专题03 函数及其性质（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03函数及其性质 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 真题动向 题型01平面直角坐标系 题型02函数的基础知识 题型03正比例函数的图像与性质 题型04一次函数的图像与性质 题型05二次函数的图像与性质 题型06反比例函数的图像与性质 必备知识 知识1平面直角坐标系 知识2一次函数图像与性质 知识3二次函数图像与性质 知识4反比例函数的图像与性质 命题预测 命题 透视 命题形式： 稳定性：每年必考一次函数、反比例函数、二次函数，其中二次函数常居解答压轴题。 层次性：基础题考查概念与简单运算，中档题考查图象性质与简单综合，压轴题考查代数推理与几何综合。 综合性：函数与几何、方程、不等式、实际应用的结合是命题主流。 命题内容： 函数与几何综合：二次函数与三角形面积结合（2022年23题）。 几何与代数综合：反比例函数与平行四边形面积结合（2022年13题） 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 一次函数图像与性质 T7：一次函数图象与性质 T10：分析判断函数图象 T5：函数的图象与性质 T9：函数图象与系数的关系 T6：一次函数的实际应用 二次函数图像与性质 T9：函数图象与系数的关系T23：二次函数性质综合题 T23：二次函数性质综合题 T23：二次函数性质综合题 T23：二次函数性质 综合题 T14：含字母系数的二次函数性质综合题 T22：二次函数性质 综合题 反比例函数的图像与性质 T18：一次函数与反比例函数综合题 T6：一次函数与反比例函数图象与性质 T9：一次函数与反比例函数图象与性质 T13：反比例函数与几何图形结合 T19：一次函数与反比例函数综合题 命题预测 1.考情预测 一次函数：常与行程问题或图象分析结合。 二次函数：必考压轴题。近五年主要考查解析式、最值、存在性问题。预测2026年可能会进一步强化二次函数与几何综合（如面积最值、特殊四边形存在性）的考查难度，以及对函数图象性质（如增减性、对称性）的深度挖掘。 反比例函数：常与几何图形（平行四边形、三角形）结合求面积或k值（如2022年） 2.备考建议 函数基础：熟记一次函数、反比例函数、二次函数的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性）练习重点：待定系数法求解析式、二次函数与线段/周长/面积最值问题、二次函数与等腰三角形/直角三角形/平行四边形存在性问题。 题型01平面直角坐标系 坐标系的组成：两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。水平方向为x轴（横轴），竖直方向为y轴（纵轴）。 点的坐标特征： 各象限内点的符号： 第一象限：(+，+) 第二象限：(－，+) 第三象限：(－，－) 第四象限：(+，－) 坐标轴上点的特征： x轴上点：纵坐标为0（记作 (a,0)） y轴上点：横坐标为0（记作 (0,b)） 原点：(0,0) 对称点坐标规律（点P(a,b)）： 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 → (a,－b) 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数 → (－a,b) 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数 → (－a,－b) 距离与坐标： 点P(a,b)到x轴的距离 = |b| 点P(a,b)到y轴的距离 = |a| 两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)之间的距离​ 平移与坐标变化： 左右平移：左减右加（横坐标变化） 上下平移：下减上加（纵坐标变化） 象限符号混淆：如误将第二象限记作(+,－)，应熟记各象限符号规律。 对称规律记反：如关于x轴对称误认为纵坐标不变横坐标相反。 距离不加绝对值：点到坐标轴的距离是正值，易忘记取绝对值。 平移方向与坐标变化对应错误：如向右平移误写成横坐标减。 坐标轴上点特征不清：如认为x轴上点横坐标为0（实际是纵坐标为0）。 忽略坐标轴上的点不属于任何象限：常被误归入某一象限。 1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（） A． B． C． D． 2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 题型02函数的基础知识 1. 函数定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x是自变量。 2. 函数的表示方法 解析式法 列表法 图像法 3.自变量取值范围： 整式：全体实数 分式：分母 ≠ 0 偶次根式：被开方数 ≥ 0 实际问题：还需符合实际意义（如边长>0，时间≥0等） 函数值：给定自变量的值，代入解析式求出的对应值。 函数图像：一般用描点法（列表、描点、连线），注意连线要平滑，根据定义域确定图像范围。 对函数定义理解不深：误以为一个x对应多个y也是函数，需强调“唯一确定”。 自变量取值范围考虑不全：只考虑分式或根式，忽略实际问题中的隐含条件（如人数为正整数）。 实际问题忽略自变量的实际意义：如表示时间则不能为负数。 画图像时描点不准确或连线不当：如描点太少导致图像失真，或把不该连的点连起来（如分段函数）。 混淆函数与函数值：函数是变量之间的关系，函数值是具体数值。 1．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 2．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_____． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为________． 题型03正比例函数的图象与性质 定义：形如y=kx（k≠0）的函数叫做正比例函数。其中k为比例系数。 图像：是一条经过原点(0,0)的直线。 性质： k>0k>0：图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大。 k<0k<0：图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 |k|越大，直线越陡（越靠近y轴）。 待定系数法求解析式：只需知道一个点（除原点外）的坐标，代入y=kx求出k。 忽略k≠0的条件：误认为y=0也是正比例函数（实际上y=0是常数函数，不是正比例函数）。 混淆正比例函数与一次函数：正比例函数是一次函数的特例（b=0），但一次函数不一定是正比例函数。 k的正负与象限对应错误：如k>0误认为过二四象限。 增减性描述不准确：如在k<0时，误说成“y随x增大而增大”。 待定系数法计算错误：代入时符号或数值错误。 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（） A． B． C． D． 2．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 题型04一次函数的图像与性质 定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时即为正比例函数。 图像：是一条直线。 k决定直线的倾斜方向和程度： k>0：直线从左向右上升，y随x增大而增大 k<0：直线从左向右下降，y随x增大而减小 |k|越大，直线越陡 b决定直线与y轴交点的位置： b>0：交于y轴正半轴 b<0：交于y轴负半轴 b=0：过原点 求解析式（待定系数法）：已知两点坐标（或一点和斜率等）代入y=kx+by=kx+b解方程组求出k,b。 平移规律： 左右平移：y=k(x±m)+b（左加右减自变量） 上下平移：y=kx+b±m（上加下减常数项） 忽略k≠0：误将y=b（常数函数）当作一次函数。 混淆k和b的作用：如把b当作斜率，k当作截距。 平移规律记反：如向右平移m个单位，误写为y=k(x+m)+b（正确应为y=k(x−m)+b。 求交点坐标时计算错误：如求x轴交点，令y=0，解方程时符号出错。 面积计算忘记加绝对值：交点坐标可能为负，面积应为正。 实际问题中自变量取值范围被忽略：如行程问题中时间、路程非负，导致图像只是射线或线段。 1．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（） A． B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）函数的图象为() A． B． C． D． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（） A． B． C． D． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 题型05二次函数的图象与性质 定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数。 图像：是一条抛物线。 开口方向：a>0开口向上；a<0开口向下。 顶点坐标：(，) 对称轴：直线x= 与y轴交点：(0,c) 性质： 最值：当a>0时，在顶点处取最小值；当a<0时，在顶点处取最大值。 增减性：以对称轴为界，左右两侧增减性相反。 解析式的三种形式： 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）（已知三点坐标） 顶点式：y=a(x−h)2+k（已知顶点(h,k)及另一点） 交点式：y=a(x−x1)(x−x2)（已知与x轴两交点及另一点） 平移规律：y=a(x−h)2+k可由y=ax2平移得到：左加右减（h），上加下减（k）。 与一元二次方程的关系： 抛物线与x轴的交点横坐标即对应方程ax2+bx+c=0的根。 判别式Δ=b2−4ac决定交点个数：Δ>0两个交点，Δ=0一个交点（顶点在x轴上），Δ<0无交点。 忽略a≠0：在含参数问题中未讨论二次项系数为0的情况。 顶点坐标公式记错：如把​记成​，或纵坐标公式分母记成2a等。 对称轴与顶点混淆：对称轴是一条直线，顶点是一个点，常误把对称轴当顶点坐标。 开口方向与a符号对应错误：如a<0a<0时误认为开口向上。 平移时左右移影响h的符号混淆：如由y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，误写成y=a(x−1)2。 最值问题中忽略自变量范围：当自变量被限制在某区间时，最值不一定在顶点取到，需考虑区间端点。 实际应用中忽略值的合理性：如面积问题中边长不能为负，需舍去不合理的根。 1．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（） A． B． C． D． 3．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 4．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（） A． B． C． D． 题型06反比例函数的图象与性质 定义：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 图像：是双曲线，两分支分别位于两个象限。无限接近坐标轴但永不相交。 性质： k>0：图像位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 k<0：图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 双曲线关于原点对称，也关于直线y=x和y=−x对称。 k的几何意义： 过双曲线上任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为∣k∣。 连接该点与原点，所得三角形面积为。 待定系数法求解析式：已知一个点的坐标（非原点），代入y=kx求出k。 忽略k≠0：误认为y=0也是反比例函数。 性质描述忽略“在每个象限内”：如k>0时，直接说“y随x增大而减小”是错误的，因为在不同象限不能直接比较。 k的几何意义中面积与k的关系易忘绝对值：面积总是正的，但k可正可负，所以面积 = |k|。 自变量取值范围 x≠0 被忽视：导致画图像时错误地连成一条连续曲线。 比较函数值大小时忽略象限：如比较点A(-2,y₁)和B(3,y₂)在k>0时，不能直接用增减性，需判断象限后比较。 与一次函数结合求交点时，忽略分式方程增根：需检验所得x是否使分母为0。 1．（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是_________． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（） A． B． C．当时， D．当时， （2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 知识1平面直角坐标系 1.定义与构成 平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴构成。水平的数轴称为x轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴（纵轴），取向上为正方向。两轴的交点O称为坐标原点。坐标系所在的平面被分为四个象限，从右上角开始逆时针方向依次为第一、第二、第三、第四象限。 2.核心概念与表示 · 点的坐标：平面内任意一点P的位置可以用一对有序实数（x,y）来表示，记为P(x,y)。其中x是点P到y轴的有向距离，称为横坐标；y是点P到x轴的有向距离，称为纵坐标。 · 象限内点的坐标符号特征： · 第一象限：(+,+) · 第二象限：(-,+) · 第三象限：(-,-) · 第四象限：(+,-) · 坐标轴上的点：x轴上的点纵坐标为0，记为(x,0)；y轴上的点横坐标为0，记为(0,y)；原点坐标为(0,0)。 3.核心应用与距离公式 · 定位与几何图形表示：坐标系是连接代数与几何的桥梁，任何几何图形（如直线、曲线）都可以用满足特定代数关系的点集来表示。 · 两点间距离公式：对于点A(x₁,y₁)和点B(x₂,y₂)，它们之间的距离AB= · 中点坐标公式：线段AB的中点M的坐标为(,(y₁+y₂)/2)。 知识2一次函数图像与性质 1.定义与一般形式 形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数称为一次函数。其中k称为斜率，b称为y轴截距。当b=0时，函数退化为正比例函数y=kx。 2.图像特征 · 图像形状：一条直线。 · 作图方法：“两点确定一条直线”。常选取与坐标轴的交点：与y轴交点(0,b)，与x轴交点(-b/k,0)（当k≠0时）。 · 参数影响： · 斜率k：决定直线的倾斜方向和陡峭程度。 · k>0：直线从左向右上升。 · k<0：直线从左向右下降。 · |k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。 · 截距b：决定直线与y轴交点的位置。b>0交于正半轴，b<0交于负半轴。 3.性质分析 · 单调性：由斜率k的符号决定。 · k>0时，函数在定义域R上单调递增。 · k<0时，函数在定义域R上单调递减。 · 特殊位置关系： · 当k相等而b不相等时，两直线平行。 · 当k₁·k₂=-1时，两直线互相垂直。 4.核心应用 描述匀速运动的位移-时间关系、商品总价与数量的线性关系等。 知识3二次函数图像与性质 1.定义与表达式 形如y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数称为二次函数。常见表达式有： · 一般式：y=ax²+bx+c · 顶点式：y=a(x-h)²+k（顶点为(h,k)） · 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（与x轴交点为(x₁,0),(x₂,0)） 2.图像特征 · 图像形状：一条抛物线。 · 开口方向：由二次项系数a决定。a>0，开口向上；a<0，开口向下。 · 对称轴：一条垂直于x轴的直线，方程为x=-或x=h（顶点式中）。 · 顶点：抛物线的最高点或最低点，坐标为(-）或(h,k)。a>0时，顶点为最小值点；a<0时，顶点为最大值点。 · 与坐标轴交点： 5. 与y轴交点：(0,c)。 5. 与x轴交点：即方程ax²+bx+c=0的根，由判别式Δ=b²-4ac决定。Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点（相切），Δ<0无交点。 3.性质分析 · 最值：顶点处取得。a>0有最小值ymin；a<0有最大值ymax。 · 单调性：以对称轴为分界。 2. a>0时：在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。 2. a<0时：在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。 · 对称性：抛物线关于其对称轴成轴对称。 4.核心应用 解决最优化问题（如最大面积、最大利润）、描述抛体运动轨迹、分析经济模型等 知识4反比例函数图像与性质 1.定义与一般形式 形如y=(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。自变量x位于分母，定义域为x≠0。 2.图像特征 · 图像形状：双曲线，由分别位于两个象限的两支曲线组成。 · 图象位置：由比例系数k决定。 · k>0：双曲线的两支分别位于第一、第三象限。 · k<0：双曲线的两支分别位于第二、第四象限。 · 渐近线：双曲线无限接近但永不相交于x轴（直线y=0）和y轴（直线x=0），这两条坐标轴就是其渐近线。 · 对称性： 4. 关于原点O(0,0)成中心对称。 4. 关于直线y=x和y=-x成轴对称。 3.性质分析 增减性：在每一支曲线所在的象限内（注意：不是整个定义域）具有严格的单调性。 0. k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小。 0. k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。 · 比例关系：自变量x与因变量y的乘积恒为定值k，即x·y=k。 4.核心应用 描述两个量成反比的现实模型，如当路程一定时，速度与时间的关系；当电压一定时，电流与电阻的关系；当矩形面积一定时，长与宽的关系等。 一、单选题 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）点在反比例函数图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·安徽芜湖·三模）小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内，过山车的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是（） A．当时， B．这秒内过山车有段下行路线 C．当时，高度（米）随时间（秒）的增大而增大 D．在范围内，当过山车高度是米时，的值有个 3．（2025·安徽合肥·三模）已知二次函数（其中是常数，且）的图象过点，则下列说法正确的是（） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·安徽·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（） A．B．C． D． 5．（2025·安徽亳州·一模）已知点和点都在抛物线上，则的大小关系是（） A． B． C． D．以上结果都有可能 6．（2025·安徽合肥·一模）直线的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为，则的值为（） A． B． C． D． 7．（2025·安徽合肥·二模）直线和的图象可能是（） A． B． C． D． 8．（2025·安徽亳州·一模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（） A． B． C． D． 9．（2025·安徽合肥·三模）如图，圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，点都是圆弧上的点．动点从出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（） A． B． C． D． 10．（2025·安徽亳州·一模）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（2022·江苏镇江·三模）平面直角坐标系中的点位于第二象限，则m的取值范围是______． 12．（2025·安徽宣城·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是______． 13．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一点，点是轴正半轴上一点，直线交反比例函数的图象于点，且，若的面积为，则的值为______． 14．（2025·安徽蚌埠·二模）已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． （1）若，且，则的值为______； （2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为______． 三、解答题 15．（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，放置一个平面直角坐标系，原点O及点A，B，C均在格点上． (1)结合所给图形，写出点的坐标：点A________，点C________； (2)平移得到，其中点A，B，C的对应点分别是，且点与点B关于原点O中心对称，画出，并说明是由怎样平移得到的？ 16．（2025·安徽·模拟预测）端午节是我国传统节日，端午节吃粽子是传统习俗之一．端午节期间，经市场调查发现，某种粽子的进价为40元/盒，售价为50元/盒，每天可售出200盒．若售价每提高1元，则每天少售出5盒．当该种粽子的销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 17．（23-24九年级上·安徽六安·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 18．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点． (1)求k，b的值； (2)若抛物线与x轴交于，且，令，求h的最大值； (3)当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，求c的取值范围． 19．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，若，求的面积． 20．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求b，c的值； (2)若点在函数的图象上，求m的值． 21．（2025·安徽·模拟预测）抛物线顶点坐标为且过点． (1)时，求抛物线解析式； (2)在（1）的条件下，点P位于抛物线在y轴右侧的图像上，求点P到直线距离的最大值； (3)当，时，求y的最小值的取值范围． 22．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． (1)求的值和的顶点坐标． (2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； (3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 23．（2025·安徽合肥·一模）已知二次函数，． (1)当时，求此函数图象的对称轴； (2)若点，均在该函数图象上； （i）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）令，若该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 20/20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数及其性质 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 真题动向 题型01平面直角坐标系 题型02函数的基础知识 题型03正比例函数的图像与性质 题型04一次函数的图像与性质 题型05二次函数的图像与性质 题型06反比例函数的图像与性质 必备知识 知识1平面直角坐标系 知识2一次函数图像与性质 知识3二次函数图像与性质 知识4反比例函数的图像与性质 命题预测 命题 透视 命题形式： 稳定性：每年必考一次函数、反比例函数、二次函数，其中二次函数常居解答压轴题。 层次性：基础题考查概念与简单运算，中档题考查图象性质与简单综合，压轴题考查代数推理与几何综合。 综合性：函数与几何、方程、不等式、实际应用的结合是命题主流。 命题内容： 函数与几何综合：二次函数与三角形面积结合（2022年23题）。 几何与代数综合：反比例函数与平行四边形面积结合（2022年13题） 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 一次函数图像与性质 T7：一次函数图象与性质 T10：分析判断函数图象 T5：函数的图象与性质 T9：函数图象与系数的关系 T6：一次函数的实际应用 二次函数图像与性质 T9：函数图象与系数的关系T23：二次函数性质综合题 T23：二次函数性质综合题 T23：二次函数性质综合题 T23：二次函数性质 综合题 T14：含字母系数的二次函数性质综合题 T22：二次函数性质 综合题 反比例函数的图像与性质 T18：一次函数与反比例函数综合题 T6：一次函数与反比例函数图象与性质 T9：一次函数与反比例函数图象与性质 T13：反比例函数与几何图形结合 T19：一次函数与反比例函数综合题 命题预测 1.考情预测 一次函数：常与行程问题或图象分析结合。 二次函数：必考压轴题。近五年主要考查解析式、最值、存在性问题。预测2026年可能会进一步强化二次函数与几何综合（如面积最值、特殊四边形存在性）的考查难度，以及对函数图象性质（如增减性、对称性）的深度挖掘。 反比例函数：常与几何图形（平行四边形、三角形）结合求面积或k值（如2022年） 2.备考建议 函数基础：熟记一次函数、反比例函数、二次函数的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性）练习重点：待定系数法求解析式、二次函数与线段/周长/面积最值问题、二次函数与等腰三角形/直角三角形/平行四边形存在性问题。 题型01平面直角坐标系 坐标系的组成：两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。水平方向为x轴（横轴），竖直方向为y轴（纵轴）。 点的坐标特征： 各象限内点的符号： 第一象限：(+，+) 第二象限：(－，+) 第三象限：(－，－) 第四象限：(+，－) 坐标轴上点的特征： x轴上点：纵坐标为0（记作 (a,0)） y轴上点：横坐标为0（记作 (0,b)） 原点：(0,0) 对称点坐标规律（点P(a,b)）： 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 → (a,－b) 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数 → (－a,b) 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数 → (－a,－b) 距离与坐标： 点P(a,b)到x轴的距离 = |b| 点P(a,b)到y轴的距离 = |a| 两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)之间的距离​ 平移与坐标变化： 左右平移：左减右加（横坐标变化） 上下平移：下减上加（纵坐标变化） 象限符号混淆：如误将第二象限记作(+,－)，应熟记各象限符号规律。 对称规律记反：如关于x轴对称误认为纵坐标不变横坐标相反。 距离不加绝对值：点到坐标轴的距离是正值，易忘记取绝对值。 平移方向与坐标变化对应错误：如向右平移误写成横坐标减。 坐标轴上点特征不清：如认为x轴上点横坐标为0（实际是纵坐标为0）。 忽略坐标轴上的点不属于任何象限：常被误归入某一象限。 1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 题型02函数的基础知识 1. 函数定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x是自变量。 2. 函数的表示方法 解析式法 列表法 图像法 3.自变量取值范围： 整式：全体实数 分式：分母 ≠ 0 偶次根式：被开方数 ≥ 0 实际问题：还需符合实际意义（如边长>0，时间≥0等） 函数值：给定自变量的值，代入解析式求出的对应值。 函数图像：一般用描点法（列表、描点、连线），注意连线要平滑，根据定义域确定图像范围。 对函数定义理解不深：误以为一个x对应多个y也是函数，需强调“唯一确定”。 自变量取值范围考虑不全：只考虑分式或根式，忽略实际问题中的隐含条件（如人数为正整数）。 实际问题忽略自变量的实际意义：如表示时间则不能为负数。 画图像时描点不准确或连线不当：如描点太少导致图像失真，或把不该连的点连起来（如分段函数）。 混淆函数与函数值：函数是变量之间的关系，函数值是具体数值。 1．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 题型03正比例函数的图象与性质 定义：形如y=kx（k≠0）的函数叫做正比例函数。其中k为比例系数。 图像：是一条经过原点(0,0)的直线。 性质： k>0k>0：图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大。 k<0k<0：图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 |k|越大，直线越陡（越靠近y轴）。 待定系数法求解析式：只需知道一个点（除原点外）的坐标，代入y=kx求出k。 忽略k≠0的条件：误认为y=0也是正比例函数（实际上y=0是常数函数，不是正比例函数）。 混淆正比例函数与一次函数：正比例函数是一次函数的特例（b=0），但一次函数不一定是正比例函数。 k的正负与象限对应错误：如k>0误认为过二四象限。 增减性描述不准确：如在k<0时，误说成“y随x增大而增大”。 待定系数法计算错误：代入时符号或数值错误。 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 2．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 3．（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、在同一正比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时， ∵， ∴，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 题型04一次函数的图像与性质 定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时即为正比例函数。 图像：是一条直线。 k决定直线的倾斜方向和程度： k>0：直线从左向右上升，y随x增大而增大 k<0：直线从左向右下降，y随x增大而减小 |k|越大，直线越陡 b决定直线与y轴交点的位置： b>0：交于y轴正半轴 b<0：交于y轴负半轴 b=0：过原点 求解析式（待定系数法）：已知两点坐标（或一点和斜率等）代入y=kx+by=kx+b解方程组求出k,b。 平移规律： 左右平移：y=k(x±m)+b（左加右减自变量） 上下平移：y=kx+b±m（上加下减常数项） 忽略k≠0：误将y=b（常数函数）当作一次函数。 混淆k和b的作用：如把b当作斜率，k当作截距。 平移规律记反：如向右平移m个单位，误写为y=k(x+m)+b（正确应为y=k(x−m)+b。 求交点坐标时计算错误：如求x轴交点，令y=0，解方程时符号出错。 面积计算忘记加绝对值：交点坐标可能为负，面积应为正。 实际问题中自变量取值范围被忽略：如行程问题中时间、路程非负，导致图像只是射线或线段。 1．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 2．（2025·四川·中考真题）函数的图象为() A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项． 令，则，解得，即函数与x轴的交点为； 令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】BD 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； 故选：． 题型05二次函数的图象与性质 定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数。 图像：是一条抛物线。 开口方向：a>0开口向上；a<0开口向下。 顶点坐标：(，) 对称轴：直线x= 与y轴交点：(0,c) 性质： 最值：当a>0时，在顶点处取最小值；当a<0时，在顶点处取最大值。 增减性：以对称轴为界，左右两侧增减性相反。 解析式的三种形式： 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）（已知三点坐标） 顶点式：y=a(x−h)2+k（已知顶点(h,k)及另一点） 交点式：y=a(x−x1)(x−x2)（已知与x轴两交点及另一点） 平移规律：y=a(x−h)2+k可由y=ax2平移得到：左加右减（h），上加下减（k）。 与一元二次方程的关系： 抛物线与x轴的交点横坐标即对应方程ax2+bx+c=0的根。 判别式Δ=b2−4ac决定交点个数：Δ>0两个交点，Δ=0一个交点（顶点在x轴上），Δ<0无交点。 忽略a≠0：在含参数问题中未讨论二次项系数为0的情况。 顶点坐标公式记错：如把​记成​，或纵坐标公式分母记成2a等。 对称轴与顶点混淆：对称轴是一条直线，顶点是一个点，常误把对称轴当顶点坐标。 开口方向与a符号对应错误：如a<0a<0时误认为开口向上。 平移时左右移影响h的符号混淆：如由y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，误写成y=a(x−1)2。 最值问题中忽略自变量范围：当自变量被限制在某区间时，最值不一定在顶点取到，需考虑区间端点。 实际应用中忽略值的合理性：如面积问题中边长不能为负，需舍去不合理的根。 1．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解：二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式的顶点坐标为是解题关键． 根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接读取函数中的和值． 【详解】∵抛物线为，与顶点式对比， 得,， ∴顶点坐标为， 故选：A． 3．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 4．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C． 题型06反比例函数的图象与性质 定义：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 图像：是双曲线，两分支分别位于两个象限。无限接近坐标轴但永不相交。 性质： k>0：图像位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 k<0：图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 双曲线关于原点对称，也关于直线y=x和y=−x对称。 k的几何意义： 过双曲线上任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为∣k∣。 连接该点与原点，所得三角形面积为。 待定系数法求解析式：已知一个点的坐标（非原点），代入y=kx求出k。 忽略k≠0：误认为y=0也是反比例函数。 性质描述忽略“在每个象限内”：如k>0时，直接说“y随x增大而减小”是错误的，因为在不同象限不能直接比较。 k的几何意义中面积与k的关系易忘绝对值：面积总是正的，但k可正可负，所以面积 = |k|。 自变量取值范围 x≠0 被忽视：导致画图像时错误地连成一条连续曲线。 比较函数值大小时忽略象限：如比较点A(-2,y₁)和B(3,y₂)在k>0时，不能直接用增减性，需判断象限后比较。 与一次函数结合求交点时，忽略分式方程增根：需检验所得x是否使分母为0。 1．（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，即反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则，反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则，据此作答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， ∴即可， ∴， 故答案为：1（答案不唯一）． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据，反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时，进行判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时， ∵， ∴， 即， 故选：． 3．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 知识1平面直角坐标系 1.定义与构成 平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴构成。水平的数轴称为x轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴（纵轴），取向上为正方向。两轴的交点O称为坐标原点。坐标系所在的平面被分为四个象限，从右上角开始逆时针方向依次为第一、第二、第三、第四象限。 2.核心概念与表示 · 点的坐标：平面内任意一点P的位置可以用一对有序实数（x,y）来表示，记为P(x,y)。其中x是点P到y轴的有向距离，称为横坐标；y是点P到x轴的有向距离，称为纵坐标。 · 象限内点的坐标符号特征： · 第一象限：(+,+) · 第二象限：(-,+) · 第三象限：(-,-) · 第四象限：(+,-) · 坐标轴上的点：x轴上的点纵坐标为0，记为(x,0)；y轴上的点横坐标为0，记为(0,y)；原点坐标为(0,0)。 3.核心应用与距离公式 · 定位与几何图形表示：坐标系是连接代数与几何的桥梁，任何几何图形（如直线、曲线）都可以用满足特定代数关系的点集来表示。 · 两点间距离公式：对于点A(x₁,y₁)和点B(x₂,y₂)，它们之间的距离AB= · 中点坐标公式：线段AB的中点M的坐标为(,(y₁+y₂)/2)。 知识2一次函数图像与性质 1.定义与一般形式 形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数称为一次函数。其中k称为斜率，b称为y轴截距。当b=0时，函数退化为正比例函数y=kx。 2.图像特征 · 图像形状：一条直线。 · 作图方法：“两点确定一条直线”。常选取与坐标轴的交点：与y轴交点(0,b)，与x轴交点(-b/k,0)（当k≠0时）。 · 参数影响： · 斜率k：决定直线的倾斜方向和陡峭程度。 · k>0：直线从左向右上升。 · k<0：直线从左向右下降。 · |k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。 · 截距b：决定直线与y轴交点的位置。b>0交于正半轴，b<0交于负半轴。 3.性质分析 · 单调性：由斜率k的符号决定。 · k>0时，函数在定义域R上单调递增。 · k<0时，函数在定义域R上单调递减。 · 特殊位置关系： · 当k相等而b不相等时，两直线平行。 · 当k₁·k₂=-1时，两直线互相垂直。 4.核心应用 描述匀速运动的位移-时间关系、商品总价与数量的线性关系等。 知识3二次函数图像与性质 1.定义与表达式 形如y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数称为二次函数。常见表达式有： · 一般式：y=ax²+bx+c · 顶点式：y=a(x-h)²+k（顶点为(h,k)） · 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（与x轴交点为(x₁,0),(x₂,0)） 2.图像特征 · 图像形状：一条抛物线。 · 开口方向：由二次项系数a决定。a>0，开口向上；a<0，开口向下。 · 对称轴：一条垂直于x轴的直线，方程为x=-或x=h（顶点式中）。 · 顶点：抛物线的最高点或最低点，坐标为(-）或(h,k)。a>0时，顶点为最小值点；a<0时，顶点为最大值点。 · 与坐标轴交点： 5. 与y轴交点：(0,c)。 5. 与x轴交点：即方程ax²+bx+c=0的根，由判别式Δ=b²-4ac决定。Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点（相切），Δ<0无交点。 3.性质分析 · 最值：顶点处取得。a>0有最小值ymin；a<0有最大值ymax。 · 单调性：以对称轴为分界。 2. a>0时：在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。 2. a<0时：在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。 · 对称性：抛物线关于其对称轴成轴对称。 4.核心应用 解决最优化问题（如最大面积、最大利润）、描述抛体运动轨迹、分析经济模型等 知识4反比例函数图像与性质 1.定义与一般形式 形如y=(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。自变量x位于分母，定义域为x≠0。 2.图像特征 · 图像形状：双曲线，由分别位于两个象限的两支曲线组成。 · 图象位置：由比例系数k决定。 · k>0：双曲线的两支分别位于第一、第三象限。 · k<0：双曲线的两支分别位于第二、第四象限。 · 渐近线：双曲线无限接近但永不相交于x轴（直线y=0）和y轴（直线x=0），这两条坐标轴就是其渐近线。 · 对称性： 4. 关于原点O(0,0)成中心对称。 4. 关于直线y=x和y=-x成轴对称。 3.性质分析 增减性：在每一支曲线所在的象限内（注意：不是整个定义域）具有严格的单调性。 0. k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小。 0. k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。 · 比例关系：自变量x与因变量y的乘积恒为定值k，即x·y=k。 4.核心应用 描述两个量成反比的现实模型，如当路程一定时，速度与时间的关系；当电压一定时，电流与电阻的关系；当矩形面积一定时，长与宽的关系等。 一、单选题 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）点在反比例函数图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点的坐标代入反比例函数，求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标特征为：， ∵，，，， ∴在此函数图象上，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；掌握反比例函数图象上点的坐标特征，即纵横坐标的积等于k（定值）是解决问题的关键． 2．（2025·安徽芜湖·三模）小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内，过山车的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是（） A．当时， B．这秒内过山车有段下行路线 C．当时，高度（米）随时间（秒）的增大而增大 D．在范围内，当过山车高度是米时，的值有个 【答案】D 【分析】根据某一分钟内过山车高度米与时间秒之间的函数图象逐项分析判断即可求解． 本题主要考查了函数的图象，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 【详解】C解：结合图象，当解：A、时，，故该选项说法错误，不符合题意； B、结合图象，这秒内过山车有段下行路线，故该选项说法错误，不符合题意； C、当时，过山车的高度在不断下降，故该选项说法错误，不符合题意； D、在范围内，当过山车高度是米时，的值有个，故该选项说法正确，符合题意． 故选：D． 3．（2025·安徽合肥·三模）已知二次函数（其中是常数，且）的图象过点，则下列说法正确的是（） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 把代入得到，，，列式子逐一判断即可． 【详解】解：∵过点， ∴， ∴，，， ∴，故A错误； ∵， ∴， 解得：，故B错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确； 故选：D． 4．（2025·安徽·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的图象特征是解题关键．先根据抛物线的开口向上可得，再根据对称轴可得，然后根据一次函数的图象特征即可得． 【详解】解：∵二次函数图象的开口向上， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 5．（2025·安徽亳州·一模）已知点和点都在抛物线上，则的大小关系是（） A． B． C． D．以上结果都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，对称轴是y轴，时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大． 根据时抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是y轴，离对称轴越远函数值越大． ∵， ∴． 故选C． 6．（2025·安徽合肥·一模）直线的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．设直线与x、y轴相交于A、B，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：设直线与x、y轴相交于A、B，如图， ∵是向上方向与x轴正方向所夹的锐角， ∴， ∵当时，；当时，，解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（2025·安徽合肥·二模）直线和的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 首先设定一个为一次函数的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可． 【详解】解： 的图像与y轴的交点坐标在x轴上方，故排除A、B选项 C、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，；由的图象可知，，则，两结论不互相矛盾，故正确； D、如果过第一、二、三象限的图象是，由的图象可知，；由y2的图象可知，，则，两结论相矛盾，故错误． 故选C． 8．（2025·安徽亳州·一模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴位于y轴的左侧， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由抛物线与x轴的交点坐标可知，对称轴， ∵， ∴，即，故B选项错误，不符合题意； 由图可知，当时，，故C选项错误，不符合题意； 由图可知，当时，，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 9．（2025·安徽合肥·三模）如图，圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，点都是圆弧上的点．动点从出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，圆周角定理，函数解析式，弧长公式等知识点，难度较大，解题的关键注意分类讨论思想的应用． 连接，根据相切两圆的连心线经过切点得到共线，然后分三种情况讨论，利用弧长公式建立函数关系式，即可判断． 【详解】解：连接 ∵半圆经过点，且分别与圆切于点，圆的半径为2， ∴共线，半圆的半径为1， 当点在半圆上时， ∵的度数为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，, 当时，随的增大而减小； 当点在半圆上时， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而减小； 当点在下半圆上， 则， ∴ ∴当时，随的增大而增大， 综上可得：关于的函数解析式为， 故选：B． 10．（2025·安徽亳州·一模）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由二次函数图象与性质确定系数及式子符号、函数最大值定义、函数与方程的关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图象与性质判定符号，进而判断①错误；令时，由图象中点的位置即可判断②正确；由最大值定义即可判断③正确；由函数图象与方程的关系即可判断④正确，从而得到答案． 【详解】解：由抛物线开口向下，可得； 由抛物线对称轴是直线，可得，结合即可确定； 由抛物线与轴交点在正半轴上，可得； 综上可得，故①错误； 二次函数图象与轴交于点，对称轴是直线， 二次函数图象与轴另一个交点为， 则当时，，故②正确； 由可得，则， 又抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线有最大值，为， 则由最大值定义，当时（为任意实数），，故③正确； 由抛物线的对称性可知，若抛物线经过，则抛物线必定经过， 关于的一元二次方程的两个根就是抛物线与直线的交点的横坐标， 当抛物线经过和时，关于的一元二次方程的两个根分别是，，故④正确； 综上所述，结论中正确的是②③④，共3个， 故选：C． 二、填空题 11．（2022·江苏镇江·三模）平面直角坐标系中的点位于第二象限，则m的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】根据点在第二象限得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：点位于第二象限， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标和解一元一次不等式组，能根据点的位置得出不等式组是解此题的关键． 12．（2025·安徽宣城·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了函数和不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 根据一次函数图象和反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标即可得出不等式的解集． 【详解】解：将代入得： ， 解得：， 反比例函数解析式为：， 将代入反比例函数解析式得： ， 解得：， ， 观察图象发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 13．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一点，点是轴正半轴上一点，直线交反比例函数的图象于点，且，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】过点作轴，垂足为，证明出，得到，然后根据反比例函数值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数值的几何意义，全等三角形的性质和判定，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 在和中， ， ， ， 的面积为， ， ， 故答案为：． 14．（2025·安徽蚌埠·二模）已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． （1）若，且，则的值为______； （2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为______． 【答案】1 【分析】（1）根据题意是方程的两个根，且，，得到，结合，得到，因式分解即可； （2）根据题意，得，一定是抛物线的顶点，得到，，，故，得，从而得到，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标应用，抛物线与一元二次方程，根与系数关系定理，因式分解，完全平方公式应用，熟练掌握抛物线性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． ∴是方程的两个根，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得， ∵函数的图象与轴仅有一个交点， ∴一定是抛物线的顶点， ∴，， ∴，， ∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． ∴是方程的两个根，且，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 三、解答题 15．（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，放置一个平面直角坐标系，原点O及点A，B，C均在格点上． (1)结合所给图形，写出点的坐标：点A________，点C________； (2)平移得到，其中点A，B，C的对应点分别是，且点与点B关于原点O中心对称，画出，并说明是由怎样平移得到的？ 【答案】(1)； (2)见解析，是由向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到的． 【分析】本题考查作图平移变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案． （2）根据中心对称的性质可得点，再根据平移的性质画图，可得答案． 【详解】（1）解：由图可得，，． 故答案为：；． （2）解：如图，即为所求． 则是由向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到的． 16．（2025·安徽·模拟预测）端午节是我国传统节日，端午节吃粽子是传统习俗之一．端午节期间，经市场调查发现，某种粽子的进价为40元/盒，售价为50元/盒，每天可售出200盒．若售价每提高1元，则每天少售出5盒．当该种粽子的销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】该种粽子的销售单价为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是3125元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键． 设该种粽子的销售单价为a元，每天获得的利润是w元，根据售价为50元/盒，每天可售出200盒．若售价每提高1元，则每天少售出5盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解． 【详解】解：设该种粽子的销售单价为a元，每天获得的利润是w元， 则 当时，有最大值，最大值为3125元． ∴该种粽子的销售单价为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是3125元． 17．（23-24九年级上·安徽六安·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 18．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点． (1)求k，b的值； (2)若抛物线与x轴交于，且，令，求h的最大值； (3)当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，求c的取值范围． 【答案】(1)1，1 (2) (3)或 【分析】（1）将和分别代入直线表达式中可求得k和n值，再根据抛物线的对称轴公式求解b值即可； （2）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，进而得到，再结合得出，则，最后根据二次函数的性质求最值即可； （3）联立方程组可得，然后分两种情况，分别结合方程根取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将点代入可得：，解得， ∴直线方程为， 把代入得：解得，即交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵抛物线与x轴交于，， ∴对称轴为， ∴，即， ∵， ∴，即，解得：． ∵ ∴对称轴为，， ∴当时，h的最大值为． （3）解：联立直线和抛物线，可得，即， 令，对称轴为直线， 当时，二次函数g的图象与x轴有且只有一个公共点，分两种情况： ①当二次函数g的图象的顶点在x轴上时满足条件，此时，解得； ②当时，， 当时，， 根据图象可知，当时满足条件，解得：， 综上，c的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合、待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识点，认真分析题意、找寻知识之间的关联点是解题的关键． 19．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可； （2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：∵轴于点D，， ∴， ∴将代入得， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴． 20．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求b，c的值； (2)若点在函数的图象上，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点和代入计算即可； （2）将点的横坐标代入已求出的抛物线方程，计算对应的y值即得m． 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）知抛物线方程为， ∵点在函数的图象上， ∴． 21．（2025·安徽·模拟预测）抛物线顶点坐标为且过点． (1)时，求抛物线解析式； (2)在（1）的条件下，点P位于抛物线在y轴右侧的图像上，求点P到直线距离的最大值； (3)当，时，求y的最小值的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用相关性质知识是解题的关键． 本题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质等知识点 （1）由二次函数的性质以及已知条件可得，即；然后将代入求得即可； （2）先求得抛物线与x轴交于，与y轴交于，直线与x轴交于，与y轴交于，易得；如图：过点P作轴交于M，于N，易证，由相似三角形的性质可得，，则，易得，最后根据二次函数的性质求解即可； （3）先得到抛物线的解析式为，然后根据分情况解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为，， ∴对称轴，解得：， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式． （2）解：∵， ∴抛物线与x轴交于，与y轴交于， ∵直线，当时，， ∴直线与x轴交于，与y轴交于， ∴， ∴， 如图：过点P作轴交于M，于N， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∵ ∴最大值为，即点P到直线距离的最大值为． （3）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线可表示为， ∵抛物线过点， ∴ ∴ ∴， ①当时，y在时取最小值，即， ②当时，y在x＝0时取最小值即， ∵， ∴当时，y在或4时取最小值，即． 综上：求y的最小值的范围为． 22．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． (1)求的值和的顶点坐标． (2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； (3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解； （3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，根据顶点坐标求最值即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， ， 顶点坐标为； （2）解：联立得， 整理得 ∴两个图形一定有交点， 整理得 ∴当时，无论取何值， 由（1）得，的顶点坐标为， ∴与总交于一个定点的坐标为， 故答案为：； （3）解： 如图所示， 当时，抛物线， 平移之后顶点坐标为，即 ∴平移之后 ，此二次函数抛物线开口向下， 可求顶点横坐标为，， ∴顶点纵坐标为最大值 当时，代入二次函数得， ∴面积的最大值 23．（2025·安徽合肥·一模）已知二次函数，． (1)当时，求此函数图象的对称轴； (2)若点，均在该函数图象上； （i）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）令，若该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)（i）存在，；（ii） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将代入，整理得，即可求解对称轴； （2）（i）将点，代入，求出，，再代入求解即可； （ⅱ）先求出，再由二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 则， ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：（i）存在，理由如下： 由题意得，将点，代入， 则，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （ii）将，，代入， 整理得， 可得对称轴为直线，抛物线开口向上， 如图： ∵该函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大， ∴， 解得 ∴a的取值范围为． 2/50 学科网（北京）股份有限公司 $