专题02 利用勾股定理求最短路径问题（4大题型）（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

专题02 利用勾股定理求最短路径问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆柱中的最短路径模型 1 题型二、长方体中的最短路径模型 6 题型三、阶梯中的最短路径模型 10 题型四、将军饮马与最短路径模型 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆柱中的最短路径模型 【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下： 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算. 注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； （2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数. 【最值原理】两点之间线段最短. 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是 cm． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（取） 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 题型二、长方体中的最短路径模型 【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下： 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论. 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同. 【最值原理】两点之间线段最短. 5．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 7．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 题型三、阶梯中的最短路径模型 【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下： 注意：展开—定点—连线—勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短. 9．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是 米（墙面与地面垂直） 10．（25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 11．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 12．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 题型四、将军饮马与最短路径模型 【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下： 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决. 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解. 【最值原理】两点之间线段最短. 13．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，小区与公路的距离，小区与公路的距离．已知，现要在公路旁建造一家利民超市，使超市到，两小区的路程之和最短． (1)请在图中画出点，并写出画法． (2)求的最小值． 14．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 16．（25-26八年级上·全国·假期作业）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 一、单选题 1．如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ） A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 2．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是多少米？（　　） A．15 B． C．13 D．10 3．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 5．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路比走路”少了 米． 6．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 7．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ． 8．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米． 三、解答题 9．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 10．如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 11．如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 12．如图，观察图形解答下面的问题： (1)此图形的名称为_______； (2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_______； (3)如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)的长为10，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方． 13．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 14．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 15．【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 利用勾股定理求最短路径问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆柱中的最短路径模型 1 题型二、长方体中的最短路径模型 6 题型三、阶梯中的最短路径模型 10 题型四、将军饮马与最短路径模型 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆柱中的最短路径模型 【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下： 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算. 注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； （2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数. 【最值原理】两点之间线段最短. 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是 cm． 【答案】13 【分析】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题的关键是画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，连接， 根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线． 由题可得：， 由勾股定理得： ， 故答案为：13． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（取） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，先求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴它至少要走的路程， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题、勾股定理及圆柱的体积，熟知勾股定理及能根据题意画出示意图是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算即可； （2）①在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可； ②在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 题型二、长方体中的最短路径模型 【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下： 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论. 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同. 【最值原理】两点之间线段最短. 5．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 7．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 题型三、阶梯中的最短路径模型 【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下： 注意：展开—定点—连线—勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短. 9．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是 米（墙面与地面垂直） 【答案】 【分析】本题主要考查平面展开--最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，正确利用立体图形中的最短距离、通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将墙面与地面展开到同一平面，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是3米， 米， （米）， （米）， （米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故答案为：米． 10．（25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 【答案】130 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形， ∵台阶阶梯每一层高，宽，长， ∴，， ∴在中，． 故答案为：130． 11．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 12．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，如图， 由题意得， ， 故这只蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ，此时蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短，最短路程为的长， ， ∴， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 题型四、将军饮马与最短路径模型 【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下： 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决. 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解. 【最值原理】两点之间线段最短. 13．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，小区与公路的距离，小区与公路的距离．已知，现要在公路旁建造一家利民超市，使超市到，两小区的路程之和最短． (1)请在图中画出点，并写出画法． (2)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作点关于的对称点，连接，交于点，即可得到结果； （2）由对称性得的最小值为线段的长，过点作，交的延长线于点，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，即为所求的点． （2）解：由对称性，得的最小值为线段的长． 如图，过点作，交的延长线于点． 在中，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，确定出的位置是解决本题的关键． 14．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解． （1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可； （3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可得， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴最小值为； （3）解：∵， ∴代数式的值表示点到点和点的距离之和， 设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为， ∴， ∴代数式的最小值为． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 【答案】（）；（）；（）（）． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）以和对应直角三角形斜边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】解：（）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为； （）如图，构造，于点，，， 设， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴方程的解是， 故答案为：； （）构造，，，，，，，如图所示， 过点作，交延长线于点， 则，，， 设，则，，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在中,由勾股定理得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·假期作业）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）千米； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 由勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，由勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 一、单选题 1．如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ） A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 【答案】D 【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可得出结论． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出台阶的表面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：如图所示 （分米） 答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是20分米． 故选：D 2．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是多少米？（　　） A．15 B． C．13 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故选：D． 3．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，长方体的展开图，理解题意、掌握立方体的展开图是解题关键． 将长方体展开，连接，根据两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，共有种情况： ①如图， ，， 由勾股定理，得：； ②如图， ，， 由勾股定理，得：； ③如图， ，， 由勾股定理，得：； ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 故选：B． 4．如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将六棱柱侧面展开后，再运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为的长，    由勾股定理得，， 这圈金属丝的长度至少为． 故选：A． 二、填空题 5．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路比走路”少了 米． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键． 在中，直接利用勾股定理得出的长，再利用进而得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， 根据题意得，，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 7．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接， 根据题意：，， 在中，由勾股定理得：. 故答案为：． 8．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径的计算，理解题意，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，将立体图形展开，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，米， 点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B， 米， ∴米， 故答案为： ． 三、解答题 9．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【答案】． 【分析】把圆柱侧面展开成平面矩形，利用轴对称性质将蚂蚁爬行的路径转化为平面上两点间的线段，再借助勾股定理计算最短路径长度．本题主要考查了圆柱侧面展开图、轴对称性质及勾股定理的应用，熟练掌握“将立体图形中的最短路径问题转化为平面图形中两点间线段问题，借助轴对称和勾股定理求解”是解题的关键． 【详解】解：如图： 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部周长的一半为，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 10．如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 【答案】(1)； (2)，图见解析 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键． （1）根据的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案； （2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路径的长度． 【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知，的长为圆柱底面圆的周长， 圆柱的底面直径为， ； （2）解：如图所示： 由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段， 由（1）知，高， ， 在中，由勾股定理可得． 11．如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】(1)，， (2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论； （2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：将长方体表面展开， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，； （2）解：，即， ， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 12．如图，观察图形解答下面的问题： (1)此图形的名称为_______； (2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_______； (3)如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)的长为10，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方． 【答案】(1)圆锥 (2)扇形 (3)见解析 (4)125 【分析】本题考查勾股定理应用、圆锥的侧面展开图，“化曲面为平面”等知识，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）根据几何体的特点可判断此图形为圆锥； （2）圆锥的侧面展开图是扇形； （3）要求蜗牛爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果； （4）直接用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）解：此图形的名称为圆锥; 故答案为：圆锥； （2）动手操作略．它的侧面展开图是一个扇形； 故答案为：扇形； （3）把此立体图形的侧面展开，如答图所示，连接，则为蜗牛爬行的最短路线． （4）由题易知． 在中，由勾股定理，得． 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125． 13．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 14．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 15．【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $