专题(一)角平分线的相关计算 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题(一)角平分线的相关计算 类型1 角平分线遇垂直 1.[2025陕西西安期中]如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为 F,点E,G分别在边AB,AC 上且 DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和40,则△EDF 的面积为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.[2025江西宜春期末]如图,OE平分∠AOB,点 F在OE上,且FA⊥OA,FD⊥OB,垂足分别为A,D,点C 在OA 上,连接FC,FB,且FC=FB,判断OB-OC与AC的数量关系 . 3. [2025 北京朝阳区期中]如图,在△ABC 中,∠ACB=60°,AG平分∠BAC 交 BC 于点 G,BD 平分∠ABC 交AC于点D,AG,BD 相交于点 F,BE⊥AG交AG 的延长线于点E,连接CE. (1)若∠BAD=70°,求∠EBC 的度数; (2)试判断BE=CE 是否成立，并说明理由. 类型2 角平分线与平行线相结合 4.[2025 江苏扬州期中]如图,点I为△ABC三个内角的平分线的交点，AB=4，AC=3,BC=2,将∠ACB 平移使其顶点与Ⅰ重合，则图中阴影部分的周长为 . 5.[2024江苏扬州期中]在△ABC中,AD是△ABC的角平分线. (1)如图(1),过C作CE∥AD 交 BA 的延长线于点 E,若F为CE的中点,连接AF,求证:AF⊥AD; (2)如图(2),M 为BC 的中点,过M 作 MN∥AD 交AC 于点N,交BA 的延长线于H,若AB=8,AC=14,求NC的长. 类型3 利用角平分线截长补短 6.[2025 广东汕头月考]如图,△ABC 中,∠B=2∠A,∠ACB 的平分线 CD 交AB 于点D.已知AC=16,BC=9,则BD的长为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 7.[2025安徽马鞍山期中]在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图(1),在四边形ABCD 中,E 是边 CD的中点,AE 是∠BAD的平分线,AD∥BC,求证:AB=AD+BC; 小聪同学发现以下两种方法： 方法1:如图(2),延长AE,BC交于点 F; 方法2:如图(3),在AB上取一点G,使AG=AD,连接EG,CG. (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图(4),在四边形ABCD 中,AE 是∠BAD 的平分线,E 是边CD 的中点， 求证:CB=CE. 类型4 双角平分线 8.[2025广东广州月考]如图,在△ABC 中,∠A=84°,点 O 是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,点 P 是∠BOC 和∠OCB的平分线的交点.若∠P=100°,则∠ACB 的度数是 ( ) A.42° B.60° C.56° D.65° 9.[2025江西南昌月考]如图,点F,C在AN上,点 B,E在AM 上,EG,FG分别是∠MEF 和∠NFE 的平分线,交点是G,BP,CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的平分线,交点是 P.若∠G=69°,则∠P= . 10.[2025辽宁抚顺月考，难]综合与探究：小明在学习中遇到这样一个问题：已知∠MON=90°，点A，B分别在OM，ON上运动(不与点O重合). (1)探究与发现:如图(1),若BC是∠ABN的平分线,BC 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点 D. ①若∠BAO=70°,则∠D= °; ②∠D 的度数是否随A，B的运动而发生变化?并说明理由. (2)拓展延伸:如图(2),若 BC 的反向延长线与AD 交于点 D，求∠D 的度数. (3)[难]在图(1)的基础上,将“∠MON=90°”改为“∠MON=α”,其余条件不变,随着点A,B 的运动(如图(3)),∠D= (用含α的代数式表示). 1.B 2. OB-OC=2AC 【解析】∵OE 平分∠AOB,FA⊥OA,FD⊥OB,∴∠AOF=∠DOF,∠FAC= ∠FDB = 90°, FA = FD. 在△FAO 和 △FDO 中, ∴△FAO≌△FDO(AAS),∴ OA = OD. 在 Rt△FAC 和 Rt△FDB 中, ∴Rt△FAC≌Rt△FDB(HL),∴AC=BD,∴OA=OD=OB-BD=OB-AC.∵OC=OA-AC,∴OC=(OB-AC)-AC=OB-2AC,∴OB-OC=2AC. 3.【解】(1)∵∠ACB=60°,∠BAD=70°, ∵AG平分∠BAC,BD平分∠ABC, , ∴ , (2)不成立.理由如下:如图,延长BE,AC 交于点 H. ∵AG平分 在△ABE和△AHE中, ∴△ABE≌△AHE(ASA),∴ BE=HE. 假设BE=CE,则BE=HE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∠ECH=∠EHC, ∴∠BCH=∠BCE+∠HCE=∠EBC+∠EHC. 这与已知条件 矛盾， ∴假设不成立，即.BE=CE不成立. 4.4 【解析】如图,连接AI,BI.设 平移后两边与AB分别交于点D，E.∵点I为△ABC 三个内角的平分线的交点，∴AI平分 由平移得AC∥ 同理可得 的周长为DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,，即图中阴影部分的周长为4.故答案为4. 5.(1)【证明】如图(1).∵AD为△ABC的角平分线, ∴∠1=∠2. ∵CE∥AD,∴∠1=∠E,∠2=∠3,∴∠E=∠3, ∴AC=AE. ∵F为EC的中点,∴AF⊥EC. ∵AD∥EC,∴∠AFE=∠FAD=90°,∴AF⊥AD. (2)【解】如图(2),过B作BK∥AC交NM的延长线于点K,∵∠3=∠C,∠K=∠4. ∵M为BC的中点,∴BM=CM. 在△BKM和△CNM中, ∵.△BKM≌△CNM(AAS),∴BK=CN. . MN∥AD,∴∠1=∠H,∠2=∠4=∠5. ∵AD 是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2, ∴∠H=∠5=∠K,∴AH=AN,BH=BK. 设CN=x,则BK=x,AH=AN=AC-CN=14-x,∴BH=AB+AH=8+14-x=22-x,∵22-x=x,解得x=11,∴CN=11. 6. B 【解析】如图,在CA上截取 CN=CB,连接DN.∵ CD 平分∠ACB,∴ ∠BCD = ∠NCD. 又∵ CD = CD,∴ △CBD ≌△CND(SAS),∴ BD=ND,∠B=∠CND.∵ BC=9,AC=16,∴CN=9,AN=AC-CN=7.∵ ∠CND=∠NDA+∠A,∴ ∠B=∠NDA+∠A.∵∠B=2∠A,∴∠A=∠NDA,∴ND=NA,.. BD=AN=7.故选B. 7.(1)【解】选择方法一.延长AE,BC 交于点 F. ∵E是边CD的中点,∴DE=CE. ∵AD∥BC,∴∠DAE=∠CFE. 又∵∠DEA=∠CEF,∴△DAE≌△CFE(AAS),.. AD=CF. ∵AE是∠BAD的平分线,∴∠BAF=∠DAE=∠CFE, .. AB=BF=BC+CF=BC+AD. 选择方法二.在AB上取一点G,使AG=AD,连接EG,CG. ∵AE 是∠BAD的平分线,∴∠BAE=∠DAE. 又∵AD=AG,AE=AE,∴△DAE≌△GAE(SAS), ∴ DE=GE,∠ADE=∠AGE. ∵E是边CD的中点,∴ DE=CE=GE,∴∠ECG=∠EGC. ∵AD∥BC,∴∠ADE+∠ECG+∠BCG=180°. ∵∠AGE+∠EGC+∠BGC=∠ADE+∠ECG+∠BCG=180°, ∵∠BCG=∠BGC,∴BC=BG,.. AB=AG+BG=AD+BC. (2)【证明】如图,过点 C 作AD 的平行线交 AB 于点 K,交AE的延长线于点 H,连接EK,则∠DAE=∠H. 与方法一同理可知△DAE≌△CHE, ∴AE=HE. ∵AE平分 ∴AK=KH, ∴ KE⊥AH,∴ ∠EKH=90°-30°=60°. ∵KH∥AD,∴∠BAD=∠BKH=60°=∠EKH,∠D+∠KCE=180°. 又∵KC=KC,∴△KCE≌△KCB(ASA),∴CB=CE. 8. C【解析】∵OP 平分∠BOC,CP 平分∠BCO,∴∠BOP=∠COP,∠BCP=∠PCO.设∠BCP=∠PCO=x,∠BOP=∠COP=y. : ∠P=100°,∴∠PCO+∠COP=x+y=80°,∴∠OBC=180°-(∠BOC+∠BCO)=180°-(2x+2y)= 180°-160°=20°.∵ BO 平分∠ABC,∴∠ABC=2∠OBC=40°.∵∠A=84°,∴∠ACB=180°-40°-84°=56°.故选C. 9.69°【解析】∵ EG,FG分别是∠MEF 和∠NFE 的平分线, 69°.同理, 故答案为69°. 10.【解】(1)①∵∠BAO=70°,AD平分∠BAO, ∵∠MON=90°,∴∠ABN=∠BAO+∠MON=70°+90°=160°. ∵BC平分 ∵∠D+∠BAD=∠CBA, ∴ ∠D=45°.故答案为45. ②不发生变化.理由如下： ∵AD平分∠BAO,BC平分∠ABN, ∵∠D+∠BAD=∠CBA, ∵∠MON=90°, ∴∠D=45°,∴∠D 的度数不发生变化. (2)∵∠D+∠BAD=∠CBA, ∴ ∠D=∠CBA-∠BAD. ∵∠MON=90°,∴∠D=30°. (3)∵AD平分∠BAO,BC平分∠ABN, ∵∠D+∠BAD=∠CBA, ∵∠MON=α, 故答案为 学科网（北京）股份有限公司 $