精品解析：山东聊城市颐中外国语学校2025-2026学年九年级下学期数学限时练习（一）

2025-2026学年九年级下学期数学限时练习（一） 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 如图是由三个大小相同的正方体搭成的立体图形，从上面看这个立体图形，能得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年3月12日，《哪吒2》的全球总票房突破149亿，超越《复仇者联盟3》，跻身全球影史票房榜的前6名．将14900000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，直线c与直线a、b分别交于点A、B，射线直线c，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 方程的为某数，用语言叙述方程含义，准确的是（ ） A. 某数的与的一半的差等于 B. 某数的的一半与的差等于 C. 某数与的差的的一半等于 D. 某数的与的差的一半等于 7. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示是一游戏转盘，将两个转盘各转一次，然后将指针指向的数相乘，则两次指针指向的数之积为2的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（ ）． A. 3 B. 6 C. D. 10. 如图，图书馆把密码做成了数学题．小星在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么他输入的密码是（ ） A. 401388 B. 404888 C. 401380 D. 304882 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子有意义，则的取值范围是___________． 12. 计算的结果是__________． 13. 一元二次方程的判别式为0，则______． 14. 如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 15. 如图，正方形的边长为4，点E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接，，则的最小值为________． 三．解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 茂名地区的荔枝和三华李已入选广东非物质文化遗产名录．为满足消费者需求，某超市购进荔枝和三华李，已知荔枝比三华李每千克进价少2元，用900元购进荔枝与用1100元购进三华李的重量相同． （1）求荔枝和三华李每千克进价分别是多少元； （2）本次购进荔枝和三华李共800千克，均按每千克13元出售，购进荔枝的重量不超过三华李重量的3倍，且重量不少于400千克．若该批水果全部售完，则该超市应购进荔枝和三华李各多少千克才能获得最大利润？最大利润是多少？ 18. 如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，，且，求的面积． 19. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 20. 爱知中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）所调查学生测试成绩中位数为_______；众数为_______； （3）若该校九年级共有学生1250人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于9分的学生约有多少人？ 21. 如图，在中，是边上的点．过点作交于点，垂足为，过点作，垂足为，连接，经过点，，的与边另一个公共点为，连接，． （1）求证：； （2）若，，，，求的半径． 22. 【综合与实践】 如图，在数学活动课上，小明同学将等边三角形纸片与等腰直角三角形拼接在一起，并作了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，连接，求证：平分； 【深入探究】 （2）如图2，作的角平分线，连接，小明认为，会平分，请判断小明的想法对不对，并说明理由； 【拓展提升】 （3）在第（2）问的基础上，M，N分别为，上的动点，当的值最小时，猜想，，三条线段之间的数量关系，并给予证明． 23. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且其顶点在直线上． （1）求a的值； （2）直线与x轴交于点D，若，求直线的函数表达式； （3）直线l与抛物线相交于M，N两点，若，试探究直线l是否经过一个定点Q，若经过，求出点Q的坐标；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期数学限时练习（一） 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是负数正数，两个负数，绝对值大的反而小，是一道基础题．根据有理数的大小比较方法，找出最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最小， 故选：C． 2. 如图是由三个大小相同的正方体搭成的立体图形，从上面看这个立体图形，能得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同的方向看一个几何体，根据从上面观察几何体做出选择即可得到结论． 【详解】解：从上面看这个立体图形，能得到的平面图形是： 故选：C． 3. 截至2025年3月12日，《哪吒2》的全球总票房突破149亿，超越《复仇者联盟3》，跻身全球影史票房榜的前6名．将14900000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：D． 4. 如图，已知直线，直线c与直线a、b分别交于点A、B，射线直线c，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂直的定义得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：如图， ∵射线直线c，， ∴， ∵， ∴． 5. 下列各式运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘除法的运算法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：∵幂的乘方法则为底数不变，指数相乘， ∴，A运算正确； ∵合并同类项时，字母和指数不变，系数相加， ∴，B运算错误； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，C运算错误； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，D运算错误． 6. 方程的为某数，用语言叙述方程含义，准确的是（ ） A. 某数的与的一半的差等于 B. 某数的的一半与的差等于 C. 某数与的差的的一半等于 D. 某数的与的差的一半等于 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目信息，理清题中的数量关系和关键词即可得答案. 【详解】表示某数的与的差的一半等于， 故选D 【点睛】此题考查了代数式，根据题目中的数量关系，抓住关键词即可. 7. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质（矩形的四个角都是直角）以及同角的余角相等这一知识点，通过矩形性质得到直角，再利用角的关系求解．理解矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质得出相关角的度数，再通过角的和差关系求出的度数． 【详解】解： 四边形是矩形， 又四边形是矩形， ， ，由， ． 故选：． 8. 如图所示是一游戏转盘，将两个转盘各转一次，然后将指针指向的数相乘，则两次指针指向的数之积为2的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，看两次指针指向的数之积为2的结果占总结果数的多少即可． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有8种等可能出现的结果，其中两次指针指向的数之积为2的结果有3种， 所以两次指针指向的数之积为2的概率为， 故选：C． 9. 如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（ ）． A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，如图所示，首先由菱形性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质证明是等边三角形，构建垂线段最短，可知当时，最短，即最短． 【详解】解：连接，，，如图所示： 四边形是菱形， ， ， ，都是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 时，最小， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴， 的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质、动点最值问题-垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用垂线段最短解决最值问题． 10. 如图，图书馆把密码做成了数学题．小星在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么他输入的密码是（ ） A. 401388 B. 404888 C. 401380 D. 304882 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律的探索与应用，熟练掌握分析已知算式的对应位运算规律是解题的关键． 先分析已知算式的规律，拆分结果的每一位对应运算，再按规律计算“”的结果． 【详解】解：以“”为例： （结果前两位）， （结果中间两位）， （结果后两位）． 验证“”： ， ， ，符合规律． 验证“”： ， ， ，符合规律． 计算“”： ， ， ， ∴密码：404888． 故选：B． 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数． 根据分式和二次根式有意义的条件列式计算即可． 【详解】解：由题意得：且，解得：． 故答案为：． 12. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算以及因式分解，根据运算法则即可求解． 【详解】 故答案为： 13. 一元二次方程的判别式为0，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵的判别式为0， ∴， ∴. 14. 如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度至少为． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，正方形的边长为4，点E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，可得，从而可得，即当A，E，F，C四点共线时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A，E，F，C四点共线时，的值最小，最小值为的值， 如图， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及最值问题，作出辅助线是解题的关键． 三．解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，负整数和0指数幂，二次根式的化简，也考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，计算负整数和0指数幂，化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式 17. 茂名地区的荔枝和三华李已入选广东非物质文化遗产名录．为满足消费者需求，某超市购进荔枝和三华李，已知荔枝比三华李每千克进价少2元，用900元购进荔枝与用1100元购进三华李的重量相同． （1）求荔枝和三华李每千克进价分别是多少元； （2）本次购进荔枝和三华李共800千克，均按每千克13元出售，购进荔枝的重量不超过三华李重量的3倍，且重量不少于400千克．若该批水果全部售完，则该超市应购进荔枝和三华李各多少千克才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）荔枝每千克9元，三华李每千克11元 （2）当购进荔枝600千克，三华李200千克时获利最大，最大利润为2800元 【解析】 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键． （1）设荔枝每千克x元，则三华李每千克元，根据“用900元购进荔枝与用1100元购进三华李的重量相同”列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设超市获得利润为y元，购进荔枝m千克，则购进三华李千克，根据“购进荔枝的重量不超过三华李重量的3倍，且重量不少于400千克”求出m的取值范围，再根据一次函数的性质求出答案即可． 【小问1详解】 解：设荔枝每千克x元，则三华李每千克元， 由题意可得：， 解得． 经检验是原分式方程的解， ∴， 答：荔枝每千克9元，三华李每千克11元． 【小问2详解】 解：设超市获得利润为y元，购进荔枝m千克，则购进三华李千克， ∵， ∴， ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，y的值最大，， 三华李数量千克． 答：当购进荔枝600千克，三华李200千克时获利最大，最大利润为2800元． 18. 如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）6 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 19. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 20. 爱知中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）所调查学生测试成绩中位数为_______；众数为_______； （3）若该校九年级共有学生1250人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于9分的学生约有多少人？ 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）9，10 （3）700人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图； （2）利用中位数、众数的求法，直接求值即可； （3）先计算抽样学生中成绩不低于9分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况． 【小问1详解】 解：∵抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的， ∴本次抽样人数为：（人）， ∵成绩9分的人数占抽样人数的， ∴抽样学生中成绩为9分的有：（人）， 【小问2详解】 把该组数据按从小到大的顺序排列后，第24、25个数都是9， ∴该组数据的中位数是9， 该组数据中，10分出现的次数最多， ∴众数是10， ∴所调查学生测试成绩，中位数为9，众数为10； 故答案为：9，10； 【小问3详解】 由扇形图知，抽样学生中成绩不少于9分的占：， ∴该校九年级学生在体育模拟测试中不低于9分的学生约有：（人）， ∴该校九年级学生在体育模拟测试中不低于9分的学生约有700人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图和扇形统计图，并掌握中位数、众数的求法是解题的关键． 21. 如图，在中，是边上的点．过点作交于点，垂足为，过点作，垂足为，连接，经过点，，的与边另一个公共点为，连接，． （1）求证：； （2）若，，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）根据垂直的意义可得，从而可得，，根据同角的余角相等可得，再根据圆周角定理得出，从而可得出结论成立； （2）先根据等边对等角证得，从而可得，于是可求得，再根据圆内接四边形的性质得出，结合，可证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后利用正切求得，从而可得，进而求得，再利用线段差求得，利用勾股定理求得，再说明是的直径，求得的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 由题意可得：， 由（1）知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题关键是找准相似三角形求解相关线段． 22. 【综合与实践】 如图，在数学活动课上，小明同学将等边三角形纸片与等腰直角三角形拼接在一起，并作了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，连接，求证：平分； 【深入探究】 （2）如图2，作的角平分线，连接，小明认为，会平分，请判断小明的想法对不对，并说明理由； 【拓展提升】 （3）在第（2）问的基础上，M，N分别为，上的动点，当的值最小时，猜想，，三条线段之间的数量关系，并给予证明． 【答案】 （1）证明：等边三角形与等腰直角三角形中，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）小明的想法是对的，理由如下： 如图，延长到点，使得， 等边三角形与等腰直角三角形中，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴会平分； （3），证明如下： 延长到点，使得，过点G作于点H，连接， 由（2）知平分，则， ∵，， ∴， ∴， 当三点共线，且两点重合时，的值最小，最小值为的长，如图， 此时，， ∵， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质及等腰直角三角形的性质，利用证明，即可得出结论； （2）小明的想法是对的，延长到点，使得，证明，推出，再根据等腰三角形的性质即可得出，即可得出结论； （3），延长到点，使得，过点G作于点H，连接，根据（2）中平分，推出，当三点共线，且两点重合时，的值最小，最小值为的长，此时可得，由直角三角形的性质可得，即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的判定，正确作出辅助线，构造三角形全等，构造直角三角形是解题的关键． 23. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且其顶点在直线上． （1）求a的值； （2）直线与x轴交于点D，若，求直线的函数表达式； （3）直线l与抛物线相交于M，N两点，若，试探究直线l是否经过一个定点Q，若经过，求出点Q的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）经过定点Q，． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识． （1）根据顶点坐标在直线上进行解答即可； （2）分两种情况，求出相应点的坐标，利用待定系数法求解即可； （3）求出直线l的函数表达式为，即，即可得到结论． 【小问1详解】 解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标为． 因为顶点在直线上 所以， 所以． 【小问2详解】 ①如图1，当点D在点A右侧时． 因为抛物线与x轴的交点，与y轴的交点， 所以． 所以． 过点D作，垂足为E， 因为， 所以， 设，则． 所以． 所以．所以 所以点D的坐标为． 因为， 设直线的函数表达式为． 解得 所以可求得直线的函数表达式为． ②如图2，当点D在点A左侧时．作轴交直线CD于点F， 可得点F与点关于直线AC对称，所以求得点F的坐标为 同理可得直线的函数表达式为． 综上所述，直线CD的函数表达式为或； 【小问3详解】 经过定点Q，理由如下： 因为点M，N在抛物线上， 所以设，直线l的函数表达式为， 如图3，过点C作直线轴，过点M作，过点N作，垂足分别为G，H， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 所以． 所以，即 整理，得，① 联立方程组 所以． 所以，② 将②代入①，得， 所以直线l的函数表达式为，即， 所以直线l经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $