第一章三角形的证明及其运用 单元练习卷-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其运用 单元练习卷 一、单选题 1．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 3．如图，在中，，将该三角形沿着折痕l折叠，使边落在边上，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，点分别在上，且，点P为上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 8．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为____________． 10．如图，一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为8米，则的长为______米． 11．如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 12．如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是___________．（用含代数式表示） 13．如图，点E在等边的边上，，射线于点B，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为_______． 三、解答题 14．如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数） 15．如图，在与中，，，求证：．    16．如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 17．如图，已知平分，，，点E，D分别为垂足，． 求证：． 18．（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； （2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由； （3）【生活应用】校园广场的景观规划： 如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角． 【详解】解：∵， ∴为斜边，且对边是， ∴． 故选A． 3．D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三线合一定理，根据折叠的性质可判断A、B，再由三线合一定理可判断C；根据现有条件无法得到，则可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， 根据现有条件无法得到， 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案. 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C. 6．B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小的问题，等边三角形的判定和性质，作点M关于直线的对称点，连接，得到，证明为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 即的最小值为6； 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：C 8．B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 根据题意，可证，得到，再根据三角形外角性质计算即可． 【详解】等边中，， 又， ， ． ． 故选：B． 9． 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据题意可得，由角平分线的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 平分，，， ， 即点到的距离为， 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查了30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，米， ∵一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角， ∴（米）， 故答案为：4． 11． 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ， 是等边三角形， ，， 平分，， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为． 13．16 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形30度所对的直角边是斜边的一半等内容，作E关于直线的对称点，连接时最小，此时也是最小，再求解即可． 【详解】解：作E关于直线的对称点，连接则， 当、P、F三点共线时取等， 而时最小，此时也是最小， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 14．在该空地上种植草皮大约需要元 【分析】本题考查勾股定理的应用，关键是直角三角形性质和勾股定理逆定理． 利用直角三角形性质求出和，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，，∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，∴， ∴， ∴种植草皮所需金额为：（元）． 答：在该空地上种植草皮大约需要元． 15．见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据直角三角形中斜边直角边判定，由全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明：在与中，， ， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和即可证明结论； （2）求出的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案； （3）根据（2）所求，结合等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴． 17．见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． 利用角平分线的性质得到，然后证明，从而得到． 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18．（1）；（2），详见解析；（3）为直角三角形，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据证明，则可得，，进而可得． （2）由，可得．根据可得，则可得，由，可得，进而可得； （3）过点作，交的延长线于点，由（1）结论可得，，进而可得，，又由，，可得，进而可得，符合要求． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2），理由如下， ∵，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）为直角三角形，理由如下： 过点作，交的延长线于点， ∴， 又∵，， 同（1）可得， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴符合要求，是直角三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $