专题06解二元一次方程组 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题06 解二元一次方程组 （4知识点+7题型+过关检测） 【题型1 代入消元法】 2 【题型2 加减消元法】 3 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 3 【题型4 构造二元一次方程组求解】 4 【题型5 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 4 【题型6 二元一次方程组的错解复原问题】 5 【题型7 方程组的同解问题】 5 · 掌握核心解法：理解消元的核心思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法两种基础解法，明确两种方法的适用场景和解题步骤，能规范解普通二元一次方程组。 · 突破特殊题型：学会观察方程组结构，掌握整体代入、整体加减、简化系数等特殊解法，快速解决复杂或系数特殊的方程组，提升解题效率。 · 提升参数运算能力：能根据方程组的解、错解、同解等条件，逆向构造方程组或求参数值，熟练掌握逆向推导和代入求值的代数技巧。03 知识•梳理 知识点1：消元思想 解二元一次方程组的核心是消元，即通过一定的方法，消去其中一个未知数，把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，先求出一个未知数的值，再回代求出另一个未知数的值，最终得到方程组的解。 知识点2：代入消元法 1. 适用场景 方程组中有一个未知数的系数为1或-1，或者某个方程容易用含一个未知数的式子表示另一个未知数。 2. 标准解题步骤（四步走） 1. 变：从方程组中选一个系数简单的方程，变形为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数（如 y = ax + b）； 2. 代：将变形后的式子代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3. 求：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值，最终写出方程组的解。 知识点3：加减消元法 1. 适用场景 方程组中同一个未知数的系数互为相反数、相等，或系数成整数倍，适合通过加减直接消元。 2. 标准解题步骤（四步走） 1. 化：将方程组变形，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； 2. 加减：把两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3. 求：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 回代：将求出的值代入原方程组中较简单的方程，求出另一个未知数的值，写出方程组的解。 解法选择口诀：系数为1用代入，系数成倍用加减，同号相减异号加，消元思路不复杂 知识点4：解的检验 求出方程组的解后，可将解代入原方程组的两个方程，若左右两边都相等，说明解正确；若有一个方程不相等，说明计算出错，需重新计算。 04 题型•汇总 【题型1 代入消元法】 解题思路： 优先找系数为±1的方程，先变形代入，消元后解一元一次方程，再回代求另一个未知数，全程注意移项变号，避免计算失误，步骤书写规范。 【典例1】．关于x，y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．解方程： (1)； (2)． 跟随训练1-2．解方程组：． 【题型2 加减消元法】 解题思路： 先统一未知数系数，让某一未知数系数相等或相反，再加减消元，系数相等就相减，系数相反就相加，计算时注意符号，尤其是减法消元时，每一项都要变号。 【典例2】．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．解二元一次方程组 (1) (2) 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 解题思路: 针对系数复杂、含整体结构的方程组，不采用常规消元，用整体代入法、整体加减法、简化系数法，减少计算量，避免繁琐运算。 【典例3】．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 跟随训练3-2．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【题型4 构造二元一次方程组求解】 解题思路: 根据题目给出的非方程组条件，挖掘等量关系，逆向列出二元一次方程组，再用常规消元法求解，常见条件：绝对值与平方和为0、同类项、代数式值相等。 【典例4】．在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 跟随训练4-2．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 【题型5 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 解题思路: 将方程组的解直接代入原方程组，得到关于参数的一元一次方程或二元一次方程组，再求解参数值，注意参数当作常数处理，运算细心不混淆未知数和参数。 【典例5】．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 跟随训练5-1．方程组的解中，的值比的值大1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 跟随训练5-2．若关于的方程组的解满足，则________． 【题型6 二元一次方程组的错解复原问题】 解题思路: 错解问题核心：看错一个方程的系数，另一个方程不受影响，将错解代入看错的方程，正确解代入正确的方程，分别得到方程，联立求出原系数或原方程组。 【典例6】．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 跟随训练6-1．甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 跟随训练6-2．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【题型7 方程组的同解问题】 解题思路: 同解即两个方程组的解完全相同，先把两个方程组中不含参数的方程联立，求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，求出参数值，核心是找公共解。 【典例7】．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 跟随训练7-1．已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 跟随训练7-2．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 05 过关•检测 1．用代入法解关于的方程组时，代入正确的是（    ） A． B． C． D． 2．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y得，从而求解，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．整体思想 3．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．若二元一次方程组的解满足方程，则为（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 5．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．已知x，y满足方程组，则的值为________． 8．下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 9．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组．若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组，则的值为______． 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 11．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 12．对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 13．解下列方程组： (1) (2) 14．延时课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为_____，的值为_____． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 15．对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 16．【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 17．若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________； (2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值； (3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解二元一次方程组 （4知识点+7题型+过关检测） 【题型1 代入消元法】 2 【题型2 加减消元法】 4 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 6 【题型4 构造二元一次方程组求解】 7 【题型5 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 9 【题型6 二元一次方程组的错解复原问题】 10 【题型7 方程组的同解问题】 13 · 掌握核心解法：理解消元的核心思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法两种基础解法，明确两种方法的适用场景和解题步骤，能规范解普通二元一次方程组。 · 突破特殊题型：学会观察方程组结构，掌握整体代入、整体加减、简化系数等特殊解法，快速解决复杂或系数特殊的方程组，提升解题效率。 · 提升参数运算能力：能根据方程组的解、错解、同解等条件，逆向构造方程组或求参数值，熟练掌握逆向推导和代入求值的代数技巧。03 知识•梳理 知识点1：消元思想 解二元一次方程组的核心是消元，即通过一定的方法，消去其中一个未知数，把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，先求出一个未知数的值，再回代求出另一个未知数的值，最终得到方程组的解。 知识点2：代入消元法 1. 适用场景 方程组中有一个未知数的系数为1或-1，或者某个方程容易用含一个未知数的式子表示另一个未知数。 2. 标准解题步骤（四步走） 1. 变：从方程组中选一个系数简单的方程，变形为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数（如 y = ax + b）； 2. 代：将变形后的式子代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3. 求：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值，最终写出方程组的解。 知识点3：加减消元法 1. 适用场景 方程组中同一个未知数的系数互为相反数、相等，或系数成整数倍，适合通过加减直接消元。 2. 标准解题步骤（四步走） 1. 化：将方程组变形，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； 2. 加减：把两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3. 求：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 回代：将求出的值代入原方程组中较简单的方程，求出另一个未知数的值，写出方程组的解。 解法选择口诀：系数为1用代入，系数成倍用加减，同号相减异号加，消元思路不复杂 知识点4：解的检验 求出方程组的解后，可将解代入原方程组的两个方程，若左右两边都相等，说明解正确；若有一个方程不相等，说明计算出错，需重新计算。 04 题型•汇总 【题型1 代入消元法】 解题思路： 优先找系数为±1的方程，先变形代入，消元后解一元一次方程，再回代求另一个未知数，全程注意移项变号，避免计算失误，步骤书写规范。 【典例1】．关于x，y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，只需把第一个方程中的表达式代入第二个方程，去括号整理即可得到对应方程。 【详解】解： ∵用代入法消去， ∴把①代入②，得， 去括号得：． 跟随训练1-1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组化简，得， ①②得，， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 跟随训练1-2．解方程组：． 【答案】 【分析】本题可采用代入消元法或加减消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这里选择代入消元法：先由一个方程变形得到用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程消去一个未知数，求出一个未知数的值后，回代求出另一个未知数的值． 【详解】解：， 由①得， 将③代入②得， 解得， 将 代入③得 ， 所以方程组的解为． 【题型2 加减消元法】 解题思路： 先统一未知数系数，让某一未知数系数相等或相反，再加减消元，系数相等就相减，系数相反就相加，计算时注意符号，尤其是减法消元时，每一项都要变号。 【典例2】．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每个选项的方法计算出来即可判断． 【详解】解：A、得，，不符合题意，该选项错误； B、得，，不符合题意，该选项错误； C、得，，符合题意，该选项正确； D、得，，不符合题意，该选项错误． 跟随训练2-1．二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接通过消元法解二元一次方程组求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得： 把代入得：， 解得： 原方程组的解为． 跟随训练2-2．解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）直接运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：． 将代入②，得， 解得：． 所以原方程组的解为． （2）解： 得：③， 得：， 解得：， 将代入①，得， 解得：． 所以原方程组的解为． 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 解题思路: 针对系数复杂、含整体结构的方程组，不采用常规消元，用整体代入法、整体加减法、简化系数法，减少计算量，避免繁琐运算。 【典例3】．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题运用整体换元的思想，根据二元一次方程组解的定义，将所求方程组中的整体部分对应原方程组的未知数，再根据原方程组的已知解列方程求解即可． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， ∵原方程组 的解为 ， ∴对于方程组，其解为， ∴， 解第一个方程得：，即， 解第二个方程得：， ∴所求方程组的解为 跟随训练3-1．已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体思想，掌握通过方程组中方程的直接相减，快速得到目标式子的值是解题的关键． 通过两方程相减可直接得到的值． 【详解】解：∵方程组， ∴， 即． 故选：D． 跟随训练3-2．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【详解】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 【题型4 构造二元一次方程组求解】 解题思路: 根据题目给出的非方程组条件，挖掘等量关系，逆向列出二元一次方程组，再用常规消元法求解，常见条件：绝对值与平方和为0、同类项、代数式值相等。 【典例4】．在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知两组，的对应值代入等式，得到关于，的二元一次方程组，解方程组求出，的值，即可得到所求等式． 【详解】解：当时，；当时，， 代入，得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 把，代入得． 跟随训练4-1．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 跟随训练4-2．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 【题型5 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 解题思路: 将方程组的解直接代入原方程组，得到关于参数的一元一次方程或二元一次方程组，再求解参数值，注意参数当作常数处理，运算细心不混淆未知数和参数。 【典例5】．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 跟随训练5-1．方程组的解中，的值比的值大1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意得到x与y的关系，联立不含k的方程求出的值，再代入含k的方程求解即可． 【详解】解：∵方程组的解中，x的值比y的值大1， ∴， 联立得， 解得， 把代入中， 得 解得． 跟随训练5-2．若关于的方程组的解满足，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，将方程组中的两个方程相减，得到关于的表达式，再根据已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：， ，得， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型6 二元一次方程组的错解复原问题】 解题思路: 错解问题核心：看错一个方程的系数，另一个方程不受影响，将错解代入看错的方程，正确解代入正确的方程，分别得到方程，联立求出原系数或原方程组。 【典例6】．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 跟随训练6-1．甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 【答案】 【分析】甲的正确解满足原方程组，可先求出的值，乙仅抄错，其解满足方程组中第一个方程，代入第一个方程，得到关于、的二元一次方程组，求解得到、后，计算即可． 【详解】解：把代入，得， 解得； 把代入，得， ∴，解得， ∴． 跟随训练6-2．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【详解】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 【题型7 方程组的同解问题】 解题思路: 同解即两个方程组的解完全相同，先把两个方程组中不含参数的方程联立，求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，求出参数值，核心是找公共解。 【典例7】．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 跟随训练7-1．已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含与的方程形成新的方程组，求解新方程组得到与的值，代入剩下的方程求出与的值，最后代入求解即可． 【详解】解：联立得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 将代入得， 将代入得， 联立得， 解得：，， 则． 跟随训练7-2．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 05 过关•检测 1．用代入法解关于的方程组时，代入正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将第一个方程中x的表达式代入第二个方程即可得到正确结果． 【详解】解： 将①代入②可得 ． 2．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y得，从而求解，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．整体思想 【答案】A 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的过程，判断对应的数学思想即可． 【详解】解：∵解二元一次方程组时，通过代入消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，将未知问题转化为已经掌握的已知问题， ∴这种解法体现的数学思想是转化思想． 3．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由方程组的解为，得，然后解方程组即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 解得：， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 4．若二元一次方程组的解满足方程，则为（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】C 【分析】根据加减消元法，可知的值即可求解． 【详解】解：， 将得：， ， 则， ， 则， ∴ 5．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据等式的性质和四位同学的求解过程逐步检查即可． 【详解】解：由①得，显然甲同学正确 将③代入②得，显然乙同学正确 去分母得，显然丙同学错误， 由解得，代入③，得，显然丁同学正确， 故解题中出现错误的同学是丙， 故选：C． 6．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 7．已知x，y满足方程组，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，可利用整体思想计算，不需要分别求出x，y的值，将两个方程相加整理即可得到结果． 【详解】解：依题意，， 则，得， 等式两边同时除以，得． 8．下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 【答案】 【分析】先将表格中两组x，y的值代入二元一次方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组得到a，b的值，确定原方程，再将代入原方程，即可求出表中“？”表示的数． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， 因此原二元一次方程为， 当时，代入得， 解得． 即表中“？”表示的数为． 9．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组．若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组，则的值为______． 【答案】或 【分析】先根据题意得，求出或，再分别代入，可求出，的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组都是“郡一”方程组， ， 则有， 解得或， 把代入得， ， 为任意无理数， ， 解得， ； 把代入得， ， 为任意无理数， ， 解得， ． 综上所述，的值为或． 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 【答案】 【分析】数形结合得到，利用消元法消掉即可得到答案． 【详解】解：图2弦图是由八个全等的直角三角形拼接而成，令其中一个直角三角形的面积为，则 ， ， 由①-②得． 11．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】题干已知的解，得到，然后将代入第二个方程组，再求解第二个方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 即， 所以可变形为， 得，， 解得：， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 12．对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，列出关于常数、的二元一次方程组，解方程组得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知条件得， 解得， 则． 13．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）解：， 得：， 把代入①得：， 则方程组的解为． 14．延时课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为_____，的值为_____． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把方程①＋②，利用整体未知数再建立一元一次方程即可． 【详解】（1）解： 得到， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ 故答案为： （2）， ①＋②得到， 即， ∵③， ∴， 解得：． 15．对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 16．【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程组整体换元法，熟练掌握该方法是解题的关键． （1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 17．若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________； (2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值； (3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入求出k的值即可； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $