专题01二次根式的综合化简与求值(压轴题专项训练)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题01二次根式的综合化简与求值 题型一 含系数的根式乘除混合运算 题型二 含字母的根式化简 题型三 分母有理化 题型四 非负性综合求值 题型五 二次根式的平方开方性质综合化简 题型六 条件式代入求值 题型七 多层根号化简 题型一 含系数的根式乘除混合化简 1.系数优先：先算系数，结果化为最简分数（含符号）。 2.字母降次：根号内字母指数为偶数，提至根号外；指数为奇数，提外一半留一。 3.分母有理化：除法结果中，分母含根式时，需化为有理分母。 【典例】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． （1）先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可； （3）先将二次根式化简，然后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【跟踪专练1】计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 【跟踪专练2】计算______ 【答案】. 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】计算： (1) (2)（） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，对系数与根号内的部分分别运算，最后通过有理化分母化简得到结果； （2）先将系数和根号内的部分分别进行乘除运算，再对根号内的分式进行化简，最后整理得到最简二次根式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型二 含字母的根式化简 译：将题目中的文字语言，精准转化为数学算式或代数式。 抓住关键词：“平方根” 对应​，“算术平方根” 对应 ​，“立方根” 对应。 化：运用二次根式基本性质，将算式化简为最简二次根式。 必查：系数最简、被开方数无分母、无平方因子。 验：核对结果符号与文字描述的正负要求是否一致。 【典例】化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【跟踪专练1】化简：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则， 故答案为 ． 【跟踪专练2】若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握，根据二次根式有意义的条件得到，而，则，再进行化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练3】将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 题型三 分母有理化 核心规则： 先处理系数（化为最简分数）； 字母部分同底数幂运算，指数相加减； 最终确保分母中不含任何根式，且被开方数无分母。 结果规范 分母化为有理数（或整式），分子化简为最简根式，系数与字母分离清晰。 【典例】已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 【跟踪专练1】为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式． 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 【跟踪专练2】对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 【跟踪专练3】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先分母有理化和化简二次根式，再计算零指数幂和化简绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四 非负性综合求值 1.先定范围：根据二次根式非负性，确定字母的取值范围（判断根号内字母的正负）。 2.再化简：利用=∣a∣ 的性质，结合字母范围去掉绝对值符号，将二次根式化为最简形式。 3.后求值：代入化简后的代数式，计算最终结果。 关键技巧：化简 ​ 时，必须先判断a的正负： 若 a≥0，则 =a； 若 a<0，则 =−a。 【典例】根据已知条件，求代数式的值 (1)已知x、y为实数，且，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式被开方数的非负性质可求得x的值，进而求得y的值，再代入即可求得值； （2）先利用二次根式的性质把代数式化简，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：已知x、y为实数，且， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴x，y都是正数， ∴ ． 【跟踪专练1】实数x，y满足，则的平方根为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，求出x的值，代入求出y的值，再计算，最后求解的平方根即可． 【详解】解：由题意得，二次根式的被开方数非负， ∴， 解得， 将代入，得： ， ∴， ∴的平方根为． 【跟踪专练2】已知实数m满足，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再去掉绝对值符号，整理式子后即可得到所求结果． 【详解】∵二次根式有意义， ∴，即． ∴， ∴． ， 移项得， 两边同时平方得， 移项得． 【跟踪专练3】已知实数，，满足，求的值． 【答案】 10 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质. 本题考查非负数的性质，包括算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，以及代数式的求值.通过分析方程中各项的非负性，得出每个部分均为零，从而求出未知数的值，再代入所求表达式计算. 【详解】解：由题意可得： . 题型五 二次根式的平方开方性质综合化简 解题黄金三步法 1.去根号：利用公式 直接转化为∣a∣,第一步必须加绝对值，不能直接等于a。 2.定符号：根据题目隐含条件或字母取值范围，判断a 的正负性。 3.去绝对值： 若 a≥0，则 ∣a∣=a（直接去掉符号）； 若 a<0，则 ∣a∣=−a（添加负号，变号）。 【典例】已知，，为的三边长，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边不等关系，二次根式的化简；由三角形三边关系得，，，再由二次根式的性质，即可化简． 【详解】解：由题意得，，， 原式 ． 【跟踪专练1】如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（  ） A．b B．b－2a C．2a－b D．2a+b 【答案】A 【分析】先根据数轴确定a，b的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ． 【跟踪专练3】先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 【答案】， 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，从而可得，再根据二次根式的运算法则进行化简，最后代入，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴ ， ∴当，时，原式． 题型六 条件式代入求值 先化简、再代入。 化简条件式：清掉被开方数、分母等隐含条件，把条件化为最简等式或范围。 化简目标式：用公式、因式分解等手段，把式子凑成能直接套用条件的样子。 最终代入：用化简后的条件，代入化简后的目标式求值。 【典例】若，，求的值． 【答案】 【分析】先求出的值，再将化简为代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【点睛】注意利用平方差公式简便计算及整体代入法求值． 【跟踪专练1】已知，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题关键．由，，得，则可将所求式子变形为，再将 和 代入求值即可． 【详解】解：设 ， 因为，， 所以，， 则， 代入 ，， 得， 故答案为 ． 【跟踪专练2】已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 【跟踪专练3.】已知对，，求的值． 【答案】 3 【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 【详解】解：∵, ∴, ． 题型七 多层根号化简 一拆、二配、三还原。 1.拆（拆层级）：利用分数指数幂，把多层根号转化为分数指数的形式，理清层级关系。 2.配（凑完全）：针对根号内含和差的情况，用 “凑完全平方” 的方法，把内层凑成一个完全平方式，从而实现开方。 3.还原（归最简）：将计算结果还原成最简根式或有理式。 【典例】阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m，n，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且，， ． (1)横线填上适当的数：____________． (2)化简． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，得，即可得出答案． （3）因为，所以化简原式，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：， ． 【跟踪专练1】设均为正整数，且，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式的性质，根据题意可得，则可推出，进一步得到，再证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵均为正整数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】设正整数满足，则的值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式与实数的应用，完全平方公式，平方根，代数式求值． 将等式两边平方，利用有理数与无理数的对应关系，结合x、y、p为正整数的条件，解出x、y、p的值． 【详解】解：∵，且为正整数， ∴， 即，， ∵为正整数， ∴， 即， ∴， ①当时，，不符合题意，舍去； ②当时，，不符合题意，舍去； ③当时，，即或（不符合题意，舍去）； ∴． 故选B． 【跟踪专练3】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （）小华仿照小明的方法将化成了，则______，______； （）请运用小明的方法化简； 【拓展提升】 （）计算：． 【答案】（），；（）；（） 【分析】（）仿照小明的方法解答即可； （）仿照小明的方法解答即可； （）根据规律计算即可； 本题考查了二次根式的性质与化简，数字的规律，熟练掌握题中给出的方法是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴， ∴， 故答案为：，； （） ； （）原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题01二次根式的综合化简与求值 典 题 精 析 题型一含系数的根式乘除混合运算 题型二含字母的根式化简 题型三分母有理化 题型四非负性综合求值 题型五二次根式的平方开方性质综合化简 题型六条件式代入求值 题型七多层根号化简 压 轴 练 题型一含系数的根式乘除混合化简 1.系数优先：先算系数，结果化为最简分数（含符号）。 2.字母降次：根号内字母指数为偶数，提至根号外；指数为奇数，提外一半留 一。 3.分母有理化：除法结果中，分母含根式时，需化为有理分母。 【典例】计算： a历sx得 a55x45得： e4F2a唱 【跟踪专练1】计算：5÷V5× 5的值为() A.1 B.5 C.√5 D.25 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】计 6停 【跟踪专练3】计算： a层 ②226m8mCm>0 题型二含字母的龈式化简 译：将题目中的文字语言，精准转化为数学算式或代数式。 抓住关键词：“平方根”对应√，算术平方根”对应√，“立方根”对应到。 化：运用二次根式基本性质，将算式化简为最简二次根式。 必查：系数最简、被开方数无分母、无平方因子。 验：核对结果符号与文字描述的正负要求是否一致。 【典例】化简下列二次根式： (1)V25m3: a(b<0): ②6 32 (3) 5xx>0y>0. 【跟踪专练1】化简：V25ab2(a≥0，b>0)= 【跟踪专练2】若a>0,把 -4a 化成最简二次根式为() A. 2a Fab B. 2a ab C.-2ab√-ab D. 2a ab b b b 【跟踪专练3】将下列二次根式化成最简二次根式： x2 (0)3xV27a26 (x<0,a<0); (2)V16a+32a2b2; (3)a2b 2ab>0). a b V62+ 00 题型三分母有理化 试卷第1页，共3页 核心规则： 先处理系数（化为最简分数）； 字母部分同底数幂运算，指数相加减： 最终确保分母中不含任何根式，且被开方数无分母。 结果规范 分母化为有理数（或整式），分子化简为最简根式，系数与字母分离清晰。 【典例】己知x= 3+2V2'y 3-22’求下列代数式的值. (1)x2+xy+y2 (②)+F 【跟踪专练1】a,b为有理数，且√b为无理数，a+2B的一个有理化因式是 1 1 【跟踪专练2】对于正整数”，定义fm)=+n,例如：2)2+3·则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f2025)的值为0 A.√2025-1B.√2026-1 C.√2025+1 D.√2026+1 【跟踪专练3】计算： 02wE-g3ws. ②-3°-7+h-+2+5: 题型四非负性综合求值 1.先定范围：根据二次根式非负性，确定字母的取值范围（判断根号内字母的正负）。 2.再化简：利用√a2=l的性质，结合字母范围去掉绝对值符号，将二次根式化为最 简形式。 3.后求值：代入化简后的代数式，计算最终结果。 关键技巧：化简√2时，必须先判断a的正负： 试卷第1页，共3页 若a20,则Va2=a: 若a<0,则√a2=-a。 【典例】根据已知条件，求代数式的值 (1)已知x、y为实数，且y=Vx-4+√4-x-8,求Vx-y的值； 2)已知x+y=7,y=8,求代数式x,L+y2、 V 的值 【跟踪专练1】实数x,y满足y=√x-3+√3-x+2,则2x-y的平方根为 【跟踪专练2】己知实数m满足2023-m+√m-2024=m,则m-20232的值是() A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 【跟踪专练3】已知实数a,b,c满足Va-1+b+1+c2-4c+4=0,求a2026+b2026+c3的 值 题型五二次根式的平方开方性质综合化简 解题黄金三步法 1.去根号：利用公式√a2直接转化为al,第一步必须加绝对值，不能直接等于a。 2.定符号：根据题目隐含条件或字母取值范围，判断a的正负性。 3.去绝对值： 若a≥0，则|a=a(直接去掉符号)； 若a<0,则|a=-a(添加负号，变号)。 【典例】已知a,b,c为ABC的三边长，化简：V(b+c-a)2+V(c-a-b)2-√V(b-c-a)月 【跟踪专练1】如果Vx2-2x+1+√x2-6x+9的化简结果与x无关，那么x的取值范围是 【跟踪专练2】实数a,b在数轴上的位置如图，则化简、√匠-√a2+2ab+b的结果是() 0 0 b A.b B.b-2a C.2a-b D.2a+b 试卷第1页，共3页 【跟踪练8】先化，再果值：（任母 其中实数x、y满足 y=Vx-3+V6-2x+2. 题型六条件式代入求值 先化简、再代入。 化简条件式：清掉被开方数、分母等隐含条件，把条件化为最简等式或范围。 化简目标式：用公式、因式分解等手段，把式子凑成能直接套用条件的样子。 最终代入：用化简后的条件，代入化简后的目标式求值。 【典例】若a=√5+1，b=√5-1，求a2b+ab2的值. 【跟踪专练1】已知m+n=3,mn=2,则，卫+， m的值为 【限除考练2】已斑6-名2，则+六位为《) 1 a A.2√2 B.±2W2 C.2√3 D.t25 【跟踪专练3.】已知对x+y=6,y=4,求长+ 的值 题型七多层根号化简 拆、 二配、三还原。 1拆（拆层级）：利用分数指数幂，把多层根号转化为分数指数的形式，理清层级关 系。 2配（凑完全）：针对根号内含和差的情况，用“凑完全平方”的方法，把内层凑成 一个完全平方式，从而实现开方。 3.还原（归最简）：将计算结果还原成最简根式或有理式。 【典例】阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如√a±2√b,如果你能找到两 个数m,n,使m2+n2=a,且mn=√b,则Va±2√b可变形为 √m2+n2±2mn=√(m±m)2m±n.从而达到化去一层根号的目的. 试卷第1页，共3页 例如化简V5-2√6,5=3+2且，6=3×2， V5-2W6 =VW52-2W5xV2+(W2 =W3-2列 =5-√2. (1)横线填上适当的数：V8+2√5=()2= (2)化简、√4-5. (3)当x21时，求Vx+2√-√x-的值. 【跟踪专练1】设M,x,y均为正整数，且VM-√28=√F-√厂，则x+y+M的值是一· 【跟踪专练2】设正整数P,y满足F-√=√p2-45,则x+y+p的值为() A.9 B.12 C.16 D.18 【跟踪专练3】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一 个式子的平方，如：5+2√6=(2+3)+2√2x3=(2)2+(3)2+22×V3=(W2+√5)2： 8+27=(1+7)+2W1×7=12+(7)2+2x1×√7=(1+V7)}2; 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将4+25化成了1+√)2，则x=，V4+23=； (2)请运用小明的方法化简√7-4√3； 【拓展提升】 (3)计算：V3-2√2+V5-2√6+V7-212+V9-2√20+…+√4049-2W2024×2025· 试卷第1页，共3页