第6讲 变化规律-四年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

知途引航 导航知识——科学提分 第6讲 变化规律 📋 核心方法论与知识体系构建 1 1. 知识体系全景梳理 1 2. 专题核心图表记忆法 1 3. 奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：和的变化规律 2 📌 考点二：差的变化规律 2 📌 考点三：积的变化规律 3 📌 考点四：商的变化规律（含商不变） 3 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 4 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 5 🌱 基础夯实篇（8 题） 5 🚀 能力进阶篇（6 题） 5 🧠 思维跃迁篇（6 题） 6 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 8 🌱 基础夯实篇（8 题） 8 🚀 能力进阶篇（6 题） 9 🧠 思维跃迁篇（6 题） 10 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 1. 知识体系全景梳理 变化规律是小学奥数计算模块的核心内容，围绕和差变化规律→积商变化规律展开，核心解题思想是找变化量→分析影响→调整结果，需精准掌握以下知识点： 运算类型 变化规律 关键注意事项 和的变化 加数加 / 减几，和加 / 减几；两个加数同时变化，同加 / 同减时和的变化量是两者变化量的和，一加一减时和的变化量是两者变化量的差 注意同时加/减时的叠加，一加一减时的抵消 差的变化 被减数加/减几，差加/减几；减数加/减几，差减/加几；同时变化时抵消调整 被减数和减数同向变化时差的变化是两者的差 积的变化 因数乘 / 除以几（0 除外），积乘 / 除以几；两个因数同时变化，积的变化倍数是两者变化倍数的乘积 注意0不能做除数，因数变化要排除0的情况 商的变化 被除数乘/除以几，商乘/除以几；除数乘/除以几，商除以/乘几；同时同倍变化商不变 商不变规律是同乘同除相同数（0除外），余数会变 2. 专题核心图表记忆法 运算类型 变化规律记忆口诀 和的变化 加数变，和就变，同加同减一起算，一加一减相抵消 差的变化 被减变，差同变；减数变，差反变；同变看差，异变看和 积的变化 因数变，积就变，乘除倍数齐相乘，0的情况要排除 商的变化 被除变，商同变；除数变，商反变；同倍变化商不变，余数会跟着变 3. 奥数思维提升 ① 对应思维：哪个量变化就对应找它对结果的影响，不相关的量不变； ② 抵消思维：两个量同向变化时，抵消相同的变化量，简化计算； ③ 逆向思维：从结果的变化倒推原来的量的变化，解决错中求解问题； ④ 验证思维：推导完规律后代入具体数值验证，确保规律正确。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：和的变化规律 ✨ 典型例题 1（填空题） 两个数相加，一个加数增加10，另一个加数减少5，和怎么变化？ ✅ 解题步骤 ① 一个加数加10，和增加10；另一个加数减5，和减少5； ② 总变化：+10-5=+5，和增加5； ③ 验证：比如3+2=5，(3+10)+(2-5)=13+(-3)=10，10-5=5，符合和增加5。答案：和增加5。 🔄 方法总结 和的变化是两个加数变化量的代数和，加就加，减就减，累加起来就是总变化量。 📌 考点二：差的变化规律 ✨ 典型例题 1（填空题）两个数相减，被减数增加8，减数增加3，差怎么变化？ ✅ 解题步骤 ① 被减数加8，差增加8；减数加3，差减少3； ② 总变化：+8-3=+5，差增加5； ③ 验证：10-2=8，(10+8)-(2+3)=18-5=13，13-8=5，符合差增加5。答案：差增加5。 🔄 方法总结 差的变化：被减数的变化同向，减数的变化反向，两者相加就是总变化量。 📌 考点三：积的变化规律 ✨ 典型例题 1（填空题） 两个数相乘，一个因数乘3，另一个因数除以2，积怎么变化？ ✅ 解题步骤 ① 一个因数乘3，积乘3；另一个因数除以2，积除以2； ② 总变化：×3÷2=×1.5，积变为原来的1.5倍（或乘3/2）； ③ 验证：4×2=8，(4×3)×(2÷2)=12×1=12，12÷8=1.5，符合。答案：积乘3/2（或扩大到原来的1.5倍）。 🔄 方法总结 积的变化是两个因数变化倍数的乘积，乘就乘，除就除，相乘就是总变化倍数。 📌 考点四：商的变化规律（含商不变） ✨ 典型例题 1（填空题） 两个数相除，被除数乘4，除数除以2，商怎么变化？ ✅ 解题步骤 ① 被除数乘4，商乘4；除数除以2，商乘2； ② 总变化：×4×2=×8，商变为原来的8倍； ③ 验证：8÷2=4，(8×4)÷(2÷2)=32÷1=32，32÷4=8，符合。答案：商乘8（或扩大到原来的8倍）。 ✨ 典型例题 2（填空题） 两个数相除，商是6，余数是2，如果被除数和除数同时乘10，商和余数各是多少？ ✅ 解题步骤 ① 商不变规律：被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变，还是6； ② 余数会乘相同的数，2×10=20； ③ 验证：26÷4=6……2，260÷40=6……20，符合。答案：商是6，余数是20。 🔄 方法总结 商的变化：被除数变化同向，除数变化反向，两者相乘是总变化倍数；商不变时余数会乘相同的倍数，不要忘记余数的变化。 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 差的变化搞反方向 减数增加3，误认为差增加3，实际差减少3 记住：减数变化和差的变化是反向的，减数以加，差就减 商不变忘记余数变化 被除数除数同时乘10，误认为余数不变，实际余数也乘10 商不变余数变，余数也要乘相同的倍数 忽略0的特殊情况 因数乘0，误认为积也乘0，实际积变为0 因数变化如果有0，直接按0计算，不适用普通变化规律 叠加变化符号搞混 一个加5一个减3，总变化算成5+3=8，实际是5-3=2 加用正号，减用负号，代数求和不要搞错符号 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 两个数相加，一个加数增加7，另一个加数增加3，和（ ） 2． 两个数相减，被减数减少5，减数减少2，差（ ） 3． 两个数相乘，一个因数乘2，另一个因数乘3，积（ ） 4． 两个数相除，被除数除以3，除数不变，商（ ） 5． 两个数相除商是5，余数是3，被除数除数同时乘2，商是（ ），余数是（ ） 二、选择题 6． 两个数相加，一个加数加8，另一个加数减8，和（ ） A.加16 B. 减16 C. 不变 D.加8 7． 两个数相减，如果被减数加6，要使差不变，减数应该（ ） A.加6 B. 减6 C. 不变 D.加12 8． 两个数相乘，一个因数乘4，另一个因数除以4，积（ ） A.乘4 B. 除以4 C. 不变 D.乘16 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 两个数相加，和是100，一个加数加20，另一个加数减10，现在的和是（ ） 10． 两个数相减，差是50，被减数减10，减数加10，现在的差是（ ） 11． 两个数相乘，积是60，一个因数乘3，另一个因数除以6，现在的积是（ ） 12． 两个数相除，商是12，被除数乘2，除数乘4，现在的商是（ ） 二、选择题 13． 小明做加法时，把一个加数个位的3看成了8，十位的2看成了5，结果和是80，正确的和是（ ） A.45 B. 55 C. 35 D.65 14． 两个数相除，被除数除以2，除数除以4，商（ ） A.乘2 B. 除以2 C. 不变 D.乘4 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 两个数相乘，一个因数加3，积加42；另一个因数加3，积加36，原来的积是多少？ 16． 小李做减法时，把被减数十位的7看成了1，减数个位的3看成了5，结果差是20，正确的差是多少？ 17． 两个数相除，商是 8，余数是 3，如果被除数、除数、商、余数的和是95，被除数和除数各是多少？ 18． 一个数乘4，小华把乘号看成了加号，得到的结果是20，正确的积是多少？ 19． 两数相除商14余2，被除数、除数、商、余数的和是243，被除数比除数大多少？ 20． 两个数的和是132，其中一个加数的个位是0，如果把0去掉就和另一个加数相同，这两个数各是多少？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 【答案】增加10 ✅ 解题步骤：7+3=10，和增加10。 【知识点睛】两个加数都增加，变化量相加就是和的总增加量。 2． 【答案】减少3 ✅ 解题步骤：被减数减5差减5，减数减2差加2，总变化-5+2=-3，差减少3。 【知识点睛】减数减少，差反而增加，反向变化。 3． 【答案】乘6 ✅ 解题步骤：2×3=6，积乘6。 【知识点睛】两个因数都扩大，倍数相乘就是积的扩大倍数。 4． 【答案】除以3 ✅ 解题步骤：除数不变，被除数除以几，商除以几。 【知识点睛】除数不变时，商和被除数同向变化。 5． 【答案】5，6 ✅ 解题步骤：商不变还是5，余数乘2得6。 【知识点睛】商不变规律下余数会跟着乘相同的倍数。 二、选择题 6． 【答案】C ✅ 解题步骤：+8-8=0，和不变。 【知识点睛】加数一加一减相同的数，和不变。 7． 【答案】A ✅ 解题步骤：被减数加6，要使差不变，减数也要加6，抵消变化。 【知识点睛】差不变时，被减数和减数要做同向同量变化。 8． 【答案】C ✅ 解题步骤：×4÷4=1，积不变。 【知识点睛】因数一个乘一个除以相同的数（0除外），积不变。 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 【答案】110 ✅ 解题步骤：100+20-10=110。 【知识点睛】原来的和加变化量就是现在的和。 10． 【答案】30 ✅ 解题步骤：50-10-10=30。 【知识点睛】被减数减差减，减数加差也减，两者都减就减两次。 11． 【答案】30 ✅ 解题步骤：60×3÷6=30。 【知识点睛】原来的积乘因数的变化倍数就是现在的积。 12． 【答案】6 ✅ 解题步骤：12×2÷4=6。 【知识点睛】被除数乘2商乘2，除数乘4商除以4，总变化是乘2除以4得6。 二、选择题 13． 【答案】A ✅ 解题步骤：个位多看了8-3=5，十位多看了50-20=30，总共多看了35，正确的和是80-35=45。 【知识点睛】错中求解，看多了就减去，看少了就加上。 14． 【答案】A ✅ 解题步骤：被除数除以2商除以2，除数除以4商乘4，总变化÷2×4=×2，商乘2。 【知识点睛】除数缩小，商反而扩大，反向变化。 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 【答案】168 ✅ 解题步骤：一个因数加3，积加42，说明另一个因数是42÷3=14；另一个因数加3，积加36，说明第一个因数是36÷3=12，原来的积=12×14=168。 【知识点睛】因数加几，积增加的量就是另一个因数乘几，可求出另一个因数。 16． 【答案】82 ✅ 解题步骤：被减数十位7看成1，少看了60，差少了60；减数个位3看成5，多减了2，差少了2；正确的差=20+60+2=82。 【知识点睛】被减数看少了差就少了，要加回来；减数看多了差就少了，也要加回来。 17． 【答案】被除数75，除数9 ✅ 解题步骤：① 先求被除数与除数的和：95-8-3=84；② 根据 “被除数 = 商 × 除数 + 余数”，设除数为 x，则被除数为 8x+3；③ 列等式：8x+3+x=84，解得 9x=81，x=9；④ 被除数 = 8×9+3=75；⑤ 验证：75÷9=8……3，75+9+8+3=95。 【知识点睛】解决此类问题先利用和求出被除数与除数的和，再结合 “被除数 = 商 × 除数 + 余数” 的关系，通过代换求出除数，进而求出被除数。 18． 【答案】64 ✅ 解题步骤：原数+4=20，原数=16，正确的积=16×4=64。 【知识点睛】先根据错误的运算求出原数，再算正确的结果。 19． 【答案】197 ✅ 解题步骤：被除数+除数=243-14-2=227；被除数=14×除数+2，所以14×除数+2+除数=227，15×除数=225，除数=15，被除数=14×15+2=212，212-15=197？哦212-15=197，答案197。 【知识点睛】先求除数，再求被除数，相减得差值。 20． 【答案】12和120 ✅ 解题步骤：一个加数是另一个的10倍，小数=132÷(10+1)=12，大数=12×10=120。 【知识点睛】个位去0相等，说明大数是小数的10倍，和倍问题求解。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $