专题08 几何最值与动态探究（专题专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 几何最值与动态探究 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新情境 新设问 新考法 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01 最短路径模型 题型02 垂线段最短与定点到直线最值 题型03 圆上动点最值 题型04 折叠中的最值与轨迹 题型05 旋转中的最值 题型06 胡不归模型 题型07 阿氏圆模型 题型08 几何图形面积最值 题型09 动态存在性问题 题型10 轨迹型动态探究 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新情境问题】（考查从实际生活场景 / 图文材料中提取数学信息的能力，及实数运算、几何性质应用、最值求解） 1．（2026·陕西宝鸡·一模）【问题探究】 （）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若，，则的值为___________； （）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，连接，过点作交边于点，求证：； 【问题解决】 （）如图，矩形是某植物园规划的一个花圃，点处有一个凉亭，现要在、边上分别设立游客服务中心、，沿、修建两条互相垂直的普通小路，再沿和铺设两条石板小路，为节约铺设石板小路的费用，要求与的长度之和尽可能的小，已知，米，请你帮助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（）的最小值．（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计） 【新设问问题】（考查对新定义的理解与应用，及平面直角坐标系运算、几何距离计算） 2．（2025·陕西西安·一模）问题提出 （1）如图①，在四边形中，，若，则的度数为______； 问题探究 （2）如图②，在半径为2的扇形中，，P是上的一点，过点P作于点Q，求线段长的最大值； 问题解决 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中，，，，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域面积的最大值． 【新考法问题】（考查圆与三角形综合应用，及勾股定理、圆周角定理、数形结合思想） 3．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离，若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．例如：如图，点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为． (1)图形为线段， ①若图形为线段，则___________，___________； ②点，点，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的取值范围； (2)已知的半径为1，直线，图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，，若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的最小值和对应的的取值范围． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 最短路径模型 1．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在矩形中，，点为边上的动点，连接并延长至点，使，若是的中点，则的最小值为（   ） A．10 B． C． D． 2．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在四边形中，，，M，N分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是 _______． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，点，，连接，，，当最小时，的值为_______． 4．（2025·陕西咸阳·一模）课本再现 （1）如图（）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？请确定奶站的位置并说明理由； 类比思考： （2）如图（），，点在内且，为上一点，为上一点，求周长的最小值； 拓展应用： （3）如图（），四边形是某市一休闲广场，其中，，，，点，，，分别在，，，上，且，现小明从点出发，沿四边形走一圈回到点处，求小明行走的最短路程． 题型02 垂线段最短与定点到直线最值 5．（2025·甘肃武威·一模）如图1，在中，，点从点开始沿向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图2所示，点是函数图象上的最低点，则此时的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·河南郑州·一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 7．（2025·山东泰安·三模）如图，在矩形中，，，点P为对角线上的一个动点（点P不与点A，点C重合），点P关于的对称点为点E，点P关于的对称点为点F，连接，且经过点B，则在点P的运动过程中，线段长度的最小值等于________．    8．（2025·吉林长春·一模）数学兴趣活动课上，小明将等腰的底边与直线重合． (1)如图①，在中，，，点在边所在的直线上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小明发现的最小值是________： (2)为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小明发现，当最短时，如图②，在中，作平分，交于点，点、分别是边、上的动点，连结、，小明尝试探索的最小值． 小明探究的方法如下： 在上截取，使得，连结，易证，从而将转化为，转化到（1）的情况，则可求的最小值； 请将小明的证明过程补充完整： 解：如图，在上截取，使得，连结 ∵平分 ∴ （请补充） (3)解决问题：如图③，在中，，，，点是边上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连结，则线段的最小值为________． 题型03 圆上动点最值 9．（2025年山东省潍坊中考数学三模试题）如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为_________． 10．（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为______，的最小值为______． 11．（2025·湖南·模拟预测）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题： 下面让我们一起尝试去解决： (1)如图1，中，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为________； (2)如图2，在正方形中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是_______； (3)如图3，矩形中，，点E，F分别为边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为多少？ 12．（2025·陕西咸阳·一模）【问题提出】 （1）如图1，为半圆的直径，，且，是半圆上的一个动点，连接，则长的最小值是___________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，且，过点作，且，连接，当长取最小值时，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某物流园区规划了一个正方形的货物分拣区域，其边长米．为了提高货物分拣的效率，安排了两辆自动搬运车，分别沿着边和行驶，设两辆自动搬运车的位置分别为点，且在搬运过程中始终保持．在货物分拣过程中，需要在与的交点处设置一个监控装置，以便对货物分拣过程进行实时监控．由于监控装置需要定期进行维护和检查，为了减少维护人员的行走距离，求从固定的维护站点到监控装置位置的最短距离． 题型04 折叠中的最值与轨迹 13．（2025·海南·一模）如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 15．（2025·河南漯河·模拟预测）在某校社团活动课上，班长领着同学们进行《图形的折叠》活动，如图，在一个直角三角形的纸片中，，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，当点落在纸片上时，若，，则的最小值为________，的最大值为________． 16．（2025·广东清远·一模）如图，正方形的边长是是边的中点，是边上的一个动点，将沿着折叠，使得点落在点，连接． (1)点在运动过程中，求的最小值； (2)点在运动过程中，求面积的最小值； (3)当是等腰三角形时，请直接写出的长度． 题型05 旋转中的最值 17．（2025·江苏徐州·二模）如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在中，，绕点旋转至的位置，点、分别为、的中点，若，则的最大值和最小值分别为（   ） A．3 B． C． D． 19．（2025·江苏徐州·二模）菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是___________． 20．（2025·安徽蚌埠·二模）如图，中，， ，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则： （1）的最小值为________ （2）周长的最小值为________． 21．（2025·江苏淮安·二模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中，等腰顶点D在边上，边经过点C，DE与交于点M． (1)若D为的中点． ①_____； ②如图2．将绕点D按顺时针方向旋转，直角边交于N，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； ③如图2，若，在绕点D的旋转过程中，求的最小值； (2)如图3，若，在绕点D的旋转过程中，同时改变点D在上位置，的最小值也会发生变化，当_____时，在绕点D的旋转过程中的最小值达到最小，最小值为_____． 题型06 胡不归模型 22．（2025·四川自贡·二模）等腰中，，于，点是线段上一个动点．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 23．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在菱形中，，，E是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点G，交于点F，连接，则的最小值为______． 24．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，，垂足为，为线段上的一动点，连接、．则的最小值为___________． 25．（2025·河北唐山·二模）最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题. (1)如图，在矩形中，，分别为和的中点，连接，为上的一动点.若，，则得最小值为_______. (2)如图1，抛物线与x轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点. ①求抛物线的函数解析式. ②抛物线的对称轴为直线，P为直线上的一动点，求的最小值. ③如图2，为直线上的一点，连接，请直接写出的最小值. 题型07 阿氏圆模型 26．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 27．（2025·广西梧州·二模）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 28．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 题型08 几何图形面积最值 29．（2025·湖北黄石·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为  ________． 30．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E、F分别是边、上的动点，且，则面积的最小值为______． 31．（2025·天津·模拟预测）在中， 则（1）的面积最大值是______； （2）的最大值为______． 32．（2025·吉林长春·三模）【问题呈现】如图①，在等腰直角中，，，点在边上运动（点不与点、重合），将绕点逆时针旋转得到，连接，求面积的最大值． 【问题分析】由旋转可得，因此，进而得到，所以为直角三角形，可以设，用含的式子表示的面积，最后配方可得面积的最大值． 【问题解决】在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）面积的最大值为___________，此时线段的长为___________． 【方法应用】（3）如图②，在矩形中，，，点在边上运动（点不与点重合），将绕点顺时针旋转得到，连接、，则面积的最大值为___________． 33．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ (1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． (2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整： 解：作的外接圆，作于H，设 (3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示） (4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 题型09 动态存在性问题 34．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，对角线．点P从B点出发沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从C出发沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为．连接． (1)当时，求t的值． (2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 35．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，四边形是的内接四边形，延长至点，连接，使得 作 垂足为点F， ， ． (1)作 交 于点G，求的长． (2)求证：是的切线． (3)①求 的长度． ②设三角形的面积为 ，三角形  的面积为 ，是否存在常数，使 成立?若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 37．（2025·广东深圳·三模）如图，在矩形中，点是线段上的一动点，连接．作点关于的对称点．连接并延长，交或于点G，过点作的延长线于点． (1)若的延长线交于点时，求证：； (2)连接交于点，且，． 若的延长线交于点时，如图，若，求的长； 在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 题型10 轨迹型动态探究 38．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 39．（2025·陕西商洛·一模）问题提出 （1）如图①，在等边三角形中，，点为上一动点，求的最小值； 问题解决 （2）如图②，某市计划将四边形修建为一个批发市场，其中E为该批发市场的车辆入口，为货物零售区域，现需在边上的点F处设置一个快递分类装车点，并修建车道用来运送货物．已知．为节约成本，需将车道修建的尽可能短，则的值是否存在最小值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 40．（2025·上海普陀·二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． (1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 莱洛三角形是轴对称图形； 莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为； 莱洛三角形的面积等于． (2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值； (3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹． 41．（2025·广东·一模）综合与实践 【背景】小明家有一块半径为的圆形花园，现拟定在花园内部修建一个矩形菜地． 【方案】如图所示，以该圆形花园的圆心为原点，建立平面直角坐标系，以花园内一个定点木桩为矩形菜地的一个顶点，有两个动顶点落在花园的圆周上，还有一个动顶点D落在花园内部．已知花园圆周上有一个定点水泵（图中未标出）． 【设想】 （1）针对该方案，小彬同学认为该动顶点D的轨迹是一个不完整的圆，请你证明这一个设想； 【讨论】 （2）小明希望矩形菜地的动顶点D离水泵之间的距离越小越好，求的最小值以及此时矩形菜地的面积； 【探究】 （3）①小余同学认为连接线段得到，记其面积为，记矩形菜地的面积为，则存在实数使得成立，求实数的值； ②子莹同学猜想若知道矩形菜地一边的长度为，便可知道矩形菜地的面积，请直接写出与满足的函数关系式（不考虑点在轴上的情况）． 二阶·素养进阶练 1．（22-23九年级下·湖北鄂州·期中）【阅读材料】说明代数式 的几何意义，并求它的最小值． 解：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： 【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和；（填写点B的坐标） 【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________； 【拓展升华】(3)如图，在等腰直角中，，点M，N分别为，上的动点，且，．当的值最小时，求的长． 2．（2026·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图①，，面积为6，则的面积为________； （2）如图②，，点为平面内一点，且满足面积为6，求周长的最小值； 问题解决 （3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园，如图③所示，按规划要求千米，千米，且四边形面积最大．在规划的面积最大的公园内修建一个凉亭，沿着、修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 4．（2025·江苏·三模）在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线于点E，点F为射线上一点． (1)如图1，若点F在边上，，求的长； (2)如图2，若点F在矩形内部，，连接并延长，交边于点H，当时，求的长； (3)如图3，若点F在边上，连接，过点A作于点M，则的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 5．（2026·安徽·一模）综合与实践 【活动背景】数学活动课上，老师问了这样一个问题：同学们，某小区有三栋居民楼，如图1是小区的居民楼分布示意图，其中，，，为了方便小区居民购物，社区有关部门决定在小区内修建一个超市，你们觉得超市应该如何选址呢？ 【方案讨论】 （1）初始方案：有部分同学提出，设超市的选址为点，为了体现公平性，点到三个顶点的距离应该要相等．此时，点应选择在 ① 处（从“内心”，“外心”，“重心”中选择一个填空）． （2）方案改进：很快同学们发现，初始方案的选址方式看起来比较公平，但是总路程较长，于是，同学们想找到一个点，使它到三个顶点的距离之和最小，结合所学知识，同学们进行了以下的探究过程： 探究：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵ ② ， ∴为等边三角形． ∴． 又∵， ∴ ③ ． 点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长． ∴当，，四点在同一直线上时，最小， 即的最小值就是线段的长度． 【问题解决】 (1)请将上述【方案讨论】中横线上所缺内容补充完整：①_________；②_________；③_________； (2)由以上探究过程可知，如图3，我们只要以为边向外作等边三角形，连接，此时点位于线段上，请在此基础上通过尺规作图找出点的位置．（保留作图痕迹） (3)在图3的基础上求出的最小值． 6．（2026·浙江·模拟预测）在菱形中， (1)如图1，求的长． (2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转． 当时，求的值． 如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 真●题●验●证 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 5．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． 6．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为___________． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 8．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 9．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 10．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 11．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 12．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 13．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 几何最值与动态探究 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新情境 新设问 新考法 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01 最短路径模型 题型02 垂线段最短与定点到直线最值 题型03 圆上动点最值 题型04 折叠中的最值与轨迹 题型05 旋转中的最值 题型06 胡不归模型 题型07 阿氏圆模型 题型08 几何图形面积最值 题型09 动态存在性问题 题型10 轨迹型动态探究 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新情境问题】（考查从实际生活场景 / 图文材料中提取数学信息的能力，及实数运算、几何性质应用、最值求解） 1．（2026·陕西宝鸡·一模）【问题探究】 （）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若，，则的值为___________； （）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，连接，过点作交边于点，求证：； 【问题解决】 （）如图，矩形是某植物园规划的一个花圃，点处有一个凉亭，现要在、边上分别设立游客服务中心、，沿、修建两条互相垂直的普通小路，再沿和铺设两条石板小路，为节约铺设石板小路的费用，要求与的长度之和尽可能的小，已知，米，请你帮助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（）的最小值．（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计） 【答案】（）； （）证明见解析； （）两条石板小路长度之和的最小值为米． 【分析】（）结合矩形性质证明，再由相似三角形的性质即可得解； （）将线段沿平移至，交于点，则，结合正方形性质证明，再由全等三角形性质证得； （）将线段沿平移至，则且，结合矩形性质证明，再由相似三角形的性质求出的长；将线段沿平移至，连接，结合平行四边形的判定与性质、勾股定理求出，再由即可得解． 【详解】解：（）四边形为矩形，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （）证明：如图，四边形是正方形，将线段沿平移至，交于点，则， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （）如图，将线段沿平移至，则且， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 米， 将线段沿平移至，连接，则四边形为平行四边形， ，， ， ， 米， 米， 两条石板小路长度之和的最小值为米． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、两点间距离最短，解题关键是利用辅助线构造相似三角形或全等三角形． 【新设问问题】（考查对新定义的理解与应用，及平面直角坐标系运算、几何距离计算） 2．（2025·陕西西安·一模）问题提出 （1）如图①，在四边形中，，若，则的度数为______； 问题探究 （2）如图②，在半径为2的扇形中，，P是上的一点，过点P作于点Q，求线段长的最大值； 问题解决 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中，，，，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据，得点B、C、D在以点A为圆心，以长为半径的圆上，得； （2）当点P位于的中点时，根据，得过点O，证明，可得,根据，得，，为最大值； （3）连接，过点C作于点E，可知点C是在以为圆周角的的一段弧上，在另一侧圆上取点G，连接，得，，是等边三角形，得，当点C在中点时，最大，面积最大，此时直线过点O，取中点F，连接，可得，由，得是等边三角形，可得，，，得，，得绿化区域面积的最大值，． 【详解】解：（1）∵在四边形中，， ∴点B、C、D在以点A为圆心，以长为半径的圆上， ∵， ∴； 故答案为：； （2）当点P位于的中点时，最大， ∵， ∴直线过点O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：连接，过点C作于点E， ∵， ∴点C是在以为圆周角的圆弧上， 设圆心为O，在另一侧圆上取点G，连接， 则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）知，当点C在中点时，最大，面积最大，此时直线过点O， 取中点F，连接， ∵， ∴， ∵ ,∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故绿化区域面积的最大值为． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理，垂径定理推论，圆内接四边形性质，等边三角形判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 【新考法问题】（考查圆与三角形综合应用，及勾股定理、圆周角定理、数形结合思想） 3．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离，若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．例如：如图，点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为． (1)图形为线段， ①若图形为线段，则___________，___________； ②点，点，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的取值范围； (2)已知的半径为1，直线，图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，，若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的最小值和对应的的取值范围． 【答案】(1)①5，5；②2， (2)4，， 【分析】（1）①根据题意，在线段上任意取一点，作，则的长度即为点到线段的距离，当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，然后根据点坐标即可求得答案；在线段上任意取一点，连接，则的长度即为点到线段的距离，根据点、、坐标可知当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，然后求得的长度即可得到答案；②分别讨论当，，，，时，利用数形结合的思想求得的值，即可得出结论； （2）设任意一点，过点作，垂足为，过作，延长交于点，根据题意可知任意一点到直线的最大距离为，以点为圆心，以5为半径画圆，交直线于，，连接交于，连接交于，得到，由图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），分情况讨论点、和点、、之间不同位置关系下的和，从而得到的最小值，然后利用已知两点坐标求距离的公式得到此时的值和的取值范围． 【详解】（1）解：①根据题意，在线段上任意取一点，作，如图所示， 则的长度即为点到线段的距离， 当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”， ，， ， ； 在线段上任意取一点，连接，如图所示， 则的长度即为点到线段的距离， ，，， 当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”， ， ； 故答案为：5，5； ②当时，连接，，作轴于点，如图所示： 点到轴距离为2，即， ， ； 当时，和重合， 此时， 当时，作于点，交于点，如图所示： 由图可知，， ， ，， ，解得； 当时，如图所示： 则； 当时，如图所示： 则， 综上所述，的最小值为2，此时； （2）解： 设任意一点，过点作，垂足为，过作，延长交于点，如图所示， 则任意一点到的距离为， 当与重合时，取得最大值，最大值为的长度； 设与轴相交于点，与轴相交于点 当时，；时，， ，， ， ， ，， ， ， ， 以点为圆心，以5为半径画圆，交直线于，，连接交于，连接交于，如图所示： ，， ， 同理，； 图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧）， 当点与点重叠，而在（含端点）上运动时，或者当点与点重叠，而点在（含端点）上运动时， 此时，或， 当点在点的左侧，且点在点左侧时，或者当点在点的右侧，且点在点右侧时，或者当点在点的左侧，且点在点右侧时， 此时，， 为最小值， 设，，， ，，， ，，， ，，，（不合题意的值已舍去） 点，的横坐标分别为，，且最小时，点与重叠， 最小为：， 此时，在（含端点）上运动， 综上所述，的最小值为4，当取得最小值时，的最小值为，对应的的取值范围为． 【点睛】本题考查了“距离”的定义，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，解直角三角形，读懂题中“距离”的定义，利用数形结合的思维是解题的关键． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 最短路径模型 1．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在矩形中，，点为边上的动点，连接并延长至点，使，若是的中点，则的最小值为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查几何最值问题，矩形的性质，利用对称法求最短路径，过点作于点，过点作于点，则，根据平行线的性质得，，则是的延长线的定点，点在以点为垂足的的垂线上，作关于直线的对称点，，连接与相交于点，当与重合时，最小，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则， ， ， ∴， 是的延长线的定点，点在以点为垂足的的垂线上，作关于直线的对称点，， ， 连接与相交于点， 当与重合时，最小，最小值为的长， ， 故选：A． 2．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在四边形中，，，M，N分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是 _______． 【答案】/68度 【分析】利用轴对称的性质，将的周长转化为线段的长度，根据轴对称的性质得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接， 由对称性知：， ， 当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ， ， ， ， ， ， ， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查对称和最短路径问题，核心是两次轴对称，把三角形周长转化为两点间距离． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，点，，连接，，，当最小时，的值为_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，点可以看成是点向右平移2个单位，向下平移1个单位，将向右平移2个单位，向下平移1个单位，得，连接，，得，作关于直线的对称点，连接，，则，得，而，当点在上时，取等号，此时有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为，将代入求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，点，则，， ∴，则 ∴，即， ∵点，， ∴点可以看成是点向右平移2个单位，向下平移1个单位， 将向右平移2个单位，向下平移1个单位，得，连接，， ∴， ∵，则在直线上， 作关于直线的对称点，连接，，则， ∴， 而，当点在上时，取等号，此时有最小值， 设直线的解析式为，将，代入， 可得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入可得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形与坐标，路径最短问题，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，平移，轴对称等知识点，推到得出，当点在上时，取等号，此时有最小值，是解决问题的关键． 4．（2025·陕西咸阳·一模）课本再现 （1）如图（）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？请确定奶站的位置并说明理由； 类比思考： （2）如图（），，点在内且，为上一点，为上一点，求周长的最小值； 拓展应用： （3）如图（），四边形是某市一休闲广场，其中，，，，点，，，分别在，，，上，且，现小明从点出发，沿四边形走一圈回到点处，求小明行走的最短路程． 【答案】（1）见解析； （2）周长的最小值是；（3）小明行走的最短路程是． 【分析】（1）如图中，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时的值最小，根据三角形的三边关系可说明理由； （2）如图中，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，于，此时的周长最小，将周长问题转化为线段长度的问题解答即可； （3）如图，根据中作图可知：当点共线时，四边形的周长最小，根据勾股定理和含角的直角三角形的性质即可解答， 【详解】解如图，奶站应建在点处，才能使，到它的距离之和最短； 理由是∶在街道上任取一点异于点的点，连接，，， ∵点与关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴． 中，． ∴， 奶站应建在点处，才能使，到它的距离之和最短； 如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，于，此时的周长最小， 连接， 由对称得∶，，， ∵， ∴ ∴ ∴的周长， 即周长的最小值是； 如图，分别作点关于，的对称点，分别作点，于的对称点，延长，交于点，过点作，过点作于点， ∴，， ∴四边形的周长 ∴当点，共线时，四边形的周长最小， ∵， ∴， 在中，，， ∵． ∴， 在中，，． ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴． 由勾股定理得∶； 即小明行走的最短路程是． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了轴对称的最短路径问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，掌握轴对称的最短路径问题正确作图是解答此类题目的关键． 题型02 垂线段最短与定点到直线最值 5．（2025·甘肃武威·一模）如图1，在中，，点从点开始沿向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图2所示，点是函数图象上的最低点，则此时的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，垂线段最短，勾股定理等知识，读懂图象，用好垂线段最短和勾股定理是解题的关键．根据图象信息得，当时，，此时运动结束，表示点运动到了点处，故，；当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当与重合时，最小，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据图象信息得，当时，，此时运动结束，表示点运动到了点处，故，； 当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当与重合时，最小， 此时，， 故． 故选：D． 6．（2024·河南郑州·一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理， 先根据中位线的定义和性质可得，再根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，然后根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 可知最小时，最小， 根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故选：D． 7．（2025·山东泰安·三模）如图，在矩形中，，，点P为对角线上的一个动点（点P不与点A，点C重合），点P关于的对称点为点E，点P关于的对称点为点F，连接，且经过点B，则在点P的运动过程中，线段长度的最小值等于________．    【答案】9.6 【分析】此题主要考查了矩形的性质，轴对称图形的性质，理解矩形的性质，垂线段最短，熟练掌握轴对称图形的性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 连接，过点B作于点H，先由勾股定理求出，由三角形的面积公式求出，根据轴对称的性质得，再根据经过点B得，由此得当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得点P与点H重合时，为最小，最小值为线段的长，则的最小值为4.8，进而即可得出的最小值． 【详解】解：连接，过点作于点，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据轴对称的性质得：是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵经过点B， .∴， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得点P与点H重合时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（2025·吉林长春·一模）数学兴趣活动课上，小明将等腰的底边与直线重合． (1)如图①，在中，，，点在边所在的直线上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小明发现的最小值是________： (2)为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小明发现，当最短时，如图②，在中，作平分，交于点，点、分别是边、上的动点，连结、，小明尝试探索的最小值． 小明探究的方法如下： 在上截取，使得，连结，易证，从而将转化为，转化到（1）的情况，则可求的最小值； 请将小明的证明过程补充完整： 解：如图，在上截取，使得，连结 ∵平分 ∴ （请补充） (3)解决问题：如图③，在中，，，，点是边上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连结，则线段的最小值为________． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）如图1中，作于．根据垂线段最短，求出即可解决问题． （2）如图2中，在上截取，使得，连接．作于．由，推出，推出，推出当，，共线且与重合时，的值最小，最小值为线段的长． （3）如图3中，在上取一点，使得，连接，．由，推出，当时，的值最小，求出的最小值即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，作于． ，， ， ， 根据垂线段最短可知，当与重合时，的值最小，最小值为2． 故答案为：2． （2）解：如图2中，在上截取，使得，连接． ∵平分 ∴ ∵，， ， ， ， 作于． 当，，共线且与重合时，的值最小，最小值为线段的长， 由（1）知：， ∵ ∴ ， ， 的最小值为． 故答案为：． （3）解：如图3中，在上取一点，使得，连接，． ，， ，， ∵， ∴， 由旋转可得， ， ， ， ， ， 时，的值最小， ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴即最小值为3， 的最小值为3． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型03 圆上动点最值 9．（2025年山东省潍坊中考数学三模试题）如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】先判断出点E在以为直径的上，作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，此时，最短，因为，所以最小值为，利用勾股定理求出长即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以为直径的上， ∵点E在边长为2的正方形内， ∴点E在以直径上方的半圆弧上， 作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，如图， 此时，最短， ∵边长为2的正方形， ∴，， ∴， 由对称的性质知：，， ∴， ∴最小，最小值为， ∵点F是边的中点，点F关于直线的对称点， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考了查正方形的性质，圆周角定理的推论，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理．正确作出辅助线，得出最小值为是解题的关键． 10．（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为______，的最小值为______． 【答案】 225 121 【分析】本题考查的是坐标与图象的性质和点与圆的位置关系，确定取最大值时，点P的位置是解题的关键． 表示点P到原点O的距离的平方，点P在圆A上运动，求该距离平方的最值，转化为求圆上点到定点的距离最值问题． 【详解】圆心到原点的距离， 的半径为2，当点P位于线段的延长线上且远离O时， 取得最大值， 故的最大值为； 当点P位于线段上且靠近O时， 取得最小值，故的最小值为． 故答案为225，121． 11．（2025·湖南·模拟预测）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题： 下面让我们一起尝试去解决： (1)如图1，中，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为________； (2)如图2，在正方形中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是_______； (3)如图3，矩形中，，点E，F分别为边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为多少？ 【答案】(1)2 (2) (3)4 【分析】（1）证明，得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，易得，进行求解即可； （2）先证明，推出为，取的中点O，连接，斜边上的中线求出的长，根据两点之间线段最短得C，P，O三点共线时线段的值最小，勾股定理求出的长，再利用线段之间的和差关系进行求解即可； （3）易得G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于的对称点，连接，交于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于点G，此时的值最小，最小值为的长，勾股定理求出的长，再利用线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点P，此时长度最小， 在中， ∵， ∴==5， ∴． ∴最小值为2． 故答案为：2； （2）如图， ∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边上移动， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点O，连接，则， 根据两点之间线段最短得C，P，O三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得，CO===， ∴． 故答案为：； （3）如图， ∵，点G为的中点， ∴， ∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点， 作A关于的对称点，连接，交于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于点G，此时的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，斜边上的中点等知识点，解题的关键是确定动点的轨迹，根据轴对称和两点之间线段最短进行求解． 12．（2025·陕西咸阳·一模）【问题提出】 （1）如图1，为半圆的直径，，且，是半圆上的一个动点，连接，则长的最小值是___________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，且，过点作，且，连接，当长取最小值时，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某物流园区规划了一个正方形的货物分拣区域，其边长米．为了提高货物分拣的效率，安排了两辆自动搬运车，分别沿着边和行驶，设两辆自动搬运车的位置分别为点，且在搬运过程中始终保持．在货物分拣过程中，需要在与的交点处设置一个监控装置，以便对货物分拣过程进行实时监控．由于监控装置需要定期进行维护和检查，为了减少维护人员的行走距离，求从固定的维护站点到监控装置位置的最短距离． 【答案】（1）； （2）；（3） 【分析】（1）当在上时，的长最小，进而根据勾股定理，即可求解． （2）同（1）可得在上时，最小，过点作于点，进而证明根据相似三角形的性质得出，进而勾股定理，即可求解； （3）先证明得出，证明，得出在以为直径的圆上运动，同（1）得出当在上时，取得最小值，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，当在上时，的长最小， ∵为半圆的直径，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴点在以为直径的半圆上， 如图所示，取的中点，作半圆，连接， 同（1）可得在上时，最小， ∵，， ∴， 在中，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴当长取最小值时，的长为； （3）如图所示，取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在以为直径的圆上运动， ∴当在上时，取得最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴从固定的维护站点到监控装置位置的最短距离为米． 【点睛】本题考查了求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型04 折叠中的最值与轨迹 13．（2025·海南·一模）如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，，通过折叠性质可知：，，则有点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，由 ，从而可知当点三点共线时，有最小值，然后设，则，，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知：，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，如图， ∵， ∴当点三点共线时，有最小值，即此时，如图， ∵是的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 14．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 15．（2025·河南漯河·模拟预测）在某校社团活动课上，班长领着同学们进行《图形的折叠》活动，如图，在一个直角三角形的纸片中，，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，当点落在纸片上时，若，，则的最小值为________，的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称中的折叠问题、勾股定理等，解直角三角形，解一元二次方程，熟知折叠前后两个三角形全等是解答本题的关键．先过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，此时有最小值为的长，利用勾股定理结合三角形面积公式即可解答；再作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，过点作于点H，此时有最大值为的长；解直角三角形结合勾股定理即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，则点落在边上，此时有最小值为的长， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，则有最小值为； 作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，则点落在边上，过点作于点H，此时有最大值为的长； 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵在中，， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴，则有最大值为； 故答案为：，． 16．（2025·广东清远·一模）如图，正方形的边长是是边的中点，是边上的一个动点，将沿着折叠，使得点落在点，连接． (1)点在运动过程中，求的最小值； (2)点在运动过程中，求面积的最小值； (3)当是等腰三角形时，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2) (3)1或2 【分析】（1）以点为圆心、长为半径作圆，则在圆上，连接与圆的交点为，则此时有最小值．根据勾股定理求出即可求解； （2）过点作分别交于点，证明得．设，则，求出，然后根据列方程求出即可求解； （3）分①当时和②当时两种情况求解即可． 【详解】（1）如图1，以点为圆心、长为半径作圆，则在圆上，连接与圆的交点为，则此时有最小值． 是中点， ． ， ． ． 的最小值为． （2）当点运动到点时，此时点距离最短． 如图2，过点作分别交于点，四边形和四边形是矩形， ∴． 由，得． ， ． ． ． 设，则， ． ， ， 解得． ． 面积的最小值为． （3）由，可知在中，． 而，故． 若为等腰三角形，则只能为以下两种情况： ①当时，连接， ， ． ． 由折叠可知， ． 三点共线． 设，则． 由，得， 解得， ． ②当时，则点在的垂直平分线上， 点到的距离为． ，此时四边形为正方形． ． 综上，的长度为1或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，折叠的性质，圆的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题． 题型05 旋转中的最值 17．（2025·江苏徐州·二模）如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，确定当时，线段取最小值，根据等边三角形的性质可得和，过点作于点，交于点，根据勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一求出的长度，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当时，线段取最小值， ∵线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ∴当时，线段取最小值， 过点作于点，交于点， ， ∴， 由勾股定理得， 根据等腰三角形的三线合一可得，点是中点，且， ， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，线段的最值问题，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线． 18．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在中，，绕点旋转至的位置，点、分别为、的中点，若，则的最大值和最小值分别为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意画出图形，当点分别在的延长线与线段上，分别求得最大值与最小值，即可求解．分类讨论是解题的关键． 【详解】解：在中，为的中点， ， ． ． 为的中点， ． 当旋转到如图1的的位置时，的值最大为：． 当旋转到如图2的的位置时，的值最小为：． 综上所述：最大值为，最小值为． 故选：B． 19．（2025·江苏徐州·二模）菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转性质，中位线的判定和性质，掌握旋转的性质，数形结合分析是关键．如图所示，延长到点，使得，连接，则是等边三角形，，在中，是线段的中点，是线段的中点，，当取得最大值时，取得最大值，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，当共线，并经过的直径时，的值最大，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∴， ∴是等边三角形，， 在中，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， ∵将线段绕点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，当共线，并经过的直径时，的值最大， ∴， ∴， ∴旋转一周的过程中线段的最大值是 故答案为： ． 20．（2025·安徽蚌埠·二模）如图，中，， ，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则： （1）的最小值为________ （2）周长的最小值为________． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质； （1）作于H，于J．证出，得到，点N的运动轨迹是直线，该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是，作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，作于G，当时，根据求出结果即可； （2）结合（1）作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，在中，利用勾股定理，计算即可． 【详解】解：如图，作于H，于J． ∵ ， ∵于H， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线，该线直线与直线平行，在的右侧，与的距离是， 作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G． （1）当时，取最小值为； （2）在中， ， ∴的周长的最小值为． 故答案为：，． 21．（2025·江苏淮安·二模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中，等腰顶点D在边上，边经过点C，DE与交于点M． (1)若D为的中点． ①_____； ②如图2．将绕点D按顺时针方向旋转，直角边交于N，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； ③如图2，若，在绕点D的旋转过程中，求的最小值； (2)如图3，若，在绕点D的旋转过程中，同时改变点D在上位置，的最小值也会发生变化，当_____时，在绕点D的旋转过程中的最小值达到最小，最小值为_____． 【答案】(1)①；②，理由见解析；③ (2)，3 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①证明是等边三角形，得，，由正切函数可得结论； ②先证明，再证明，利用相似三角形的性质解决问题即可； ③证明M，D，N，C四点共圆，推出是该圆的直径，易知当是该圆的直径时，的长最短． （2）当时，根据“垂线段最短”知，的长最短，当四边形是矩形时，，此时最短．解直角三角形，求出即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵°， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，过点作于点，于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即； ③连接． ∵， ∴， ∴M，D，N，C四点共圆， ∴是该圆的直径， ∵， ∴当时，的长最短，此时． （2）解：如图，当时， 根据“垂线段最短”知，的长最短， 当四边形是矩形时，，此时最短． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：，3 题型06 胡不归模型 22．（2025·四川自贡·二模）等腰中，，于，点是线段上一个动点．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的有关计算，画出图形，过作于，过作于，根据结合求出，，得到，则，得到，再根据面积求出，得到的最小值为． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∵，于， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 23．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在菱形中，，，E是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点G，交于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点F作于点M，连接，，过点A作于点H，求出，得到，然后得到的最小值为，然后解直角三角形求解即可． 【详解】如图，过点F作于点M，连接，，过点A作于点H． ∵， ∴， ∵ ． ∵垂直平分 ∴， ， 的最小值为． ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，三线合一，垂直平分线的性质，含30度角直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，，垂足为，为线段上的一动点，连接、．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 在∠BAC的外部作，作于F，交于P，此时，通过解直角三角形，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在的外部作，作于F，交于P， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 此时，即的最小值为的长度， ∴， 此时最小， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（2025·河北唐山·二模）最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题. (1)如图，在矩形中，，分别为和的中点，连接，为上的一动点.若，，则得最小值为_______. (2)如图1，抛物线与x轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点. ①求抛物线的函数解析式. ②抛物线的对称轴为直线，P为直线上的一动点，求的最小值. ③如图2，为直线上的一点，连接，请直接写出的最小值. 【答案】(1)5 (2)①；②；③ 【分析】（1）连接，交于点，由得到当点在和的交点上时，有最小值，利用勾股定理求解； （2）①点，代入求解； ②连接，与交于点，根据点在抛物线的对称轴上，得到的值最小，最小值为的长，求出点的坐标，代入解析式求解； ③过点作直线，使得，过点作，交于点，过点作于点，利用解直角三角形的知识求出和，再利用解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）解：连接，交于点，如下图 ，，分别为和的中点， 当点在和的交点上时，有最小值，最小值为的长度． ，， ， 的最小值为：． 故答案为：． （2）解：①将点，代入， 得 解得， ∴抛物线的函数解析式为． ②如图1，连接，与交于点． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴，即此时的值最小，最小值为的长， 令，则， 解得或， ∴点， 则， 即的最小值为． ③． 如图2，过点作直线，使得，过点作，交于点，则点即为所求． ∵， ∴， 则． 过点作于点， 则． ∵， 则，． 在中，， 同理，可得． 在中，，， 则， ∴， 则的最小值． 【点晴】本题考查了根据矩形的性质求线段的最小值，抛物线解析式求法，勾股定理，解直角三角形，理解相关知识是解答关键． 题型07 阿氏圆模型 26．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 27．（2025·广西梧州·二模）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点O作与点，易证，求出，即可证明结论； （2）连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，易得点在上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解； （3）在上取点，使得，且位于点O上方，连接，证明，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作与点， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H在上，且， ∴圆与相切； （2）解：最小值为，理由如下： 连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接， ∵， ∴， ∴点在上运动， 当三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， ∴最小值为； （3）解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，， ∴． 【点睛】本题主要考查点到圆上的最值问题，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造三角形相似是解题的关键． 28．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）①根据已知条件得到，推出，根据相似三角形的性质得到；②作直径，连接，则，得到，过直径的一端点，于是得到结论； （2）作直径，连接、．则，推出，得到，根据勾股定理得到，于是得到结论； （3）取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据两点之间线段最短，即可得到结论． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ； ②作直径，连接，    则， ， ，， ， 经过直径的一端点， 直线是的切线； （2）解：作直径，连接、．    则， ， ， ∴， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ； （3）解：取中点，连接与的交点就是符合条件的点， 连接、，   ， ， 的半径， ， ， ， ， ， ， 根据两点之间线段最短， 此时最小， 最小值为． ∴存在，最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，线段最短，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型08 几何图形面积最值 29．（2025·湖北黄石·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为  ________． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得：，进而可确定点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧，如图，作，，由于，故当最小时的面积最小，因为，故只需要求出即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧， 如图，作，，垂足分别为、， 四边形是矩形，， ，， ，， 四边形是矩形， ， ∵， 当最小时， 的面积最小， ， ， 当点在上时，最小，最小为， 面积的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、圆的基本性质、折叠的性质以及垂线段最短等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、得出的最小值是解题的关键． 30．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E、F分别是边、上的动点，且，则面积的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据菱形的性质，得到和是等边三角形，证明，从而推出是等边三角形，设，则，由垂线段最短可知，当时，最短，此时有最小值，面积有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，，， ，， 和是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 设，则， ， ， 当最小时，面积有最小值， 由垂线段最短可知，当时，最短，即有最小值， 是等边三角形， ， ， 的最小值为， 面积的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键． 31．（2025·天津·模拟预测）在中， 则（1）的面积最大值是______； （2）的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）过点O作于点E，延长交于点D，则，当点C与点D重合时，的面积最大，根据圆周角定理，特殊角的三角函数值解答即可； （2）解：作的垂直平分线，垂足为M，在垂直平分线上截取，则，连接，根据垂径定理的逆定理，得， 故，延长交于点F，连接，过点B作于点D，， 当最大时，取得最大值，延长交于点G，根据直径是圆的最大弦，得当点F与点G重合时，最大，此时， 故的最大值为． 本题考查三角形的外接圆、圆周角定理、等腰直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，正切函数的应用，圆的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（1）设的外接圆为，连接， ∵ ∴ ∴ ∴， 过点O作于点E，延长交于点D， 则， ∴当点C与点D重合时，的面积最大，最大面积为 ， 故答案为：． （2）解：取的中点M，过点M作，且使得， 则， 连接，根据垂径定理的逆定理，得， 故， 延长交于点F，连接， 则， ， 过点B作于点D， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当最大时，取得最大值， 延长交于点G，根据直径是圆的最大弦，得当点F与点G重合时，最大， 此时， 故的最大值为， 故答案为：． 32．（2025·吉林长春·三模）【问题呈现】如图①，在等腰直角中，，，点在边上运动（点不与点、重合），将绕点逆时针旋转得到，连接，求面积的最大值． 【问题分析】由旋转可得，因此，进而得到，所以为直角三角形，可以设，用含的式子表示的面积，最后配方可得面积的最大值． 【问题解决】在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）面积的最大值为___________，此时线段的长为___________． 【方法应用】（3）如图②，在矩形中，，，点在边上运动（点不与点重合），将绕点顺时针旋转得到，连接、，则面积的最大值为___________． 【答案】（1）见解析；（2），；（3） 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，即可得解； （2）由（1）可得：，设，则，表示出的面积，利用二次函数的性质即可得解； （3）过点作于，交于，证明四边形为矩形，得出，由旋转的性质可得，，证明，可得，设，则，表示出，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， 设，则， ∴的面积， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解，如图，过点作于，交于， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 33．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ (1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． (2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整： 解：作的外接圆，作于H，设 (3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示） (4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)8，16 (2) (3) (4) 【分析】（1）当和点重合时，，此时最小为4，从而得出； （2）作的外接圆，作于，设，依次表示出，，，，根据列出，从而得出的最小值，进一步得出结果； （3）同（2）步骤相同：作的外接圆，作于，设圆的半径为，依次表示出，，，根据列出方程，从而得出的最小值，进一步得出结果； （4）作，交于，可证得，从而得出，可证得，从而得出由（3）结论知：的最小值，进而变形得出的最小值，可得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：， ， 当和点重合时，，此时最小为4， ， 最小， 故答案为：8，16； （2）解：如图1， 作的外接圆，作于，设， ， ， ，， ， ， ， 当点在上时，，此时最小， ； （3）解：如图2， 作的外接圆，作于，设， ， ，， ， ，， ， ， ， 当点在上时，，此时， ， 故答案为：； （4）解：如图3， 作，交于， ， ， ， ，， ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等有关知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 题型09 动态存在性问题 34．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，对角线．点P从B点出发沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从C出发沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为．连接． (1)当时，求t的值． (2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为； (2)； (3)t的值为； (4)t的值为． 【分析】（1）作于点，于点，求得，，由题意得，，∴，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）作于点，于点，证明，求得，再利用三角形面积公式列式即可求解； （3）利用三角形面积公式列式计算即可求解； （4）作于点，由线段垂直平分线的性质，求得，再证明，根据平行线分线段成比例，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：作于点，于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴，， 当时，又， ∴，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴t的值为； （2）解：作于点，于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：∵，， ∴， 由（2）得， 整理得， 解得或， ∵， ∴t的值为； （4）解：作于点， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴t的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题关键是利用相似三角形的判定和性质列式表示线段长，根据题意列出方程或比例式． 35．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， (3)存在，点坐标为，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键； （1）用待定系数法求解即可； （2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为：； （2）解：存在点使，理由如下： 假设存在点使，设， ， 当时，， ， 在中， ， 解得，（不合题意舍去）， 则坐标为， ，， ， ， 存在点使； （3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， 的值最大时即有最大值， 当时，最大，点的坐标为， 设，，， 当是直角三角形时，有以下三类情况， ①时， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ②，， ， 解得，（不合题意舍去），   ； ③，， ， 解得，（不合题意舍去）， ，； 综上所述，点坐标为，，，． 36．（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，四边形是的内接四边形，延长至点，连接，使得 作 垂足为点F， ， ． (1)作 交 于点G，求的长． (2)求证：是的切线． (3)①求 的长度． ②设三角形的面积为 ，三角形  的面积为 ，是否存在常数，使 成立?若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 (3)①；②常数，使 成立 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的判定、相似三角形的性质和判定、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理和勾股定理即可解题； （2）连接，证明，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可证明； （3）①连接，求出，结合三角函数求解；②直接计算，然后求出和的相似比，进而得到面积比，计算出，即可解题． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴为的中点， ∵是直径， ∴是中点，且， ∴为的中位线， ∴； ∵， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即，， ∵为半径， ∴是的切线； （3）解：①如图，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ， ∴， ∴； ∵， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即存在常数，使成立． 37．（2025·广东深圳·三模）如图，在矩形中，点是线段上的一动点，连接．作点关于的对称点．连接并延长，交或于点G，过点作的延长线于点． (1)若的延长线交于点时，求证：； (2)连接交于点，且，． 若的延长线交于点时，如图，若，求的长； 在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)；有最大值为． 【分析】（）根据轴对称可得，根据矩形的性质和四边形的内角和定理即可解答； （）如图，设，交于点，证明，，列比例式即可解答； 连接，交于点，先由勾股定理可得，由圆周角定理可得点是以为圆心，为半径的上，分两种情况：若点在线段上，如图，过点作，若点在线段上，如图，过点作，证明，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图，设，交于点， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 连接，交于点， 由勾股定理得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，点是以为圆心，为半径的上， 分两种情况： 若点在线段上，如图，过点作， ∴， ∴， ∴， ∵为定值，点是以为圆心，为半径的圆弧， ∴有最大值为， ∴有最大值为， ∴若点在线段上，有最大值为； 若点在线段上，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵是定值，点是以为圆心，为半径的， ∴当点运动到点时，有最大值，此时，，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴若点在线段上，有最大值为， 综上所述，有最大值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握圆周角定理确定点H的运动轨迹是解题的关键． 题型10 轨迹型动态探究 38．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)2或 (3)135；；45； 【分析】（1）由旋转可得，，进而得到，从而证明，根据全等三角形的对应边线段得证结论； （2）分点P在的上方或下方两种情况求解即可； （3）连接，由得到，从而点D在以点A为圆心，半径为的圆上．当点D在的延长线上时，有最大值，最大值为，根据，可求得．当点D在线段上时，有最小值，最小值为，根据，可求得． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在的上方，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点A，D，P在同一直线上， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，； ②如图，若点P在的下方，连接 由①得，， ∵， ∴， ∴点B，P，D在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为2或． （3）解：连接， ∵， ∴， ∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上． 如图，当点D在的延长线上时，有最大值， 最大值为， 此时， ∵， ∴． 如图，当点D在线段上时，有最小值， 最小值为， 此时． 故答案为：135；；45； 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键． 39．（2025·陕西商洛·一模）问题提出 （1）如图①，在等边三角形中，，点为上一动点，求的最小值； 问题解决 （2）如图②，某市计划将四边形修建为一个批发市场，其中E为该批发市场的车辆入口，为货物零售区域，现需在边上的点F处设置一个快递分类装车点，并修建车道用来运送货物．已知．为节约成本，需将车道修建的尽可能短，则的值是否存在最小值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在最小值，为 【分析】（1）作点关于的对称点，连接、，如图所示，从而得到，由由三角形三边关系可知，则当三点共线时，有最小值，为，由等边三角形性质及平行四边形的判定与性质即可得到答案； （2）根据题意，由“定弦定角”模型可知，点在的外接圆上运动，进而得到点在上运动，作点关于的对称点，连接、、，如图所示，求的最小值就是求的外接圆半径，为便于计算，将图补全，在圆中结合圆内接四边形、垂径定理和含的直角三角形性质求出线段长即可得到答案． 【详解】解：（1）作点关于的对称点，连接、，如图所示： 点与点关于对称， ，则， ， 由三角形三边关系可知，则当三点共线时，有最小值，为， 连接，如图所示： 在等边三角形中，，；由对称性可知，，， ，则， ， 四边形是平行四边形，则， 故的最小值为； （2）存在最小值， ，， ， ， 由三角形内角和定理可知，， ， 由“定弦定角”模型可知，点在的外接圆上运动，如图所示： 计划将四边形修建为一个批发市场，为货物零售区域， 点在上运动， 作点关于的对称点，连接、、，如图所示： 将图补全，作出的外接圆，作线段的中垂线，交于点，过点作，作，过作，如图所示： 在圆内接四边形中，，则， ， 在中，由垂径定理可知，则， 在中，，，则，， 与重合， ，则， 在中，，，则由勾股定理可得， 的外接圆半径， 的最小值为． 【点睛】本题属于中考数学压轴题，考查动点最值问题的两种类型：①轨迹是直线型；②轨迹是圆弧型；综合性强、难度较大，涉及动点最值问题-将军饮马模型的解法、动点最值问题-点圆模型的解法，主要知识点是对称性、三角形三边关系、平行四边形的判定与性质、辅助圆定弦定角模型、圆内接四边形、垂径定理、勾股定理和含的直角三角形性质等，掌握动点最值问题的基本模型及解法是解决问题的关键． 40．（2025·上海普陀·二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． (1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 莱洛三角形是轴对称图形； 莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为； 莱洛三角形的面积等于． (2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值； (3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹． 【答案】(1)； (2)或； (3)点在以的中点R为圆心，以为半径的圆心角为的弧上 【分析】（）根据莱洛三角形的定义，结合轴对称图形的判断圆的相关性质直接判断即可； （）分当在上方时，当在下方时，两种情况分析即可； （）连接，，，，，取、的中点，连接，，，再证明，得出即可确定轨迹． 【详解】（1）解：因为以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形， 所以莱洛三角形是轴对称图形，正确； 三段弧到它们所对的三角形顶点的距离相等，故莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，不正确； 等边三角形的每一个内角都是，故莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为，正确； 莱洛三角形的面积等于三个弓形的面积加上等边三角形的面积，即，不正确； 故答案为：； （2）解：如图，当在上方时，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 当在下方时， 同理：∵， ∴设，则，， 由勾股定理得：， ∴； 综上可得：的正切值为或； （3）解：连接，，，，，取、的中点R、S，连接，，， ∵点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、的中点为，的中点为， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，点为中点，当点与点重合时，点为中点，此时，， 故点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上； 【点睛】本题考查了圆的有关性质、垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解直角三角形，三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和推理． 41．（2025·广东·一模）综合与实践 【背景】小明家有一块半径为的圆形花园，现拟定在花园内部修建一个矩形菜地． 【方案】如图所示，以该圆形花园的圆心为原点，建立平面直角坐标系，以花园内一个定点木桩为矩形菜地的一个顶点，有两个动顶点落在花园的圆周上，还有一个动顶点D落在花园内部．已知花园圆周上有一个定点水泵（图中未标出）． 【设想】 （1）针对该方案，小彬同学认为该动顶点D的轨迹是一个不完整的圆，请你证明这一个设想； 【讨论】 （2）小明希望矩形菜地的动顶点D离水泵之间的距离越小越好，求的最小值以及此时矩形菜地的面积； 【探究】 （3）①小余同学认为连接线段得到，记其面积为，记矩形菜地的面积为，则存在实数使得成立，求实数的值； ②子莹同学猜想若知道矩形菜地一边的长度为，便可知道矩形菜地的面积，请直接写出与满足的函数关系式（不考虑点在轴上的情况）． 【答案】（1）见解析（2）最小值为，此时菜地面积为（3）①；②当点位于轴下方时 ；当点位于轴上方时 【分析】（1）如图所示，过点作交于点，则由垂径定理可知 ，证明，推出，即可得到点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，且该圆不经过点，进而证明结论； （2）由（1）可知，当三点共线时有最小值为，如图所示，记与交于点，求出，过点作，则有，求出，    过点作，垂足为，连接，证明为正三角形，求出，，即可解答； （3）①连接，记交轴于点，作于点，证明为中位线 ，根据，即可求解；②分点位于轴下方和上方两种情况讨论，利用三角形中位线的性质求出，再利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作交于点，则由垂径定理可知 ， ∵四边形是矩形         ∴     ∵                     ∴ 在与中              ∴ ∴     ∴点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，且该圆不经过点，即小彬设想成立 ； （2）由（1）可知，当三点共线时有最小值为， 如图所示，记与交于点     ∵，为上的点     ∴为的直径 ，， 过点作，则有      ∴ ∴         ∴ 由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知 ∴     过点作，垂足为，连接 ∵         ∴为正三角形 ∴为边上的中线，且平分         ∴， ∴     ∴      ∴        ∴菜地面积； （3）①如图所示，连接，记交轴于点，作于点， ∵         ∴为中点 ∵为中点             ∴为中位线   ∴     ∵ ∴     ∴； ②第一种情况，当点位于轴下方时，如图： ∴， ；     第二种情况，当点位于轴上方时，如图： 同理得：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质，函数解析式，解直角三角形，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二阶·素养进阶练 1．（22-23九年级下·湖北鄂州·期中）【阅读材料】说明代数式 的几何意义，并求它的最小值． 解：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： 【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和；（填写点B的坐标） 【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________； 【拓展升华】(3)如图，在等腰直角中，，点M，N分别为，上的动点，且，．当的值最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）10；（3） 【分析】（1）先把原式化为 的形式，再根据材料结论即可得出结果； （2）先把原式化为的形式，再根据材料结论即可得出结果； （3）先过点A作于点H ，设，在和中，根据勾股定理表示出，，再根据材料结论即可得出结果． 【详解】解：（1）原式化为 ， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 故答案为： （2）式化为 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 点A关于x轴的对称点为， 根据材料结论，最小值为的长度，， 故答案为：10． （3） 如图，过点A作于点H ，设， 在等腰直角中，，， ∴，， 在和中，根据勾股定理得： ， ， ∴， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 点A关于x轴的对称点为， 根据材料结论，为线段的长度， 直线的函数解析式为：， 时，，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给的材料画出图形，再利用数形结合求解． 2．（2026·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图①，，面积为6，则的面积为________； （2）如图②，，点为平面内一点，且满足面积为6，求周长的最小值； 问题解决 （3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园，如图③所示，按规划要求千米，千米，且四边形面积最大．在规划的面积最大的公园内修建一个凉亭，沿着、修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）；（3）存在，最小值为万元 【分析】（1）根据“同底等高的两个三角形的面积相等”即可求解； （2）过A作于D，作，作C关于a的对称点，连接，，，根据轴对称的性质和线段公理得出，则当、、三点共线时，最小，最小值为，即周长的最小值为，在中根据勾股定理求出，即可求解； （3）连接，作的外接圆O，连接，求出，结合，得出当最大时，最大，证明A、B、C、D四点共圆，则当时，最大，连接，，过O作，在上任取一点Q（不含端点），连接，，根据三角形中线的性质得出，，可求出，由（1）知：，进而得出，则当点Q在上（不含端点）时，、平分四边形的面积，延长交于，连接，，根据直径所对的圆周角是直角得出，则可证，根据垂径定理得出是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出，则，故当A、Q、三点共线，即Q和O重合时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴A、D到的距离相等， ∴和是同底（）等高的两个三角形， ∴； （2）过A作于D，作，作C关于a的对称点，连接，，， 则， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为， 又， ∴周长的最小值为， ∵面积为6，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴周长的最小值为； （3）连接，作的外接圆O，连接 ∵，， ∴，， ∵， ∴当最大时，最大， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴当时，最大， 如图，连接，，过O作，在上任取一点Q（不含端点），连接，， 由（1）知：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当点Q在上（不含端点）时，、平分四边形的面积， 延长交于，连接，， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴平分，即是的垂直平分线， ∴， ∴， 当A、Q、三点共线，即Q和O重合时，最小，最小值为， ∴的最小值为， ∴观光路线修建费用的最小值为（万元）． 【点睛】掌握“将军饮马”模型是解题的关键． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为． 【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证； （2）①由题意证明，求出，从而得出结论； ②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值． 【详解】（1）证明：连接、，如图： ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①若，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． ②点P为上一点，连接，有最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点G，则， 延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有， 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长， 此时，在中，， ， 即的最小值为． 4．（2025·江苏·三模）在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线于点E，点F为射线上一点． (1)如图1，若点F在边上，，求的长； (2)如图2，若点F在矩形内部，，连接并延长，交边于点H，当时，求的长； (3)如图3，若点F在边上，连接，过点A作于点M，则的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2.5 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质证明，即可求解； （2）先求出，过点F作于点M，证明，得到，则，设，则，再证明，则，得到，再解一元二次方程即可； （3）连接，设，由得到，整理得到，可求y有最大值，而，那么当时，有最大值，为，由于，则取最大值时，有最小值为：． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 如图 ，过点F作于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍）， ∴； （3）解：的长度是存在最小值，连接， 设， 由（1）得， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴当时，y有最大值， ∵， ∴当时，有最大值，为， ∵， ∴ ∴取最大值时，有最小值为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识点，掌握基本图形“一线三等角”相似是解题的关键． 5．（2026·安徽·一模）综合与实践 【活动背景】数学活动课上，老师问了这样一个问题：同学们，某小区有三栋居民楼，如图1是小区的居民楼分布示意图，其中，，，为了方便小区居民购物，社区有关部门决定在小区内修建一个超市，你们觉得超市应该如何选址呢？ 【方案讨论】 （1）初始方案：有部分同学提出，设超市的选址为点，为了体现公平性，点到三个顶点的距离应该要相等．此时，点应选择在 ① 处（从“内心”，“外心”，“重心”中选择一个填空）． （2）方案改进：很快同学们发现，初始方案的选址方式看起来比较公平，但是总路程较长，于是，同学们想找到一个点，使它到三个顶点的距离之和最小，结合所学知识，同学们进行了以下的探究过程： 探究：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵ ② ， ∴为等边三角形． ∴． 又∵， ∴ ③ ． 点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长． ∴当，，四点在同一直线上时，最小， 即的最小值就是线段的长度． 【问题解决】 (1)请将上述【方案讨论】中横线上所缺内容补充完整：①_________；②_________；③_________； (2)由以上探究过程可知，如图3，我们只要以为边向外作等边三角形，连接，此时点位于线段上，请在此基础上通过尺规作图找出点的位置．（保留作图痕迹） (3)在图3的基础上求出的最小值． 【答案】(1)外心；； (2)见解析 (3) 【分析】（1）①根据垂直平分线的性质即可求解；②③根据题目所给的推理步骤即可解答； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于两点，再以为圆心，半径不变画弧，交于点，接着以为圆心，的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长，在射线上截取，连接，最后再连接，此时与相交于一点，这一点即是点；由等边三角形和等边三角形，可以证明，得到，再由三角形内角和为得到，可得作图正确． （3）过点作交延长线于点，由（1）得，的最小值就是线段的长度．先求出，在中，求出，的值，再在中，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴要使点到三个顶点的距离相等， 此时，点应选择在的外心处； 探究：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵， ∴为等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长． ∴当，，四点在同一直线上时，最小， 即的最小值就是线段的长度． （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：过点作交延长线于点， 由（1）得，的最小值就是线段的长度． ∵是等边三角形，且， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， 由勾股定理得，． ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 6．（2026·浙江·模拟预测）在菱形中， (1)如图1，求的长． (2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转． 当时，求的值． 如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理解答即可． （2）延长交于点，根据菱形的性质，旋转的性质，三角函数的定义解答即可． 根据勾股定理，三角函数的定义，菱形的性质解答即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键． 【详解】（1）解：在菱形中， ∴， ∴． （2）①如图1，延长交于点， 由旋转变换中每条线的旋转角都相等可知，．在菱形中， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． ②解 ：如图2，． ∵， ∴最小时，也最小，要想最小，只需最小． ∵为定角， ∴当时，有最小值为， 此时， ∴的最小值为 真●题●验●证 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则， ∵正方形边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， 为． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 【答案】 【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结， ∴ ∵面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点D在以为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． 5．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． 【答案】 4 【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 6．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得，，取的中点，连接、，作交的延长线于，则，，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，． ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 如图，取的中点，连接、，作交的延长线于， ， 则，， ∴，， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可得：， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 8．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出. 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【详解】解：在上取点，使， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当在上时，取最小值，为. 故答案为. 9．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 10．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）4；（2）；（3）的最小值为，此时的长为 【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半解答即可； （2）根据矩形的判定和性质，结合垂线段最短解答即可； （3）根据矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系定理应用，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，，为边上的中线， ∴, 故答案为：4； （2）如解图①， 四边形为矩形， 连接，则， 过点作于点， ． 在中，， 故， 根据三角形面积性质，得， 的最小值为； （3）如解图②，连接，则， ，当三点共线时最小， 在上顺次截取， 作，则四边形为矩形， 则， ， 解得，． 如解图③，作点关于的对称点，作， 连接， 与的交点即为所确定的位置． 作交于点，得矩形． 在中， ， ， ， 由， ， ，， 当最小时，的最小值为，此时的长为． 11．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，解（2）的关键在于把求出的最小值转换成求出的最小值，进而转换成求出的最小值． 12．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 13．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；F到的距离的最大值为；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形和梯形的面积计算及几何最值问题，解题的关键是通过角度关系和线段比例证明相似三角形，利用面积关系转化线段关系，结合图形性质求解． （1）初步感知：由推出，结合得比例式，证明，利用得出的度数． （2）深入探究：由矩形面积和面积关系得的定值，结合和矩形中，证明；得出，即可得出在以为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解． （3）学以致用：先计算梯形面积和面积，结合得的定值；根据（2）构造矩形，证明，得出，得出在为直径的圆上，进而求得出当的面积最小时，得出是等腰直角三角形，勾股定理即可得出长． 【详解】（1）解：∵ ∴，即． ． ∴（两边对应成比例且夹角相等）． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴，即， ∴ ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动， ∴到的最大距离为； （3）解：∵梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵点E是线段的中点， ∴， 如图，取，作矩形，则，，连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $