专题03 利用勾股定理解决折叠问题（6大题型）（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

专题03 利用勾股定理解决折叠问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、长方形中折痕过对角线模型 1 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 5 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 9 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 14 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 17 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’. 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平分’； 结论3：是等腰三角形。 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，长方形的宽，长，将长方形沿着对角线折叠，点D 的对应点为，连接，与边交于点E，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等角对等边，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质和等角对等边可得，设，则，然后在中，利用勾股定理建立方程，解之进而得到，即可计算三角形的面积． 【详解】解：∵长方形的宽，长， ∴，，， 根据折叠可知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东滨州·月考）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点D落在点处， (1)求证：； (2)求重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键， （1）根据长方形的性质和折叠的性质可证明，则可证明，得到； （2）设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：由题意得，， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 【答案】(1) (2)6 (3)或3或 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可； （3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E． ， ∵四边形是长方形， ． ， ， ； 设，则， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴的面积为， 故答案为：6； （3）解：①若， ， ； ②若，作于点， ，，， ， ， ； ③若，则，，， ，， ， ； 综上所述，或3或． 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平分’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平分’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平分’； 结论3：是等腰三角形。 4．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠可得，，在中，由勾股定理求出，设，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴ 设，则 ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·重庆北碚·月考）在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)如图1，当点E在边上时，求的长度． (2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长． (3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)3 (2) (3)4或16 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再由勾股定理可得的长，从而得到的长，然后根据，即可求解； （2）证明，可得，从而得到，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得，再由勾股定理得的长，即可求解；当点Q在延长线上时，由勾股定理得的长，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：； （2）解：由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即； （3）解：当点Q在线段上时，如图： 由翻折的性质得：， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在延长线上时，如图： 由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； 综上所述，的长为4或16． 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平分’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平分’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平分’； 结论3：’是直角三角形。 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； 当共线时，的值最小，为的长，线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得，设，由折叠的性质得，，从而得到，在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， 为线段的中点， ， 由折叠的性质，得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：． （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长， 此时，点在上的点处，点在点处，如图， ， 在中，由勾股定理得， 设， 由折叠的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 线段的值最小时，的长度为． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点C的对应点为C’落在斜边上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在边上，折痕为BD。 10．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则点D到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，翻折的性质，角平分线的性质定理，解一元一次方程，解题的关键是掌握翻折的性质和勾股定理． 利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，然后利用翻折的性质得出相等角和边，假设长为，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解，最后利用角平分线的性质定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理得， 由翻折的性质得，，， 假设长为，则，， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∵，， ∴点D到直线的距离等于的长度，即为， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长即可； （2）由翻折的性质求得，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质得：， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴． 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，EF，与BE交于点D. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 13．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，根据实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系；在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ ∵将进行折叠，使顶点重合 ∴， 设，在中， ∴ 解得： 则 ∴在中， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了翻折变换，等面积法以及勾股定理，解决本题的关键是熟练运用等面积法．首先根据折叠可得，，利用等面积法得到的值，在中利用勾股定理求得，然后即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 根据折叠的性质可知，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由折叠性质得， 中，， 即， 又，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 中，， 即， 解得， 即． 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点处D，连结DM,DN. （2）沿直线DE翻折，使得点C与边上的点F重合； 16．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析； 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ∴DE=DH, 在中，， ； 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 18．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键． 勾股定理求出的长，利用折叠得到，求出，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 根据勾股定理得，解得：． 故选：A． 2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 3．如图所示，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形，若=1，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先根据矩形的性质，得出，，，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果． 【详解】解：由折叠补全图形如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由第一次折叠得：，， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理得，， 由第二次折叠可知，， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键． 4．如图，在中，，，．点、分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 5．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 二、填空题 6．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，若，则的面积＝ ． 【答案】78 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故答案为：78． 7．如图，中，，将三角形沿折叠，使点落在上的点处，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，进而求出的，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：3． 8．如图，在矩形中，，点为线段的中点，连接，点在边上，连接，将沿翻折得到，点在线段上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，∠＝90°，＝4，＝6，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接′，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形，当或时，分别画出图形来解答． 【详解】解：当时， 将沿折叠到△， ， ， 点、、三点共线， ，， 由勾股定理得， 设，则，， 在△中，由勾股定理得： ， 解得， ， 当时， ， ， ， 不可能为， 综上，或． 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 10．如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为3或． 三、解答题 11．如图，长方形沿对折，点刚好落在边点上，如果，，求的长？ 【答案】3 【分析】本题考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理等．在中建立关于的方程是求解本题的关键．先根据翻折的性质求出的长度和关于的表达式，然后由勾股定理求出，进而得到的长度，在再次应用勾股定理建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质，，． 在中，． ． 在中，， 即． 则． 故的长度为3． 12．在中，，，，点、分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．如图，如果点和点重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则，根据折叠的性质得到，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 13．如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)试说明； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明即可； （2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，全等三角形的性质，得到，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）∵四边形是长方形， ∵把长方形纸片沿折叠， ， 在和△中 （2）设， 根据翻折不变性，得： 在中，由勾股定理，得： 解得， ∴，则 ∴． 14．如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 15．在四边形中，． (1)若为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点落在边上点处时，求的长； (2)如图②，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用勾股定理解决折叠问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、长方形中折痕过对角线模型 1 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 5 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 9 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 14 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 17 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’. 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平分’； 结论3：是等腰三角形。 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，长方形的宽，长，将长方形沿着对角线折叠，点D 的对应点为，连接，与边交于点E，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25八年级下·山东滨州·月考）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点D落在点处， (1)求证：； (2)求重叠部分的面积． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平分’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平分’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平分’； 结论3：是等腰三角形。 4．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为 ． 5．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 6．（25-26八年级上·重庆北碚·月考）在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)如图1，当点E在边上时，求的长度． (2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长． (3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长． 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平分’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平分’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平分’； 结论3：’是直角三角形。 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 9．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点C的对应点为C’落在斜边上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在边上，折痕为BD。 10．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则点D到直线的距离为 ． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 12．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，EF，与BE交于点D. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 13．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为 ． 15．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点处D，连结DM,DN. （2）沿直线DE翻折，使得点C与边上的点F重合； 16．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 17．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 18．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 一、单选题 1．如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 3．如图所示，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形，若=1，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 4．如图，在中，，，．点、分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 5．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 二、填空题 6．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，若，则的面积＝ ． 7．如图，中，，将三角形沿折叠，使点落在上的点处，则的长为 ． 8．如图，在矩形中，，点为线段的中点，连接，点在边上，连接，将沿翻折得到，点在线段上，则的长为 ． 9．如图，在中，∠＝90°，＝4，＝6，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接′，当是直角三角形时，的长为 ． 10．如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 三、解答题 11．如图，长方形沿对折，点刚好落在边点上，如果，，求的长？ 12．在中，，，，点、分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．如图，如果点和点重合，求的长． 13．如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)试说明； (2)若，，求的面积． 14．如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 15．在四边形中，． (1)若为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点落在边上点处时，求的长； (2)如图②，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $