2026年中考数学第二轮专题复习之填空题复习——11：《反比例函数及应用》 讲义

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 11.反比例函数及应用 本课时是中考填空题的中档核心板块，聚焦反比例函数的解析式求解、k的几何意义、与几何图形 / 一次函数综合、实际应用及规律探究，侧重考查数形结合思想、建模能力与运算准确性，题型稳定、得分可控，是二轮复习需重点突破的得分点，也是衔接函数基础与综合应用的关键内容。 一、题型特点 考点集中，基础主导：核心考查正比例函数定义（k≠0）、一次函数解析式求解（待定系数法）、增减性与 k 符号的关系、图象平移、两直线交点（与方程组的关联）、实际应用（弹簧伸长、行程、购物等）、坐标规律探究，基础题占比超 85%。 形式灵活，精准要求高：答案涵盖数值、取值范围、坐标、函数解析式等，无选项参考，需严格遵循格式规范（如坐标带括号、范围用不等式），精准度直接决定得分。 数形结合突出：常结合函数图象、平面直角坐标系、几何图形（菱形、三角形）命题，需通过图象提取信息或转化坐标关系解题。 陷阱隐蔽，细节失分多：高频陷阱集中在 “k≠0 的隐含条件”“平移规律混淆”“增减性忽略 k 的符号”“实际应用中自变量的取值限制”，易因概念模糊或审题粗心失分。 二、答题要点 1. 精准求解析式：核心用待定系数法，将点坐标代入，计算时注意符号；含参问题需先验证k≠0，避免增根。 2. 活用k的几何意义：过双曲线上任一点作坐标轴垂线，三角形面积为，矩形面积为，结合图形割补快速求面积或k值。 3. 突破综合问题：与一次函数综合时，联立解析式求交点；与几何综合时，利用对称、全等、相似转化坐标，结合k的几何意义建立等式。 4. 实际应用建模：抓 “乘积为定值” 的反比例特征，设解析式后代入已知条件求解，检验解是否符合实际（如长度、质量为正）。 5. 规范书写答案：坐标需带括号，范围用标准不等式，解析式化简为最简形式，多解不遗漏，结果需符合题干单位要求。 三、避坑指南 1. 忽略：求含参反比例函数解析式时，未检验 ，导致参数取值错误。 2. 增减性误用：未强调 “在每一象限内”，跨象限直接用增减性判断函数值大小。 3. k的几何意义失误：计算三角形面积时漏乘，或丢失绝对值，忽略k的正负与图象象限的对应关系。 4. 综合题漏检验：与一次函数联立求解后，未检验交点是否在双曲线上；实际应用未舍去负数、零等不合理解。 5. 坐标与方程对应错误：联立方程时符号出错，或混淆交点横纵坐标与方程解的对应关系。 本课时复习的核心是 “抓解析式、用几何意义、善综合转化、严规范书写”，通过专项训练强化图象解读与运算准确性，针对高频易错点专项突破，即可稳稳拿下该板块全部分数，为中考数学中档题得分筑牢基础。 四、真题练习 1.（24-25·浙江模拟）已知函数，当为_______时，反比例函数随的增大而增大． 2.（23-24·四川模拟）已知与是反比例函数图象上的两个点．则的值________． 3.（24-25·安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，则的值为________________．  4.（24-25·山东中考）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是________． 5.（24-25·山东模拟）如图，的直径是、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，则与的函数解析式为____________． 6.（23-24·云南模拟）在平面直角坐标系一次函数的图像分别于轴，轴交于、两点，与反比例函数与在第一象限内交于点．点是反比例函数在第一象限内一动点，过点作于点，若与相似，则点的坐标为_______________． 7.（23-24·河北模拟）记反比例函数的图像为，其上有两点，，为正数． 当时，有，则的取值范围是________； 在成立的情况下，若为整数，过点作平行与轴的直线交于点，则点的横坐标可为___________；（写出一个即可） 8.（22-23·浙江中考）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点，在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为，四边形的面积为，则的值为      ，的值为         ．   9.（22-23·江苏中考）已知曲线、分别是函数，的图象，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为   ． 10.（25-26·江苏模拟）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为________．（用“<”连接）   11.（24-25·河北模拟）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为__________． 12.（24-25·甘肃模拟）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是，则图中阴影部分的面积等于_________． 13.（24-25·北京模拟）已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是___________． 14.（22-23·黑龙江中考）如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点，在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为     ． 15.（22-23·浙江中考）如图，在平面直角坐标系中，函数为大于的常数，图象上的两点，满足，的边轴，边轴.若的面积为，则的面积是       ． 16.（22-23·山东中考）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为，则的值为  ． 17.（22-23·江苏中考）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是，，则  ． 18.（25-26·山东模拟）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．若，则_______________． 19.（22-23·湖北中考）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点作轴于点，则的面积为___________；若的面积为，则___________． 20.（24-25·四川模拟）如图，点是双曲线上的动点，过点作轴的平行线交双曲线于点，作轴于点，连接，若四边形为平行四边形，则的值是__________． 21.（23-24·江苏模拟）如图，，两点分别在函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为点，作点关于原点的对称点，连接，，，若，且，则的值等于____________． 22.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，分别以点，点为圆心，画半径为的和．当，分别与轴相切时，切点分别为点和点，连接，，则阴影部分图形的面积和为____________．（结果保留） 23.（2026·陕西模拟）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 24.（23-24·河南中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点作直线交轴于点，连接，则的面积是_________． 25.（24-25·湖南模拟）如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则___________． 26.（24-25·广东模拟）某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的函数图象（如图所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是_________． 27.（24-25·内蒙古模拟）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，其图象如图所示．学生小华原来佩戴的眼镜焦距为米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小华的镜片焦距调整到米，则其近视眼镜的度数减少了___________度． 28.（24-25·湖北模拟）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积的范围是_______________． 29.（24-25·陕西模拟）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，将随的变化情况绘制成如图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是______________． 30.（23-24·广东中考）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二轮复习 填空题专题 11.反比例函数及应用 本课时是中考填空题的中档核心板块，聚焦反比例函数的解析式求解、k的几何意义、 与几何图形/一次函数综合、实际应用及规律探究，侧重考查数形结合思想、建模能力与运 算准确性，题型稳定、得分可控，是二轮复习需重点突破的得分点，也是衔接函数基础与综 合应用的关键内容。 题型特点 考点集中，基础主导：核心考查正比例函数定义(k≠0)、一次函数解析式求解（待定系 数法)、增减性与k符号的关系、图象平移、两直线交点（与方程组的关联）、实际应用（弹 簧伸长、行程、购物等)、坐标规律探究，基础题占比超85%。 形式灵活，精准要求高：答案涵盖数值、取值范围、坐标、函数解析式等，无选项参考， 需严格遵循格式规范（如坐标带括号、范围用不等式），精准度直接决定得分。 数形结合突出：常结合函数图象、平面直角坐标系、几何图形（菱形、三角形）命题， 需通过图象提取信息或转化坐标关系解题。 陷阱隐蔽，细节失分多：高频陷阱集中在“k≠0的隐含条件”“平移规律混淆”“增减 性忽略k的符号”“实际应用中自变量的取值限制”，易因概念模糊或审题粗心失分。 答题要点 1.精准求解析式：核心用待定系数法，将点坐标代入y=意(k≠0)，计算时注意符号； 含参问题需先验证k≠0，避免增根。 2.活用k的几何意义：过双曲线上任一点作坐标轴垂线，三角形面积为k,矩形面 1 积为k,结合图形割补快速求面积或k值。 3.突破综合问题：与一次函数综合时，联立解析式求交点；与几何综合时，利用对称、 全等、相似转化坐标，结合k的几何意义建立等式。 4.实际应用建模：抓“乘积为定值”的反比例特征，设解析式后代入已知条件求解， 检验解是否符合实际（如长度、质量为正）。 5.规范书写答案：坐标需带括号，范围用标准不等式，解析式化简为最简形式，多解不遗漏， 结果需符合题干单位要求。 避坑指南 1.忽略k≠0：求含参反比例函数解析式时，未检验 k≠0，导致参数取值错误。 2.增减性误用：未强调“在每一象限内”，跨象限直接用增减性判断函数值大小。 3.k的几何意义失误：计算三角形面积时漏乘，或丢失绝对值，忽略k的正负与图象 象限的对应关系。 4.综合题漏检验：与一次函数联立求解后，未检验交点是否在双曲线上；实际应用未舍 去负数、零等不合理解。 5.坐标与方程对应错误：联立方程时符号出错，或混淆交点横纵坐标与方程解的对应关 系。 本课时复习的核心是“抓解析式、用几何意义、善综合转化、严规范书写”，通过专项 训练强化图象解读与运算准确性，针对高频易错点专项突破，即可稳稳拿下该板块全部分数， 为中考数学中档题得分筑牢基础。 四、真题练习 1.(24-25·浙江模拟)已知函数y=(k-1)2-3,当k为-V2时，反比例函 数y随x的增大而增大. 【答案】 -2 【解答】 解： 函数y=(k-1)-3是反比例函数， ∴.k-1≠0，k2-3=-1 解得k=±V2, 当k一1<0时，此反比例函数y随x的增大而减小， k=-V2. 故答案为：-V2. 2.(23-24·四川模拟)己知A(-1m与B2m-3是反比例函数y=图象上的两 个点.则m的值2 【答案】 2 【解答】 试题分析：：A(-1m)与B2m-3)是反比例函数y=奈图象上的两个点， （-1)×m=2×(m-3),解得m= 故答案为 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 3.(24-25·安微模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x一1与反比例函数 y=(x>0)的图象交于点A(m),与y轴交于点B,则k的值为 4 O B 【答案】 必 【解答】 解：将点A(m1)代入y=x-1,得 m=4,即点A(4,1), 将点A(4,1)代入y=奈，得 k=4: 故答案为：4 4.(24-25·山东中考)取直线y=-x上一点A(,y1),①过点A1作x轴的垂线，交 y=专于点A2(y2)；②过点A2作y轴的垂线，交y=-x于点A(y3);如此循环进行下 去.按照上面的操作，若点A1的坐标为(1-)，则点A2025的坐标是（1-) 2 y= -1O V=-X 【答案】 (1-0 【解答】 解：：点A1的坐标1一1)， :点A2的横坐标为1 :点A2的坐标为1,1， :点A3的纵坐标为1， :点A3的坐标为-1,1)， 同理点A4的横坐标为一1， :点A4的坐标为-1一)， 点As的坐标1一1)， ·四个点一个循环， :2025÷4=506余1， ·点A2025的坐标与点A1相同，是(1-1)， 故答案为：(1一) 5.(24-25·山东模拟)如图，⊙0的直径是AB=12qmAM、BN是它的两条切线，DE 与⊙O相切于点E,并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD=XBC=y,则y与x的函数 解析式为 y=9 A 0 M E B 【答案】 y=9 【解答】 解：作DF⊥BN交BC于F, A DM E B F CN :AM、BN与⊙O切于点定A、B, AB⊥AM,AB⊥BN, 又：DF⊥BN, ·∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°， :四边形ABFD是矩形， BF=AD=x,DF=AB=12, BC=y, :FC=BC-BF=y-x, :DE切⊙O于E, DE=DA=x,CE=CB=y, 则DC=DE+CE=X+y, 在Rt△DFC中， 由勾股定理得：(+y)=y-x2+12, 整理得：y=, “y与x的函数关系式是y=要， 故答案为：y=要。 6.(23-24·云南模拟)在平面直角坐标系xOy一次函数y=x+2的图像分别于x轴，y轴 交于A、B两点，与反比例函数y=是与在第一象限内交于C点.点P是反比例函数在第一象限 内一动点，过点P作PQ⊥x于点Q,若△OPQ与△AOB相似，则点P的坐标为 (25,3)或(5,23) 【答案】 (25,3)或(V5,23) 【解答】 解：由一次函数y=x+2的图像分别于x轴，y轴交于A、B两点， 当x=0,y=2y=0,x=-4 .0A=4,0B=2 :点P是反比例函数y=是在第一象限内一动点，设P(a),PQLx于点Q, .PQ=号，0Q=a :∠AOB=∠0QP=90°， :△OPQ与△AOB相似，只有两种情况， 当△AOB∽△OQP时，贺=8， 普=量 解得：a=3(负值舍去) P(2W3,5) 当△AOB~△PQ0时，0=股， “著-子 解得：a=V3(负值舍去) P(V5,25), 综上所述，P(23,V5)或P(V5,5) 故答案为：（25,3)或(3,23) 7.（23-24·河北模拟)记反比例函数y=芸的图像为L,其上有两点A(8,y), B(8y2),k为正数. (1)当81<0<2时，有y1<y2,则k的取值范围是0<k<4; (2在(1)成立的情况下，若k为整数，过点(0,1)作平行与x轴的直线交L于点M,则点M的横坐 标可为 3或2或1；（写出一个即可） 【答案】 0<k<4,3或2或1 【解答】 解：：点A(y),B(&y2)在比例函数y=共的图像上， 又：当81<0<x2时，有y1<y2: :反比例函数y=袋的图像在第一、三象限， 4-k>0, 解得：k<4, 又：k为正数， ·k的取值范围是0<k<4, 故答案为：0<k<4: (2:过点(0，)作平行与x轴的直线与反比例函数y=安芒的图像L交于点M, :点M的纵坐标为1， 设点的横坐标为t,则点Mt,1), ·t×1=4-k,即t=4-k, :在()成立的情况下， .0<k<4, 又：k为整数， :k=1或2或3， 当k=1时，t=4-1=3, 当k=2时，t=4-2=2 当k=3时，t=4-3=1, :点M的横坐标可为3或2或1， 故答案为：3或2或1 8.(22-23·浙江中考)如图，点A,B分别在函数y=悬(a>0)图象的两支上(A在第一 象限)，连接AB交x轴于点C.点D,E在函数y=(b<O,X<O)图象上，AE//x轴，BD//y 轴，连接DE,BE.若AC=2BC,△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a-bf的值 为12，a的值为9. 【答案】 12:9 【解答】 解：如图，延长BD,AE交于点Q,BD与x轴交于点K,而AE//x轴，BD//y轴， :∠Q=90°，：△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，·△BDE的面积是5，设 A(m品)，B(n),Q(n是)，D(n,),E(四，品)，BD=蛊-是，EQ=四-n, AE=m-婴，BQ=品-是，：（告-是）（婴-n)=5,(m-婴）（品-）=9，整 理得，(b-a)(bm-an)=10a①，(n-m)(a-b)=18m②，：0K//AQ, AC=2BC,殷=器=克，：QK=2BK,·品=2×(-景)，则n=-2m③，把③代入 ②得，-3m(a-b)=18×(-2am),·a-b=12,即b=a-12④，把③代入①得， (b-a)(b+2a)=-20a⑤，把④代入⑤得，a=9综上，答案为12：9. 9.(2223·江苏中考)已知曲线C1、C2分别是函数y=-爱(&<0)，y=(k>0,x>0) 的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上(B在C的左侧)， 现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为_ 6 【答案】 6 【解答】 解：作AD1x轴于D,BE⊥轴于E, :将△ABC绕原点O顺时针旋转，点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上， SA04D=k,SA0E=克X-=1, :边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上(B在C的左侧)，OA⊥BC 0B=3,0A=3V3, 由旋转的性质可知OB=0B=3,OA=0A=33, 10