精品解析：2026年河南平顶山市鲁山县第六教研区一模数学试题

2026年中招学科第一次调研考试试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点 P 表示的数可能是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的位置，进行判断即可. 【详解】解：设点表示的数为， 由图可知：， ∴数轴上点 P 表示的数可能是. 2. 如图为一个3D打印的实体零件模型，该零件模型的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，进行判断即可. 【详解】解：该零件模型的俯视图为： 3. 中原养蚕织绸技艺是河南省平顶山市鲁山县传统丝织技艺，被列入河南省非物质文化遗产名录．某蚕丝的直径大约是，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：. 4. 如图，直线与交于点， ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可求得，结合，即可求得答案． 【详解】因为，， 所以． 因为 ， 所以． 因为， 所以 ． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的乘法与除法，根据整式乘除运算的法则逐项判断即可． 【详解】A、，计算错误，该选项不符合题意； B、，计算正确，该选项符合题意； C、，计算错误，该选项不符合题意； D、，计算错误，该选项不符合题意． 故选：B 6. 2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列表法得到所有等可能的抽取结果，再找出符合题意的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片分别记为． A B C D A —— A,B A,C A,D B B,A —— B,C B,D C C,A C,B —— C,D D D,A D,B D,C —— ∵从四张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果共12种，其中恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的结果有2种． ∴恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为． 故选：C． 7. 以点O为圆心的量角器与直角三角尺按如图所示的方式摆放，，点 D在 上，若点 D 所对应的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据量角器得到，再确定点C在该量角器所在的圆上，然后根据圆周角定理得到，据此可得答案． 【详解】解：连接， ∵量角器上点D所对应的读数为， ∴， ∴， ∵以点O为圆心的量角器与直角三角尺按如图所示的方式摆放，， ∴点C在该量角器所在的圆上， ∴． 8. 对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．已知实数对的偏左数 偏右数，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意可列出一元一次不等式组，求解即可． 【详解】根据题意，得 解不等式，得 ． 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知 ，，将 沿翻折得到交于点 F，则点 F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，解直角三角形求出， ，结合翻折的性质可求出 ，过F作于H，并反向延长交于H，根据矩形的判定与性质求出，证明，求出，则，根据待定系数法求出直线解析式为 ，然后把代入 ，求出x的值即可． 【详解】解：∵的边在x轴上，， ∴ ，， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ， ∵翻折， ∴， ∴ ， 过F作于G，并反向延长交于H， ∵ ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为，将代入得， 则， 解得， ∴ ， 当时，， 解得， ∴． 10. 学校为防控流感病毒，用过氧乙酸溶液对教室内的空气进行熏蒸，过氧乙酸气体在空气中的浓度必须大于才能达到熏蒸消毒要求．王林为测出教室内过氧乙酸气体的浓度，设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”，图1是其简化的工作电路图，图2为过氧乙酸气体传感器 (Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（）变化的关系图象，则下面说法错误的是（ ） A. 未进行熏蒸时，传感器的阻值为Ω B. 传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度的增大而减小 C. 若过氧乙酸气体浓度不低于，则传感器的阻值不低于Ω D. 若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小 Ω 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象，根据函数的图象逐项分析即可． 【详解】A、未进行熏蒸时，过氧乙酸气体浓度为，传感器的阻值为Ω，说法正确，该选项不符合题意； B、观察函数图象可知，随着过氧乙酸气体浓度的增大，传感器的阻值逐渐减小，说法正确，该选项不符合题意； C、若过氧乙酸气体浓度不低于0.3，则传感器的阻值不高于10Ω，说法错误，该选项符合题意； D、过氧乙酸气体浓度为和时，传感器的阻值分别为Ω和Ω，所以，若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小 Ω，说法正确，该选项不符合题意． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． ∴符合题意. 12. 对甲、乙两名运动员进行12次跑步心率监测，两名运动员的心率平均值均为170次/分，方差分别为 则心率数据更稳定的运动员是____________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 甲 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，数据越稳定，只需比较两名运动员心率方差的大小即可判断. 【详解】由题意可知，两名运动员心率平均值相等，方差，， ，即. ∴心率数据更稳定的运动员是甲. 13. 若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程整理为一般式得， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得 ． 14. 如图，在 中，，，D是上一点，以为直径作，交于点E，过点 E 作的切线，交于点 F．若，，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，可得 是等边三角形，求出，过点分别作 的垂线，垂足分别为，则，则，，根据阴影部分面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵是的切线， ∴ ， 又，， ∴ ∴ 又∵在 中，， ∴ ∴ 是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， 过点分别作 的垂线，垂足分别为， ∴，则，， ∴阴影部分面积 ． 15. 如图，两张全等的三角形纸片和的顶点B重合，，，将绕点B在平面内旋转，连接 ．在旋转过程中，当是以为直角边的直角三角形时，线段的长为_____________． 【答案】10或 【解析】 【分析】当时，延长交于点，过点作于点，证明出，由，可设，再证明，求出，在中，由勾股定理得，，则，故；当时，延长 交于点，同理可证明：，，得到，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，延长交于点，过点作于点， 则，， 由题意得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴； 当时，延长 交于点， 由题意得 ， 同理可证明：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：当是以为直角边的直角三角形时，线段的长为10或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 随着人工智能技术的迅猛发展， 聊天机器人的智能化水平不断提高，逐渐深入大众生活．有关人员开展了对甲、乙两款 聊天机器人的使用满意度的评分调查（评分为整数，满分分，9分及以上为特别满意），并从中各随机抽取 份数据，进行整理、描述和分析，部分信息如下． ①甲款 聊天机器人评分数据：7，8，7，，7，6，6，8，，9，8，6，8，7，6，8，8，7，8，6． ②乙款 聊天机器人评分条形统计图． ③甲、乙两款 聊天机器人评分统计表． 平均数 众数 中位数 特别满意所占百分比 甲款 a 乙款 8 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中的 （2）你认为哪款 聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由． （3）在此次调查中，各有人对甲、乙两款 聊天机器人进行评分，估计此次调查中对两款 聊天机器人特别满意的总人数． 【答案】（1）8，7.5， （2） 解：乙款 AI 聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 两款机器人平均数和中位数相同，但乙款的众数高于甲款，说明乙款评分整体更集中在高分段；乙款特别满意所占百分比高于甲款，说明更多用户对乙款给出了极高评价； （3）此次调查中对两款 聊天机器人特别满意的总人数是人 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义分别求出，统计乙款9 分及以上的数据个数，利用求百分比的公式计算即可； （2）分别从表格所给的四个方面进行比较分析即可； （3）利用样本中的特别满意的百分比估计总体的百分比，分别求出两款机器人特别满意的人数，然后相加即可． 【小问1详解】 解：甲款 聊天机器人评分数据中出现次数最多的是 8 分，故 ； 乙款 聊天机器人评分数据共 个数据，中位数为第个数的平均数，排序后第 个数分别为 7和8，故； 特别满意为 9 分及以上，乙款共人，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：甲款特别满意人数估计：（人） ， 乙款特别满意人数估计： （人）， 总人数：（人）． 答：此次调查中对两款 聊天机器人特别满意的总人数是人． 18. 如图，在四边形中，，，连接． （1）将四边形翻折，使点A与点C重合，折痕分别与边，交于点E，F，请用无刻度的直尺和圆规作出折痕，连接，（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 解：作图如下： （2） 证明：由翻折可知，折痕是线段的垂直平分线， ∴， ，，， 在和中， ， ∴， ∴ ． 在 和 中， ， ∴， ∴． ∴ ， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）分别以点 、为圆心，大于 的长度为半径画弧，两弧分别交于两侧的两点；过这两点作直线，该直线与交于点，与交于点；连接、，则直线即为所求折痕； （2）由翻折性质知垂直平分，故，，， ．先证 ，得 ；再证 ，得，进而即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 【答案】23m 【解析】 【分析】过点A作 ，延长交于点E，利用三角函数得出，利用坡比的概念，进而即可求解． 【详解】解：过点A作 ，延长交于点E，则四边形 是矩形， ∵的坡度，， ∴设， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 设 ，则， ∴， ∵， ∴，即，解得： 答：松树 的高度约为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q． （1）求反比例函数的表达式． （2）将边上一点E绕点 Q 逆时针旋转，若旋转后的点 恰好落在 的图象上，求点 E 的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求出点C的坐标，根据中点坐标公式求出点Q的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）连接，， ，，，设，则，证明，可得出，，求出，把代入求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形的顶点，， ∴，轴， ∴， 又Q是正方形的中心， ∴，即， ∵反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q ∴， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：连接，， ，，， 设，则 ∵Q是正方形的中心， ∴，，， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵恰好落在 的图象上， ∴， ∴． 21. 2025 年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元． （1）求 A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元． （2）若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A 型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】（1）A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元． （2）购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元． 【解析】 【分析】（1）根据“购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元”列方程组求解； （2）设A型冰箱贴购进a套（a为整数），根据“总费用不超过2600元”列不等式求出a的取值范围，设销售利润为w元，求出，然后根据一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A型冰箱贴购进单价为x元，B型冰箱贴购进单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元； 【小问2详解】 解：设A型冰箱贴购进a套（a为整数），则B型冰箱贴购进套， 根据题意，得， 解得， 又， ∴， ∴， 设销售利润为w元， 根据题意，得， ∵ ， ∴w随a的增大而减小， 又， ∴当 时，w有最大值，最大值为，此时， ∴购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的函数表达式，并求出抛物线的对称轴． （2）若，为抛物线上不同的两点， 且满足，求证： ． （3）将抛物线向右平移t个单位长度，，是平移后抛物线上不同的两点，且总满足 ，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） ，直线 （2） 证明：∵在抛物线 上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入求出a的值即可；把所求表达式转化为顶点式，即可求出抛物线的对称轴； （2）把代入 ，得出 ， ，把 代入并化简得，结合可求出，则，然后把代入 并化简得 ，即可得证； （3）先求出平移后抛物线对称轴为直线 ，然后判断点P在新抛物线的对称轴左侧，再分两种情况讨论：Q在新抛物线的对称轴左侧；Q在新抛物线的对称轴右侧，根据二次函数的增减性和对称轴求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴ ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为 ， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：抛物线 向右平移个单位后，新抛物线的解析式为 ， ∴新抛物线的对称轴为直线 ， ∵ ∴新抛物线开口向上， ∴在新抛物线的对称轴左侧，y随x的增大而减小；在新抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵ ， ， ∴点P在新抛物线的对称轴左侧， 当Q在新抛物线的对称轴左侧时， ∵，是新抛物线上不同的两点，， ∴ ， ∴， 又 ， ∴； 当Q在新抛物线的对称轴右侧时， 关于直线 的对称点为，即， ∵， ∴ ， ∴ 综上，或． 23. 如图，在正方形中，点 P 为线段上一动点，作射线． （1）【问题解决】如图1，若点 P 与线段的中点重合，则 ，线段 与线段的位置关系是 ． （2）【问题探究】如图2，点E在线段上，在点 P 运动过程中，当 时，探究线段 与线段 的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在点 P 运动过程中，E为射线 上一点(不与点B 重合)，且 ，当 时，直接写出的值． 【答案】（1）45， ； （2） 解： ，理由如下： 如图，把绕顺时针旋转得到 ， ∴， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∵点在线段上，且， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，结合等腰三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到 ，证明为等腰直角三角形，可得 ， ，求解 ， ， ，可得 ，进一步可得结论； （3）分两种情况：①记与边交于点，把绕顺时针旋转得到 ，过点C作 ，记与的延长线交于点，把绕顺时针旋转得到 ，过点C作 ，分别求解即可 【小问1详解】 解：∵正方形中， ∴ ，， ∵点 P 与线段的中点重合， ∴ ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①记与边交于点，把绕顺时针旋转得到 ，过点C作 ， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∵， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即； ②记与的延长线交于点，把绕顺时针旋转得到 ，过点C作 ， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即； 综上：的值为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中招学科第一次调研考试试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点 P 表示的数可能是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图为一个3D打印的实体零件模型，该零件模型的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 中原养蚕织绸技艺是河南省平顶山市鲁山县传统丝织技艺，被列入河南省非物质文化遗产名录．某蚕丝的直径大约是，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与交于点， ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 以点O为圆心的量角器与直角三角尺按如图所示的方式摆放，，点 D在 上，若点 D 所对应的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．已知实数对的偏左数 偏右数，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知 ，，将 沿 翻折得到交于点 F，则点 F的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 学校为防控流感病毒，用过氧乙酸溶液对教室内的空气进行熏蒸，过氧乙酸气体在空气中的浓度必须大于才能达到熏蒸消毒要求．王林为测出教室内过氧乙酸气体的浓度，设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”，图1是其简化的工作电路图，图2为过氧乙酸气体传感器 (Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（）变化的关系图象，则下面说法错误的是（ ） A. 未进行熏蒸时，传感器的阻值为Ω B. 传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度的增大而减小 C. 若过氧乙酸气体浓度不低于，则传感器的阻值不低于Ω D. 若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小 Ω 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的值可以是______． 12. 对甲、乙两名运动员进行12次跑步心率监测，两名运动员的心率平均值均为170次/分，方差分别为 则心率数据更稳定的运动员是____________（填“甲”或“乙”）． 13. 若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______． 14. 如图，在 中，，，D是上一点，以为直径作 ，交于点E，过点 E 作 的切线，交于点 F．若，，则图中阴影部分的面积为_____________． 15. 如图，两张全等的三角形纸片和的顶点B重合，，，将绕点B在平面内旋转，连接 ．在旋转过程中，当是以为直角边的直角三角形时，线段的长为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简： （1）； （2）． 17. 随着人工智能技术的迅猛发展， 聊天机器人的智能化水平不断提高，逐渐深入大众生活．有关人员开展了对甲、乙两款 聊天机器人的使用满意度的评分调查（评分为整数，满分分，9分及以上为特别满意），并从中各随机抽取 份数据，进行整理、描述和分析，部分信息如下． ①甲款 聊天机器人评分数据：7，8，7，，7，6，6，8，，9，8，6，8，7，6，8，8，7，8，6． ②乙款 聊天机器人评分条形统计图． ③甲、乙两款 聊天机器人评分统计表． 平均数 众数 中位数 特别满意所占百分比 甲款 a 乙款 8 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中的 （2）你认为哪款 聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由． （3）在此次调查中，各有人对甲、乙两款 聊天机器人进行评分，估计此次调查中对两款 聊天机器人特别满意的总人数． 18. 如图，在四边形中，，，连接． （1）将四边形翻折，使点A与点C重合，折痕分别与边，交于点E，F，请用无刻度的直尺和圆规作出折痕，连接，（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 19. 在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q． （1）求反比例函数的表达式． （2）将边上一点E绕点 Q 逆时针旋转，若旋转后的点 恰好落在 的图象上，求点 E 的坐标． 21. 2025 年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元． （1）求 A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元． （2）若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A 型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的函数表达式，并求出抛物线的对称轴． （2）若，为抛物线上不同的两点， 且满足，求证： ． （3）将抛物线向右平移t个单位长度，，是平移后抛物线上不同的两点，且总满足 ，请直接写出t的取值范围． 23. 如图，在正方形 中，点 P 为线段 上一动点，作射线． （1）【问题解决】如图1，若点 P 与线段 的中点重合，则 ，线段 与线段 的位置关系是 ． （2）【问题探究】如图2，点E在线段上，在点 P 运动过程中，当 时，探究线段 与线段 的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在点 P 运动过程中，E为射线 上一点(不与点B 重合)，且 ，当 时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $