精品解析：新疆乌鲁木齐市126中学2025-2026学年第二学期九年级联考预考数学试卷

2025-2026学年第二学期联考预考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意； B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意； C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意； D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意． 故选：C ． 3. 下列运算中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，同底数的除法，合并同类项以及负整数指数幂，根据各自的运算法则一一计算并判断即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 一块含有的直角三角板按如图所示放置，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质得，进而由对顶角性质得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵ ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆，据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费超过1800亿元（1亿），同比增长．将数据1800亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：将数据1800亿用科学记数法表示是． 故选：B． 6. 如图，在 中，，，则弧 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式、圆周角的性质等知识点，掌握弧长的计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题关键． 根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ． ∴弧 的长为． 故选：A． 7. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 8. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点 ， 是等腰直角三角形，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定和性质，先利用一次函数可得，，即得，，过点 作轴于点 ，可证，得到，，进而求出点 坐标即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点， ∴，， ∴，， 如图，过点 作轴于点 ，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点 ， ∴， 故选：． 9. 如图，在菱形中，，，动点 从点 出发沿边匀速运动，运动到点 时停止，过点 作 的垂线 ，在点 运动过程中，垂线 扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点 运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况：点E在 上时，点E在 上且l与 相交时，点E在 上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在 上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在 上且l与 相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在 上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 10. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即． 故答案为：． 11. 分解因式：3a2+6a+3=_____． 【答案】3（a+1）2 【解析】 【分析】首先提取公因式，然后应用完全平方公式继续分解. 【详解】3a2＋6a＋3＝． 故答案为． 考点：分解因式． 12. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 13. 如图，如果围成圆锥的扇形的半径、底面的直径都是4cm，那么这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】侧面展开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵侧面展开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长， ∴母线长为：4cm， 又∵底面的直径是4cm， ∴底面半径是2cm， 根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长=π×2×4=， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的求法，掌握圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长是解题的关键． 14. 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则 的长度为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得，设，则，构造方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 设，则， ， ， 解得， 故． 15. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减2倍数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以579是“方减2倍数”，579分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减2倍数”是______；把一个“方减2倍数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B能被19整除，且满足的值最大，则满足条件的正整数A为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了代数式的运算与变形和逻辑推理能力，正确计算是解题的关键． 本题主要分两部分求解．第一部分求最小的“方减2倍数”，根据定义找出最小的满足条件的两位数m和n,进而求出最小的“方减2倍数”．第二部分，先根据“方减2倍数”A的“方减分解”得到新四位数B的表达式，再结合B能被19整除以及的值最大这两个条件，通过分析m、n的取值来确定正整数A． 【详解】解：因为“方减2倍数” m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8， 所以设则， 观察可知，m的值越小，A就越小． 因为m是两位数，最小的两位数是10， 所以A最小时，此时，． 将，代入可得． 那么最小的“方减2倍数” ． ∵将放在的左边组成一个新的四位数B， ∴ ， 因为B能被19整除， 所以能被19整除． ∵，，满足的值最大， ∴尽可能得大， 当时，，由能被19整除可得，解得，不合题意； 当时，，由能被19整除可得，解得不合题意；或，解得， 符合题意； ∴满足的值最大时，，， 此时，， 此时． 故答案为：64，． 三、解答题：（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简： （1）计算． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可． （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式，求解即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 17. 解决问题； （1）先化简，再求值：，其中． （2）如图，点 是 的边 延长线上一点，，，，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先按照分式的运算法则进行化简，再将代入求值即可； （2）由可得，进一步可证明，从而命题得证． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 当时，原式； 【小问2详解】 略 18. 如图，在矩形 中， 是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段 的垂直平分线，垂足为点 ，交边 于点 ，交边 于点 ． （2）问题解决：连接， ，判断四边形的形状，并进行证明． 【答案】（1） 根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以 、 为圆心，以大于 的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段 的垂直平分线，然后连接和 ；如图所示直线即为所求； （2） 四边形是菱形；理由： 连接和 ， 四边形 是矩形， ， ， 是 的垂直平分线， ， 在和中， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图-线段垂直平分线的作法，进行作图即可； （2）利用矩形的性质求证，由线段的垂直平分线得出，即可证明，进而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 19. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ___________，___________； （2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； （3）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： （4）Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 【答案】（1）； （2） （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查统计量的计算， 扇形统计图，用样本估计总体，掌握统计量的计算是解题关键． （1）先找出甲款评分中出现次数最多的数得到众数 ，再根据乙款各等级人数确定中位数位置，取第、个数的平均数得到； （2）先算出乙款组人数占样本的比例，再用 乘以该比例得到对应圆心角； （3）分别计算甲、乙款样本中“非常满意”的比例，再用各自总人数乘以该比例，最后相加得到总人数估计值； （4）用树状图列出所有种等可能结果，数出至少一人选丙的种情况，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． 【小问1详解】 解：根据题意可知，甲款满意度的众数为，故； 乙款、组共有个数据，则乙组的中位数为第个、第个数的平均数，即，故． 答：，． 【小问2详解】 解：根据（1）可知，乙款组人数为人，则组人数为人， 则其对应圆心角：． 答：． 【小问3详解】 解：乙款组人数为人， 组人数占比为， 组人数占比为， 组人数为人， 在乙款调查用户中，非常满意的人数为人， 在甲组用户中，非常满意的人数为人， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问4详解】 解：画树状图列出所有可能的结果为： 共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择Deepseek的结果数为种， 故两人中至少有一人选择Deepseek的概率为． 答：． 20. 红山塔位于乌鲁木齐西大桥北侧的红山之峰（现红山公园内）历经多年的风雨变迁，至今完好无损地屹立在悬崖顶端，堪称乌鲁木齐一绝．某校“综合实践小组”在项目式学习中，现对红山塔 的高度进行了测量．如图，小组成员在 处用高为的测角仪测得塔顶 的仰角是 ，往前走到达 处测得塔顶 的仰角是，测量点 ， 与塔底部 在同一水平线上．根据上述测量方案和数据，求红山塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】红山塔的高度约为 【解析】 【分析】延长 交 于点 ，设，利用三角函数表示出，，再结合，构造方程求解出的值后，再加上的高度即可． 【详解】解：如图，延长 交 于点 ，设， 由题意可知，四边形和四边形都是矩形， ∴，， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 答：红山塔的高度约为． 21. 鄂西某高速公路上的一特长隧道是鄂西内设计施工难度最大、风险最高的公路隧道之一．如图是隧道施工时的截面图，其轮廓线可近似看作抛物线的一部分，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系，已知其跨度为16米，且抛物线过点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）若两辆车在该隧道内并排行驶时，需沿中心黄线两侧行驶并间隔米（中心线宽度不计），则两辆宽为米，高为米的货车是否能并排行驶？请判断并说明理由． 【答案】（1） （2） 能，理由如下： 由（1）可知：； 如图，由题意可知中心线左侧货车需距离中心线最远米，货车宽为米，此时货车距离隧道左侧路边缘米， 当时，， 米， 这辆货车能并排行驶． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）由题意可知中心线左侧货车需距离中心线最远米，货车宽为米，此时货车距离隧道左侧路边缘米，计算当时的函数值与比较，即可求解． 【小问1详解】 由题意得抛物线过原点设抛物线的函数表达式为， 把，代入表达式，得，解得：． 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 略 22. 如图， 内接于 ， 是 直径，点 在圆上，且，过点 作，垂足为点 ， 与 延长线相交于 ． （1）求证： 是 切线． （2）若，． ①求 的半径． ②求线段 的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵是 的半径， 是 的切线； （2）①3；② 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）①可证明，得到，利用勾股定理得到 ，证明，得出，据此求 的长即可得到答案；②证明，根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）可知，则，， ∵ 是 直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的半径为3； ②， ， ， 23. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在 中，，，．此时，四边形是“双等四边形”， 是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ① 与 的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“ ”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将 绕点 逆时针旋转至，点 恰好落在 边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点 ，使四边形是以 为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=； 【方法应用】①证明：为 旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②或或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①略 ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点 ， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期联考预考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一块含有的直角三角板按如图所示放置，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆，据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费超过1800亿元（1亿），同比增长．将数据1800亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中，，，则弧 的长为（ ） A. B. C. D. 7. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点 ， 是等腰直角三角形，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形 中，，，动点 从点 出发沿边匀速运动，运动到点 时停止，过点 作的垂线 ，在点 运动过程中，垂线 扫过菱形（即阴影部分）的面积为 ，点 运动的路程为．下列图象能反映 与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 10. 使有意义的x的取值范围是______． 11. 分解因式：3a2+6a+3=_____． 12. 若 ，是方程的两个实数根，则的值为______． 13. 如图，如果围成圆锥的扇形的半径、底面的直径都是4cm，那么这个圆锥的侧面积是_____． 14. 如图，把一张矩形纸片 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则 的长度为___________． 15. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减2倍数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以579是“方减2倍数”，579分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减2倍数”是______；把一个“方减2倍数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B能被19整除，且满足的值最大，则满足条件的正整数A为______． 三、解答题：（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简： （1）计算． （2）化简：． 17. 解决问题； （1）先化简，再求值：，其中． （2）如图，点 是 的边 延长线上一点，，，，求证：． 18. 如图，在矩形 中， 是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段 的垂直平分线，垂足为点，交边 于点 ，交边 于点 ． （2）问题解决：连接， ，判断四边形的形状，并进行证明． 19. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ___________，___________； （2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； （3）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： （4）Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 20. 红山塔位于乌鲁木齐西大桥北侧的红山之峰（现红山公园内）历经多年的风雨变迁，至今完好无损地屹立在悬崖顶端，堪称乌鲁木齐一绝．某校“综合实践小组”在项目式学习中，现对红山塔 的高度进行了测量．如图，小组成员在 处用高为的测角仪测得塔顶 的仰角是，往前走到达 处测得塔顶 的仰角是，测量点 ， 与塔底部 在同一水平线上．根据上述测量方案和数据，求红山塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 21. 鄂西某高速公路上的一特长隧道是鄂西内设计施工难度最大、风险最高的公路隧道之一．如图是隧道施工时的截面图，其轮廓线可近似看作抛物线的一部分，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系，已知其跨度为16米，且抛物线过点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）若两辆车在该隧道内并排行驶时，需沿中心黄线两侧行驶并间隔米（中心线宽度不计），则两辆宽为米，高为米的货车是否能并排行驶？请判断并说明理由． 22. 如图， 内接于 ， 是 直径，点 在圆上，且，过点 作，垂足为点 ， 与 延长线相交于 ． （1）求证： 是 切线． （2）若，． ①求 的半径． ②求线段的长． 23. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在 中，，，．此时，四边形 是“双等四边形”， 是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形 中，，，．求： ①与 的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将 绕点 逆时针旋转至，点 恰好落在 边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点 ，使四边形 是以 为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出 的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $