2026年中考数学第二轮专题复习之解答题复习——8：《二次函数及应用》讲义

2026 年中考第二轮复习 解答题专题 8. 二次函数函数及应用   本课题是中考数学解答题的核心压轴板块，分值占比高、综合难度大，覆盖二次函数解析式求解、图象性质（对称轴、顶点、增减性）、与方程 / 不等式综合、几何图形结合、实际应用建模及最值求解等核心考点，集中考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，是衔接基础题型与压轴难题的关键载体，也是二轮复习中 “提分稳分” 的核心内容。其命题既注重基础概念的精准应用，又强调知识的综合迁移，熟练掌握本课时内容能有效提升学生的函数综合应用与逻辑推理能力，为中考数学高分筑牢根基。 一、题型特点 考点密集，综合度高：单道题常融合 2-3 个知识点，核心围绕解析式求解（待定系数法）、对称轴与顶点计算、与 x/y 轴交点、增减性、最值、几何图形（三角形、矩形）面积、实际应用（利润、拱桥、运动轨迹）等，设问分层清晰（2-3 小问），从基础计算到综合推理逐步递进。 数形结合突出：超 90% 题目需结合函数图象分析，通过开口方向、对称轴、交点位置推导系数关系或函数值变化，图象解读与坐标转化能力是解题关键。 步骤给分严格：按 “设元→列式→求解→检验→作答” 分步给分，缺失关键步骤（如检验、对称轴推导）、书写不规范会直接丢分。 陷阱隐蔽，细节主导：高频陷阱集中在 “a 的符号与开口 / 最值类型”“增减性的对称轴同侧限制”“对称轴计算错误”“实际应用中自变量取值范围”“几何综合中坐标与线段转化”，易因概念模糊或审题粗心失分。 二、答题要点 精准求解析式：根据题意选对形式 —— 一般式（已知三点）、顶点式（已知顶点 / 对称轴）、交点式（已知 x 轴交点），用待定系数法列方程（组）求解，计算后验证是否符合题意。 熟用图象性质：a>0 开口向上（有最小值），a<0 开口向下（有最大值）；对称轴 x=-、顶点坐标 (-，)，可通过配方法快速转化顶点式；与 y 轴交点为 (0,c)，与 x 轴交点由判别式 Δ=b²-4ac 判断。 突破综合问题：与方程结合时，Δ 决定根的个数，交点横坐标即方程的解；与几何结合时，用 “割补法” 求面积，利用对称、全等转化坐标；实际应用中，先建模再根据自变量实际意义（正整数、非负数）求最值。 规范书写步骤：分问作答，推导过程注明依据（如 “由对称轴公式得” “∵a>0，当 x=- 时 y 取最小值”），结果带单位，最值问题说明取得最值的条件。 三、避坑指南 忽略 a 的符号影响：误将 a<0 的函数当作递增函数，或混淆最大值与最小值类型。 增减性应用无前提：未限定 “在对称轴同侧”，跨象限直接比较函数值大小。 对称轴计算错误：记错公式 x=-，或代入系数时符号失误（如漏负号）。 实际应用遗漏范围：未根据题意限定自变量（如人数、长度为正整数），导致解不符合实际情境。 几何综合转化失误：将坐标差值等同于线段长度时忽略绝对值，或割补法找错底和高。 本课时复习的核心是 “抓图象、熟性质、善转化、严规范”，需通过典型例题强化图象解读与分类讨论能力，熟练掌握解析式三种形式的灵活运用，针对高频易错点专项突破，让学生形成 “先定形式求解析式→用性质析图象→结合条件解综合→检验规范写结论” 的固定思路，确保基础问不失分、综合问稳得分、压轴问争得分，全面提升二次函数板块的解题能力。 四、真题练习 1.（24-25·广东模拟）已知函数． （1）当为何值时，是的二次函数？ （2）当为何值时，是的一次函数？ 【答案】 解：∵ 是的二次函数， ∴ ． 解得：； ∵ 是的一次函数， ∴ ，且． 解得：． 【解析】 （1）根据二次函数的定义可知：，从而可求得的取值范围； （2）根据一次函数的定义可知：，且，从而可求得的值． 【解答】 （1）解：∵ 是的二次函数， ∴ ． 解得：； （2）∵ 是的一次函数， ∴ ，且． 解得：．  2.（24-25·四川模拟）在二次函数中， （1）若它的图象过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求出的值： （3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】 或 【解析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值； （2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的值即可 得； （3）由关于对称轴对称得，且在对称轴左侧，在对称轴右侧；确定抛物线与轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：，都在对称轴左边时，，分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【解答】（1）将代入中， 得， 解得，； （2）抛物线对称轴为． 若，当时，函数值最小， ， 解得． ， 若，当时，函数值最小， ， 解得（不合题意，舍去） 综上所述． （3）关于对称轴对称 ，且在对称轴左侧，在对称轴右侧 抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线， 此交点关于对称轴的对称点为 且 ，解得． 当，都在对称轴左边时， ， 解得， 当，分别在对称轴两侧时 到对称轴的距离大于到对称轴的距离 ， 解得 综上所述或． 3.（25-26·安徽模拟）已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）将抛物线向上平移个单位长度，平移后的抛物线与直线相交于（点在点的左边）两点，若，求的最大值． 【答案】，顶点坐标 【解析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标； 根据二次函数的性质解答即可求解； 利用待定系数法求出直线的解析式，又由点的坐标可得，联立函数解析式可得，即可得，得到，再根据二次函数的性质可求出的最大值； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【解答】（1）解：抛物线交轴于点， ， ， 抛物线对称轴为，且与轴交于， ， 解得， ， ， 顶点坐标为； （2）解：，， 当时，取最大值，的最大值为， ，且函数图象的开口向下， 当时，取最小值，， ； （3）解：设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， ， ， ，， ， 由，整理得， ， ， 解得， ， ， ， 当时，的值最大，最大值为． 4.（24-25·山东模拟）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … … … … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】 ；见解析 或 【解析】 （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分两种情况解答，即可求解． 【解答】 （1）解：把点代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， 点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线的对称轴为直线， 当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， 图象对应的函数最大值与最小值的差为， ， 解得：或（舍去）； 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， 图象对应的函数最大值与最小值的差为， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 5.（24-25·云南模拟）如图，抛物线交轴于点、点，交轴于点，且点在点的左侧，顶点坐标为． （1）求与的值． （2）在轴上方的抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】， 存在，或 【解析】（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【解答】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ， ，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ，， ， ， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ， ， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ，， ， 设直线， 则， ， 直线， ， 设直线， 代入得：， 解得：， 直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， 点的横坐标为或．  6.（24-25·江苏模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】， ①；②且 【解析】（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【解答】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， 该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， 轴， ， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ； ②当点从点运动到点的过程中， 轴，， ， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ． 综上所述，的取值范围为且． 7.（23-24·达州模拟）已知，是抛物线上的两个不同点． （1）若，两点都在直线上，求线段的长； （2）若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； （3）若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 【答案】 见解析 【解析】 （1）根据题意得到直线平行于轴，令，求出，然后代入求解即可； （2）首先求出，然后分两种情况：当直线落在轴上时，可得， 当直线不在轴上，然后联立求出，设，求出，，然后代入求解即可； （3）首先得到，根据求出，然后结合即可证明． 【解答】 （1）解：直线平行于轴， 令，即， 解得， 线段的长度为． （2）解：抛物线关于轴对称， 抛物线 若直线落在轴上， 当时，即 解得 ； 若直线不在轴上， 设直线的解析式为，联立方程， 得， 解得． 不妨设， ，， ． （3）证明： ，且，为整数， ，即 ， 又， 为正值． 8.（24-25·新疆模拟）已知抛物线与直线都经过点． （1）求，的值； （2）如果一条过原点且对称轴是轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 【答案】 抛物线解析式为 【解析】（1）先求出，再把代入，进行求解出，即可作答． （2）理解题意，此抛物线的解析式为，则把代入进行计算，即可作答． 【解答】（1）解：抛物线与直线都经过点， ， 把代入， 得， ， （2）解：依题意，设此抛物线的解析式为， 由得， 抛物线恰好经过点， 抛物线恰好经过点， ， 解得． ．  9.（24-25·四川模拟）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点． ①如果小于，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【答案】 或； ①；②． 【解析】 （1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移个单位，向下平移个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【解答】 （1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， 新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ， 小于， ， ， ， ； ②， 平移方式为，向右平移个单位，向下平移个单位， 由题意可得：在的右边，当时， 轴， ， ， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ， ， ， 设，则，，， ， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 10.（23-24·内蒙古中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若，则____2_____，通过配方可以将其化成顶点式为_________； （2）已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； （3）若，将抛物线向上平移个单位得到的新抛物线与直线交于，两点，直线与轴交于点，点为中点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，．求证：． 【答案】 ， ，理由见解析 证明见解析 【解析】 （1）将点代入二次函数的解析式即可得的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得； （2）先求出，从而可得抛物线的对称轴，再求出，得出点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得； （3）先分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证． 【解答】 （1）解：抛物线经过点，且， 将点代入得：， 解得， 则化成顶点式为， 故答案为：，． （2）解：，理由如下： 抛物线经过点， ， ， ，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ， ， 又， 点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又抛物线的开口向上， ． （3）证明：若，则， 将向上平移个单位得到新抛物线， 抛物线与直线交于点， 设点的坐标为， 将代入得：， ， 点为中点， ， 轴于点， ， ， ， ． 11.（22-23·湖北中考）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为），点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式． （2）当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连结，求线段的长． （3）将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．①当图象对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围． ②设点的坐标为，点的坐标为，连结，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】 ； ； ①，；②或 【解析】 （1）待定系数法求解析式； （2）根据对称轴求得点的坐标，即可求解； （3）①根据题意分最高点为点，和点，两种情况讨论即可求解；②分点在线段上，在下方两种情况列出不等式组，解不等式组求解即可． 【解答】 （1）抛物线（、为常数）的对称轴为直线，． ． 抛物线（、为常数）与轴交点的坐标为， ． 此抛物线对应的函数表达式为． （2）点在点的左侧，当点、点关于此抛物线的对称轴对称时， 则有．解得． 则 ． （3）①当图象对应的函数值随的增大而先减小后增大，可知：点和点分别在对称轴的两侧，结合题意， 点在左侧，点在右侧； 可得： 解得：； 图象在时，随的增大而先减小；在时，随的增大而增大； 则最低点即为抛物线顶点； 当,即时；点为图象的最高点； 则; 由可得：; 当，即时； 点为图象的最高点；则；由可得：： 综上所述，； ②由题意，，即 当线段与图象有公共点时， ; 解得： 时，代入抛物线表达式可得 设线段与抛物线的交点为点，则 ; 由题意可知点在线段上； 当，即时； 点在点上方，则有： 结合解得： ， 当，即时； 则点在点下方，则有： ; 结合解得： 综上所述或． 12.（25-26·浙江模拟）如图，抛物线与直线相交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 【答案】 ，； ，． 【解析】 （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）首先联立抛物线和直线求出点的坐标为，然后根据图象求解即可． 【解答】 （1）解：因为抛物线经过点， 所以， 所以． 因为直线经过点， 所以， 所以； （2）解：由知抛物线的解析式为，直线的解析式为． 联立 解得或 所以点的坐标为． 结合图象可知，不等式的解集为． 13.（23-24·河南中考）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线分别交，于点，．设的长度为，的长度为，的长度为． 小东同学根据学习函数的经验对，随的变化规律进行了探究． 下面是小东同学的探究过程，请补充完整． （1）根据几何知识，可得关于的函数解析式为______． （2）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值． 通过计算可知，表格中的值约为__2.2____（结果精确到）． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出了与之间的函数关系图象．请根据中表格里的数据描点、连线，画出与之间的函数关系图象． （4）结合函数图象解决问题：当时， ___或或___（结果精确到）． 【答案】 见详解 或或 【解析】 （1）先证明，利用相同角的正切值相同得出对应边的比相同，即可求出二次函数的解析式． （2）先证明和均为腰长为的等腰直角三角形，过点作于点利用等腰三角形的性质和正切的定义得出，，设，则，，根据，求出的值，再利用勾股定义求出的值，再估计无理数的大小即可． （3）利用描点法画出函数图象即可； （4）利用数形结合的思想解决问题即可； 【解答】 （1），， ， ，即， ，解得， 故答案为． （2）当时，点在的中点，则， ，， 和均为腰长为的等腰直角三角形， ， 在中，过点作于点， ，，， 设，则，， 在， 解得， 则， 故答案为； （3）根据中表格里的数据描点、连线，画出与之间的函数关系图如图， （4）根据图象可得，当时，即两个函数相交时，或或． 故答案为：或或．  14.（24-25·广西模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若抛物线的顶点恰好在直线上，求它的解析式； （3）在的条件下，抛物线与轴交于点，点为抛物线上的一点，且到轴的距离为个单位长度，点为抛物线上点之间（不含点）的一个动点，求的取值范围． 【答案】 当时，．当时，． 【解析】 （1）根据对称轴直线为求解即可． （2）先求出顶点坐标，再根据定点坐标在直线上，即可得出关于的一元一次方程，解出，即可得出抛物线解析式． （3）先求出点和点的坐标，结合二次函数图像求解即可． 【解答】 （1）解：对称轴直线为 （2）解：由可知，对称轴为直线， 把代入，得， 则顶点坐标为， 抛物线的顶点恰好在直线上， ， 解得：， 抛物线解析式为：． （3）解：令，则， 则， 点为抛物线上的一点，且到轴的距离为个单位长度， ， 当时，则，当时，， 或 抛物线开口向上，顶点坐标为， 当时，则． 当时，则． 15.（23-24·宁夏模拟）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求这两个函数的表达式； （2）当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围； （3）平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】 二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 【解析】 （1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【解答】 （1）解：二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ，， 解得，， 二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）二次函数的解析式为， 对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， （3）当时，， ， ， 的边上的高与的边上的高相等， 与的面积相等， ， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ．   16.（24-25·安徽中考）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知，当，的取值范围是，求，的值． 【答案】 直线 ， 【解析】 （1）：把代入中得，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）根据题意可得，再由抛物线开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，则当时，，当时，，据此求解即可． 【解答】 （1）解：把代入中得：，， 抛物线对称轴为直线； （2）解：，， ， 抛物线开口向上， 离对称轴越远函数值越大， 当，的取值范围是， 当时，，当时，， ， ， 抛物线解析式为， ， 解得或（舍去）．  17.（24-25模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】 ①；②见解析 【解析】 （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【解答】 （1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 18.（25-26·贵州模拟）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点，是抛物线上两点，且，求的取值范围； （3）一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，若，求的最大值． 【答案】 最大值为 【解析】 （1）先根据点坐标和长度确定点坐标，再将、两点坐标代入抛物线函数表达式，解方程组即可； （2）由中求得的抛物线的函数表达式可知该抛物线开口向上，然后求得，令，解之得到两个值，结合，即可得到的取值范围； （3）先求出抛物线的对称轴和点坐标，再根据抛物线上两点关于对称轴对称得出，进而得到随的增大而增大，结合直线与抛物线的交点为，，，可推出，即可的得到答案． 【解答】 （1）解：该抛物线与轴交于，两点，，且点在点的左侧， ， 将点，分别代入中， 得， 解得 该抛物线的函数表达式为． （2）解：由可知抛物线的函数表达式为， ， 抛物线开口向上； 将点代入，得， 令，解得，， 点，是抛物线上的点，且， ， 的取值范围是． （3）解：抛物线的函数表达式为， 其对称轴为直线， 点，均在抛物线上，且都在与轴平行的直线上， 点，关于对称轴直线对称，， 又， ， ， ， 的值是关于的一次函数， ， 随的增大而增大， 抛物线与轴交于点，令，则， ， 一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，且，如图所示， ， 当时，有最大值，最大值为． 19.（24-25·天津模拟）已知抛物线，，为常数，的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． （1）当时， ①求点和点的坐标； ②若直线为常数，与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； （2）若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 【答案】 ①， ② 【解析】 （1）①利用点的坐标确定抛物线解析式，即可求解； ②将的长度转化为点到直线的距离，通过求二次函数的最大值确定的值； （2）通过几何变换将折线最短路径问题转化为直线距离，结合勾股定理求解． 【解答】 （1）解：①，， ， 解得：， 将代入抛物线方程：， 解得：， 抛物线的解析式为， 顶点横坐标为，此时， ， 当时，， 解得：或， ， ，； ②如图： 过点作直线，由题意知，当直线与抛物线相切时，的值最大， 设直线的解析式为：， 则有，解得， 直线， 可设直线的解析式为：， 联立，整理得， ， 解得：， 代入方程得， 解得：， 的横坐标为， 即； （2）如图： 由题意知，抛物线解析式为：， ， 有，解得：， 抛物线解析式为：， ，，，， 过点作，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， ，， ， 当时， 解得：或， ， ． 20.（23-24·四川中考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．   （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】； 的最大值为，点的坐标为； 点的坐标为或 【解析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【解答】（1）解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为,； （2）解：当时，，， 设直线为，，解得，直线为， 设，， ； 当时，有最大值，此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形，，与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ， ，， ，，，， 设，则，， 由可得，解得，， 设为，，解得， 直线为， ，解得或，， ，，，正方形，， 同理可得，直线为，， 解得或，， 综上：点的坐标为或 21.（23-24·江苏中考）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点．     （1）求的值； （2）点为反比例函数图象上一动点（点在之间运动，不与重合），过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】，； 有最大值，此时 【解析】（1）先求出的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把的坐标代入直线的函数表达式求出，再把的坐标代入反比例函数表达式求出即可； （2）延长交轴于点，交于点，利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【解答】（1）解：，，，又，， ，点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得，解得， 直线的函数表达式为， 将点代入，得．， 将代入，得． （2）解：延长交轴于点，交于点，   ，，， 轴，，， ，，，， 设点的坐标为，，则，，， ， 当时，有最大值，此时． 22.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点与轴交于点，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时的取值范围是求的值； （3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】 存在点以为顶点的四边形是菱形，边长为或 【解析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【解答】（1）解：抛物线经过点与轴交于点，且关于直线对称， 解得 ； （2）抛物线的开口向下，对称轴为直线抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， 时 ①当时，则：当时，函数有最大值，即： 解得或均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即： 解得； 故； （3）存在；当时，解得当时 设直线的解析式为把代入，得 设则： 当为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：即 解得（舍去）或 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：即： 解得或（舍去） 此时菱形的边长为； 综上：存在以为顶点的四边形是菱形，边长为或． 23.（24-25·河北中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求，的值及点的坐标． （2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】， 不能，理由见解析 ①；② 【解析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解． 【解答】（1）解：抛物线经过点，，顶点为 解得：， ， ； （2）点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 当时， 解得：或 或 抛物线经过点，对称轴为直线 经过点和 不能经过点, （3）①， 当重合时，则 是的中点， , 点恰好落在上，经过点 解得：； ②直线交于点，， ， 直线的解析式为， 经过点， ， ， 联立 消去得， ，则 点的横坐标是点横坐标的一半． 即， 将代入， ①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， 点为直线与的唯一公共点， ② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 24.（24-25·云南模拟）已知二次函数，为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】 见解析 【解析】（1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． 【解答】（1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． （3）证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 25.（23-24贵州模拟）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数-已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 【模型构建】若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】； 当时， 最少开条通道 【解析】（1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【解答】（1）解：若开设条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 排队人数分钟（包括分钟）内减少 ，即： 又最多开通条 为正整数， 最小值为 ， 最少开条通道；  26.（24-25·山东模拟）青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】 存在，最大值是， 或 【解析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【解答】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ，解得， ； （2）解：存在； ， 当时，， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ， 过点作轴，交于点，设，则：， ， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， ， 当时，的最大值为，此时最大，为， ； （3）解：设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ， 当时，则：， 解得：或， 线段与抛物线有交点， 点的横坐标的取值范围是或． 27.（24-25模拟）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】 不能，理由见解析 【解析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最大，此时最大，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最小，此时最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【解答】 （1）解：当时， 点坐标为 抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ，点坐标为 点的坐标为， 将代入 此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）正方形， 如图所示， 抛物线开口向下 越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） 由图象可得，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最大，此时最大 设的表达式为 将代入得， 解得； 由图象可得，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最小，此时最小 设的表达式为 将代入得， 解得； 的取值范围为．  28.（25-26·安徽模拟）天山胜利隧道预计于年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】 能安全通过，见解析 【解析】（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【解答】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ， 能安全通过． 29.（25-26·辽宁模拟）年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出、两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款个，款个，需花费元；购进款个，款个，需花费元． （1）求、两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进、两款“哪吒”纪念品共个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个款纪念品售价元时，可售出个，售价每增加元，销售量将减少个．设每个款纪念品售价元，表示该商家销售款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元； 至少需要购进款纪念品个 ，的最大值为 【解析】（1）设款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元，根据购进款个，款个，需花费元；购进款个，款个，需花费元建立方程组求解即可； （2）设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，根据购买资金不超过元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出关于的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出的最大值即可． 【解答】（1）解：设款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元， 由题意得，， 解得， 答：款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元； （2）解：设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个， 由题意得，， 解得， 的最小值为， 答：至少需要购进款纪念品个； （3）解：由题意得， ， ， 当，即时，最大，最大值为   30.（23-24·贵州中考）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图，此二次函数的图像与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．若，求证的值为定值； （3）如图，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值． 【答案】 为定值，证明见解析 【解析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【解答】（1）解：二次函数的图像经过点， ， ， ； （2）当时，， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则，， ，． ， 的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ， ， ， 当时， ， 当时，线段长度的最大值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 解答题专题 8. 二次函数函数及应用   本课题是中考数学解答题的核心压轴板块，分值占比高、综合难度大，覆盖二次函数解析式求解、图象性质（对称轴、顶点、增减性）、与方程 / 不等式综合、几何图形结合、实际应用建模及最值求解等核心考点，集中考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，是衔接基础题型与压轴难题的关键载体，也是二轮复习中 “提分稳分” 的核心内容。其命题既注重基础概念的精准应用，又强调知识的综合迁移，熟练掌握本课时内容能有效提升学生的函数综合应用与逻辑推理能力，为中考数学高分筑牢根基。 一、题型特点 考点密集，综合度高：单道题常融合 2-3 个知识点，核心围绕解析式求解（待定系数法）、对称轴与顶点计算、与 x/y 轴交点、增减性、最值、几何图形（三角形、矩形）面积、实际应用（利润、拱桥、运动轨迹）等，设问分层清晰（2-3 小问），从基础计算到综合推理逐步递进。 数形结合突出：超 90% 题目需结合函数图象分析，通过开口方向、对称轴、交点位置推导系数关系或函数值变化，图象解读与坐标转化能力是解题关键。 步骤给分严格：按 “设元→列式→求解→检验→作答” 分步给分，缺失关键步骤（如检验、对称轴推导）、书写不规范会直接丢分。 陷阱隐蔽，细节主导：高频陷阱集中在 “a 的符号与开口 / 最值类型”“增减性的对称轴同侧限制”“对称轴计算错误”“实际应用中自变量取值范围”“几何综合中坐标与线段转化”，易因概念模糊或审题粗心失分。 二、答题要点 精准求解析式：根据题意选对形式 —— 一般式（已知三点）、顶点式（已知顶点 / 对称轴）、交点式（已知 x 轴交点），用待定系数法列方程（组）求解，计算后验证是否符合题意。 熟用图象性质：a>0 开口向上（有最小值），a<0 开口向下（有最大值）；对称轴 x=-、顶点坐标 (-，)，可通过配方法快速转化顶点式；与 y 轴交点为 (0,c)，与 x 轴交点由判别式 Δ=b²-4ac 判断。 突破综合问题：与方程结合时，Δ 决定根的个数，交点横坐标即方程的解；与几何结合时，用 “割补法” 求面积，利用对称、全等转化坐标；实际应用中，先建模再根据自变量实际意义（正整数、非负数）求最值。 规范书写步骤：分问作答，推导过程注明依据（如 “由对称轴公式得” “∵a>0，当 x=- 时 y 取最小值”），结果带单位，最值问题说明取得最值的条件。 三、避坑指南 忽略 a 的符号影响：误将 a<0 的函数当作递增函数，或混淆最大值与最小值类型。 增减性应用无前提：未限定 “在对称轴同侧”，跨象限直接比较函数值大小。 对称轴计算错误：记错公式 x=-，或代入系数时符号失误（如漏负号）。 实际应用遗漏范围：未根据题意限定自变量（如人数、长度为正整数），导致解不符合实际情境。 几何综合转化失误：将坐标差值等同于线段长度时忽略绝对值，或割补法找错底和高。 本课时复习的核心是 “抓图象、熟性质、善转化、严规范”，需通过典型例题强化图象解读与分类讨论能力，熟练掌握解析式三种形式的灵活运用，针对高频易错点专项突破，让学生形成 “先定形式求解析式→用性质析图象→结合条件解综合→检验规范写结论” 的固定思路，确保基础问不失分、综合问稳得分、压轴问争得分，全面提升二次函数板块的解题能力。 四、真题练习 1.（24-25·广东模拟）已知函数． （1）当为何值时，是的二次函数？ （2）当为何值时，是的一次函数？  2.（24-25·四川模拟）在二次函数中， （1）若它的图象过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求出的值： （3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 3.（23-24·安徽模拟）已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）将抛物线向上平移个单位长度，平移后的抛物线与直线相交于（点在点的左边）两点，若，求的最大值． 4.（24-25·山东模拟）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … … … … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 5.（24-25·云南模拟）如图，抛物线交轴于点、点，交轴于点，且点在点的左侧，顶点坐标为． （1）求与的值． （2）在轴上方的抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 6.（24-25·江苏模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 7.（23-24·达州模拟）已知，是抛物线上的两个不同点． （1）若，两点都在直线上，求线段的长； （2）若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； （3）若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 8.（24-25·新疆模拟）已知抛物线与直线都经过点． （1）求，的值； （2）如果一条过原点且对称轴是轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 9.（24-25·四川模拟）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点． ①如果小于，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 10.（23-24·内蒙古中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若，则_______，通过配方可以将其化成顶点式为_________； （2）已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； （3）若，将抛物线向上平移个单位得到的新抛物线与直线交于，两点，直线与轴交于点，点为中点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，．求证：． 11.（22-23·湖北中考）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为），点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式． （2）当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连结，求线段的长． （3）将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．①当图象对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围． ②设点的坐标为，点的坐标为，连结，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围． 12.（25-26·浙江模拟）如图，抛物线与直线相交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 13.（23-24·河南中考）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线分别交，于点，．设的长度为，的长度为，的长度为． 小东同学根据学习函数的经验对，随的变化规律进行了探究． 下面是小东同学的探究过程，请补充完整． （1）根据几何知识，可得关于的函数解析式为______． （2）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值． 通过计算可知，表格中的值约为_____（结果精确到）． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出了与之间的函数关系图象．请根据中表格里的数据描点、连线，画出与之间的函数关系图象． （4）结合函数图象解决问题：当时， ______（结果精确到）． 14.（24-25·广西模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若抛物线的顶点恰好在直线上，求它的解析式； （3）在的条件下，抛物线与轴交于点，点为抛物线上的一点，且到轴的距离为个单位长度，点为抛物线上点之间（不含点）的一个动点，求的取值范围． 15.（23-24·宁夏模拟）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求这两个函数的表达式； （2）当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围； （3）平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 16.（24-25·安徽中考）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知，当，的取值范围是，求，的值． 17.（24-25模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 18.（25-26·贵州模拟）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点，是抛物线上两点，且，求的取值范围； （3）一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，若，求的最大值． 19.（24-25·天津模拟）已知抛物线，，为常数，的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． （1）当时， ①求点和点的坐标； ②若直线为常数，与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； （2）若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 20.（23-24·四川中考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．   （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 21.（23-24·江苏中考）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点．     （1）求的值； （2）点为反比例函数图象上一动点（点在之间运动，不与重合），过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 22.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点与轴交于点，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时的取值范围是求的值； （3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 23.（24-25·河北中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求，的值及点的坐标． （2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 24.（24-25·云南模拟）已知二次函数，为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 25.（23-24贵州模拟）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数-已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 【模型构建】若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为_________，排队人数与安检时间的函数关系式为________. 【模型应用】 （2）在的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．  26.（24-25·山东模拟）青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 27.（24-25模拟）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 28.（25-26·安徽模拟）天山胜利隧道预计于年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 29.（25-26·辽宁模拟）年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出、两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款个，款个，需花费元；购进款个，款个，需花费元． （1）求、两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进、两款“哪吒”纪念品共个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个款纪念品售价元时，可售出个，售价每增加元，销售量将减少个．设每个款纪念品售价元，表示该商家销售款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 30.（23-24·贵州中考）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图，此二次函数的图像与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．若，求证的值为定值； （3）如图，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $