第5讲 最优化问题-四年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

知途引航 导航知识——科学提分 第5讲 最优化问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 1. 知识体系全景梳理 1 2. 专题核心图表记忆法 2 3. 奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：时间统筹问题 2 📌 考点二：烙饼问题 3 📌 考点三：排队等候问题 4 📌 考点四：极值问题（和定积大） 4 📌 考点五：运费最省问题 5 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 6 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 7 🌱 基础夯实篇（8 题） 7 🚀 能力进阶篇（6 题） 8 🧠 思维跃迁篇（6 题） 8 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 10 🌱 基础夯实篇（8 题） 10 🚀 能力进阶篇（6 题） 11 🧠 思维跃迁篇（6 题） 12 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 1. 知识体系全景梳理 最优化问题是小学奥数应用模块的实用内容，围绕统筹安排→极值求解两大题型展开，核心解题思想是合理安排→减少浪费→最大化/最小化目标，需精准掌握以下知识点： 问题类型 解题方法 核心思路 关键注意事项 时间统筹 平行作业法，能同时做的事同时做 找可以并行的任务，减少总时间 注意先后顺序要求，比如烧水时可以同时做其他事，水开后才能泡茶 煎饼/烙饼问题 锅不空闲法，每次放满饼，交替烙饼 总时间 = 饼数 × 每面时间（每锅烙 2 张且饼数≥2 时，锅不空闲） 注意饼的正反两面都要烙，不要浪费锅的空间 最短路线/运费 就近原则，走最短路径，减少重复路程 就近分配，小往大处靠，减少总运输量 注意路程和重量的乘积最小，不是单纯路程最短 极值问题 枚举比较、和定积大、差小积大 两个数和固定时，差越小乘积越大 注意正整数的约束条件，不要遗漏边界情况 排队等候 短作业优先，用时短的先做 总等候时间最小，减少所有人的等待时间 注意等候时间是所有人等待时间的总和，不是单个人的时间 2. 专题核心图表记忆法 问题类型 解题核心 核心公式/技巧 记忆技巧 时间统筹 并行不悖 能同时做的事一起做，不浪费时间 烧水时洗菜，节省时间 烙饼问题 锅不空闲 总时间=饼数×每面时间（每锅烙2张时） 1 张饼需烙 2 面，总时间 = 2× 每面时间，无法优化 运费最少 就近原则 小流量往大流量处靠，减少总运费 近的多运，远的少运 极值问题 和定积大 两数和固定，差越小乘积越大 差小积大，和定最值 排队问题 短作业优先 用时短的先排，总等待时间最少 快的先来，慢的在后 3. 奥数思维提升 ① 全局思维：从整体目标出发，不纠结单个任务的时间，追求总目标最优； ② 并行思维：找出可以同时进行的任务，最大化利用时间/空间资源； ③ 比较思维：枚举所有可能方案，比较得出最优解，不要凭感觉选； ④ 逆向思维：从结果倒推最优安排，验证是否符合所有约束条件。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：时间统筹问题 ✨ 典型例题 1（应用题） 小明帮妈妈做家务：烧水要10分钟，扫地要5分钟，擦桌子要3分钟，做完这些事最少需要多少分钟？ ✅ 解题步骤 ① 分析任务的先后关系：烧水不需要一直看管，烧水的10分钟里可以同时做其他事； ② 安排：先烧水，烧水的同时扫地和擦桌子，扫地+擦桌子=5+3=8分钟<10分钟，能在烧水期间完成； ③ 总时间=烧水时间=10分钟； ④ 验证：10分钟内水烧开，扫地和擦桌子也完成，符合要求。答案：最少需要10分钟。 🔄 方法总结 时间统筹的核心是找可以并行的任务，不冲突的任务同时做，优先做有先后顺序要求的任务，总时间等于最长的串行任务时间，不需要累加所有任务时间。 📌 考点二：烙饼问题 ✨ 典型例题 1（应用题） 一个平底锅每次最多烙2张饼，两面都要烙，每面需要3分钟，烙3张饼最少需要多少分钟？ ✅ 解题步骤 ① 方法：交替烙饼，保证锅每次都放2张饼，不空闲； ② 步骤：第一次放饼1正面、饼2正面，烙3分钟；第二次放饼1反面、饼3正面，烙3分钟，饼1熟了拿出；第三次放饼2反面、饼3反面，烙3分钟，全部熟了； ③ 总时间=3×3=9分钟； ④ 验证：每张饼都烙了两面，锅每次都放2张，没有浪费。答案：最少需要9分钟。 🔄 方法总结 烙饼问题（每锅烙2张时），总时间=饼数×每面时间，3张饼3×3=9分钟，4张饼4×3=12分钟，以此类推，核心是锅不空闲，每次都放满。 📌 考点三：排队等候问题 ✨ 典型例题 1（应用题） 三个人排队打水，甲需要3分钟，乙需要5分钟，丙需要2分钟，怎么安排顺序，三人总等候时间最少？最少是多少分钟？ ✅ 解题步骤 ① 短作业优先，用时短的先打水，顺序是丙→甲→乙； ② 计算总等候时间：丙打水时，三人都等2分钟，共2×3=6分钟；甲打水时，甲和乙等3分钟，共3×2=6分钟；乙打水时，只有乙等5分钟；总等候时间=6+6+5=17分钟； ③ 验证：如果顺序是甲→乙→丙，总时间=3×3+5×2+2=9+10+2=21分钟>17，更久。答案：顺序丙→甲→乙，最少总等候时间17分钟。 🔄 方法总结 排队问题总等候时间最小的方案是短作业优先，用时短的排在前面，减少所有人的累计等待时间，注意等候时间是所有排队的人等待的总和，不是单个人的时间。 📌 考点四：极值问题（和定积大） ✨ 典型例题 1（填空题） 两个正整数的和是10，它们的乘积最大是多少？ ✅ 解题步骤 ① 枚举所有和为10的正整数组合：1+9=10，乘积9；2+8=10，乘积16；3+7=10，乘积21；4+6=10，乘积24；5+5=10，乘积25； ② 差越小乘积越大，5和5差为0，乘积最大25； ③ 验证：25是所有组合中最大的。答案：25。 🔄 方法总结 和定积大规律：两个数的和固定时，它们的差越小，乘积越大，当两个数相等时乘积最大（整数情况）。 📌 考点五：运费最省问题 ✨ 典型例题 1（应用题） 甲地有10吨货物，乙地有8吨货物，要运到A、B两个仓库，A仓库需要12吨，B仓库需要6吨，甲地到A仓库每吨运费50元，到B仓库每吨60元；乙地到A仓库每吨运费30元，到B仓库每吨45元，怎么调运运费最省？最少运费是多少？ ✅ 解题步骤 ① 比较运费差：乙地到A仓库运费比甲地便宜50-30=20元，乙地优先运到A仓库； ② 安排：乙地8吨全部运到A仓库，A还需要12-8=4吨，从甲地运4吨到A，甲地剩下10-4=6吨运到B仓库； ③ 总运费=8×30 + 4×50 + 6×60 = 240 + 200 + 360 = 800元； ④ 验证：其他方案运费都比800元高。答案：乙地8吨运A，甲地4吨运A、6吨运B，最少运费800元。 🔄 方法总结 运费最省问题优先安排运费差价最大的路线，把货物优先运到差价大的目的地，减少总运费支出。 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 忽略任务先后顺序 做早饭时，直接用冷水煮蛋的同时刷牙，导致煮蛋时间延长（应先烧水煮蛋再刷牙以节省时间） 明确任务的先后依赖关系，识别必须串行的前置任务（如需要加热的任务需先启动），避免无效并行 烙饼问题多算时间 3张饼每张需6分钟（两面各3分钟），误算为3×6=18分钟，实际每锅烙2张时只需9分钟（3张×3分钟/面） 记住烙饼问题公式：当每锅可烙2张时，总时间=饼数×每面时间（无需额外乘2），通过交替翻面优化流程 排队时间只算自身耗时 计算打水总等候时间时，仅统计每个人自己的打水时间，忽略前面人对后续者的等待影响 总等候时间为所有人等待时长的累加（如第n个人需等待前n-1人的总打水时间），需考虑队列的累积效应 定和求积最大忽略整数约束 和为11时，直接按数学极值计算5.5×5.5=30.25，忽略题目要求的正整数条件 正整数场景下，取和固定时差值最小的整数组合（如5和6），此时乘积最接近理论极值（30） 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 妈妈做饭：淘米2分钟，煮饭20分钟，洗菜5分钟，炒菜10分钟，做完这些事最少需要（ ）分钟 2． 平底锅每次烙2张饼，每面2分钟，烙5张饼最少需要（ ）分钟 3． 两个正整数和为12，乘积最大是（ ） 4． 三个人排队接水，分别需要1分钟、4分钟、2分钟，按（ ）顺序排队总等候时间最少 5． 把18拆成两个正整数的和，乘积最大是（ ） 二、应用题 6． 小红早晨起床：穿衣服3分钟，刷牙洗脸4分钟，听英语10分钟，吃早饭5分钟，最少需要多少分钟完成？ 7． 平底锅每次烙2张饼，两面都要烙，每面3分钟，烙7张饼最少需要多少分钟？ 8． 两个数的和是20，乘积最大是多少？ 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 用一个平底锅煎饼，每次最多放3张饼，每面2分钟，煎4张饼最少需要（ ）分钟 10． 四个人排队买书，分别需要2分钟、3分钟、5分钟、1分钟，最少总等候时间是（ ）分钟 11． 把25拆成三个正整数的和，乘积最大是（ ） 12． 小明要烤3片面包，烤第一面要2分钟，第二面要1分钟，烤面包机一次最多放2片，最少需要（ ）分钟烤完 二、应用题 13． 工地需要黄沙20吨，甲车每次运4吨运费100元，乙车每次运2吨运费60元，怎么安排车辆运费最省？最少多少元？ 14． 四位厨师做菜，甲做3分钟，乙做5分钟，丙做2分钟，丁做4分钟，怎么安排顺序，四位客人总等候时间最少？最少是多少？ 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 有137吨货物要运，大卡车每次运5吨运费100元，小卡车每次运2吨运费50元，怎么安排车辆最省油费？最少运费多少？ 16． 用1、2、3、4四个数字组成两个两位数，乘积最大是多少？最小是多少？ 17． 牧童骑牛过河，甲牛过河1分钟，乙牛2分钟，丙牛5分钟，丁牛6分钟，每次最多骑2头牛过河，要把4头牛都赶到对岸，最少需要多少分钟？ 18． 5个人各拿一个水桶打水，水龙头注满5个水桶分别需要3、5、7、8、10分钟，现在只有一个水龙头，怎么安排顺序总等候时间最少？最少是多少？ 19． 公路上有5个仓库，间隔10千米，一号仓库存10吨，二号20吨，五号40吨，其余空，现在要把货物集中到一个仓库，每吨每千米运费1元，集中到几号仓库运费最省？最少多少元？ 20． 用30米长的篱笆围一个长方形养鸡场，面积最大是多少平方米？（边长取整米数） 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 【答案】22 ✅ 解题步骤：淘米2分钟后煮饭20分钟，煮饭时可以洗菜和炒菜，5+10=15<20，总时间=2+20=22分钟。 【知识点睛】煮饭不需要人看管，可以同时做其他家务，总时间是淘米+煮饭时间。 2． 【答案】10 ✅ 解题步骤：每锅烙2张，总时间=饼数×每面时间=5×2=10分钟。 【知识点睛】烙饼问题公式，每锅2张时总时间=饼数×每面时间。 3． 【答案】36 ✅ 解题步骤：和为12，两个数相等时乘积最大，6×6=36。 【知识点睛】和定积大，差越小乘积越大，相等时最大。 4． 【答案】1分钟→2分钟→4分钟 ✅ 解题步骤：短作业优先，用时短的先排，总等候时间最少。 【知识点睛】排队问题核心是短作业优先，减少累计等待时间。 5． 【答案】81 ✅ 解题步骤：拆成9和9，乘积9×9=81。 【知识点睛】和为18，两个数相等时乘积最大。 二、应用题 6． 【答案】13分钟 ✅ 解题步骤：穿衣服是前置必做任务（无法并行），先穿衣服 3 分钟；穿完后听英语 10 分钟，听英语的同时可完成刷牙洗脸 4 分钟 + 吃早饭 5 分钟（累计 9 分钟 < 10 分钟），可在听英语期间完成；总时间 = 3+10=13 分钟。。 【知识点睛】听英语是听觉任务，可以和手动任务并行，不需要单独占用时间。 7． 【答案】21分钟 ✅ 解题步骤：每锅2张，总时间=7×3=21分钟。 【知识点睛】烙饼问题直接用公式，饼数×每面时间。 8． 【答案】100 ✅ 解题步骤：和为20，10×10=100，乘积最大。 【知识点睛】和定积大，相等时乘积最大。 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 【答案】6 ✅ 解题步骤：第一次放3张正面，2分钟；翻面2张，拿出1张，放第4张正面，2分钟；拿出熟的2张，放之前拿出的1张反面和第4张反面，2分钟，总时间6分钟。 【知识点睛】每次放满锅，交替翻面，不浪费空间。 10． 【答案】21 ✅ 解题步骤：顺序1→2→3→5，总等候时间=1×4 + 2×3 + 3×2 + 5×1 =4+6+6+5=21分钟。 【知识点睛】短作业优先，每个任务的时间乘后面等待的人数，累加求和。 11． 【答案】576 ✅ 解题步骤：多个正整数和固定时，数越接近乘积越大；25÷3=8……1，故拆为 8、8、9（和为 25），乘积 = 8×8×9=576。 【知识点睛】多个数和固定时，数越接近乘积越大。 12． 【答案】5 ✅ 解题步骤：先放两片烤第一面2分钟；拿出一片，放第三片烤第一面，另一片烤第二面1分钟，拿出熟的；放之前拿出的那片烤第二面1分钟，第三片翻面烤1分钟，总时间2+1+1+1=5分钟。 【知识点睛】合理安排烤的顺序，让烤面包机不空闲。 二、应用题 13． 【答案】安排5辆甲车，运费500元 ✅ 解题步骤：甲车每吨运费100÷4=25元，乙车60÷2=30元，甲车更便宜，优先用甲车，20÷4=5辆，总运费5×100=500元。 【知识点睛】优先选单位运费便宜的车，刚好装满最省。 14． 【答案】顺序丙→甲→丁→乙，总等候时间30分钟 ✅ 解题步骤：短作业优先，顺序2→3→4→5，总时间=2×4 +3×3 +4×2 +5×1=8+9+8+5=30分钟。 【知识点睛】总等候时间是每个厨师的用时乘等待的人数（包括自己）。 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 【答案】27辆大卡车1辆小卡车，最少运费2750元 ✅ 解题步骤：大卡车每吨100÷5=20元，小卡车50÷2=25元，优先大卡车，137÷5=27辆余2吨，剩下2吨用1辆小卡车，总运费27×100+50=2750元。 【知识点睛】优先用单位运费便宜的车，剩余少量货物用小卡车，比多用一辆大卡车便宜。 16． 【答案】最大1312，最小312 ✅ 解题步骤：最大乘积：两个两位数高位放最大数字，41×32=1312；最小乘积：高位放最小数字，13×24=312。 【知识点睛】乘积最大时高位大且两个数差小，乘积最小时高位小且两个数差大。 17． 【答案】13分钟 ✅ 解题步骤：先骑甲乙过河2分钟，骑甲回来1分钟；骑丙丁过河6分钟，骑乙回来2分钟；再骑甲乙过河2分钟，总时间2+1+6+2+2=13分钟。 【知识点睛】慢的牛一起过河，减少总时间，快的牛回来送手电筒。 18． 【答案】顺序 3 分钟→5 分钟→7 分钟→8 分钟→10 分钟，最少 82 分钟 ✅ 解题步骤：短作业优先，按用时从短到长排队；总等候时间 = 3×5 +5×4 +7×3 +8×2 +10×1=15+20+21+16+10=82 分钟。 【知识点睛】短作业优先，用时短的先接水，总等待时间最少。 19． 【答案】集中到五号仓库，最少 1000 元 ✅ 解题步骤：货物集中问题遵循 “小往大处靠”，五号仓库货量最多（40 吨），优先集中到五号；一号到五号间隔 4 个 10 千米，即 40 千米，二号到五号间隔 3 个 10 千米，即 30 千米；总运费 = 10×40×1 +20×30×1=400+600=1000 元。 【知识点睛】货物集中问题，小流量往大流量处靠，优先集中到货多的仓库。 20． 【答案】56平方米 ✅ 解题步骤：长+宽=15米，差越小面积越大，长8米宽7米，面积8×7=56平方米。 【知识点睛】长方形周长固定时，长和宽越接近面积越大，正方形时最大。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $