考点03 一元二次方程的应用（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

03 一元二次方程的应用 考点一：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1、一般步骤： 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 考点二：实际问题中常见的数量关系及表示方法 1、平均增长（降低）率问题： 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2、销售利润问题： （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 3、几何问题： （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 4、数字问题： 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 5、工程（行程）问题： 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间． 6、传播问题： 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 计算公式：． 7、存款利息问题： 本息和=本金+利息；利息=本金利率存期． 8、动点问题： 解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决． 9、比赛（握手）问题： 计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）：． 双循环（两两之间比赛（握手）两次）：． 题型一：增长率问题 1. 审清题意，明确是增长还是下降，以及增长（下降）的次数。 2. 设平均增长（下降）率为 ( x )，初始量为 ( a )，经过 ( n ) 次变化后的量为 ( b )。 3. 增长问题公式：；下降问题公式：。 4. 根据题意列出方程，解出 ( x )。 5. 检验 ( x ) 是否符合实际（增长率通常为正数，且一般小于100%）。 1. 混淆增长次数，如两年增长误用一次增长公式。 2. 增长率公式中未将 ( 1 + x ) 整体平方或乘方。 3. 解方程时忽略 ( x ) 的取值范围，得出负增长率未舍去。 4. 未将百分数转化为小数直接计算。 1．（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段，模型的初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）宁波镇海某金橘合作社深耕本土特色果品种植，2023年镇海金橘平均亩产量为．近年来引入镇海农林部门研发的矮化密植栽培技术，改良土壤墑情与果实套袋管理模式，2025年平均亩产量提升至． (1)若2023年到2025年金橘平均亩产量年增长率相同，求其平均亩产量年增长率； (2)已知该合作社目前镇海金橘种植面积为12亩，每亩的种植成本为2.5万元．为满足本地商超及文旅采摘市场需求，合作社计划2026年增加种植面积．经测算，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.05万元，在保持种植总成本不变的前提下，则2026年该合作社应增加种植面积多少亩？ 题型二：数字问题 1. 设未知数表示数字的各位数码，注意数位的表示方法。 2. 两位数：( 10a + b )（( a ) 为十位数字，( b ) 为个位数字）。 3. 三位数：( 100a + 10b + c )（( a ) 为百位数字，( b ) 为十位数字，( c ) 为个位数字）。 4. 根据数字和、数字交换等条件列方程。 5. 注意数字的取值范围：( a, b, c ) 均为整数，且首位数字不为0。 1. 数位表示错误，如两位数误写为 ( a + b )。 2. 忽略数字的取值范围，得出负数或大于9的数字。 3. 数字交换后，新数的表达式写错。 4. 未考虑首位数字不能为0的限制。 1．（2025·浙江丽水·一模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 2．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）从开始，个连续自然数的和为45，则为________． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程_____________． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为_________． 题型三：传播问题 1. 传播问题常见于传染病扩散、信息传播等情境。 2. 设每轮传播中平均一个人传播给 ( x ) 个人。 3. 第一轮传播后总人数（或病例数）为 ( 1 + x )（含初始者）。 4. 第二轮传播后总人数为。 5. 一般地，经过 ( n ) 轮传播后总人数为，根据题意列方程：目标人数。 1. 混淆“新增人数”与“总人数”。 2. 忽略初始者，直接用列式。 3. 传播轮数计算错误，如两轮传播误用一次方。 4. 解出 ( x ) 为负数时未舍去。 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江舟山·期中）为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江嘉兴·月考）有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程________． 5．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则的值为______ ． 题型四：行程问题 1. 行程问题涉及路程、速度、时间三个基本量，关系为：路程 = 速度 × 时间。 2. 设未知数，通常设速度或时间。 3. 根据“相遇时间×速度和 = 路程”或“追及时间×速度差 = 路程差”列方程。 4. 注意单位统一，如速度单位与时间单位匹配。 5. 解方程后检验是否符合实际。 1. 单位不统一，如速度用千米/时，时间用分钟，未换算。 2. 相遇问题中，时间关系列错。 3. 追及问题中，路程差与时间关系混淆。 4. 忽略往返问题中的路程相等关系。 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了______米． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 5．（22-23九年级下·重庆北碚·月考）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 题型五：工程问题 1. 将工作总量看作单位“1”。 2. 设工作效率或工作时间为未知数。 3. 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间。 4. 根据“工作效率×工作时间=工作总量”列方程。 5. 合作问题时，工作效率相加。 1. 工作效率与工作时间混淆。 2. 合作问题时，误将时间直接相加。 3. 忽略“先单独做，再合作”的时间分段。 4. 未将工作总量统一为单位“1”。 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 2．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 3．（22-23八年级下·浙江缙云·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 题型六：销售利润问题 1. 明确进价、售价、利润、利润率等概念。 2. 利润 = 售价 − 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价。 3. 售价 = 进价 × (1 + 利润率)。 4. 注意打折情况：实际售价 = 标价 × 折扣（折扣为小数，如八折为0.8）。 5. 根据总利润 = 单件利润 × 销售量列方程。 1. 混淆利润与利润率。 2. 打折时误将折扣直接乘进价。 3. 忽略销售数量与单价变化的关系（如降价促销时销量增加）。 4. 列方程时未考虑总利润与单件利润的对应关系。 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 2．（25-26九年级上·浙江金华·月考）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价6元，则每天销售T恤衫为______件； (2)小明希望每天获得的利润达到1200元并且对消费者优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 4．（23-24八年级下·浙江金华·期中）生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． (1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； (2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 5．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． (1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ (2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 题型七：图形问题 1. 根据几何图形，设出相关线段长度。 2. 利用几何性质列方程，如面积公式、周长公式、勾股定理等。 3. 常见图形：矩形、正方形、三角形、圆等。 4. 注意图形中的隐含条件，如边长为正数。 5. 解方程后检验是否符合几何条件。 1. 面积公式记错，如矩形面积误用长×宽×2。 2. 忽略边长必须为正数的限制。 3. 图形中的等量关系找不全。 4. 勾股定理应用时，直角边与斜边混淆。 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上浙江金华·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为__________米． 题型八：动态几何问题 1. 设运动时间为 ( t )，用含 ( t ) 的代数式表示相关线段长度。 2. 根据运动过程中图形的面积、周长或位置关系列方程。 3. 注意运动过程中图形的变化，分段讨论可能的情况。 4. 利用几何性质（如相似三角形、勾股定理）建立等量关系。 5. 解方程后检验 ( t ) 是否符合运动时间范围。 1. 未考虑运动过程中图形的变化，导致方程漏解。 2. 用 ( t ) 表示线段时，速度与时间的关系错误。 3. 忽略运动范围的限制，得出不符合实际的 ( t ) 值。 4. 多解情况未全面考虑。 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， (1)根据题意知：______， ______；（用含的代数式表示） (2)t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 5．（2020·浙江绍兴·一模）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？ 题型九：比赛问题 1. 比赛问题常见于单循环赛、淘汰赛等情境。 2. 单循环赛：( n ) 支队伍参赛，总场数为（每两队赛一场）。 3. 双循环赛：总场数为 ( n(n-1) )（主客场各一场）。 4. 积分问题：胜、负、平对应的积分规则，根据总积分列方程。 5. 设未知数表示胜场数、负场数等，利用总场数、总积分列方程组或一元二次方程。 1. 单循环赛场数公式记错，误写成 ( n(n-1) )。 2. 积分规则理解错误，如胜一场3分、平一场1分、负一场0分混淆。 3. 忽略场数必须为整数的条件。 4. 未考虑比赛场次与队伍数的对应关系。 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）“浙BA城市争霸赛”正如火如荼地举行，为进一步推动体育活动健康发展，我市组织了中学生校园篮球赛．已知参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划安排36场比赛．设共有个队参赛，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）浙江城市篮球联赛（简称“浙BA”）城市争霸赛的参赛队伍分成A、B两组，且每组队伍数量相同．按照比赛规则，组内比赛时每两支队伍之间需进行两场比赛，A、B两组共需比赛220场组内赛，问共有几支队伍参赛?设共有支队伍参赛，根据题意所列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有___________名学生． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为_________． 5．（24-25八年级下·浙江温州·月考）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 题型十：其它问题 1. 认真审题，理解题意，找出问题中的数量关系。 2. 设未知数，通常设所求量为未知数。 3. 根据等量关系列出方程，可能是一元二次方程。 4. 解方程，并检验解是否符合实际意义。 5. 注意题目中的特殊条件，如整数解、非负解等。 1. 等量关系找不全或找错。 2. 设未知数时未明确含义，导致列式混乱。 3. 解出后未检验合理性。 4. 忽略题目中的隐含条件，如“至少”“最多”等。 1．（2025·浙江台州·一模）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，年内的碳排放量共计2450吨．为求的值，列出如下方程，其中正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江·期中）为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 4．（2024·浙江·模拟预测）小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为________． 5．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，上午，一轮船在点处接到警报，台风中心位于轮船正南方向100海里的点处，轮船以10海里/时的速度由西向东航行，台风中心以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属于台风影响区．    (1)若轮船继续向东航行小时至，此时台风中心位于，用含的代数式表示______； (2)若轮船不改变航行速度和方向，求轮船开始受台风影响的时刻． 1．（25-26九年级上·浙江台州·期中）某地政府通过下调药品价格来解决老百姓看病贵、看病难的问题，某种药品经过连续两次调价，由每盒元下调至元，求平均每次下调的百分率．设平均每次下调百分率为x，根据题意列方程得（ ） A． B． C． D． 2．（19-20八年级下·浙江湖州·期末）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江金华·月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为．则长度为（   ）． A．15 B．10 C．15或10 D．不能确定 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件25元涨到每件36元，则平均每次涨价的百分率为_____． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期末）AI技术的应用越来越广泛，某AI应用软件2025年2月其点击率达到5.25亿次，2025年4月其点击率达到7.56亿次，设点击率从2月到4月的月平均增长率为，则可列方程为___________． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于________． 7．（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．当的面积等于四边形的面积的时，的值为_________秒． 8．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图，要在一块长为30米，宽为24米的长方形绿地上修建“两纵两横”四条宽度相等的小路，若剩余绿地面积为520平方米，求小路宽度． 小明的解法是设小路宽度为x米，列出两个方程： ①，得到； ②，得到． (1)请分别判断小明所列的两个方程是否正确？ (2)请推测小路的宽度（要求写出推理过程） 9．（23-24八年级下·浙江温州·期中）近日，温州朔门古港遗址成功入选“2022年度全国十大考古新发现”，此次挖掘出的龙泉窑印证了温州港是海上丝绸之路的重要节点．请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，请在保证日销售利润不低于3030元时，设计一种方案并完成表格． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 2 160 10．（25-26八年级上·浙江·假期作业）根据题意列式： (1)姜师傅将10000元存入银行，已知一年期的利率为x； ①若一年到期后姜师傅一共获得本息共10150元，据此可列式____________； ②若姜师傅将一年后到期的本息存入银行再存一年，第三年获得本息共10506元，据此可列式为______． (2)某公司售卖的学习机每月批发出1200台，每台利润200元．经市场调查发现，每降价1元，销售量将增加10台，如果该公司要实现月利润252000元，设公司降价x元，可据此列式为____________． (3)如图是长方形草坪，已知长16米，宽10米．现要在草坪内设计两条纵横交错的步道，步道宽x米，设计后草地总面积为135平方米．据此可列式为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 03 一元二次方程的应用 考点一：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1、一般步骤： 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 考点二：实际问题中常见的数量关系及表示方法 1、平均增长（降低）率问题： 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2、销售利润问题： （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 3、几何问题： （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 4、数字问题： 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 5、工程（行程）问题： 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间． 6、传播问题： 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 计算公式：． 7、存款利息问题： 本息和=本金+利息；利息=本金利率存期． 8、动点问题： 解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决． 9、比赛（握手）问题： 计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）：． 双循环（两两之间比赛（握手）两次）：． 题型一：增长率问题 1. 审清题意，明确是增长还是下降，以及增长（下降）的次数。 2. 设平均增长（下降）率为 ( x )，初始量为 ( a )，经过 ( n ) 次变化后的量为 ( b )。 3. 增长问题公式：；下降问题公式：。 4. 根据题意列出方程，解出 ( x )。 5. 检验 ( x ) 是否符合实际（增长率通常为正数，且一般小于100%）。 1. 混淆增长次数，如两年增长误用一次增长公式。 2. 增长率公式中未将 ( 1 + x ) 整体平方或乘方。 3. 解方程时忽略 ( x ) 的取值范围，得出负增长率未舍去。 4. 未将百分数转化为小数直接计算。 1．（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设新能源汽车的年平均增长率为，则2025年底的保有量为万辆，2026年底的保有量为万辆，即可列出正确方程． 【详解】解：设新能源汽车的年平均增长率为， 可列方程为． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个， ∴6月份销售量为个， ∴7月份销售量为个， 又∵7月份实际销售量为225个， ∴可列方程为. 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 【答案】A 【分析】设出未知量，根据两年前后的单价列方程求解，再舍去不合题意的解即可解答． 【详解】解：设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x， ∵2024年单价为200元，2024年到2026年共经过2年，2026年单价为162元， ∴列方程得， 两边同除以200得， 开平方得 ， ∵降低率x满足， ∴只取，解得， ∴该品牌足球单价平均每年降低的百分率是． 4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段，模型的初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，设每次数据扩容的平均增长率为x，根据初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，进行列方程，得，即可作答． 【详解】解：∵ 初始数据量为500万亿，每次增长率为x， 经过第一次增长后为， 经过第二次增长后为， ∴ 故选：C． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）宁波镇海某金橘合作社深耕本土特色果品种植，2023年镇海金橘平均亩产量为．近年来引入镇海农林部门研发的矮化密植栽培技术，改良土壤墑情与果实套袋管理模式，2025年平均亩产量提升至． (1)若2023年到2025年金橘平均亩产量年增长率相同，求其平均亩产量年增长率； (2)已知该合作社目前镇海金橘种植面积为12亩，每亩的种植成本为2.5万元．为满足本地商超及文旅采摘市场需求，合作社计划2026年增加种植面积．经测算，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.05万元，在保持种植总成本不变的前提下，则2026年该合作社应增加种植面积多少亩？ 【答案】(1) (2)38亩 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）设年增长率为x，表示出 2025年亩产量，列方程求解． （2）设2026年该合作社应增加种植面积m亩，表示出增加后的面积和每亩成本，列方程求解． 【详解】（1）解：设平均亩产量的年增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：平均亩产量的年增长率为． （2）解：设2026年该合作社应增加种植面积亩， 由题意得：， 解得：（舍去）， 答：2026年该合作社应增加种植面积38亩． 题型二：数字问题 1. 设未知数表示数字的各位数码，注意数位的表示方法。 2. 两位数：( 10a + b )（( a ) 为十位数字，( b ) 为个位数字）。 3. 三位数：( 100a + 10b + c )（( a ) 为百位数字，( b ) 为十位数字，( c ) 为个位数字）。 4. 根据数字和、数字交换等条件列方程。 5. 注意数字的取值范围：( a, b, c ) 均为整数，且首位数字不为0。 1. 数位表示错误，如两位数误写为 ( a + b )。 2. 忽略数字的取值范围，得出负数或大于9的数字。 3. 数字交换后，新数的表达式写错。 4. 未考虑首位数字不能为0的限制。 1．（2025·浙江丽水·一模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个数为，列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）从开始，个连续自然数的和为45，则为________． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程求解，并排除负数解即可．用代数式表示出个连续自然数的和是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：①， ∴②， ①②，得：， ∴，即， ∴， 解得：或， ∵为自然数， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 首先，设其中一个奇数为，则另一个奇数为，列式即可求解； 【详解】解：设其中一个奇数为，则另一个奇数为， 根据两个连续正奇数的积是， 可得：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为，据此即可求解； 【详解】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为：． 题型三：传播问题 1. 传播问题常见于传染病扩散、信息传播等情境。 2. 设每轮传播中平均一个人传播给 ( x ) 个人。 3. 第一轮传播后总人数（或病例数）为 ( 1 + x )（含初始者）。 4. 第二轮传播后总人数为。 5. 一般地，经过 ( n ) 轮传播后总人数为，根据题意列方程：目标人数。 1. 混淆“新增人数”与“总人数”。 2. 忽略初始者，直接用列式。 3. 传播轮数计算错误，如两轮传播误用一次方。 4. 解出 ( x ) 为负数时未舍去。 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传播问题），先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病， ∴， 故选：A． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 3．（22-23八年级下·浙江舟山·期中）为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 4．（23-24八年级下·浙江嘉兴·月考）有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 设每人给y人发短信，则第一轮有y人收到短信，第二轮有人收到短信，据此列方程即可． 【详解】解：设每人给y人发短信， 由题意得：， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则的值为______ ． 【答案】14 【分析】第一轮共感染人，第二轮共感染（人），根据经过两轮传染将会有人感染，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型四：行程问题 1. 行程问题涉及路程、速度、时间三个基本量，关系为：路程 = 速度 × 时间。 2. 设未知数，通常设速度或时间。 3. 根据“相遇时间×速度和 = 路程”或“追及时间×速度差 = 路程差”列方程。 4. 注意单位统一，如速度单位与时间单位匹配。 5. 解方程后检验是否符合实际。 1. 单位不统一，如速度用千米/时，时间用分钟，未换算。 2. 相遇问题中，时间关系列错。 3. 追及问题中，路程差与时间关系混淆。 4. 忽略往返问题中的路程相等关系。 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又 ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了______米． 【答案】24 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米， 故答案为：24． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 5．（22-23九年级下·重庆北碚·月考）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 题型五：工程问题 1. 将工作总量看作单位“1”。 2. 设工作效率或工作时间为未知数。 3. 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间。 4. 根据“工作效率×工作时间=工作总量”列方程。 5. 合作问题时，工作效率相加。 1. 工作效率与工作时间混淆。 2. 合作问题时，误将时间直接相加。 3. 忽略“先单独做，再合作”的时间分段。 4. 未将工作总量统一为单位“1”。 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 2．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 3．（22-23八年级下·浙江缙云·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 题型六：销售利润问题 1. 明确进价、售价、利润、利润率等概念。 2. 利润 = 售价 − 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价。 3. 售价 = 进价 × (1 + 利润率)。 4. 注意打折情况：实际售价 = 标价 × 折扣（折扣为小数，如八折为0.8）。 5. 根据总利润 = 单件利润 × 销售量列方程。 1. 混淆利润与利润率。 2. 打折时误将折扣直接乘进价。 3. 忽略销售数量与单价变化的关系（如降价促销时销量增加）。 4. 列方程时未考虑总利润与单件利润的对应关系。 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平均每天的销售数量即可； （）设每件商品降价元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：根据题意得：若降价元，则平均每天的销售数量为件； （2）解：设每件商品降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件盈利不少于元， ∴，解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 2．（25-26九年级上·浙江金华·月考）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价6元，则每天销售T恤衫为______件； (2)小明希望每天获得的利润达到1200元并且对消费者优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】(1)32 (2)每件T恤衫的销售价应该定为80元 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据降价金额计算销售量的增加量，从而求得总销售量； （2）设降价x元，根据利润公式列方程求解，选择降价多的方案以优惠最大，再求销售价． 【详解】（1）解：降价6元， 每天多卖12件， 每天的销售量为件， 故答案为：32； （2）解：设每件T恤衫降价元， 由题意可得：， 解得：或， 又∵尽可能让利于顾客， ， ∴每件T恤衫的销售价应该定为80元． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 4．（23-24八年级下·浙江金华·期中）生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． (1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； (2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 (2)该零部件的实际售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【详解】（1）解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． （2）解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 5．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． (1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ (2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)每箱桃子应降价元 (2)平均每天销售桃子盈利不能达到元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元，再根据总利润单件利润销售量，列出方程求解即可； （2）设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元，根据总利润单箱利润销售量，列出方程，根据一元二次方程根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元， 故， 解得，， ∵要尽量减少库存， 故选择降价更多的，即每箱桃子应降价元， （2）解：平均每天销售桃子盈利不能达到元；理由如下： 设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元， 故， 整理得， ∵， 故方程无实数根，即平均每天销售桃子盈利不能达到元． 题型七：图形问题 1. 根据几何图形，设出相关线段长度。 2. 利用几何性质列方程，如面积公式、周长公式、勾股定理等。 3. 常见图形：矩形、正方形、三角形、圆等。 4. 注意图形中的隐含条件，如边长为正数。 5. 解方程后检验是否符合几何条件。 1. 面积公式记错，如矩形面积误用长×宽×2。 2. 忽略边长必须为正数的限制。 3. 图形中的等量关系找不全。 4. 勾股定理应用时，直角边与斜边混淆。 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形， 根据题意得： 故选：B． 2．（25-26九年级上浙江金华·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据，之间的关系，可得出，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解 【详解】解：，， ． 依题意得：， 即． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据题意，设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为，先根据墙的长度为16米，求出，再求出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为， ∵， ∴， 根据题意得，， ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则能建成的饲养室面积最大为平方米． 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设玻璃栈道的宽度是米，则扩建后矩形的长为米，宽为米，可列方程，解方程即可求出玻璃栈道的宽度． 【详解】解：设玻璃栈道的宽度是米， 则扩建后的矩形的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：玻璃栈道的宽度是5米． 故答案为：5． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为__________米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形的特点找到数量关系列方程。设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积是整个地毯面积的，列出方程求解即可． 【详解】解：设条纹的宽度为米， 依题意得 ， 解得：(不符合，舍去)，， 答：配色条纹宽度为米． 题型八：动态几何问题 1. 设运动时间为 ( t )，用含 ( t ) 的代数式表示相关线段长度。 2. 根据运动过程中图形的面积、周长或位置关系列方程。 3. 注意运动过程中图形的变化，分段讨论可能的情况。 4. 利用几何性质（如相似三角形、勾股定理）建立等量关系。 5. 解方程后检验 ( t ) 是否符合运动时间范围。 1. 未考虑运动过程中图形的变化，导致方程漏解。 2. 用 ( t ) 表示线段时，速度与时间的关系错误。 3. 忽略运动范围的限制，得出不符合实际的 ( t ) 值。 4. 多解情况未全面考虑。 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， (1)根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） (2)t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)； (2)1 (3)点D、E运动时，的长不可以是，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，列代数式，勾股定理，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）根据图形面积之间的关系可得的面积是的面积的4倍，求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）利用勾股定理可建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴； （2）解：∵在，，， ∴； ∵的面积等于四边形的面积的， ∴四边形的面积是的面积的3倍， ∴的面积是的面积的4倍， ∴的面积为， ∴， ∴， 解得； （3）解：点D、E运动时，的长不可以是，理由如下： 在中，由勾股定理得， ∴当时，有， 解得， 此时， ∴原方程无解， ∴点D、E运动时，的长不可以是． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，或 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质列方程求解即可； （2）分若点P在边上和上两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质及三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：若点P在边上，，，， ，， ，， （）， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， 解得； 综上所述，当或时为直角三角形； （2）解：若点P在边上，，，， 过点P作于点H， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）； 若点P在边上，，（），（）， 过点P作于点M， ， ， （）， ， 解得，（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使的面积为，且或． 【点睛】本题考查了几何动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据动点的路径分情况讨论及利用方程思想列方程求解是解题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或秒 (3)或或或秒时 【分析】（1）设点移动的时间是，得到，，再由梯形面积公式代值求解得到四边形的面积为定值，即可得证； （2）过点作于点，如图所示，在中，，，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）由题意，分三种情况：；；；分别由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：设点移动的时间是， 则， ， 四边形的面积是， 即四边形的面积为定值， 在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）解：过点作于点，如图所示： ，， 则， 在中，，，若点和点间的距离是，即时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即两点从出发开始到或秒时，点和点间的距离是； （3）解：连接，如图所示： 当点组成的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ；；； 当时，过点作于点，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质得到， ， ，即， 解得，即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ，， 在中，，，时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即当两点从出发开始到或秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ， 在中，，时，由勾股定理可得， ， 即，解得， 即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 综上所述，当两点从出发开始到或或或秒时，点组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查几何综合，涉及梯形面积公式、矩形性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解一元一次方程及解一元二次方程等知识，读懂题意，作出图形，数形结合由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 【答案】(1)t； (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键． （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 故答案为：t，； （2）解：∵， ， ， ， 或 ， ， ． 5．（2020·浙江绍兴·一模）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)为5或7 (2)为或 (3)为4或8 【分析】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间节点． （1）分别用含的代数式表示，的长，利用面积公式列方程求解即可． （2）分别用含的代数式表示，的长，利用勾股定理列方程求解即可． （3）当，P，Q都没有返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示出，的长，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）∵点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，，， ∴， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∴ 整理，得 解得， ∴当为5或7时，的面积等于； （2）根据勾股定理，得 整理，得 解得 故当为或时，的长度等于； （3）①当时， 由题意，得 ， 解得： ②当时，， 由题意，得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时，， 由题意，得， 整理得， ∴ ∴方程无解 综上所述，当为4或8时，的面积等于． 题型九：比赛问题 1. 比赛问题常见于单循环赛、淘汰赛等情境。 2. 单循环赛：( n ) 支队伍参赛，总场数为（每两队赛一场）。 3. 双循环赛：总场数为 ( n(n-1) )（主客场各一场）。 4. 积分问题：胜、负、平对应的积分规则，根据总积分列方程。 5. 设未知数表示胜场数、负场数等，利用总场数、总积分列方程组或一元二次方程。 1. 单循环赛场数公式记错，误写成 ( n(n-1) )。 2. 积分规则理解错误，如胜一场3分、平一场1分、负一场0分混淆。 3. 忽略场数必须为整数的条件。 4. 未考虑比赛场次与队伍数的对应关系。 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）“浙BA城市争霸赛”正如火如荼地举行，为进一步推动体育活动健康发展，我市组织了中学生校园篮球赛．已知参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划安排36场比赛．设共有个队参赛，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，每两个队之间进行一场比赛，总比赛场数为，根据计划安排36场比赛可得方程． 【详解】解：∵共有x个队参赛，每两个队之间比赛一场， ∴总比赛场数为， 又∵计划安排36场比赛， ∴， 即， 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）浙江城市篮球联赛（简称“浙BA”）城市争霸赛的参赛队伍分成A、B两组，且每组队伍数量相同．按照比赛规则，组内比赛时每两支队伍之间需进行两场比赛，A、B两组共需比赛220场组内赛，问共有几支队伍参赛?设共有支队伍参赛，根据题意所列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据分成两组，则每组队伍数量为，每两队之间都赛两场，每小组比赛场次为，根据题意列方程即可解题． 【详解】解：设共有支队伍参赛，每组队伍数量为，每小组比赛场次为， 列方程为，即， 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有___________名学生． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有41名学生． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为_________． 【答案】3 【分析】题目主要考查循环赛问题，理解题意，列出代数式求解是解题关键． 设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场，根据题意，代入计算求解即可． 【详解】解：设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场， ∵比赛结束统计共赛25场， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 此时，选手未参加的比赛场数为场； 当时，，，不符合题意； 故答案为：3． 5．（24-25八年级下·浙江温州·月考）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【答案】(1)15 (2)小江说的有道理，理由见详解； (3)4 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个人需比赛的局数为； （2）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为， 答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去． ∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4． 故答案为：4． 题型十：其它问题 1. 认真审题，理解题意，找出问题中的数量关系。 2. 设未知数，通常设所求量为未知数。 3. 根据等量关系列出方程，可能是一元二次方程。 4. 解方程，并检验解是否符合实际意义。 5. 注意题目中的特殊条件，如整数解、非负解等。 1. 等量关系找不全或找错。 2. 设未知数时未明确含义，导致列式混乱。 3. 解出后未检验合理性。 4. 忽略题目中的隐含条件，如“至少”“最多”等。 1．（2025·浙江台州·一模）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，年内的碳排放量共计2450吨．为求的值，列出如下方程，其中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．根据去年的碳排放量为300吨，从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，年内的碳排放量共计2450吨，列出方程即可． 【详解】解：∵去年的碳排放量为300吨，从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨， ∴今年（第一年）的排放量为：（吨）， 第二年的排放量为：（吨）， …… 第x年的排放量为：（吨）， ∵年内的碳排放量共计2450吨， ∴， 即， 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江·期中）为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据石头从井口落下的距离与时间的关系式列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 故选：C． 3．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键． 根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可． 【详解】解∶设幻方所填数如图所示， ∴，， 由①得， 由② 由得：， 解得：，， 故选：A． 4．（2024·浙江·模拟预测）小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为________． 【答案】10 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，准确列出等式列出关于m的方程，是解题的关键．根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，分别利用两幅图分别列式变形为，，然后得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图， 由第一个图可得，则， 由第二个图可得，则， ∴， 解得：，负值舍去， 故答案为：10． 5．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，上午，一轮船在点处接到警报，台风中心位于轮船正南方向100海里的点处，轮船以10海里/时的速度由西向东航行，台风中心以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属于台风影响区．    (1)若轮船继续向东航行小时至，此时台风中心位于，用含的代数式表示______； (2)若轮船不改变航行速度和方向，求轮船开始受台风影响的时刻． 【答案】(1) (2)轮船开始受台风影响的时刻为 【分析】（1）建立坐标系，得到相应点的坐标，再利用勾股定理列式即可得到结果； （2）令，得到方程，解之，根据开始受台风影响进行取值即可． 【详解】（1）解：建立坐标系如下：    由题意可得：，， 小时后，，， ∴； （2）令， 解得，，（舍去）． 则， ∴轮船开始受台风影响的时刻为． 【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形，一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，读懂开始受台风影响的意义． 1．（25-26九年级上·浙江台州·期中）某地政府通过下调药品价格来解决老百姓看病贵、看病难的问题，某种药品经过连续两次调价，由每盒元下调至元，求平均每次下调的百分率．设平均每次下调百分率为x，根据题意列方程得（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系． 设平均每次下调百分率为x，则每次调价后价格为原价的倍，经过两次调价，列方程求解． 【详解】解：∵初始价格为元，经过两次下调，每次下调率为x， ∴第一次下调后价格为元， 第二次下调后价格为元， 根据题意，下调后价格为元， ∴． 故选：A． 2．（19-20八年级下·浙江湖州·期末）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的几何解法，将方程变形为两数乘积等于常数的形式，构造大正方形，使其面积等于四个矩形面积与中间小正方形的面积之和，据此分析各选项即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： ， 中间小正方形的边长为，其面积为，四个矩形的面积为，大正方形的面积为：， 结合大正方形的面积等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，可得，因此， 故选：C． 3．（23-24八年级下·浙江金华·月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为．则长度为（   ）． A．15 B．10 C．15或10 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设长度为，则，根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设长度为，则，由题意，得：， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：长度为； 故选A． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件25元涨到每件36元，则平均每次涨价的百分率为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每次涨价的百分率为，利用经过两次涨价后的价格原价平均每次涨价的百分率，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设平均每次涨价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 的值为， 即平均每次涨价的百分率为， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期末）AI技术的应用越来越广泛，某AI应用软件2025年2月其点击率达到5.25亿次，2025年4月其点击率达到7.56亿次，设点击率从2月到4月的月平均增长率为，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了增长率问题，关键是用已知的2月份和4月份的点击率列出方程求解． 设点击率从2月到4月的月平均增长率为，根据2月其点击率达到5.25亿次，4月其点击率达到7.56亿次，可列出方程． 【详解】设点击率从2月到4月的月平均增长率为， 由题意得：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，图形的剪拼，根据四块图形的特点，找出可以重合的边，拼接出正方形并得到正方形的边长是解题的关键． 观察图形可得，两个直角梯形的斜腰重合在一起可以组成一个长为，宽为的矩形，两个直角三角形的斜边重合可以组成一个长为，宽为的矩形，两个矩形放在一起恰好可以组成一个边长为的正方形，然后根据剪拼前后两个图形的面积不变列式求解即可． 【详解】解：如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为， 根据剪拼前后图形的面积相等可得，， 由题意得，， 故可得：， 整理得，， 解得：（舍去）． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．当的面积等于四边形的面积的时，的值为_________秒． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及到了一元二次方程的求解，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．根据路程速度时间，表示出，，，根据面积等于面积的，可得面积等于面积的列方程求解即可． 【详解】解：根据路程速度时间得：，， 则， 的面积等于四边形的面积的， 面积等于面积的， ， 即， 解得． 当秒时，的面积等于四边形的面积的． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图，要在一块长为30米，宽为24米的长方形绿地上修建“两纵两横”四条宽度相等的小路，若剩余绿地面积为520平方米，求小路宽度． 小明的解法是设小路宽度为x米，列出两个方程： ①，得到； ②，得到． (1)请分别判断小明所列的两个方程是否正确？ (2)请推测小路的宽度（要求写出推理过程） 【答案】(1)小明所列的两个方程都不正确 (2)小路的宽度为2米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为米，宽为米，即可解决问题； （2）设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为米，宽为米，根据剩余绿地面积为520平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为米，宽为米， 由题意得：， 小明所列的两个方程都不正确； （2）解：设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽度为2米． 9．（23-24八年级下·浙江温州·期中）近日，温州朔门古港遗址成功入选“2022年度全国十大考古新发现”，此次挖掘出的龙泉窑印证了温州港是海上丝绸之路的重要节点．请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，请在保证日销售利润不低于3030元时，设计一种方案并完成表格． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 【答案】任务1∶120元；任务2：150元；任务3：见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． 任务1：设每只龙泉青瓷茶杯的进价为a元，根据题意，列出方程，即可求解； 任务2：根据题意，列出方程，即可求解； 任务3：设所获利润为w元，根据题意列出w关于x的函数关系式，求出当时，根据保证日销售利润不低于3030元，可得到m的取值范围，即可求解． 【详解】解：任务1：设每只龙泉青瓷茶杯的进价为a元，根据题意得：， 解得：， 即每只龙泉青瓷茶杯的进价为120元； 任务2：根据题意得：， 整理得： 解得：， ∵每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售， 所以该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：设所获利润为w元，根据题意得： 当时，， ∵保证日销售利润不低于3030元， ∴， 解得：， ∵且m为整数， ∴m取2， 当时，日捐款总额为元； 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 2 160 10．（25-26八年级上·浙江·假期作业）根据题意列式： (1)姜师傅将10000元存入银行，已知一年期的利率为x； ①若一年到期后姜师傅一共获得本息共10150元，据此可列式 ； ②若姜师傅将一年后到期的本息存入银行再存一年，第三年获得本息共10506元，据此可列式为 ． (2)某公司售卖的学习机每月批发出1200台，每台利润200元．经市场调查发现，每降价1元，销售量将增加10台，如果该公司要实现月利润252000元，设公司降价x元，可据此列式为 ． (3)如图是长方形草坪，已知长16米，宽10米．现要在草坪内设计两条纵横交错的步道，步道宽x米，设计后草地总面积为135平方米．据此可列式为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）利息本金利率，本息利息本金本金利率，由此列方程即可； （2）若设公司降价了x元，则可以多销售台．因此新的每台利润为元，月销售共台，两者相乘为月利润，由此列方程即可； （3）（长方形的长）（长方形的宽）草地面积，由此列方程即可． 【详解】（1）解：①若一年到期后姜师傅一共获得本息共10150元，据此可列式， ②若姜师傅将一年后到期的本息存入银行再存一年，第三年获得本息共10506元，据此可列式为：，即， 故答案为：，． （2）解：设公司降价x元，可据此列式为 ， 故答案为： ； （3）解： 已知长16米，宽10米．现要在草坪内设计两条纵横交错的步道，步道宽x米，设计后草地总面积为135平方米．据此可列式为． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $