第8章 整式乘法（题型1：利用乘法公式求面积）学案 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 第8章整式乘法 （题型1：利用乘法公式求面积） 【典型例题】 【例1】如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ） A. B. C. D. 【例2】数形结合是初中数学重要的思想方法，下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（　　） A. a﹣b＝（a+b）（a﹣b） B. （a﹣b）＝a﹣2ab+b C. a（a﹣b）＝a﹣ab D. （a﹣b）＝a﹣b 【例3】如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为______．（化简） 【例4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是______． 【例5】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当，时的绿化面积． 【例6】为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） （2）若，，求出此时种植区的总面积． 【举一反三】 【变式1】如图所示，将四个大小相同的小正方形按如图所示的方式放置变为一个大正方形，根据图形中阴影部分的面积，可以验证（ ） A. B. C. D. 【变式2】根据如图所示的图形变换，可以得到的恒等式为（ ） A. B. C. D. 【变式3】如图，两个正方形的边长分别为a和b，若，，则阴影部分的面积是______． 【变式4】如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为____． 【变式5】有两类正方形A，，其边长分别为、．现将正方形放在正方形A内部得到图1，将正方形A，并列放置后构造新的正方形得到图2．若图1和图2的阴影部分的面积分别为1和12． （1）正方形A，的面积之和为___________； （2）三个正方形A和两个正方形如图3摆放，求阴影部分的面积． 【变式6】甲、乙两个长方形，其边长如图所示（），其面积分别为，． （1）用含m的代数式表示：______，______；（结果化为最简形式） （2）用“＜”、“＞”或“=”填空：______； （3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 【巩固练习】 1.从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定 2.如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）． A. B. C. D. 3.一个大正方形和四个全等的小正方形按如图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 4.如图1的8张宽为a，长为的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　　） A. B. C. D. 5.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ） A. B. C. D. 6.一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为__． 7.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则___________． 8.如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则 ____________． 9.设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 。 10.如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有______．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 11.如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） （1）求长方形游泳池面积； （2）求休息区面积； （3）比较休息区与游泳池面积的大小关系． 12.某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． （1）如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． （2）如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 13. [知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图，写出一个代数恒等式：______； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 14.两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含a、b的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积． 15.现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： 图1表示：________；图2表示：________； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，，则　　； 若，则　　． （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 答案解析 【典型例题】 【例1】如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【例2】数形结合是初中数学重要的思想方法，下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（　　） A. a﹣b＝（a+b）（a﹣b） B. （a﹣b）＝a﹣2ab+b C. a（a﹣b）＝a﹣ab D. （a﹣b）＝a﹣b 【答案】A 【例3】如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为______．（化简） 【答案】 【例4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是______． 【答案】15 【例5】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当，时的绿化面积． 【答案】（1）解： ， 答：绿化的面积是平方米； 【小问2详解】 解：当，时，原式， 答：绿化的面积是63平方米． 【例6】为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） （2）若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】（1）解：由题意可得：， ； 【小问2详解】 解：当，时， ； 【举一反三】 【变式1】如图所示，将四个大小相同的小正方形按如图所示的方式放置变为一个大正方形，根据图形中阴影部分的面积，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【变式2】根据如图所示的图形变换，可以得到的恒等式为（ ） B. B. C. D. 【答案】D 【变式3】如图，两个正方形的边长分别为a和b，若，，则阴影部分的面积是______． 【答案】18 【变式4】如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为____． 【答案】 【变式5】有两类正方形A，，其边长分别为、．现将正方形放在正方形A内部得到图1，将正方形A，并列放置后构造新的正方形得到图2．若图1和图2的阴影部分的面积分别为1和12． （1）正方形A，的面积之和为___________； （2）三个正方形A和两个正方形如图3摆放，求阴影部分的面积． 【答案】（1）解：正方形A，B的边长分别为a，b， 由图甲得， 由图乙得， 得，； 故答案为：13； 【小问2详解】 解：∵，， ， ， ， ， ， ∴图丙的阴影部分面积． 【变式6】甲、乙两个长方形，其边长如图所示（），其面积分别为，． （1）用含m的代数式表示：______，______；（结果化为最简形式） （2）用“＜”、“＞”或“=”填空：______； （3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）解：； ； 【小问2详解】 ∵， ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解：大正方形的边长为：， 大正方形面积为：， ， ． 答：与的差为定值，值为10． 【巩固练习】 1.从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定 【答案】A 2.如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 3.一个大正方形和四个全等的小正方形按如图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4.如图1的8张宽为a，长为的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 5.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ） A. B. C. D. 【答案】D 6.一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为__． 【答案】5 7.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则___________． 【答案】6 8.如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则 ____________． 【答案】 9.设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 。 【答案】8 10.如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有______．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 【答案】①②③④ 11.如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） （1）求长方形游泳池面积； （2）求休息区面积； （3）比较休息区与游泳池面积的大小关系． 【答案】（1）长方形游泳池面积为： 平方米； 【小问2详解】 ∵长方形空地的面积为： 平方米， ∴休息区面积 平方米； 【小问3详解】 ∵ ， ∴休息区的面积大于游泳池面积． 12.某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． （1）如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． （2）如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【答案】（1）解：小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：（平方米）； 【小问2详解】 解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线（图中虚线）长为：（米）． 故答案为：108米． 13. [知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图，写出一个代数恒等式：______； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】[知识生成]（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：， （2）由题（1）知：， ． [知识迁移]（3）根据题意得：． （4）由（3）可知， 把，代入得： ． ． 14.两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含a、b的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积． 【答案】（1）由图可得，， ． （2）， 所以的值为77． （3）由图可得： 所以图中阴影部分面积为17． 15.现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： 图1表示：________；图2表示：________； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，，则　　； 若，则　　． （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1）图1中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 故答案为：； 图2中，由图可知，，也可以表示为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ， ，， ； ②由图2可得， ，， ， ， ． 故答案为：；若，则 设，，则，， ∵，∴，解得，∴，∴ ． 故答案为：； 【小问3详解】 解：，， ，， ， 长方形的面积是200， ， ， 令，， ，， ， ， 四边形的面积． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $