专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级下册

专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.直角三角形斜边中线模型 6 模型2.中位线模型 9 模型3.中点四边形模型 13 18 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，点是轴正半轴上一动点，点是轴正半轴上一动点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针方向旋转，得到线段．连接，则的最大值是_________． （2025·天津·一模）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为_______． （2025·福建福州·模拟预测）如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为_____． 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 4）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（25-26八年级上·浙江·期末）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 例2（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，是对角线上的动点，当时，________． 例3（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 例4（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值是（   ） A．9 B． C． D． 模型2.中位线模型 例1（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分，，垂足为E，F是的中点，连接，，，则线段的长为_________． 例2（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，点是两直角边上的两点，连接，已知点D、E、F分别是的中点． (1)求度数； (2)连，取中点G，连接，若，求的长． 例3（25-26九年级下·全国·期末）如图所示，在矩形中，E为的中点，N为对角线的中点．连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)连接，若，求的面积． 例4（24-25九年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 在《相似三角形》一章中，我们学习了三角形的中位线定理．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 下面是小明对这个定理的证明过程． 已知：如图1，在梯形中，，点，分别是，的中点． 求证：，． 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点． ， ，． …… (1)请根据小明的思路补全证明过程； (2)如图2，正方形的边长为4，点，分别是边，上的点，且，连接，，点，分别是，的中点，请直接写出的长． 例5（25-26八年级下·上海·月考）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 模型3.中点四边形模型 例1（25-26九年级上·广东梅州·期中）在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 例2（25-26八年级上·山东淄博·期末）综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 例3小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 例4（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 例5（25-26八年级下·江苏连云港·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论：① ；② ． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （2）试探索与的数量关系，并说明理由； （3）若的最小值是4，则的长度为 ．（不需要解答过程） 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，对角线，且，，点E，F，分别是边，的中点，则的长度是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，四边形中，，，，点E、F分别为边、的中点．则长为（    ） A． B． C． D．5 3．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别是的中点，，则的周长为（   ）    A．6 B．7 C． D． 4．（2025·四川雅安·一模）如图正方形的边长为4，E为中点，四边形为矩形，连接，，取中点N，中点M，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，点是的中点，点在的内部，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知四边形与交于点O，，且为直角，E、F、G、H分别为的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．12 C． D． 8．（25-26八年级下·北京顺义·期末）如图，在矩形中，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的周长为______． 9．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为______．    10．（25-26九年级上·河北保定·月考）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是___________；（填序号） ①平行四边形     ②菱形    ③矩形    ④正方形 (2)如图2，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，判断四边形的形状，并说明理由． 11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，求正方形的边长； 【问题解决】 （2）如图，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有五个出口，其中出口在边上，已知米，米，米，，为果园内两条小路（宽度忽略不计），现在的中点处修建一个临时库房（大小忽略不计），沿修一条运输通道（宽度忽略不计）． 判断的形状，并说明理由； 试求该运输通道的长度． 12．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）探究题． (1)图形的定义．小学学过梯形，请你仿照平行四边形的定义方法，给梯形下一个定义； (2)图形的性质．与三角形中位线定理类似，梯形也有类似结论即如图1，在梯形中，，，分别为，的中点，连接，求证：，； (3)综合应用．如图2，边长为2的正方形在边长为的正方形所在平面上平移，在平移过程中，始终保持，线段的中点为，的中点为，求的长． 13．（25-26九年级上·福建泉州·自主招生）（1）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． （2）如图，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状并证明 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 已知和都是等腰直角三角形，，连接，M、N分别是、的中点． 【初步探究】 （1）如图1中，点D、E分别在、的边上，试判断线段与的位置关系和数量关系，并说明理由； 【拓展证明】 （2）将图1中的绕点C顺时针旋转至如图2所示的位置，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，分别是边的中点，连接与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知分别是的中点，，求的长． 16．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． (1)在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”的有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） (2)如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． (3)如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 18．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）： (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，请填写表格： (3)证明与表达：根据上表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明）选择图______，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，______．求证：四边形是______． 19．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，为的中点，连接． (1)如图1，若，． ①则______． ②作和的角平分线，，分别交线段，于点，，连接，求的值． (2)如图2，点，分别在线段，上，连接，，，若． ①请探究，，之间的数量关系，并说明理由． ②当，，时，则______． 20．（25-26八年级上·四川成都·期中）在中，为边上的中线． (1)如图（1），过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证：． (2)如图（2），当时，P为中线的中点，连接、．恰有．则________（填一个恰当的数字）． (3)如图（3），当时，P为中线的四等分点，且．若．猜想、与的关系，并证明你的猜想． 21．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【初步感知】 （1）如图1，在中，，，则斜边上的高为______； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，点E是内一点，连接，，的面积为32．当时，求的长度； 【学以致用】 （3）如图3，是一块等腰直角的规划用地，点O在斜边上，过O修一条笔直的小路，且O为的中点，点E是三角形内一点，且，连接，，，，规划者想在四边形内种植花草．已知种植花草每平米500元，米，米，则种植花草的最低费用是多少元． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.直角三角形斜边中线模型 6 模型2.中位线模型 9 模型3.中点四边形模型 13 18 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，点是轴正半轴上一动点，点是轴正半轴上一动点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针方向旋转，得到线段．连接，则的最大值是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，正确作辅助线得出是解题关键．取的中点，连接、、，由直角三角形斜边中点可得，由旋转的性质可证是等边三角形，从而得出，再根据求出最大值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在中，，点为的中点， ， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， ， ， 的最大值是， 故答案为： （2025·天津·一模）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据是的中位线得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点F和点B重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】解：连接 ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵点F是上的动点， ∴当点F和点B重合时，最大，即的长度， 此时， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． （2025·福建福州·模拟预测）如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为_____． 【答案】5 【分析】连接，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，根据矩形面积公式计算即可． 本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 菱形的面积为10， ，， ，F，G，H分别是边的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形为矩形， 四边形的面积为：， 故答案为： 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 4）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（25-26八年级上·浙江·期末）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． 例2（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，是对角线上的动点，当时，________． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理、等腰三角形三线合一性质．熟悉直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一性质：等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键． 连接辅助线，，根据直角三角形斜边中线定理得到是等腰三角形，过点作于点，根据等腰三角形三线合一性质得到，继而根据勾股定理得到此时的长度． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，是对角线的中点， ∴，， ∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∴点是线段的中点， ∴， ∴在中，， ∴此时线段． 故答案为：． 例3（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故． （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为9． 例4（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值是（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，且使，连接，，证明得出，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：， 取的中点，连接， ， 如图，过点作，且使，连接，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 的最大值为， 故选：B． 模型2.中位线模型 例1（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分，，垂足为E，F是的中点，连接，，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】延长、交于点，由角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角的余角相等，可得，可得，可得，由等腰三角形的性质，可得点为的中点，由三角形中位线的性质，可得线段的长． 【详解】解：延长、交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点为的中点， 又∵是的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线． 例2（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，点是两直角边上的两点，连接，已知点D、E、F分别是的中点． (1)求度数； (2)连，取中点G，连接，若，求的长． 【答案】(1)90度 (2) 【分析】（1）先证明，得到．结合即可． （2）连接，取中点G，连接、，证明四边形为矩形．再利用勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵D、E、F分别是的中点， ∴． ∴． ∴， （2）解：连接，， ∵G、F分别是和的中点， ∴． 同理：． ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∵E、F、G，D分别是、、、的中点，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 例3（25-26九年级下·全国·期末）如图所示，在矩形中，E为的中点，N为对角线的中点．连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是正确构造三角形中位线进行求解． （1）连接，延长交于点H，可得是的中位线，是的中位线，再证明四边形为矩形，则，而，即可证明； （2）先由求出，然后证明出，即可求解，再证明，即可运用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：连接，延长交于点H， ∵四边形是矩形 ∴ 又 ∵点M、E、N分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴ 故； （2）解：由（1）得四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴的面积． 例4（24-25九年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 在《相似三角形》一章中，我们学习了三角形的中位线定理．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 下面是小明对这个定理的证明过程． 已知：如图1，在梯形中，，点，分别是，的中点． 求证：，． 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点． ， ，． …… (1)请根据小明的思路补全证明过程； (2)如图2，正方形的边长为4，点，分别是边，上的点，且，连接，，点，分别是，的中点，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的中位线、全等三角形的性质和判定、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接并延长，交的延长线于点，证明≌，结合是的中位线进行计算； （2）连接并延长交于点，连接，证明≌，得到，结合三角形中位线定理和勾股定理进行解题． 【详解】（1）解： 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点， ， ，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，； ∴， ∴， 综上所述，，； （2）解： 连接并延长交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴≌， ∴，， 又∵点为的中点， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 例5（25-26八年级下·上海·月考）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)的长为； (2)的最小值为； (3)灌溉水渠总长度的最小值为米． 【分析】（）由矩形性质可得，又，则，再证明，然后通过性质即可求解； （）连接，连接，与交于点，根据题意可得，所以当时，最小，从而最小，又四边形是菱形，则，，，通过勾股定理求得，则，然后通过求出的值即可； （）取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，，由四边形是正方形， 则，，米，再证明四边形是矩形，所以，米，通过勾股定理求出米，证明，则，故有，所以三点共线，且时，最小，即长，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为； （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 模型3.中点四边形模型 例1（25-26九年级上·广东梅州·期中）在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】12 【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是由三角形中位线定理判定四边形是矩形． 根据三角形中位线定理得到，，，，，，根据矩形的判定和性质计算即可． 【详解】解：，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形， ，G分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 例2（25-26八年级上·山东淄博·期末）综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)相等，菱形，垂直，矩形，相等且垂直，正方形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，，，从而得出，，即可得证； （2）根据菱形、矩形、正方形的判定与性质即可得出结果； （3）连接、、，由（2）可得，四边形为正方形，，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，，表示出，从而可得当点、、三点共线时，的长最小，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴中点四边形是平行四边形； （2）解：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线相等时，中点四边形的形状是菱形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形； 由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形的形状是矩形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线， ∴， ∴四边形是矩形； 由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线垂直且相等时，中点四边形的形状是正方形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形， ∵对角线， ∴， ∴四边形为正方形； （3）解：如图：连接、、， ， 由（2）可得：，四边形为正方形，， ∴， 由直角三角形的性质可得，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的长最小，为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 例3小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，见解析 (3)四边形是正方形，见解析 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 例4（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 例5（25-26八年级下·江苏连云港·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论：① ；② ． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （2）试探索与的数量关系，并说明理由； （3）若的最小值是4，则的长度为 ．（不需要解答过程） 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：（1）证明见解析；拓展应用：（2），理由见详解；（3） 【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线互相平分，相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且E、F、G、H分别是、、、的中点， ，，，，，， ，． 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， 四边形各边中点分别为M、N、R、L， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ， 又 ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又 ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用： （2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， 四边形是正方形， ， ， N，F分别是的中点， ， ， （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 在和中 又M，N分别是直角三角形斜边的中点， ， ， ， ∴的最小值等于， ∵的最小值是4， ∴ ∴ 由拓展应用（2）知：， 则， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，对角线，且，，点E，F，分别是边，的中点，则的长度是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，取的中点，连接、，证明为的中位线，得出，，证明为的中位线，得出，，再结合题意得出，最后由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，四边形中，，，，点E、F分别为边、的中点．则长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，解题的关键是构造中位线，将转化为直角三角形的斜边计算． 取中点，连接，利用中位线定理得的长度与位置关系，再用勾股定理求． 【详解】解：取的中点，连接， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且， 又， ，即． 在中，由勾股定理得： ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别是的中点，，则的周长为（   ）    A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点．根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由，从而是等边三角形，然后根据等边三角形的性质结合三角形中位线定理即可解得． 【详解】解∶∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，， ∴的周长为． 故选：D． 4．（2025·四川雅安·一模）如图正方形的边长为4，E为中点，四边形为矩形，连接，，取中点N，中点M，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，取中点H，连接，，构造和的中位线，再结合矩形、正方形和平行线的性质推出，求出，的长，最后勾股定理求出的长度． 【详解】解：如图，连接，取中点H，连接，， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∵E为中点， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵中点N，中点M，中点H， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，． 故选： A． 【点睛】本题考查中位线的应用，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，解题的关键在于利用多个中点构造中位线． 5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，点是的中点，点在的内部，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解题关键是作出合适的辅助线． 延长，交于点，证明，由全等三角形性质得到点是中点，再得出是的中位线，即可求解． 【详解】解：延长，交于点，如下图： 在和中， ， ， ，， 即点是中点， 又点是的中点， 是的中位线， 即． 故选：． 6．（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质，中点四边形等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，记住中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．根据中点四边形的面积等于原四边形面积的一半即可解决问题． 【详解】解：根据中点四边形的性质可知，、是菱形，、是矩形， 四边形的面积， 四边形的面积四边形的面积， 四边形的面积， ， 四边形的面积， 四边形的面积为：． 故选：C． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知四边形与交于点O，，且为直角，E、F、G、H分别为的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．12 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形的中位线性质定理，正方形的判定等知识，能证得四边形是正方形是解题的关键.根据三角形的中位线定理，证明四边形是菱形，再证明，证得四边形是正方形，即可根据正方形的面积公式计算得出答案. 【详解】∵点E、F分别是边的中点， ∴，， 同理，，，，，，， ∴ ∴四边形是菱形， ∵为直角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=, 故选：B. 8．（25-26八年级下·北京顺义·期末）如图，在矩形中，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的周长为______． 【答案】20 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理以及菱形的判定与性质，连接，证明四边形是菱形，由勾股定理得，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴ ∵点，，，分别为，，，的中点． ∴分别是的中位线， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴ ∴菱形的周长, 故答案为：20 9．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为______．    【答案】 【分析】设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，， ，，确定规律为，代入计算即可，本题考查了矩形的性质，菱形的性质，规律探索，熟练掌握规律探索，菱形的性质是解题的关键． 【详解】设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，得，， ， 故， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河北保定·月考）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是___________；（填序号） ①平行四边形     ②菱形    ③矩形    ④正方形 (2)如图2，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，三角形的中位线定理，矩形的判定，正确理解垂美四边形的定义以及灵活运用特殊四边形的判定与性质是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一排除即可； （2）由中位线定理可得，，，，，证明四边形是平行四边形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分但不垂直，不符合垂美四边形定义， 菱形的对角线互相垂直平分，符合垂美四边形定义， 矩形的对角线互相平分且相等，不符合垂美四边形定义， 正方形对角线互相垂直平分且相等，符合垂美四边形定义， 故答案为：； （2）解：四边形是矩形，理由， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，求正方形的边长； 【问题解决】 （2）如图，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有五个出口，其中出口在边上，已知米，米，米，，为果园内两条小路（宽度忽略不计），现在的中点处修建一个临时库房（大小忽略不计），沿修一条运输通道（宽度忽略不计）． 判断的形状，并说明理由； 试求该运输通道的长度． 【答案】（）正方形的边长为；（）是等腰直角三角形，理由见解析；该运输通道的长度为米． 【分析】（）根据正方形性质和三角形的中位线定理即可求解； （）过点作于点，证明四边形是正方形，然后证明，得，，进而可以解决问题； 连接，取的中点，连接，证明，得，然后根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴， ∴为中点， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （）是等腰直角三角形，理由如下： 过点作于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，米， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 连接，取的中点，连接，如图， ∵为的中点，和都是直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴米，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴米， 即该运输通道的长度为米． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 12．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）探究题． (1)图形的定义．小学学过梯形，请你仿照平行四边形的定义方法，给梯形下一个定义； (2)图形的性质．与三角形中位线定理类似，梯形也有类似结论即如图1，在梯形中，，，分别为，的中点，连接，求证：，； (3)综合应用．如图2，边长为2的正方形在边长为的正方形所在平面上平移，在平移过程中，始终保持，线段的中点为，的中点为，求的长． 【答案】(1)一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形； (2)证明见解析 (3) 【分析】1）由题意可得出梯形的定义； （2）连接，并延长交的延长线于，证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （3）连接并延长至点，使，作于点，连接，，，由，求出，根据等腰直角三角形的性质求出，再运用勾股定理求出，根据三角形中位线性质定理可求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形； （2）证明：连接，并延长交的延长线于，如图所示： ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中, ∴， ∴，， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，； （3）连接并延长至点，使，作于点，连接，，，如图所示： ∵是线段的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段的中点为，的中点为， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理的综合运用，通过辅助线构造全等三角形和三角形中位线是解决问题的关键． 13．（25-26九年级上·福建泉州·自主招生）（1）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． （2）如图，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状并证明 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，见解析． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连结，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，再得到，进一步得到，即可得出结论； （2）连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理得到，，，，证明为等边三角形，得到，进一步得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连结，取的中点H，连接，如图： ∵点E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）是直角三角形，证明如下： 证明：如图，连接，取的中点，连接， 是的中点， 是的中位线， ， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 已知和都是等腰直角三角形，，连接，M、N分别是、的中点． 【初步探究】 （1）如图1中，点D、E分别在、的边上，试判断线段与的位置关系和数量关系，并说明理由； 【拓展证明】 （2）将图1中的绕点C顺时针旋转至如图2所示的位置，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），，理由见详解（2）仍然成立，证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质等；掌握等腰三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，由三角形中位线定理得，，即可得证； （2）连接，延长，交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，结合三角形中位线定理，即可得证． 【详解】（1）解：，， 理由如下： 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， M、N分别是、的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ； （2）仍然成立； 证明：连接，延长，交于， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， M、N分别是、的中点 是的中位线， ，， ，． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，分别是边的中点，连接与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知分别是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明是的中位线． （1）根据正方形的性质证明，得，进而可以解决问题； （2）连接并延长交于点P，连接，证明，是的中位线，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ． 又分别是边的中点， ∴，, ． 在和中， ， ， 又， ， 则， ； （2）解：连接并延长交于点，连接，如图． 在中，是的中点， ， ， 又， ， ， 是的中点，又是的中点， 是的中位线，则． 是的中点， ， 又， ， ． 16．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． (1)在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”的有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） (2)如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． (3)如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②④；①③④ (2)详见解析 (3)存在， 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，结合特殊的平行四边形的性质，进行判断即可； （2）根据三角形的中位线定理，结合正方形的判定方法，即可得证； （3）连接，由题意得：，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，再根据四边形为菱形时，四边形为“十字形”，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，等腰梯形的对角线相等，正方形的对角线相等，且互相垂直， ∴菱形和正方形是“十字形”， 矩形，等腰梯形，正方形为“对等四边形” 故答案为：②④；①③④； （2）证明：如图1， 凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”， ， ， ， 分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形菱形，     又， 菱形FGMH是正方形； （3）解：如图2， 连接， 由题意得：，则，     中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，是菱形，则， 此时平行四边形是“十字形”， ， ，即：当时，四边形为“十字形”． 17．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 【答案】见解析 【分析】选择图2：利用三角形中位线性质证明，即可得出结论； 选择图3：利用三角形中位线性质证明四边形为平行四边形，再根据，利用平行线的性质证明，即可得出结论； 选择图4：先证明四边形为菱形，再证明，即可得出结论． 【详解】解：选择图2； 提出猜想：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是菱形； 证明∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； 选择图3； 提出猜想：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是矩形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 选择图4； 提出猜想：对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， ， 求证：四边形是正方形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查中点四边形，三角形中位线，平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定．熟练掌握三角形中位线性质和菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 18．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）： (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，请填写表格： (3)证明与表达：根据上表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明）选择图______，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，______．求证：四边形是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2；；菱形；证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了中点四边形，中位线的性质，菱形、矩形、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握特殊平行四边形的判定方法． （1）用刻度尺测量出各边的中点，然后顺次连接即可； （2）根据特殊平行四边形的判定方法，填报即可； （3）根据矩形、菱形、正方形的判定方法，证明即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：当，但与不垂直时，四边形为菱形； 当，时，四边形为矩形； 当，时，四边形为正方形； 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 菱形 图3 ， 矩形 图4 ， 正方形 （3）解：选择图2； 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， 求证：四边形是菱形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； 选择图3； 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， 求证：四边形是矩形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 选择图4； 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， ， 求证：四边形是正方形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． 19．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，为的中点，连接． (1)如图1，若，． ①则______． ②作和的角平分线，，分别交线段，于点，，连接，求的值． (2)如图2，点，分别在线段，上，连接，，，若． ①请探究，，之间的数量关系，并说明理由． ②当，，时，则______． 【答案】(1)①5；② (2)①，见解析；② 【分析】（1）①先利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得解；②利用等腰三角形三线合一即可得解； （2）①延长至，使，连接，，易证，可得，可得，再结合勾股定理即可得解． ②设，由②结论可知，在△中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①在△中，，， 为的中点， ， 故答案为：5； ②，平分， ， 同理得， 在△中，； （2）解：①；理由如下： 延长至，使，连接，， ，， RR， ，， ， 又，， ， 在△中，， 即； ②设，则，， ， ， 在△中，， 由①结论可知， ， 解得， ； 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题． 20．（25-26八年级上·四川成都·期中）在中，为边上的中线． (1)如图（1），过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证：． (2)如图（2），当时，P为中线的中点，连接、．恰有．则________（填一个恰当的数字）． (3)如图（3），当时，P为中线的四等分点，且．若．猜想、与的关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据三线合一的性质得出，，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，根据等角对等边得出，结合已知可得出，根据勾股定理求出，即可求解； （3）过B作于E，过C作于D，同（1）可证，则，，根据直线三角形的性质可得出∴，结合已知可得出，根据勾股定理求出 ，，则可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又P为中线的中点， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：过B作于E，过C作于D， 同（1）可证， ∴，， ∵，， ∴， ∵P为中线的四等分点，且， ∴， 在中， ， 同理， ∴ ， 又， ∴， ∴． 21．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【初步感知】 （1）如图1，在中，，，则斜边上的高为______； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，点E是内一点，连接，，的面积为32．当时，求的长度； 【学以致用】 （3）如图3，是一块等腰直角的规划用地，点O在斜边上，过O修一条笔直的小路，且O为的中点，点E是三角形内一点，且，连接，，，，规划者想在四边形内种植花草．已知种植花草每平米500元，米，米，则种植花草的最低费用是多少元． 【答案】（1）（2）；（3）400000元 【分析】（1）利用勾股定理求得斜边长，再利用斜边中线的性质求解即可； （2）延长交于点，作于点，作于点，利用三角形面积公式求得，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）作于点，作于点，作于点，由，求得的最小值为10，根据全等三角形的判定和性质求得，据此进一步计算即可求解． 【详解】解：（1）作于点， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）延长交于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∵的面积为32， ∴，即， 解得， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴； （3）作于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， 求得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积的最小值为(平方米)， ∵种植花草每平米500元， ∴植花草的最低费用是（元）． 【点睛】本题考查了30度角直角三角形的性质，勾股定理，直角斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $