比例的基本性质（教学设计）-2025-2026学年人教版数学六年级下册

教案 课 题 比例的基本性质 备课人 授课日期 教学目标 （1）数学眼光：通过观察现实中比例的实例（如教材中的具体比例式），认识比例的 “项”“内项”“外项”，能用数学语言描述比例的组成结构，初步感知比例作为表示两个比相等关系的数学模型。 （2）数学思维：通过分析不同比例中内项积与外项积的关系，归纳推理出 “在比例里，两个外项的积等于两个内项的积” 这一基本性质，发展观察、比较、抽象概括的逻辑思维能力。 （3）数学语言：能用数学术语（如 “内项”“外项”“交叉相乘”）准确描述比例的基本性质，并能运用基本性质判断两个比能否组成比例，清晰表达判断过程与结果。 教 学 重 点 与 难 点 （1）通过具体比例实例（如生活中的汽车行驶速度比、建筑图纸比例等情境），抽象概括出比例的项、内项和外项的概念，发展数学抽象素养，能准确识别比例中的内项与外项。 （2）经历 “观察多个比例的内项积与外项积→猜想规律→验证猜想（计算不同比例的积）→总结性质” 的探究过程，理解比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积），并能运用性质解决 “判断两个比能否组成比例” 的实际问题，发展逻辑推理与数学应用素养。 媒体教具 （1）多媒体设备（含 PPT 课件）：用于展示比例实例及内项外项积的计算过程。 （2）学生用数学课本（人教版六年级下册）：供学生查阅教材第 41 页相关内容。 （3）数字卡片（5、8、15、24）：用于拓展应用环节学生操作组合成比例。 教法学法 复习导入法、小组讨论法、直观演示法、练习法 教 学 过 程 二次备课调整 一、复习导入 情境回顾：同学们，上节课我们在研究 “校园里的旗杆有多高” 时，用不同物体的高度与影子长度的比找到了一些有趣的关系。现在老师想考考大家：谁能举例说说 “比的意义”？（生：两个数相除又叫做两个数的比，比如 2:3 表示 2 除以 3。）那“比例” 又是怎么定义的呢 ？（生：表示两个比相等的式子叫做比例。）对，比如 4:6 和 2:3，因为 4÷6=2/3，2÷3=2/3，所以它们是相等的比，能组成比例。 快速判断：现在老师这里有几组比，大家能不能用比例的意义来判断它们能不能组成比例？（出示题目：① 0.5:0.25 和 0.2:0.4；② 1:5 和 0.8:4；③ 7:4 和 5:3；④ 80:2 和 200:5。）请大家拿出练习本，分组计算每组中两个比的比值，看看结果是否相等。（学生分组计算，教师巡视，重点关注计算过程较慢的小组，适时提示 “比值计算要注意小数点位置哦”。） 汇报交流：哪组先来分享你们的结果？（生 1：第①组，0.5÷0.25=2，0.2÷0.4=0.5，2≠0.5，不能组成比例。）（生 2：第②组，1÷5=0.2，0.8÷4=0.2，0.2=0.2，可以组成比例。）（生 3：第③组，7÷4=1.75，5÷3≈1.666，1.75≠1.666，不能组成比例。）（生 4：第④组，80÷2=40，200÷5=40，40=40，可以组成比例。） 引出课题：刚才大家用 “计算比值” 的方法判断了比例，很准确！但如果遇到像 “3.6:2.4” 和 “1.5:1” 这样数据更复杂的比，计算比值可能会麻烦。今天我们来学习一个更快捷的方法 ——比例的基本性质。（板书：比例的基本性质） 二、探究新知 （1）教学比例各部分的名称 自主定义：我们知道比例由 “两个比” 组成，那组成比例的四个数叫什么？两端的数和中间的数有什么特别的名字呢？请大家翻开教材第 41 页，自学 “比例的项、外项和内项” 的定义 （斜体）。（学生独立阅读，教师巡视，提醒学生用横线标出 “项”“外项”“内项” 的关键词。） 情境引导：老师这里有一个比例：2.4:1.6=60:40（加粗）。请大家观察这个比例，四个数分别是 2.4、1.6、60、40。谁能像侦探一样找出哪些是 “两端的项”，哪些是 “中间的项”？（生：2.4 和 40 在两端，1.6 和 60 在中间。）非常好！（教师活动：板书）组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。所以在 2.4:1.6=60:40 中，（外项）2.4 和 40，（内项）1.6 和 60。请同学们在练习本上写出这个比例，并像老师这样标出外项和内项，然后同桌互相检查，确保每个人都能正确辨认。 即时巩固：现在老师换一个比例80:2=200:5（加粗），谁能快速指出它的外项和内项？（生：外项是 80 和 5，内项是 2 和 200。）没错！判断外项和内项时，一定要先找到比例的两端，再确定中间的项。 （2）教学比例的基本性质 计算验证：我们已经知道了比例各部分的名称，那比例的外项和内项之间有没有什么 “秘密关系” 呢？请大家以小组为单位，计算黑板上这个比例2.4:1.6=60:40（加粗）中，两个外项的积和两个内项的积，看看能发现什么。（学生分组计算，教师巡视时提示：“外项积可以直接算 2.4×40，内项积算 1.6×60，不用化简，直接写结果。”） 汇报发现：哪个小组愿意分享你们的计算结果？（生：2.4×40=96，1.6×60=96，所以外项积等于内项积！）（教师活动：板书）2.4×40=96，1.6×60=96 深入探究：是不是所有比例都有这样的规律呢？我们再来验证刚才复习导入的例子。比如第②组比例1:5=0.8:4（加粗），外项积是 1×4=4，内项积是 5×0.8=4，相等！第④组80:2=200:5（加粗），外项积 80×5=400，内项积 2×200=400，也相等！那第③组7:4=5:3（加粗），外项积 7×3=21，内项积 4×5=20，不相等，为什么？（生：因为这两个比不相等，所以不能组成比例，自然没有这个规律。） 总结性质：看来只要是能组成比例的四个数，外项积和内项积一定相等。所以我们可以总结出 ——在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（斜体）。（板书：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积） 分数形式拓展：如果把比例写成分数形式，比如2.4/1.6=60/40（加粗），这时候外项和内项分别是什么？（生：外项是 2.4 和 40，内项是 1.6 和 60。）对，就像分数的分子和分母交叉相乘（加粗），所以分数形式的比例也满足 “交叉相乘的积相等”。比如1/5=0.8/4（加粗），交叉相乘就是 1×4=5×0.8，结果还是 4=4。 性质应用：现在我们用比例的基本性质来判断比例，是不是比计算比值更简单？比如判断 “3:5 和 6:10 能不能组成比例”（加粗），用性质的话，只需要算 3×10=30，5×6=30，相等，所以能组成比例！ 三、拓展应用 情境问题：老师这里有四个数：5、8、15、24。请大家想一想，这四个数能不能组成比例？如果能，能组成几组不同的比例？（学生独立思考后，小组讨论如何解决这个问题。教师巡视时引导：“我们可以先找哪两个数相乘的积等于另外两个数相乘的积，因为根据比例的基本性质，只要外项积等于内项积，就能组成比例。”） 分析方法：谁来分享一下你们组的发现？（生：我们发现5×24=120，8×15=120，所以这两组积相等，这四个数可以组成比例！）没错！因为两个数的积等于另外两个数的积，所以这四个数可以组成比例。 多种比例生成：根据 “外项积 = 内项积”（加粗），我们可以把 5 和 24 看作外项，8 和 15 看作内项，或者把 8 和 15 看作外项，5 和 24 看作内项，还可以交换内项或外项的位置，组成不同的比例。现在请大家尝试写出所有可能的比例，写完后和同桌互相检查，看看有没有重复或错误。 汇报与分类：哪个小组愿意把你们写出的比例展示给大家？（教师活动：收集学生汇报的结果，分类整理，如： 以 5 和 24 为外项：5:8=15:24，5:15=8:24，24:8=15:5，24:15=8:5； 以 8 和 15 为外项：8:5=24:15，8:24=5:15，15:5=24:8，15:24=5:8； ）共 8 组不同的比例。 四、总结 知识梳理：通过这节课的学习，我们都收获了哪些知识？（生：我们学习了比例的意义，知道表示两个比相等的式子叫比例；还学习了比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积；并且能用基本性质快速判断两个比是否能组成比例。） 方法提炼：我们在解决 “四个数组成比例” 的问题时，用了什么方法？（生：先找积相等的两组数，再根据外项积 = 内项积（加粗）写出不同的比例。）对，这就是转化思想的应用（加粗），把复杂的比例问题转化为简单的乘法计算，既快捷又准确。 重点强调：比例的基本性质是我们判断比例的 “金钥匙”（加粗），以后遇到复杂数据的比例问题，就不用再计算比值了，直接看外项积和内项积是否相等，这样能节省很多时间！ 作业布置 （1）应用比例的基本性质判断以下两组比能否组成比例：① 2:3 和 4:6；② 0.6:0.2 和 9:3。 （2）写出比例 1.5:0.5 = 3:1 中的内项和外项，并计算外项积与内项积，验证是否相等；再用 1.5、0.5、3、1 这四个数组成另一个不同的比例（至少写一组）。 学科网（北京）股份有限公司 $