张，剩下1角凑，共10种。 【知识点睛】按大面值从大到小列举，依次减小。 19． 【答案】180 ✅ 解题步骤：千位大于等于4，有3种选择（4、5、6），剩下3位5个数字选3个排列，3×5×4×3=180个。 【知识点睛】大于4000，千位只能是4、5、6，剩下三位从剩下5个数字中选排列。 20． 【答案】10 ✅ 解题步骤：① 3 行 3 列网格，最短路径需向右走 3 次（记为 “右”）、向下走 3 次（记为 “下”），转化为枚举所有 “右” 和 “下” 的有序组合；② 按固定顺序枚举（先排 “右” 再补 “下”）： 1. 右右右下下下 2. 右右下右下下 3. 右右下下右下 4. 右右下下下右 5. 右下右右下下 6. 右下右下右下 7. 右下右下下右 8. 右下下右右下 9. 右下下右下右 10. 下下下右右右， 统计得 10 种。。 【知识点睛】最短路径问题，用 “有序枚举法” 枚举所有 “右” 和 “下” 的有序组合。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $